TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B Universidad Metropolitana, Caracas, Venezuela, 2017 Hecho el depósito de Ley Depósito Legal: ISBN: Formato: 21,5 X 27,9 cms. Nº de páginas: 74 Diseño y diagramación: Jesús Salazar / salazjesus@gmail.com Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor.
Autoridades Hernán Anzola Presidente del Consejo Superior Benjamín Scharifker Rector María del Carmen Lombao Vicerrectora Académica María Elena Cedeño Vicerrectora Administrativa Mirian Rodríguez de Mezoa Secretario General Comité Editorial de Publicaciones de apoyo a la educación Prof. Roberto Réquiz Prof. Natalia Castañón Prof. Mario Eugui Prof. Humberto Njaim Prof. Rossana París Prof. Alfredo Rodríguez Iranzo (Editor)
CONTENIDOS Introducción 7 TALLER 1 9 Funciones Parte I 9 Parte II 12 Parte III 15 TALLER 2 19 Transformaciones gráficas de funciones Parte I 19 Parte II 21 Parte III 23 Parte IV 25 Parte V 27 Parte VI 29 TALLER 3 31 Introducción al concepto de límite Parte I 31 Parte II 34 Parte III 37 Parte IV 40 Parte V 42 TALLER 4 43 Introducción al concepto de derivada Parte I 43 Parte II 46 Parte III 49 TALLER 5 51 Graficación de funciones Ejercicio 1 51 Ejercicio 2 55 Ejercicio 3 59 Ejercicio 4 63 Bibliografía 67
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B INTRODUCCIÓN E l curso de Matemática I tiene como propósito proporcionar al estudiante los conocimientos y herramientas conceptuales y las técnicas del cálculo diferencial de funciones reales de variable real para analizar y resolver problemas sencillos, tanto geométricos como físicos. Los conceptos matemáticos que se estudian proporcionan al estudiante un lenguaje matemático preciso, que le permite potenciar su capacidad de abstracción, rigor, análisis y síntesis que son propias de las matemáticas y necesarias para cualquier otra disciplina científica o rama de la ingeniería. El propósito de estos talleres es incentivar al estudiante a que descubra por sus propios medios esos conceptos matemáticos, además de reforzar los adquiridos durante las clases. Los talleres brindan la oportunidad de que sea el propio estudiante el que construya el conocimiento a partir del descubrimiento de relaciones y patrones presentes en diversas situaciones, que se confronte con sus errores y tome decisiones. Por otra parte, los talleres favorecen el aprendizaje autónomo así como la interacción con los otros participantes, promoviendo el intercambio entre diferentes ideas o puntos de vista, de tal manera que los estudiantes tengan un papel protagónico en el proceso de su aprendizaje. 7
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B TALLER 1 FUNCIONES PARTE I 1. Observe el gráfico que se muestra a continuación. a) El gráfico mostrado corresponde a la gráfica de una función? b) Justifique la respuesta dada en la parte a) 2. Observe el gráfico que se muestra a continuación. 9
a) El gráfico mostrado corresponde a la gráfica de una función? b) Justifique la respuesta dada en la parte a) 3. Observe el gráfico que se muestra a continuación. a) El gráfico mostrado corresponde a la gráfica de una función? b) Justifique la respuesta dada en la parte a) 4. Observe el gráfico que se muestra a continuación. 10
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B a) El gráfico mostrado corresponde a la gráfica de una función? b) Justifique la respuesta dada en la parte a) 5. Observe las graficas siguientes: a) b) c) d) e) A continuación se dan una serie de afirmaciones relacionadas con las gráficas anteriores, escriba en la columna de la derecha una F o una V, si la afirmación dada es falsa o verdadera. i) El gráfico a) no corresponde a la gráfica de una función. ii) iii) iv) El gráfico b) corresponde a la gráfica de una función. El gráfico c) no corresponde a la gráfica de una función. El gráfico d) corresponde a la gráfica de una función. v) El gráfico e) no corresponde a la gráfica de una función. 11
PARTE II 1. La gráfica de una función f se muestra a continuación. A partir de la gráfica responda las preguntas siguientes: a) Cuál es el dominio de la función f? b) Cuál es el rango de la función f? c) Cuál es la imagen de x = 1? d) Cuál es el valor de f (1)? e) Cuál es la imagen de x = 1? f) Cuál es el valor de f ( 1)? g) Qué valores de x tienen por imagen 0? h) Cuál es la preimagen de 0? 12
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B 2. La gráfica de una función h se muestra a continuación. A partir de la gráfica responda las preguntas siguientes: a) Cuál es el dominio de la función h? b) Cuál es el rango de la función h? c) Cuál es la imagen de x = 0? d) Cuál es el valor de h (0)? e) Cuál es la imagen de x = 5? f) Cuál es el valor de h (5)? g) Cuál es la imagen de x = 4? h) Cuál es el valor de h ( 4)? i) Qué valores de x tienen por imagen -2? j) Cuál es la preimagen de -2? k) Qué valores de x tienen por imagen 3? l) Cuál es la preimagen de 3? 13
3. La gráfica de una función g se muestra a continuación. A partir de la gráfica responda las preguntas siguientes: a) Cuál es el dominio de la función g? b) Cuál es el rango de la función g? c) Cuál es la imagen de x = 0? d) Cuál es el valor de g (0)? e) Cuál es la imagen de x = 2? f) Cuál es el valor de g ( 2)? g) Qué valores de x tienen por imagen 2? h) Cuál es la preimagen de 2? 4. A continuación se dan una serie de afirmaciones relacionadas con la gráfica de una función f que se muestra a la derecha, escriba en la columna de la derecha una F o una V, si la afirmación dada es falsa o verdadera. a) La imagen de 2 es 3 b) La imagen de 0 es 1 c) La preimagen de 3 es 2 d) 3 es la preimagen de 2 e) El rango de la función f es R 14
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE III 1. Sea = x 2 4 a) Calcule: f (3) = f (x 3) = b) Compare los resultados obtenidos en a). Son iguales o diferentes? c) Calcule: f ( h) = f ( x h) = d) Compare los resultados obtenidos en c). Son iguales o diferentes? e) Determine y simplifique el resultado al máximo: f ( a) f ( 1) = a 1 f) Calcule y simplifique el resultado al máximo: ( 3 + b) f ( ) = f 3 b 2 2. Sea g ( x) = x 5x + 6 a) Calcule: g(9) 3g(3) b) Compare los resultados obtenidos en a). Son iguales o diferentes? 15
c) Calcule: 3 2 g + g 2 3 3 2 g + 2 3 d) Compare los resultados obtenidos en c). Son iguales o diferentes? e) Calcule: g (kx) k.g(x) f) Compare los resultados obtenidos en e). Son iguales o diferentes? g) Calcule y simplifique el resultado al máximo. g ( a + h) g( a) h 2 3. Dada = 4 2x, a continuación se dan una serie de afirmaciones referentes a la función f, escriba en la columna de la derecha una F o una V, si la afirmación dada es falsa o verdadera. a) f ( 3) = f (3) b) 1 f = 3 f 1 (3) c) 2 ( f (3)) = f (9) d) 2 f (4) = f (8) e) f ( 3) + f (2) = f (5) 4. Sea f una función real de variable real, escriba en la columna de la derecha una F o una V, si la afirmación dada es falsa o verdadera. a) f ( a + b) = f ( a) + f ( b), para todo a y b en el dominio de f b) f(kx)= k f (x), para todo número real k 16
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B 5. Sea f la función definida por 3x 2 = 2 3x si si x 1 x 1 a) Cuál es el dominio de la función f? b) Cuál es el valor de f ( 4)? c) Existe f (0)? d) Cuál es el valor de f (4)? e) Cuál es la preimagen de -8? f) Qué forma tiene f (x) para los valores de x menores o iguales que -1? g) Qué forma tiene f (x) para los valores de x mayores o iguales que 1? h) Algún valor de x comprendido entre -1 y 1 es preimagen de algún elemento del rango? f tal que f ( 2) = 1, f ( 2) = 4 y la preimagen 6. Grafique una función : ( 3,0) [ 1,3 ] ( 3,1 ] { 4} de 0 sea 1. 17
7. Defina una función g de dominio el intervalo [ 2,2] tal que g ( 1) = 2 y g ( 2) = 4. 8. Defina una función h tal que la preimagen de 3 sea 4. 18
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B TALLER 2 TRANSFORMACIONES GRÁFICAS DE FUNCIONES PARTE I 1. Grafique las funciones f, f 1 y f 2 definidas por 3 3 3 = x, = x 2 y = x 2. 1 + 2 3 3 1 + 3 2 = x = x 2 = x 2 2. Grafique las funciones f, f 1 y f 2 definidas por x = 2, = 2 x 3 y = 2 x 3. 1 + 2 x = 2 2 3 2 3 1 = x + 2 = x 3. Con ayuda de una graficadora verifique las gráficas de las respuestas 1) y 2). 4. En cada caso, compare la gráfica de f con las gráficas de f 1 y f 2, qué relación existe entre las gráficas? 19
5. En general, si g ( x) = k + con k una constante positiva (k > 0), cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 6. En general, si g ( x) = k + con k una constante negativa (k < 0), cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 7. Con base a lo inferido en las preguntas 5 y 6, grafique la función h definida por h (x) = 1 + cos x. f (x) = cos x h (x) = 1 + cos x 8. Con base a lo inferido en las preguntas 5 y 6, grafique la función w definida por w ( x) = x 2 3. 2 = x w( x) = x 2 3 20
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE II 1. Grafique las funciones f, f 1 y f 2 definidas por 3 = x, ( ) 3 1( x) = x + 2 f y ( x) = ( x ) 3 f. 2 2 3 = x ( ) 3 1( x) = x + 2 f = ( x ) 3 2 2 2. Grafique las funciones f, f 1 y f 2 definidas por x ( x) =, f 2 3 1( x) = 2 x+ f y 3 2 ( x) = 2 x f. = 2 x 3 1( x) = 2 x+ f f 3 2 ( x) = 2 x 3. Con ayuda de una graficadora verifique las gráficas de las respuestas 1) y 2). 4. En cada caso, compare la gráfica de f con las gráficas de f 1 y f 2,. qué relación existe entre las gráficas? 5. En general, si g ( x) = f ( x + k) con k una constante positiva (k > 0), cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 21
6. En general, si g ( x) = f ( x + k) con k una constante negativa (k < 0), cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 7. Con base a lo inferido en las preguntas 5 y 6, grafique la función k definida por k ( x) = x 4. = x k( x) = x 4 8. Con base a lo inferido en la pregunta 5 y 6 de las partes I y II, grafique la función g definida por g ( x) = x 2 4. g 1( x ) = g ( ) = g( x) = x 2 4 2 x 22
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE III 1. Grafique las funciones f y f 1 definidas por = x 1 y = x 1. 1 = x 1 = x 1 1 2. Grafique las funciones f y f 1 definidas por f (x) = ln x y f 1 (x) = -ln x. f (x) = ln x f 1 (x) = ln x 3. Con ayuda de una graficadora verifique las gráficas de las respuestas 1) y 2). 4. En cada caso, compare la gráfica de f con la gráfica de f 1, qué relación existe entre las gráficas? 5. En general, si g( x) =, cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 6. Con base a lo inferido en la pregunta 5, grafique la función k definida por k( x) = x. 23
= x k( x) = x 7. Con base a lo inferido en las pregunta 5 de la parte II y en la pregunta 5 de la parte III, grafique la función g definida por ( x) = ( x + 2) 2 g. 2 g 1 ( x) = x ( ) 2 2 ( x) = x + 2 g( x) = x + 2 g ( ) 2 8. Grafique la función h definida por x = 1. h( x) 3 h ( x) 3 1 = x h ( x) = 3 2 x h( x) = 1 3 x 24
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE IV 1. Grafique las funciones f y f 1 definidas por f(x)=cos x y f 1 (x)=cos(-x). f(x) = cos x f 1 (x) = cos(-x) 2. Grafique las funciones f y f 1 definidas por f(x) = ln x y f 1 (x) = ln (-x). f(x) = ln x f 1 (x) = ln (-x) 3. Con ayuda de una graficadora verifique las gráficas de las respuestas 1) y 2). 4. En cada caso, compare la gráfica de f con la gráfica de f 1, qué relación existe entre las gráficas? 5. En general, si g( x) = f ( x), cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 25
6. Con base a lo inferido en la pregunta 5, grafique la función k definida por k( x) = x. = x k( x) = x 7. Con base a lo inferido en la pregunta 5, grafique la función w definida por w x ( x) = 2. = 2 x w( x) = 2 x 8. Con base a lo inferido en las partes I, II, III y IV, grafique la función g definida por ( 1) 3 g ( x) = 5 x +. g ( ) = g ( ) = g 3 ( x) = 1 x 2 x 26
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B g ( ) = g( x) = 5 ( x + 1) 3 4 x PARTE V 1. Sea a R, defina a : 2. Sea f una función real de variable real, defina f (x) : 3. Grafique las funciones f y f 1 definidas por f (x) = cos x y f 1 (x) = cos x. f (x) = cos x f 1 (x) = cos x 4. Grafique las funciones f y f 1 definidas por ( ) = x 2 2 f x 4 y = x 4. 1 ( ) = x 2 2 f x 4 = x 4 1 27
5. Con ayuda de una graficadora verifique las gráficas de las respuestas 3) y 4). 6. En cada caso, compare la gráfica de f con la gráfica de f 1, qué relación existe entre las gráficas? 7. En general, si g ( x) =, cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 8. Con base a lo Inferido en la Pregunta 7, grafique la función k definida por 3 k ( x) = x. = x 3 k ( x) = x 3 9. Con base a lo inferido en las partes I, II, III, IV y V, grafique la función g definida por g ( x) = x 4 + 5. g 1( x ) = g ( ) = g 3 ( x) = 2 x 28
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B g ( ) = g( x) = x 4 + 5 4 x PARTE VI 2 1. Grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones f, g y h definidas por = x, 2 g ( x) = 2x y 1 2 2 h ( x) = x. 2. Grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones f, g y h definidas por = sen x, 1 g( x) = 2sen x y h( x) = sen x. 2 29
3. Con ayuda de una graficadora verifique las gráficas de las respuestas 1) y 2). 4. En cada caso, compare la gráfica de f con las gráficas de g y h, qué relación existe entre las gráficas? 5. En general, si g ( x) = k, con k > 1, cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 6. En general, si g ( x) = k, con 0 < k < 1, cómo se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f? 7. Con base en su respuesta dada en la pregunta anterior, grafique la función f definida por f(x) = 4 cos x. 30
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B 8. Grafique la función f definida por f x) 3[ x ] ( =, con x [ 1,5] 31
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B TALLER 3 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE PARTE I 1. Sea f la función definida por 2 x 9 =. x 3 a) Determine el dominio de la función f: b) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro: x 2,6 2,7 2,8 2,9 2,95 2,97 2,99 3,01 3,03 3,1 3,2 3,3 3,4 f (x) c) A qué valor se aproximan los f (x) cuando x toma valores próximos a 3? La situación anterior se expresa como : Y se dice que: Si x 3 entonces 3 El límite de f (x) cuando x tiende a 3 es 6 d) Para qué valores de x es cierto que e) Grafique la función f. 2 x 9 = x 3 ( x 3)( x + 3) x 3 = x + 3? 33
f) Observe la gráfica de la función f. Qué valor toman las imágenes de los números que están próximos a 3? g) Coincide lo observado en la gráfica con la respuesta de la parte c)? x 3 2. Sea g la función definida por g( x) = x 2 9 a) Determine el dominio de la función g b) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. x 2,6 2,7 2,8 2,9 2,95 2,97 2,99 3,01 3,03 3,1 3,2 3,3 3,4 g(x) c) A qué valor se aproximan los g(x) cuando x toma valores próximos a 3? La situación anterior se expresa como Y se dice que 1 Si x 3 entonces g ( x) = 0,16 6 El límite de g (x) cuando x tiende a 3 es 0,16 d) Para qué valores de x es cierto que e) Grafique la función g. x 3 = x 9 x 3 = 1 ( x 3)( x + 3) x 3 2 +? f) Observe la gráfica de la función g. Qué valor toman las imágenes de los números que están próximos a 3? 34
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B g) Coincide lo observado en la gráfica con la respuesta en la parte c)? 3. Explique, con sus palabras, qué significa la expresión: Si x 1 entonces 3 4. La gráfica de una función f es la siguiente: Use la gráfica de la función f para completar las afirmaciones siguientes: a) f (0) = b) Si x 0 entonces f (x) c) f (5) = d) Si x 5 entonces f (x) 5. A continuación se dan una serie de afirmaciones, escriba en la columna de la derecha una F o una V, si la afirmación dada es falsa o verdadera. x a) 0 debe pertenecer al dominio de f para calcular el límite de f(x) cuando x tiende a x 0 b) el límite de f(x) cuando x tiende a x 0 puede ser igual a f ( x 0 ) c) el límite de f(x) cuando x tiende a x 0 siempre es igual a f ( x 0 ) 35
d) e) El límite de f(x) cuando x tiende a a es L significa que x toma valores próximos a L cuando f(x) toma valores próximos a x0 El límite de f(x) cuando x tiende a x 0 es L significa que cuando x toma valores próximos a x 0 entonces f(x) toma valores próximos a L PARTE II 2x + 1 si x < 1 1. Sea g la función definida por g( x) = 0 si x = 1 2 x + 1 si x > 1 a) Indique el dominio de la función g. b) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. x -0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0,8-0,9 g(x) c) Los valores de x dados en b) son mayores o menores que -1? La situación anterior se expresa como x -1 + y se dice que x tiende a -1 por la derecha d) Qué valor toman los g(x) cuando x toma valores próximos a -1 por la derecha? La situación anterior se expresa como Y se dice que Si x -1 + entonces g(x) 2 El límite de g(x) cuando x tiende a -1 por la derecha es 2 e) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. 36
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B x - 1,8-1,7-1,6-1,5-1,4-1,3-1,2-1,1 g(x) f) Los valores de x dados en e) son mayores o menores que -1? La situación anterior se expresa como x 1 y se dice que x tiende a -1 por la izquierda g) Qué valor toman los g (x) cuando x toma valores próximos a -1 por la izquierda? La situación anterior se expresa como Y se dice que Si x 1 entonces g ( x) 1 h) Grafique la función g. El límite de g (x) cuando x tiende a -1 por la izquierda es -1 i) Observe la gráfica de la función g. Qué valores toman las imágenes de los números que están próximos a -1? j) Coincide lo observado en la gráfica con las respuestas de las partes d) y g)? 37
2. Grafique la función f definida por f 3x 6 x) = x 4 ( 2 si si x < 2 x > 2 A partir de la información obtenida de la gráfica, complete las afirmaciones siguientes: a) Si f (x) entonces f (x) b) Si x 2 entonces f (x) 3. Grafique una función real f de dominio [ 1,5] tal que si entonces 2. + x 0 entonces 4 y si x 0 4. Grafique una función real h de dominio [ 4, 4] { 0 } x 2 entonces h(x) -2 y si tal que si x 3 entonces h(x) 4, si x 0 entonces h(x) 1. 38
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B 5. Sea f una función real de variable real tal que: El límite de f (x) cuando x tiende a -5 es 4 Con la información suministrada complete las siguientes afirmaciones: Si + x ( 5) entonces y si x ( 5) x ( 5) entonces f (x) PARTE III 1. Sea h la función definida por h x) = ( x 1) si x 1 4 si x = 1 a) Indique el dominio de la función h. 1 ( 2 b) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. x 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,97 0,99 1,01 1,03 1,1 1,2 1,3 1,4 h(x) c) Determine h (1,0000001) : d) Cómo son las imágenes de los números x a medida que estos toman valores próximos a 1? 39
Esto se expresa o también Si x 1 entonces h (x) + El límite de h (x) cuando x tiende a 1 es + e) Grafique la función h y observe el comportamiento de las imágenes de los números x próximos a 1. f) Coincide lo observado en la gráfica con la respuesta en la parte d)? 2. Sea f la función definida por 2 = x 2 a) Determine el dominio de la función f. b) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. x 1,6 1,7 1,8 1,9 1,95 1,97 1,99 2,01 2,03 2,1 2,2 2,3 2,4 f (x) c) Cómo son las imágenes de los números x a medida que estos se aproximan a 2 por la izquierda? Esto se expresa o también Si x 2 entonces f (x) El límite de f (x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 40
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B d) Cómo son las imágenes de los números x a medida que estos se aproximan a 2 por la derecha? Esto se expresa o también Si + x 2 entonces f (x) + El límite de f (x) cuando x tiende a 2 por la derecha es + e) Grafique la función f y observe el comportamiento de las imágenes de los números x próximos a 2. f) Coincide lo observado en la gráfica con las respuestas de las partes c) y d)? 3. La gráfica de una función f es: 41
Use la gráfica de la función f para completar las afirmaciones siguientes: a) f (0) = b) Si c) Si + x 0 entonces f (x) x 0 entonces f (x) d) f (3) = e) Si f) Si + x 3 entonces f (x) x 3 entonces f (x) PARTE IV 1. Sea h la función definida por 3 h( x) = 2 + x 1 1 + 2x si si x > 2 x < 2 a) Determine el dominio de la función h. b) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. x 3 10 90 888 8888 3000000 h(x) c) Cómo se comportan los h (x) a medida que los valores de x crecen? 42
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B Esto se expresa Si x + entonces h ( x) 0 o también El límite de h (x) cuando x tiende a + es 0 d) Con ayuda de una calculadora complete el siguiente cuadro. x -4-20 -5000-2000000 h(x) e) Cómo se comportan los h (x) a medida que los valores de x son negativos y crecen en valor absoluto? Esto se expresa Si x entonces h ( x) 1 o también El límite de h (x) cuando x tiende a - es 1 f) Grafique la función h. Observe el comportamiento de las imágenes de los números x cuando x + y x. 43
g) Coincide lo observado en la gráfica con las respuestas de las partes c) y e)? 2. Si la gráfica de una función f es: Use la gráfica de la función f para completar las afirmaciones siguientes: a) Si x 3 entonces f (x) b) Si + x 3 entonces f (x) c) Si x - entonces f (x) d) Si x - entonces f (x) 44
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE V Observe la gráfica de la función f que se muestra a continuación. Con la información obtenida de la gráfica, complete los enunciados siguientes: 1. Dom f = 2. R g f = 3. f ( 1 ) = 4. f ( 1) = 5. lim = 6. lim = 7. lim = + x 2 x 2 x 2 8. lim = 9. lim = 10. lim = x ( 1) + x ( 1) x 1 11. lim = 12. lim = 13. lim = x 0 x 0 + 14. lim = 15. lim = x + x 16. La de ecuación es vertical. 17. Las rectas de y = 1 y son. x 0 45
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B TALLER 4 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE DERIVADA PARTE I 1. Observe la figura que se muestra continuación. A partir de la gráfica responda: 2. Cuáles son las coordenadas de los puntos P y Q? 3. En cuántos puntos interseca la recta PQ a la gráfica de de la función f? 4. Cómo es la recta PQ con respecto a la gráfica de la función f? 5. La tangente de α de la recta PQ viene dada por la expresión tan α = 6. Si h 0 entonces Q 47
7. Ilustre gráficamente la pregunta 6. 8. Qué le ocurre a la recta PQ cuando h 0? 9. Grafique la recta tangente a la gráfica de f (x) y = en el punto (, f ( a) ) a. 10 A qué es igual la pendiente de la recta graficada en 9? 11. A qué es igual el lim h 0 f ( a + h) h f ( a)? 48
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B Dada una función f, la derivada de f en x = a, denotada por f '( a), se define como f '( a) = lim h 0 f ( a + h) h f ( a) si el límite existe. 12. Con base en las preguntas anteriores, cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función f en el punto x = a? 13. Haga la sustitución h = x a en lim h 0 f ( a + h) f ( a). Qué forma la definición de derivada dada? h 14. Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) y = en el punto (, f ( a) ) a. 15. Escriba la ecuación de la recta normal a la gráfica de f (x) y = en el punto (, f ( a) ) a. 16. Qué forma toma la ecuación de la tangente a la gráfica de f (x) y = en el punto ( a, f ( a) ) f ( a) = 0? 17. Qué forma toma la ecuación de la normal a la gráfica de f (x) y = en el punto ( a, f ( a) ) f ( a) = 0?, si, si 49
PARTE II 1. Sea f la función definida por 2 = x, aplique la definición de derivada para calcular f ( 3). 2. Gráficamente, qué representa el valor obtenido? 3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2 = x en el punto de coordenadas ( 3,9). 4. Sea f la función definida por 2 = x, aplique la definición de derivada para calcular f ( x). 5. Sea f la función definida por 2 = x, usa el resultado obtenido en 4) para calcular f ( 3). 6. Compare los resultados obtenidos en 1) y 5), cómo son? ' ' ' 7. Cuál es el valor de f (0), f (1), f (2)? 8. Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ( f ( )) x 0, x? 0 2 = x en el punto de coordenadas 9. Sea g la función definida por 3 g ( x) = x, aplique la definición de derivada para calcular g ( x). 10. Sea h la función definida por 4 h ( x) = x, aplique la definición de derivada para calcular h ( x). 50
11. Compare los resultados obtenidos en 4), 9) y 10), qué observa?, cómo es la forma de la derivada? 12. Sea f la función definida por + = x n, n Z, podría inferir a qué es igual f ( x)? 13. a) Sea f la función definida por 1 =, aplique la definición de derivada para calcular f ( x). x b) Cuál es el dominio de las funciones f y f? 14. a) Sea g la función definida por g ( x) = x, aplique la definición de derivada para calcular g ( x). b) Cuál es el dominio de las funciones g y g? c) Es Dom g = Dom g? Justifique su respuesta. 15. Es posible aplicar la fórmula de la derivada obtenida en 12) a las funciones definidas en 13) y 14)? n 16. Sea f la función definida por = x, n R, podría inferir a qué es igual f ( x)? 17. Sea g la función definida por g( x) = sen x aplique la definición de derivada para calcular g ( x).
18. Sea g la función definida por g (x) = sen x. Determine g (5 π). 19. Sea h la función definida por h( x) = cos x, aplique la definición de derivada para calcular h ( x). 3π 20. Sea h la función definida por h( x) = cos x. Determine h. 4 PARTE III Complete los enunciados siguientes: 1. Si 8 5 = x entonces f '( x) = y f ''( x) = 2. Si 1 = entonces f '( x) = y f ''( x) = x 1 3. Si = entonces f ''( x) = y f ''( x) = x 3 7 4. Si = x 3 entonces f '( x) = y f ''( x) = 1 5. Si = x entonces f ' f ( 4) = 4 1 6. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de = en el punto de coordenadas x 1 3,. 3 52
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B 7. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de = cos x en el punto de coordenadas (π, -1). 8. Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de 3 = x en el punto de coordenadas 1 1,. 8 2 9. Determine los puntos de la gráfica de recta de ecuación y = 7 x + 2. 7 = x, si existen, donde la recta tangente es paralela a la 53
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B TALLER 5 GRAFICACIÓN DE FUNCIONES x 2 EJERCICIO 1: Sea f la función definida por = 2x + 4. 4 4 PARTE I a) Determine el dominio de la función f. b) Determine, si existen, los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. c) Tiene la gráfica de la función f asíntotas verticales? d) Por qué? e) Calcule los siguientes límites: lim x = lim x + = f) Qué concluye del resultado obtenido en d)? 55
PARTE II a) Determine f (x) b) Para cuáles valores de x es f (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales f (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales f (x) < 0. f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los valores extremos locales. 56
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE III a) Determine f (x) b) Para cuáles valores de x es f ( x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales f ( x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales f (x) < 0. f) Qué concluyes del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica. 57
PARTE IV Resuma en la tabla siguiente los resultados obtenidos en las partes I, II y III; para ello añada las columnas requeridas. Puntos importantes Signo de f Crecimiento y decrecimiento de f Signo de f Concavidad de la gráfica Realice un bosquejo de la gráfica de la función. EJERCICIO 2: Sea g la función definida por 1 g( x) = 2 +. x 58
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE I a) Determine el dominio de la función g. b) Determine, si existen, los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. c) Calcule los siguientes límites: lim g( x) = + x 0 lim g( x) = x 0 d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Calcule los siguientes límites: lim g( x) = x lim g( x) = x + f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? 59
PARTE II a) Determine g (x) b) Para cuáles valores de x es g (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales g (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales g (x) < 0. f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los valores extremos locales. 60
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE III a) Determine g (x) b) Para cuáles valores de x es g (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales g (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales g (x) < 0. f) Qué concluyes del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica. 61
PARTE IV Resuma en la tabla siguiente los resultados obtenidos en las partes I, II y III; para ello añada las columnas requeridas. Puntos importantes Signo de g Crecimiento y decrecimiento de g Signo de g Concavidad de la gráfica Realice un bosquejo de la gráfica de la función g. x 4 EJERCICIO 3: Sea h la función definida por h ( x) =. x 2 2 2 62
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE I a) Determine el dominio de la función h. b) Determine, si existen, los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. c) Calcule los siguientes límites: lim + x ( 2 ) h( x) = lim x ( 2 ) h( x) = lim + x 2 h( x) = lim x 2 h( x) = d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Calcule los siguientes límites: lim h( x) = x lim h( x) = x + f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? 63
PARTE II a) Determine h (x) b) Para cuáles valores de x es h (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales h (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales h (x) < 0. f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los valores extremos locales. 64
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE III a) Determine h (x) b) Para cuáles valores de x es h (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales h (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales h (x) < 0. f) Qué concluyes del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica. 65
PARTE IV Resuma en la tabla siguiente los resultados obtenidos en las partes I, II y III; para ello añada las columnas requeridas. Puntos importantes Signo de h Crecimiento y decrecimiento de h Signo de h Concavidad de la gráfica Realice un bosquejo de la gráfica de la función h. x + 1 EJERCICIO 4: Sea w la función definida por w ( x) =. 2 x + x 2 66
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE I a) Determine el dominio de la función w. b) Determine, si existen, los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas. c) Calcule los siguientes límites: lim + x ( 2) w( x) = lim x ( 2) w( x) = lim w( x) = + x 1 lim w( x) = x 1 d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Calcule los siguientes límites: lim w( x) = x lim w( x) = x + f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? 67
PARTE II a) Determine w (x) b) Para cuáles valores de x es w (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales w (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales w (x) < 0. f) Qué concluye del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los valores extremos locales. 68
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B PARTE III a) Determine w (x) b) Para cuáles valores de x es w (x) = 0? c) Determine, si existen, los valores de x para los cuales w (x) > 0. d) Qué concluye del resultado obtenido en c)? e) Determine, si existen, los valores de x para los cuales w (x) < 0. f) Qué concluyes del resultado obtenido en e)? g) Determine, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica. 69
PARTE IV Resuma en la tabla siguiente los resultados obtenidos en las partes I, II y III; para ello añada las columnas requeridas. Puntos importantes Signo de w Crecimiento y decrecimiento de w Signo de w Concavidad de la gráfica Realice un bosquejo de la gráfica de la función w. 70
TALLERES DE MATEMÁTICA I SERIE B BIBLIOGRAFíA Larson, Hostetler y Edwards. (2006). Cálculo I. 8 a ed. México: McGraw-Hill Interamericana Leithold, L. (2008). El Cálculo. 7a ed. México: Oxford University Press México, S.A. de C.V. Penney, E. (2008). Cálculo con Geometría Analítica. 7 a ed. México: Pearson Educación de México, S.A. de C. V Purcell, E., Varberg, D. y Rigdon, S. (2001). Cálculo. 8a ed. México: Pearson Educación de México, S.A. de C. V. Ron Rogawski. (2008). Cálculo. Una variable. 2a ed. España: Editorial Reverté. Stewart, J. (2012). Cálculo de una Variable. Trascendentes Tempranas. 7 a ed. México: Cengage Learning. Swokowski, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. 2a ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. Thomas, G. (2005). Cálculo Una Variable. 11 a ed. México: Pearson Educación de México, S.A. de C. V 71