Cálculo Multivariado

Transcripción

1 Cálculo Multivariado

2 Contenido 1. Funciones der n ar 2

3 1 Funciones de R n a R 1: Funciones, ites continuidad Una función de varias variables R 2 a R tiene la forma: donde, D R 2. f(,) = f(,) = 2 + 2

4 3 f(,) = sin(+sin) f(,) = 2 2 f(,) = 8/( ) Definición: seaf una función de dos variables con dominiod. Decimos queles ite def(,) cuando(,) se apróima a (a, b), quedando escrito como f(,) = L, si para todo ǫ > 0, eiste δ > 0, tal que si (,) (a,b) < δ, entonces f(,) L < ǫ. Ejercicio: Mostrar que (,) (0,0) (,) (a,b) 2 2 no eiste. Si nos aproimamos al (0,0) por el eje, es decir = 0, 2 +2 entonces tenemos = 2 = 1. Por el contrario si nos aproimamos al (0,0) por el eje, es decir = 0, 2 2 entonces tenemos = = 1. Lo que significa que el no eiste. 2 2 (,) (0,0) 2 +2 Ejercicio: Mostrar que (,) (0,0) ambos casos 0 = 0 0 = 0, pero si nos acercamos por la recta = 2 2 ite tampoco eiste. no eiste. En este caso si nos acercamos por los ejeso al(0,0) en = = 1, por lo tanto el 2 2

5 4 Ejercicio: Mostrar que (,) (0,0) (m) 2 2 +(m) 4 = m (m) 4 = 2 no eiste. En este caso, para cualquier línea = m, tenemos 2 +4 m 2 que tiende a 0 si (,) (0,0). Pero si nos acercamos por la pa- 1+m 4 2 rábola = 2, tenemos = = 1, esto quiere decir que el ite tampoco eiste. 4 2 Definición: sea f una función de dos variables con dominio D. Decimos que f(,) es continua en (a,b) si f(,) = f(a,b).f es continua end, si es continua en todos los puntos de D. (,) (a,b) 2: Derivadas Para funciones de varias variables eisten diferentes derivadas: 1. Derivadas parciales. 2. Derivadas direccionales. 3. Derivada. Derivadas Parciales La derivada, al igual que en cálculo de una variable, es un ite. La derivada eiste en un punto a D en el dominio de la función si el ite eiste. En el caso de varias variables, primero se considera el caso, de aproimarse por los ejes, entonces decimos que eisten las derivadas parciales, respecto aoa. Sif(,) es la función, la derivada respecto a, tomando a como constante, se denota como f (,) o f o. Análogamente la derivada parcial respecto a, eiste si el limite al aproimarse al punto considerado por el eje. Denotamos a la parcial respecto a como f (,) o f o. Por otra parte si nos aproimaos al punto en cuestión por una línea recta = a o equivalentemente por la dirección del vector u, entonces decimos que eiste la derivada direccional de f u(,). Por su puesto las derivadas parciales son las derivadas direccionales por i,j ok. Finalmente la derivada (a secas) de una función de varias variables eiste, si eiste el ite cuándo nos aproimamos por cualquier lugar. Generalmente se denota por Df(,). Hecho : sif() : R R, entoncesl() = f( 0)+f ( 0)( 0), es decirl() es una línea que aproima a f() cerca de 0. ( En el casor 2 R,L(,) la derivada de una funciónf(,) : R 2 R es la matri, ). ( En el casor 3 R,L(,) la derivada de una funciónf(,,) : R 3 R es la matri,, ). ( En general para funciones de R n R, L( 1,.., n) la derivada de una función f() : R n R es la matri, ),...,. 1 2 ( n El vector, ),..., también es llamado el gradiente de f denotado como f. 1 2 n Para el caso general f : R n R m la derivada se convierte en la matri Jacobiana. J(f) = n m m 1 n

6 5 Ejercicio: Seaf(,) = e, entonces f = e +e. Notación: f = 2 f 2,f = 2 f,f = 2 f. Teorema de Clairaut: Si f está definida en el disco D (a,b) D. Si las funciones f,f son continuas en D, entonces f (a,b) = f (a,b). Regla de la cadena en una variable: Sabemos que (f g) () = f (g())g () o df d = df d donde = g(). d d Regla de la cadena en dos variable: Sea = f(,), = g(t), = h(t), todas diferneciables, entonces d = d + d Ejercicio: Sea S(w,h) = 0,1091w 0,425 h 0,725 la función que relaciona la superficie (pies cuadrados) del cuerpo de una persona en función de su pesow (el libras) la alturah(en pulgadas). Encuentre la tasa a la cuals cambia si dw = 10lb/año dh = 2,3pul/año, w = 100lb, h = 60pul. Como ds S dw = w + S dh h = (0,1091)(0,425)w 0,575 h 0,725 dw +(0,1091)(0,725)w0,425 h 0,275 dh = (0,1091)(0,425)(100) 0,575 (60) 0,725 (10)+(0,1091)(0,725)(100) 0,425 (60) 0,275 (2,3) = 1,057 Regla de la cadena en dos variable: Sea = f(,), = g(s,t), = h(s,t), todas diferneciables, entonces d ds = s + s d = t + t Derivadas Direccionales Si f(,,) es diferenciable, la derivada direccional de f en dirección del vector unitario u = (a,b,c) es: D uf(,) = (f) u D uf(,) = f a+f b+f c Regla de la cadena en dos variable: Supongamos que f es diferenciable. El valor valor máimo de D u ocurre cuando u tiene la misma dirección que f, el valor es f. Ejercicio: Seaφ(,,) = c una superficie, entonces φ es un vector perpendicular a la superficie.

7 6 Máimos mínimos 1. Una función f(,) tiene un máimo local, sif(,) f(a,b) en una vecindad de(a,b). 2. Una función f(,) tiene un mínimo local, si f(,) f(a,b) en una vecindad de (a,b). Sif tiene un máimo o mínimo local, entonces f (,) = 0. f (,) = 0 Supóngase que las segundas derivadas parciales de f son continuas en una vecindad de (a,b), f (a,b) = 0 f (a,b) = 0. D = f f f Entonces: 1. SiD > 0, f > 0,f(a,b) es un mínimo local. 2. SiD > 0, f < 0,f(a,b) es un máimo local. 3. SiD < 0, f > 0,f(a,b) es un punto silla. f Multiplicadores de Lagrange Para encontrar los máimos o mínimos de f(,,) sujeto a la restricción g(,,) = k: 1. Encontrar los valores,, λtales que: f( 0, 0, 0) = λ g( 0, 0, 0) g(,,) = k 2. Evaluar los puntos de paso anterior, el valor más grande es el máimo, el valor más pequeño es el mínimo.