Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación parcial implícita. 9.6 Derivada direccional gradiente. 9.7 Plano tangente recta normal. 9.8 Etremos de funciones de dos variables. 9.9 Método de los multiplicadores de Lagrange. E.U.Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Especialidades Mecánica, Electricidad Electrónica Curso 2007-08

9.1 Introducción Definición Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par (,) D 2 un único número real f (,). El conjunto D es el dominio de f el conjunto de valores f (,) es el recorrido de f. Nota: Para una función f, a veces escribiremos =f (,), siendo e las variables independientes la variable dependiente. Si no se especifica lo contrario, supondremos que el dominio es el maor conjunto de puntos del plano para el que esta fórmula tiene sentido. Gráfica curvas de nivel La gráfica de f(,) es el conjunto de ternas (,,) tales que (,) D =f(,), es una superficie en 3 cua proección es el dominio D. La proección en el plano de la intersección de la gráfica de f (,) con el plano =c determina una curva plana f (,) =c denominada curva de nivel. 0.5 2 1.5 0 1 0.5 0-0.5 2-0.5 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2-1 -1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Nota: Para funciones de tres variables las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel

Operaciones con funciones Si f g son funciones de dos variables con dominio D 2, entonces: Suma ( f + g)(, ) = f(, ) + g(, ) Diferencia ( f g)(, ) = f(, ) g(, ) Producto ( f g)(, ) = f(, ) g(, ) f f(, ) Cociente (, ), siendo g(, ) 0 g = g(, ) Composición de funciones: Sea h una función de dos variables g una función de una variable: ( go h)(, ) = g( h(, )) Entornos en el plano Un entorno de radio δ centrado en ( 0 ) es el conjunto de puntos del plano tales que ( ) + ( ) < δ 0 0 Este entorno recibe el nombre de disco abierto. Análogamente, el conjunto 2 {(, ) ( 0) ( 0) δ } + es un disco cerrado. Un punto ( 0 ) es un punto interior de una región plana R si eiste un entorno de radio δ centrado en ( 0 ) contenido totalmente en R. Si todos los puntos de R son interiores, entonces R es una región abierta. Un punto ( 0 ) es un punto frontera de una región plana R si cada disco abierto centrado en ( 0 ) contiene puntos del interior de R del eterior R. Si una región R contiene sus puntos frontera entonces decimos que es una región cerrada. Nota: Para funciones de tres variables los discos pasan a ser esferas.

9.2 Límites continuidad Definición Sea f una función definida, con la posible ecepción de ( 0 ), en un disco abierto centrado en ( 0 ), sea L un número real, entonces: lim (, ) ( 0, 0) f(,) = L, si para todo ε > 0, eiste un δ > 0 tal que si (,) cumple ( ) 0 < + ( ) < δ, entonces f(, ) L < ε. 0 0 Nota: lim f(,) = L significa que se pueden hacer los valores de f(,) arbitrariamente próimos a L eligiendo un punto (,) suficientemente próimo a ( 0 (, ) ( 0, 0) ) pero distinto de él. Los límites de funciones de varias variables tienen en lo que respecta a sumas, diferencias, productos cocientes, las mismas propiedades de los límites de funciones de una variable. Definición f es continua en un punto ( 0 ) de una región abierta R si lim (, ) ( 0, 0) f (, ) = f(, ) f es continua en una región abierta R si es continua en todos los puntos de R. 0 0 Propiedades 1) Si k es un número real f, g son funciones continuas en ( 0 ), las siguientes funciones son continuas en ( 0 ) a) kf b) f g c) f g d) f/g, si g ( 0 ) 0 2) Si h es continua en ( 0 ) g es continua en h( 0 ), entonces la función compuesta g º h es continua en ( 0 ). Es decir: lim g( h (, ) = g( h (, )) (, ) (, ) 0 0 0 0 Nota: Las nociones anteriores admiten una fácil etensión a funciones de tres variables.

9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. Derivadas parciales Definición Sea =f (,), las derivadas parciales primeras de f con respecto a e son las funciones f f definidas a continuación: f (, ) = lim 0 f ( +, ) f(, ) (, ) = lim 0 f f(, + ) f(, ) f Nota: Se utilian las siguientes notaciones: f = = = = D f Si evaluamos la derivada parcial respecto a en ( a, b) escribiremos: f(, ) f f( a, b) = ( a, b) = = = ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) curva = f(, ) 0 recta tangente P superficie = f (, ) P = ( 0, 0, f( 0, 0) f (, ) 0 0 plano = 0 es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto ( 0, 0, f( 0, 0)) = f(, ) 0

Derivadas parciales orden superior f f f f Sea = f(, ), = f 2 = = = f f f f f = = f = = f 2 Teorema Schwart Sea f una función con derivadas parciales primeras segundas continuas en una región abierta R, entonces para todo ( 0 ) R se verifica f ( 0 )= f ( 0 ). 9.4 Diferencial Definición Si = f (,) e, son incrementos de e, las diferenciales de las variables independientes son d=, d=, la diferencial total de la variable dependiente es: d = d + d Definición Una función = f (,) es diferenciable en ( 0 ) si puede epresarse en la forma: = f( 0, 0) + f( 0, 0) + ε1 + ε 2 donde ε1, ε 2 0 cuando ( ), (0,0). Una función f es diferenciable en una región abierta R si es diferenciable en todos los puntos de dicha región. Teorema Si f (,) es continua con derivadas parciales primeras continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. Si f es diferenciable en ( 0 ) entonces es continua en ( 0 ).

Diferencial: interpretación geométrica plano tangente 0 T 1 pendiente de T : f (, ) T2 2 0 0 C 1 P C 2 superficie S = f (, ) pendiente de T : f (, ) 1 0 0 0 0 El plano tangente a S en el punto P contiene a las rectas tangentes T 1 T 2.

Diferencial: interpretación geométrica plano tangente d representa la variación de la altura del plano tangente a la superficie. 0 P d superficie S = f (, ) 0 d= 0 ( + d, + d) d= 0 0 d = f (, )( ) + f (, )( ) 0 0 0 0 0 0 0 ecuación del plano tangente

9.5 Regla de la cadena. Derivación parcial implícita. Regla de la cadena Teorema Sea w=f(,) una función diferenciable. Si =g(t) e =h(t), siendo g h funciones derivables de t, entonces: dw w d w d = + dt dt dt Teorema Sea w=f(,) una función diferenciable de e. Si =g(s,t) e =h(s,t), eisten sus derivadas parciales primeras, entonces: w w d w d = + s ds ds w w d w d = + t dt dt Derivación parcial implícita Teorema Si F(,)=0 define a implícitamente como función derivable de, entonces: d F (, ) =, F (, ) 0 d F (, ) Si F(,,)=0 define a implícitamente como función diferenciable de e, entonces: F (,, ) (,, ) F, = =, F (,, ) 0 F (,, ) F (,, )

9.6 Derivada direccional gradiente. Derivada direccional recta tangente T curva C P Q superficie = f (, ) u r A B α r r r u = cos θ i+ sen θ j, r u = 1 Plano vertical que contiene a la recta que pasa por A con dirección u r r r r (ecuación de la recta r = a+λu ) A= (, ) B = ( +, + ) uuur r AB = tu P = (,, ) Q = ( +, +, + ) = tcos θ, = t senθ Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto P? Pendiente recta secante que pasa por P Q: m sec = f ( +, + ) f(, ) t Pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto P: Dr f(, ) = lim u t 0 f ( + tcos θ, + t sen θ f(, ) t Derivada direccional de f en la dirección de u r

Derivada direccional gradiente Teorema Si =f(,) es una función diferenciable, entonces la derivada direccional de f r r r en la dirección del vector unitario u= cos θi+ sen θj es: Definición Df r (, ) = f(, )cos θ + f(, )sen θ u Sea =f(,), con derivadas parciales primeras, el gradiente de f es el vector: f (, ) = f (, ) r i + f (, ) r j Corolario Si =f(,) es una función diferenciable, r entonces r r la derivada direccional de f ur en la dirección del vector unitario u= cos θi+ sen θj es: Dr f (, ) = f(, ) u Teorema Sea f una función diferenciable en (,). r 1.- Si f (,)=0, entonces Dr f(, ) = 0 para todo u. u 2.- La dirección de máimo crecimiento de f viene dada por f (,), el valor máimo de Dr f(, ) es f(, ). u 3.- La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por - f (,), el valor mínimo de Dr f(, ) es f(, ). u 4.- Si f (,) 0, entonces f (,) es un vector normal a la curva de nivel Que pasa por (,). u Nota: Sea w= f (,,), el gradiente en (,,) es un vector en el espacio que es ortogonal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto. r r r f (,, ) = f( i,, ) + f( j,, ) + f( k,, ) r r r r r La derivada direccional en la dirección de un vector ur u= ai+ bj+ ck, u =1, es: Dr f(,,) = f(,,) u u

9.7 Plano tangente recta normal. plano tangente T recta tangente T F(,, ) curva C P = ( 0, 0, 0) r rt () P superficie S = f(, ) F(,, ) = f(, ) = 0 C es una curva cualquiera contenida en rla superficie r S, que r pasa r por el punto P, viene descrita por la función vectorial rt () = ti () + t () j+ tk (). Entonces, para todo t, se verifica: F( ( t), ( t), ( t )) = 0 Si F es diferenciable eisten resulta que: '( t), '( t) '( t), por la regla de la cadena En F'( t) = F(,, ) '( t) + F(,, ) '( t) + F(,, ) '( t) = 0 r F'( t) = F(,, ) r'( t) = 0 r P = (,, ), F(,, ) r'( t ) = 0 F (,, ) r r'( t ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 El vector gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva Sobre S que pase por P. Por tanto, todas las rectas tangente en P están en un plano que es normal a F(,, ) contiene a P. Este plano se denomina plano tangente a S en P, la recta que pasa por P contiene a F(,, ) se llama recta normal

Plano tangente recta normal Teorema Si F(,,)=0 es una función diferenciable en P=( 0, 0 ), la ecuación del plano tangente a la superficie dada por F en el punto P es: F (,, )( ) + F (,, )( ) + F (,, )( ) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F(,, ) Q plano tangente P superficie S F(,, ) = 0 r rt () P = ( 0, 0, 0) Q = (,, ) uuur F(,, ) PQ = (,, ) 0 0 0 Observación: Sea una superficie S dada por = f(,), definimos F(,,) = f(,)-, entonces S viene dada por la superficie de nivel F(,,) = 0. Se verifica: F (,, ) = f (, ), F (,, ) = f (, ), F (,, ) = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sustituendo en la fórmula del teorema anterior se tiene: = f (, )( ) + f (, )( ) 0 0 0 0 0 0 0

9.8 Etremos de funciones de dos variables. máimo mínimo mínimo región cerrada acotada R Etremos absolutos Etremos absolutos Sea f una función de dos variables definida en una región R cerrada acotada. Los valores f(a,b) f(c,d) tales que: f(a,b) f (,) f(c,d) para todo (,) de R, con (a,b) (c,d) œ R, son el mínimo el máimo de f en la región R. Teorema Sea f una función continua de dos variables definida en una región R cerrada acotada. 1.- Eiste al menos un punto en R donde f alcana su valor mínimo. 2.- Eiste al menos un punto en R donde f alcana su valor máimo Nota: El máimo el mínimo se llaman también máimo absoluto mínimo absoluto.

Etremos de funciones de dos variables máimo relativo mínimo relativo disco abierto disco abierto f ( 0, 0) f( 0, 0) no están definidas mínimo relativo máimo relativo disco abierto disco abierto Etremos relativos Sea f una función de dos variables definida en una región R que contiene al punto ( 0 ). 1.- La función f tiene un mínimo relativo en ( 0 ) si f(,) f( 0 ) para todo (,) en un disco abierto que contiene a ( 0 ). 2.- La función f tiene un máimo relativo en ( 0 ) si f(,) f( 0 ). para todo (,) en un disco abierto que contiene a ( 0 ). Puntos críticos Sea f una función de dos variables definida en una región abierta R que contiene al punto ( 0 ). El punto ( 0 ) es un punto crítico de f si f ( 0 )=0 f ( 0 )=0, o bien no eiste alguna de estas derivadas.

Etremos de funciones de dos variables Teorema Si f tiene en ( 0 ) un etremo relativo en una región abierta R, entonces ( 0 ) es un punto crítico de f. Teorema Sea f una función con derivadas parciales segundas continuas en una región abierta que contiene al punto ( 0 ), siendo f ( 0 )=0 f ( 0 )=0, sea d = f ( 0, 0) f( 0, 0) f (, ) f (, ) 0 0 0 0 Entonces: 1.- Si d > 0 f ( 0 ) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en ( 0 ). 2.- Si d > 0 f ( 0 ) < 0, entonces f tiene un máimo relativo en ( 0 ). 3.- Si d < 0 entonces f tiene un punto de silla en ( 0 ). 4.- Si d = 0 este criterio no proporciona ninguna información. máimo relativo disco abierto mínimo relativo disco abierto punto de silla disco abierto

Etremos de funciones de dos variables mínimo relativo disco abierto f (, ) f (, ) no están definidas 0 0 0 0 mínimo relativo disco abierto

Etremos de funciones de dos variables máimo mínimo mínimo mínimo relativo Etremos absolutos región cerrada acotada R disco abierto punto de silla máimo relativo disco abierto disco abierto

9.9 Método de los multiplicadores de Lagrange Ejemplo 1: (0,0,9) = 9 (0,3,0) (3,0,0) = 9, tiene un máimo en (0,0,9).

Método de los multiplicadores de Lagrange (0,0,9) (1,1, 7) = 9 + = 2 (0,3,0) (3,0,0) = + = 9, con la condición 2, tiene un máimo en (1,1,7). Cómo podemos determinarlo? = h = = + 2 ( ) 9 (2 ) 2 +4 5 h'( ) = 4+ 4 = 0 = 1 h ''(1) = 4 < 0 máimo en (1,1,7).

Nuestro objetivo es hallar los etremos de = f(, ) con la restricción g (, ) = c. Para resolver este problema podemos proceder como en el ejemplo anterior, despejando una variable sustituendo. Ahora bien, esto no será siempre posible o aconsejable. Ejemplo 2 : Calcula los etremos de = 9 con la 2 3 restricción + 3 = 0. Un procedimiento general para resolver problemas de este tipo es el denominado metodo de los multiplicadores de Lagrange. Sea = f(, ), con la restriccion g(, ) = c, los posibles etremos condicionados de se obtienen resolviendo el sistema siguiente: f(, ) = λg(, ) f(, ) = λ g(, ) f(, ) = λg(, ) g (, ) = c g (, ) = c Si se aplica este metodo al ejemplo 1: f = g = + = (, ) 9, (, ) 2 2 = λ 2 = λ 2( + ) = 2λ 4 = 2λ λ = 2 + = 2 de donde: = 1, = 1 = 7.

Idea del método de los multiplicadores de Lagrange Deseamos hallar el rectángulo de área máima que se puede inscribir en la elipse + = 1. 4 2 4 2 + = 1 (, ) El área de un rectángulo inscrito viene dada por: f (, ) = 4. Nuestro objetivo es: Optimiar la función f (, ) = 4 ( función objetivo) con la restricción: g(, ) = + = 1 ( ligadura) 4 2

4 2 + = 1 (, ) curvas de nivel de f (, ) = 4= k Las curvas de nivel de f representan una familia de hipérbolas: 4 = k Para maimiar f queremos encontrar una hipérbola que justo toque a la elipse. Dicha curva es tangente a la elipse. Dos curvas son tangentes en un punto si sólo si sus sus vectores gradiente son paralelos: f(, ) = λ g(, ) El escalar λ se llama multiplicador de Lagrange.

Teorema Si f g son funciones con derivadas parciales primeras contínuas, tales que f tiene un etremo en el punto (, ) sobre la curva 0 0 suave de ligadura g (, ) = c. Si eiste g (, ) (0,0), entonces eiste un número real λ tal que f(, ) = λ g(, ) 0 0 0 0 Método de los multiplicadores de Lagrange. Supongamos que f tiene un máimo o un mínimo con la ligadura g (, ) = c, donde f gcuamplen las condiciones del Teorema de Lagrange. Para hallar el mínimo o el máimo se siguen los siguientes pasos: 1) Se resuelve el sistema: f(, ) = λg(, ) f(, ) = λg(, ) g (, ) = c 2) Se evalúa f en cada uno de los puntos obtenidos. El maor de esos valores nos da el máimo de f con la ligadura g (, ) = c. El menor de ellos nos da el mínimo de fcon la ligadura g (, ) = c.