Rotor articulado. Fuerzas I P

Dinámica de la pala Dinámica del movimiento de batimiento. Referencia Básica [Joh94] Helicópteros ) Dinámica Batimiento 1 / 7 Rotor articulado. Velocidades I Helicópteros ) Dinámica Batimiento / 7 Rotor articulado. Velocidades II Velocidades adimensionales relativas al elemento de pala: UT ΩR = x + µ sin ψ UP ΩR = λ + x β + µβ cos ψ UR ΩR = µ cos ψ Helicópteros ) Dinámica Batimiento 3 / 7 Rotor articulado. Fuerzas I P dfb fuerza aerodinámica: dfb dl dt/b dfc fuerza centrífuga dfc = m rω dr dfi fuerza de aceleración: dfi = m r βdr Helicópteros ) Dinámica Batimiento 4 / 7

Rotor articulado. Fuerzas II La fuerza aerodinámica se puede expresar como: dfb dl = 1 ρu cdrclα) dfb 1 ρu T cdrc lα θ U ) P UT dfb 1 ρcdrc lα θu T U PUT ) y teniendo en cuenta las componentes de velocidad debidas al batimiento: [ dfb = ρ ΩR) 1 crclα θ x + µ sin ψ) λ + xβ + µβ cos ψ ) x + µ sin ψ) )] dx dfb = ρ ΩR) crclα d Fb Helicópteros ) Dinámica Batimiento 5 / 7 Rotor articulado. Fuerzas III Equilibrio de momentos con respecto la articulación de batimiento, MB = m r βdr + m r Ω βdr m r dr) β + Ω β rdfb = ) = β + Ω β = 1 Ib rdfb rdfb donde Ib = m r dr es el momento de inercia de la pala. Para una distribución uniforme de masa, mr) = m el momento sería Ib = mr 3 /3 = mbr /3 donde mb = mr es la masa de la pala. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 6 / 7 Rotor articulado. Fuerzas IV El objetivo del problema es determinar la dependencia funcional βψ). Se suele realizar un cambio de variable, β = dβ dt β = d dt = dβ dψ ) dβ dt dψ dt = Ωβ = Ω β Por tanto, la EDO del movimiento de batimiento se escribe como: β + β = 1 IbΩ rdfb β + β = ρ ΩR) cr Clα IbΩ β + β = γ Mb 1 x d Fb Helicópteros ) Dinámica Batimiento 7 / 7 Rotor articulado. Fuerzas V donde γ es el número de Lock: γ = ρcc lα R4 Ib = fuerzas aerodinámicas fuerzas de inercia y Mb = 1 x d Fb. Valores característicos del número de Lock son rotores articulados γ 1 rotores rígidos γ 5 7 Desde el punto de vista de la respuesta libre del sistema sin excitación exterior) frecuencia propia: ωb = 1 adimensional) y ω = Ω. Acciones exteriores con una variación por vuelta del rotor excitará al modo de batimiento en la frecuencia natural. Helicópteros ) Dinámica Batimiento / 7

Rotor articulado. Fuerzas VI Momento aerodinámico Mb = 1 x θ x + µ sin ψ) λ + xβ + µβ cos ψ ) x + µ sin ψ) ) dx Distribución de paso θx) = θc + θ1x θx) = θ + θ1s sin ψ + θ1c cos ψ + θ1x donde: θ es el paso colectivo. θ1 es la torsión geométrica de la pala. θ1s sin ψ + θ1c cos ψ es el paso cíclico Helicópteros ) Dinámica Batimiento 9 / 7 Rotor articulado. Fuerzas VII En general el paso se puede descomponer según: θx) = θ + n=1 θ1s sin nψ + θ1c cos nψ θx) θ + θ1s sin ψ + θ1c cos ψ +... En primera aproximación, se considera que el flujo será uniforme: λ = cte Bajo estas hipótesis, el momento de batimiento aerodinámico se puede expresar como: Mb = γ Mθθc + Mθ 1 θ1 + Mλλ + Mββ + Mβ β ) Helicópteros ) Dinámica Batimiento 1 / 7 Rotor articulado. Fuerzas VIII Desarrollando los términos se obtiene: Mθc = 1 + 1 3 µ sin ψ + 1 4 µ sin ψ Mθ 1 = 1 1 + 1 4 µ sin ψ + 1 6 µ sin ψ Mλ = 1 6 1 4 µ sin ψ Mβ = 1 6 µ cos ψ 1 4 µ cos ψ sin ψ Mβ = 1 1 6 µ sin ψ Helicópteros ) Dinámica Batimiento 11 / 7 Rotor articulado. Fuerzas IX La acción exterior que alimenta la dinámica del batimiento contiene variaciones en una vuelta y por tanto excita al sistema en la frecuencia propia. Las acciones aerodinámicas contienen un término β que proporciona amortiguamiento al sistema dinámico. De esta manera: la frecuencia propia del sistema cambia ligeramente, y la amplitud no tenderá a infinito dando lugar a una respuesta acotada. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 1 / 7

Plano de puntas I Batimiento βψ) = β + n=1 β1s sin nψ + β1c cos nψ βψ) β + β1s sin ψ + β1c cos ψ +... β: conicidad. Las puntas de la pala describen un círculo cuyo plano se sitúa paralelo al plano de referencia. La pala describe un cono de ángulo β. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 13 / 7 Plano de puntas II β1c: coeficiente de batimiento longitudinal. Las puntas de las palas describen un círculo inclinado longitudinalmente, de forma que la parte delantera apunta hacia abajo y la trasera hacia arriba. Visto desde el lado retroceso β1s: coeficiente de batimiento lateral. Las puntas de las palas describen un círculo inclinado lateralmente, de forma que la parte del lado de avance apunta hacia arriba y la parte que retrocede hacia abajo. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 14 / 7 Plano de puntas III Visto desde la parte trasera Plano de puntas: la combinación de los tres batimientos se traduce en que las puntas de las palas recorren un plano inclinado hacia adelante y hacia arriba en el lado de avance. La pala describe un cono inclinado en el espacio. El plano de puntas representa el plano con respecto del cual la tracción es prácticamente perpendicular. Este plano es empleado en el análisis de actuaciones. Hasta ahora ha sido el plano en el que se ha trabajado. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 15 / 7 Plato distribuidor Es el sistema más habitual para controlar el paso de las palas. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 16 / 7

I El paso se representa mediante la siguiente serie de Fourier: θ = θ + n=1 θ1s sin nψ + θ1c cos nψ θ θ + θ1s sin ψ + θ1c cos ψ +... La variación de paso proviene de dos fuentes dinámica torsional de la pala. Los momentos de torsión son bajos en la pala, y en primera aproximación será despreciada la dinámica torsional asociada a la elasticidad de la pala. sistema de control del helicóptero. Los cambios en la sustentación debidos a cambios en el paso son grandes porque el ángulo de ataque efectivo cambia directamente. Por tanto, el control de las fuerzas en el rotor es muy efectivo si se realiza a través de cambios en el paso. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 17 / 7 II θc: paso colectivo. Controla el valor medio de las fuerzas sustentadoras de la pala. Visto desde lado de avance θ1c y θ1s paso cíclico. Representa una variación por vuelta del paso. Controla la orientación del vector de tracción modificando la orientación del plano de puntas. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 1 / 7 III θ1s: paso cíclico longitudinal. Proporciona control longitudinal del helicóptero. Visto desde lado de avance Helicópteros ) Dinámica Batimiento 19 / 7 IV θ1c: paso cíclico lateral. Proporciona control lateral del helicóptero. : siempre existirá un plano con respecto del cual el paso se puede expresar como θ = θ es decir no existe variación en una vuelta y el paso es constante. Este plano recibe el nombre de plano de control. Helicópteros ) Dinámica Batimiento / 7

Equivalencia batimiento-paso Plano de puntas Plano de puntas Visto desde el lado de avance Visto desde atras Helicópteros ) Dinámica Batimiento 1 / 7 Solución estacionaria I La solución estacionaria será de la forma βψ) = β + β1s sin ψ + β1c cos ψ Al buscar la solución estacionaria como funciones armónicas de ψ el término β + β de la EDO se reduce a: β + β = β La EDO se reescribe como: β + β = β = γ [Mθ θ + θ1s sin ψ + θ1c cos ψ) + Mθ 1 θ1 + Mλλ+ + Mβ β + β1s sin ψ + β1c cos ψ) + +Mβ β 1c sin ψ + β1s cos ψ) ] Helicópteros ) Dinámica Batimiento / 7 Solución estacionaria II reteniendo sólo los términos sin dependencia azimutal, los términos sin ψ, los términos cos ψ se obtienen tres ecuaciones para β, β1s y β1c: β = γ = θ 1c = θ 1s [ θ 1 + µ ) + θ 1 1 1 + 56 µ ) 1 + 1 ) µ 1 β 1s µ6 β µ 16 β 1s + µ 6 θ 1s λ 6 1 + 3 ) µ + µ3 θ + µ4 θ 1 µ4 λ + 1 β 1c µ 16 β 1c ] Helicópteros ) Dinámica Batimiento 3 / 7 Solución estacionaria III Despejando los coeficientes del plano de puntas β = γ θ 1c β 1s = [ θ 4 3 µβ 1 + 1 µ 1 + µ ) + θ 1 1 1 + 56 µ ) + µ 6 θ 1s λ 6 ] θ 1s + β 1c + θ 1s µ 1 1 µ = 3 µ θ + 3 4 θ 1 3 4 λ ) 1 1 µ Estas expresiones permiten obtener la orientación del plano de puntas con respecto al plano de control. A partir de las ecuaciones del equilibrado del helicóptero por ejemplo el momento de alabeo y de cabeceo proporcionarían β1s y β1c) y dada una condición de vuelo se puede obtener la orientación del plano de puntas y a partir de las anteriores expresiones se puede determinar la orientación del plano de control. Por tanto se puede determinar el control de paso cíclico para esa condición de vuelo. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 4 / 7

Solución estacionaria IV β y β1c tienen valores de unos pocos grados, β1s es bastante mas pequeño. Solución en vuelo a punto fijo β = γ [ θ + θ 1 1 + λ 6 ] θ1c β1s = θ1s + β1c = Implica que el plano de puntas y el de control se sitúan paralelos. El plano de puntas corresponde a un cono sin inclinación ni lateral ni longitudinal. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 5 / 7 Solución estacionaria V Rotor en el vacío sin fuerzas aerodinámicas) β = β1c cos ψ + β1s sin ψ solución de β + β = ). Significa que el plano de puntas adquiere una orientación en el espacio arbitraria pero fija ya que β1c y β1s están indeterminados. En otras palabras ya que no hay fuerzas aerodinámicas no hay medios por los que el el paso de la pala pueda producir momentos sobre el disco. Rotor en aire con fuerzas aerodinámicas) tiene la capacidad de producir un momento debido al paso y por tanto controlar su orientación en el espacio. Si la influencia aerodinámica sólo fuera a través de este momento, el rotor respondería al momento del paso con una velocidad de inclinación constante. Sin embargo, el momento asociado a la velocidad de batimiento equilibra el momento de paso. Helicópteros ) Dinámica Batimiento 6 / 7 Expresiones trigonométricas empleadas sin ψ = cos ψ = cos nψ cos mψ = sin nψ sin mψ = cos nψ sin mψ = 1 cos ψ 1 + cos ψ cos n + m)ψ + cos n m)ψ cos n m)ψ cos n + m)ψ sin n + m)ψ sin n m)ψ Helicópteros ) Dinámica Batimiento 7 / 7