EJERCICIOS PROPUESTOS. Con cerillas se han construido las figuras. a) Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con 5 hexágonos? b) Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con n hexágonos? a) Número de hexágonos Número de cerilla 6 6 5 5 6 5(n ) 6 5 4 76 b) 6 5(n ) 5n. Halla los tres términos siguientes de cada sucesión. a),,,, c) 80, 70, 60, 50, 40 b),, 5, 7, 9 d) 8, 4,,, a),,. Sucesión constante. b),, 5. Se suma al término anterior. c) 0, 0, 0. Se resta 0 al término anterior. d) 4, 8, 6. Se multiplica por el término anterior.. Encuentra el término en cada sucesión. a) 7, 5,,, 9, 7 c) 60, 56,, 48, 44, 40 b) 5, 5, 9 5,, 8... d) 6, 8,,, 5 a). Se resta al término anterior. b) 7. Se multiplica por el término anterior. 5 c) 5. Se resta 4 al término anterior. d) 4. Se divide entre el término anterior..4 Calcula para cada sucesión los términos pedidos. a) Los seis primeros de a n n n b) Los diez primeros términos de b n (n ) c) c 6 y c 0 en c n n n d) d y d 0 en d n nn 0 a),0, 4, 5,, 4 7 b), 8, 49, 76, 09, 48, 9, 44, 0, 64 c) c 6 ; c 0 8 d) d 0; d 0 0
.5 Construye la sucesión recurrente definida por: a a n a n 5,, 8,, 8,.6 Forma la sucesión recurrente dada por: a a 6 n a n ; 6 8 ; 4 ; ;;;4;....7 Calcula los primeros términos de la sucesión recurrente definida por: a a a n a n a n,, 5, 7, 9,,.8 Dadas las sucesiones (a n ) (, 4, 6, 8 ) y (b n ) (, 5, 8, ) halla los cuatro primeros términos de estas sucesiones. a) (a n ) b) (a n ) (b n ) c) (a n ) (b n ) a) (a n ) (a n ) (6,, 8, 4 ) b) (a n ) (b n ) (a n b n ) (4, 9, 4, 9 ) c) (a n ) (b n ) (a n b n ) (4, 0, 48, 88 ).9 Los términos generales de dos sucesiones son: a n n b n n 4 a) Escribe los cuatro primeros términos de cada sucesión. b) Halla el término general de las sucesiones 4(a n ); (a n ) (b n ) y (a n ) (b n ). a) (a n ) (, 5, 7, 9 ) (b n ) (7, 0,, 6 ) b) 4 (a n ) (4 a n ) [4 (n )] (8n 4) (a n ) (b n ) (a n b n ) (n n 4) (5n 5) (a n ) (b n ) (a n b n ) [(n ) (n 4)] (6n 8n n 4) (6n n 4).0 Halla el término general de la progresión aritmética: (a n ) (5,,, 4 ) a n a (n ) d 5 (n ) () n 8. En una progresión aritmética a 4 y la diferencia es d 7. Halla el término octavo. a 8 4 (8 ) (7) 4 7 7 45
. Una ONG que se dedica a la ayuda al Tercer Mundo se inició con 5 personas. Si todos los meses se incorporan 5 voluntarios, cuántas personas trabajarán en la ONG al cabo de años y medio? años y medio son 4 6 meses 0 meses. a 0 5 (0 ) 5 5 9 5 70 voluntarios. Halla la suma de los 40 primeros términos de la progresión aritmética. (a n ) (9, 6,, 0 ) a 40 9 9 () 78 S 40 9 78 40 780.4 El primer término de una sucesión aritmética es, la diferencia,, y la suma de los n primeros términos es 900. Cuánto vale n? Sn 900 a n n 900 n a n n n 0 n (n ) n.5 Las edades de tres hermanos están en progresión aritmética de diferencia 4 y su suma es igual a 4 años. Qué edad tiene cada uno? a edad del pequeño; a edad del mediano; a edad del mayor S a a a a a 4 a a 8 a n a (n ) d a a 4; a a 8 a 0 años a 4 años a 8 años.6 Un ciclista recorrió el primer día 5 kilómetros y cada día aumenta su recorrido en kilómetro. Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 0 primeros días? a 0 5 9 4 S 0 5 4 0 40 Habrá recorrido 40 km..7 Halla el término general de la progresión geométrica. (a n ) (, 6, 8, 54 ) a n n.8 El primer término de una sucesión geométrica es 7 y la razón es. Halla el término noveno. a 9 7 9 7 8 0,09
.9 Un filántropo muy rico decidió destinar su fortuna a una asociación dedicada a la lucha contra el cáncer. Entregó 0 euros el primer mes, 0 euros el segundo, 40 euros el tercero y así sucesivamente. Qué cantidad entregó a los dos años de su primera donación? (Utiliza tu calculadora.) años 4 meses a 4 0 4 8 886 080.0 Halla la suma de los 0 primeros términos de la progresión geométrica (a n ),, 9, 7 a 0 8,6 0 0 0 8,6 9 00 S 0,5. El primer término de una progresión geométrica es 4 y la razón es. Halla la suma de los diez primeros términos. 048 () 4 a 0 4 () 0 048 S 0 64. Un equipo de ciclismo programa su entrenamiento semanal en cinco etapas. En la primera etapa recorre una distancia de 40 kilómetros y cada etapa sucesiva es 5 4 más larga que la anterior. Cuántos kilómetros recorre el equipo a lo largo de la semana? El kilometraje de las etapas forma una progresión geométrica de razón r 5 4. a 5 40 5 4 4 5 5 S 5 a 5r a r 5 5 5 4 40 5 4 4(5 6 40 7 ) 8,8 km recorridos a lo largo de la semana. 7
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Observa la siguiente secuencia de figuras. Cuántos puntos se necesitarán para construir la figura n-ésima? a ; S a ; S a ; S a 4 4; S 4 4 Orden de la figura (n) Número de puntos (S n ) 6 4 0 4 a n n; S n n n es el número de puntos que se necesitarán para la figura enésima..4 Observa la torre de cubos de la figura. Cuántos cubos se necesitan para construir una figura con 0 pisos? Y una figura con n pisos? Número de pisos (n) 4 Número de cubos (S n ) 6 5 8 5 9 S n S n a n n S 6 [4( )] n S 5 [4( )] [ 4( )] n 4 S 4 8 [4( )] [ 4( )] [ 4(4 )] S n [4( )] [ 4( )] [ 4(4 )] [ 4 (n )] De aquí se deduce que a n 4(n ). Como S n a a n n, entonces Sn 4(n ) n n n Para n 0, S 0 (0) 0 90
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE.5 Encuentra el término general de las sucesiones estudiando sus regularidades. a = a = 6 a = 9 b = b = 4 b = 9 c = c = 5 c = 9 a) a ; a 6; a 9; a 4 ;...; a n n b) b ; b 4; b 9; b 4 6;...; b n n c) c ; c 5; c 9; c 4 ;...; c n 4n.6 Completa el término que falta en cada sucesión. a) 8, 0,,, 6 c) 0,,, 9, b) 5,, 5, 0, 5 d) 5, 5, 5 9,, 5... 8 5 a) 4 b) 0 c) 6 d) 7.7 Dadas las sucesiones: a n 4n b n () n n c n n a) Escribe los cinco primeros términos de cada sucesión. b) Halla el término general de las sucesiones: (a n ) (b n ) (a n ) (b n ) (c n ) a n (b n c n ) a) a n 4n ; a ; a 5; a 9; a 4 ; a 5 7 b n () n n; b ; b 4; b 6; b 4 8; b 5 0 c n n ; c ; c 6; c ; c 4 8; c 5 7 b) a n b n 4n () n n a n (4n ) n 9 b n c n (() n n)(n ) () n n () n a n (b n c n ) (4n )(() n n n ) () n 8n 4n 8n 6n () n n 6.8 Escribe los cinco primeros elementos de las sucesiones que determinan, respectivamente, el número de triángulos rojos y azules. Rojos:,, 6, 0, 5 Azules: 0,,, 6, 0
.9 Escribe los diez primeros términos de la sucesión cuyo primer término es y los restantes términos se obtienen multiplicando por 5 y restándole al término anterior. a ; a 5 7; a 7 5 ; a 4 5 57; a 5 5 57 78; a 6 5 78 907; a 7 5 907 9 5; a 8 5 9 5 97 657; a 9 488 8; a 0 44 407.0 Construye las sucesiones recurrentes dadas por: a) a ; a n a n 4 c) a ; a ; a n 5a n a n b) a 6; a n a n d) a ; a ; a ; a n a n a n a n a),, 6, 0, 4, 8 c),,, 6, 97, 4, 6 88 b) 6, 8, 0,, 4, 6 d),,, 6,, 0, 7, 68, 5 Progresiones aritméticas. Estudia si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, halla el término general: a) 8, 4, 0, 4, 8 c), 9, 7, 8, 4 b),,,, 5... d),,,, a) a a a a... 4 d. Sí es una progresión aritmética. an 8 (n ) 4 4n b) b b b b... d. Sí es una progresión aritmética. bn (n ) n c) c c 6; c c 8 No es una progresión aritmética. d) d d d d... 0. Sí es una progresión aritmética. d n. Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética cuyo quinto término es 9 y la diferencia es. a 5 a (5 ) 9 a 9 7 a n 7 (n ) n 4. El dibujo representa las alturas de los miembros de una familia. Cuánto mide la madre?, y el hijo? d d d,80 m,5 m La sucesión formada por las alturas de los miembros de la familia es una progresión aritmética de diferencia d 0,5 m Altura de la madre,65 m; Altura del hijo,50 m..4 Halla el primer término de la progresión aritmética cuyo término vigésimo es 00 y la suma de los 0 primeros términos es 050. S 0 0 (a 00) 050 0a 00 a 5
.5 Al comienzo del año, Juan decide ahorrar para comprarse una consola de videojuegos. En enero mete en su hucha 0 euros y cada mes introduce la misma cantidad que el mes anterior y euro más. Cuánto dinero habrá ahorrado al finalizar el año? El año tiene meses. El dinero que introduce cada mes en la hucha es una progresión aritmética de d ; a 0 a 0 ( ) Dinero ahorrado S (0 ) 6 86.6 Cuántos términos de la progresión aritmética 4, 8,, 6 hay que tomar para que el resultado de su suma sea 0? a n 4 (n ) 4 4n S n n (4 a n ) 0 4n 4n 440 8n 440 n 55 es el número de términos..7 Las anotaciones obtenidas por las cinco jugadoras de un equipo de baloncesto están en progresión aritmética. Si el equipo consiguió 70 puntos y la máxima anotadora obtuvo 4 puntos, cuántos puntos anotaron las restantes jugadoras? S 5 5 (a 4) 70 5a 0 a 4 a 5 a (5 ) d 4 d 0 5 4 a 4; a 9; a 4; a 4 9; a 5 4 son las anotaciones de las jugadoras del equipo. Progresiones geométricas.8 Estudia si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, halla el término general. a),, 9,,... c) 4, 8,, 6, 0... 7 8 b),, 4, 8, 6... d) 5,, 9 5, 7 8,... 5 5 a) a a a a... r. Sí es una progresión geométrica; a n n n b) b b... r. Sí es una progresión geométrica; b b b n n n c) c c No es una progresión geométrica. c c d) d d d d... 5 r. Sí es una progresión geométrica; d n 5 5 n 5 n n.9 De una progresión geométrica sabemos que su cuarto término es 7 y que la razón es. Halla el primer término. 8 a 4 a r 7 a 8 7 a 8
.40 El primer término de una progresión geométrica es y la razón es 4. Qué lugar ocupa en la progresión el término cuyo valor es 07? a n 4 n 07 4 n 65 56 4 8 n 8 n 9.4 Calcula la suma de los 0 primeros términos de la progresión geométrica 6,, 7, 7....4 a 0 6 9 6 7 9 7 7 7 6 9 7; S 0 4 6 94,5 4 74 El cuarto término de una progresión geométrica es 5 y la razón es. Halla la suma de los 8 primeros términos. a 4 a r 7a 5 a 5 ; a 8 a r 7 5 6 8 5 S 8 a 8 5 5 8r a 8 000 7,v r.4 El radio de cada círculo es la mitad que el del anterior. cm.44 Calcula: a) El área del círculo que ocupa el quinto lugar. b) La suma de las áreas de los 6 primeros círculos de la sucesión. a) La sucesión de los círculos es una progresión geométrica de razón r ; a 5 b) La sucesión formada por las áreas de los círculos es una progresión geométrica de razón r 4. a 6 4 5 0 ; S 0 6 4 ( ) 4,8 cm () 4 0,0 cm. 8 Toma un folio y dóblalo por la mitad. Obtienes dos cuartillas que juntas tendrán un grosor doble del grosor del folio. Ahora dobla nuevamente las dos cuartillas y obtienes cuatro octavillas, con un grosor cuádruple que el del folio. Si la hoja inicial tuviera un grosor de 0, milímetros y fuese tan grande que pudieras repetir la operación 00 veces, qué grosor tendría el fajo resultante? a 00 0, () 99 6,4 0 8 mm
CUESTIONES PARA ACLARARSE.45 Qué nombre recibe la sucesión tal que cada término se obtiene del anterior sumándole una constante? Aritmética..46 Qué nombre recibe la sucesión tal que cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por una constante? Geométrica..47 La sucesión que resulta al multiplicar término a término dos progresiones geométricas es una progresión geométrica? En caso afirmativo, cuál es su razón? Sí lo es. a n a r Sean las progresiones geométricas: n de razones r y s, respectivamente. b n b s n a n b n (a b ) (r s) n es una progresión geométrica de razón r s..48 Puede existir alguna progresión geométrica que tenga todos sus términos negativos? Razona la respuesta. Sí existe, y la condición que ha de cumplir es que el primer término de la progresión sea negativo y que la razón sea un número positivo. Si a es negativo, entonces: 0 si r 0 a a r a 0 si r 0 Con r negativo, a a r será negativo, y así sucesivamente..49 Escribe los primeros términos de la sucesión de los números pares. Cuál es su término general?, 4, 6, 8, 0 Su término general es p n n..50 Escribe los primeros términos de la sucesión de los números impares. Cuál es su término general?,, 5, 7, 9 Su término general es i n n..5 Escribe los primeros términos de la sucesión suma de la sucesión de los números pares y la de los números impares. Cuál es su término general? ( p n ) (, 4, 6, 8, 0 ); (i n ) (,, 5, 7, 9 ); (s n ) (p n ) (i n ) (, 7,, 5, 9 ) Su término general es s n (n ) 4 4n..5 Qué puede decirse de una sucesión cuyo término general se puede expresar así?: a) a n a n 0 c) a n a n 0 b) a n a n 0 d) a n a n 0 a) a n a n 0 a n 0 0 a (n ) 0. Progresión aritmética con diferencia 0 b) a n a n 0 a n 0 0 a (n ) (0). Progresión aritmética con diferencia 0 c) a n a n 0 a n 0 0 a (0) n. Progresión geométrica con razón 0 d) a n a n a n a.... Progresión geométrica con razón 0 0 0 0 n 0
.5 Cómo es una sucesión aritmética de diferencia 0? Y una progresión geométrica de razón? Una sucesión aritmética de diferencia 0 es constante: a n a (n ) 0 a. Una progresión geométrica de razón también es constante: a n a n a..54 Cómo tiene que ser la razón de una progresión geométrica para que todos sus términos vayan cambiando alternativamente de signo? Negativa..55 Varios términos de una sucesión están en progresión aritmética. Qué propiedad cumplen los términos que estén a la misma distancia del primero y del último término? Sean los términos en progresión aritmética a, a,..., a n. Dos términos que estén a la misma distancia del primero y último término pueden ser a a d y a n a n d. La suma de ambos es igual a: a a n a d a n d a a n, es decir, la suma del primero y último término..56 Varios términos de una sucesión están en progresión geométrica. Qué le ocurre al producto de dos términos que estén a la misma distancia del primero y del último término? Sean los términos en progresión geométrica a, a,..., a n. Dos términos que estén a la misma distancia del primero y último término pueden ser a a r y a n a n r. El producto de ambos es igual a: a r a n a r a n, es decir, el producto del primero y último término.
PROBLEMAS PARA APLICAR.57 Averigua la posición que ocupan los términos 8 6, 7 y 4 en la sucesión cuyo término general es: 6 a n n 4. n n 4 8 n 6 6(n 4) 8(n ) n n 4 7 (n n 4) 7(n ) n 5 n 4 4 6(n n 4) 4(n ) n 7 6.58 Halla el término general de una progresión aritmética de la que se conocen a y a 7 8. a a 7 8 a d 4d 5 d 5 a 4 a 6d 8 (n ) 5 7 4 4 5 n 4 El término general es: a n.59 La progresión 6,, 6,,, 6, cuántos términos tiene? La sucesión es una progresión aritmética, ya que a a a a... 5 d. a n 6 (n ) 5 5n 6 5n 5 n 5 términos tiene la sucesión..60 Halla el término general de una progresión geométrica de la que se conocen a y a 5 4. a a r a r a 5 4 a r 4 4 El término general es: a n 4 n. r r 4 4 r 7 r a 4.6 Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de diferencia y su perímetro es de 5 centímetros. Cuánto miden los lados del triángulo? Tres términos en progresión aritmética de diferencia son de la forma: a k, a k, a k 4. Perímetro a k 6 5 a k 9. Las longitudes de los lados son, 5 y 7..6 Calcula la suma de todos los números de dos cifras que son divisibles por tres. Los múltiplos de tres forman una progresión aritmética: a n n. El primer término de cifras divisible por tres es a 4. El último número de cifras divisible por tres es a 99. La suma de los primeros términos de la progresión es S (a a ) (99 ) 68. A esta suma hay que restar la suma de los primeros términos: S 6 9 8. La suma pedida es S S 68 8 665.
.6 La suma de los términos segundo, tercero y cuarto de una progresión aritmética es, y la suma de sus términos tercero, cuarto y quinto es. Halla el primer término y la diferencia de la progresión. a a a 4 (a d) (a d) (a d) a 6d d 9 d a a a 4 a 5 (a d) (a d) (a 4d) a 9d.64 Cierta ONG ha construido un pozo para abastecer de agua potable a una población de Somalia. Su coste ha sido de 90 euros. Qué profundidad tiene el pozo si se sabe que el primer metro costó 5 euros y cada metro restante costó 4 euros más que el anterior? El coste de cada metro del pozo es una progresión aritmética con a 5 y d 4. a n 5 (n ) 4 4n. El coste del pozo es igual a la suma de los n primeros términos de la progresión: ( 4n 5) n S n 90 6n 4n 4 80 n n 90 0 n 0. La solución negativa no tiene sentido por tratarse de una longitud. El pozo tiene 0 metros de profundidad..65 La asociación de vecinos de un barrio realiza un rastrillo de venta de objetos usados cuya recaudación donarán a la gente necesitada del barrio. Cuánto dinero recaudaron a lo largo de una semana si las recaudaciones de cada día forman una progresión geométrica de razón y el primer día recaudaron 5 euros? El último día de la semana recaudaron a 7 a r 6 5 6 960. Para hallar cuánto recaudaron a lo largo de la semana hemos de calcular la suma de los siete primeros términos de la progresión: S 7 960 5 905..66 Calcula la suma de las áreas de los cuatro triángulos equiláteros de la figura sabiendo que el lado de cada uno es tres veces menor que el siguiente triángulo. h = 0,87 L L = 00 cm Las áreas de los triángulos forman una progresión geométrica de razón. Hallamos el área del primer triángulo. 9 a base altura L 0,87 L 4 50 cm, a 4 a r 4 50 cm 9 La suma de las áreas es la suma de los cuatro primeros términos de la progresión: 4 50 S 4 9 9 4 50 4 89,75 9
.67 Cuál es la diferencia entre la suma de los múltiplos de y la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 00 y 000? Los múltiplos de tres forman una progresión aritmética: a n n. Los múltiplos de cinco forman una progresión aritmética: b n 5n. Los múltiplos primero y último de tres buscados son: a 4 0 y a 999. Los múltiplos primero y último de cinco buscados son: b 05 y b 99 995. Las sumas de los y primeros múltiplos de tres son: S (99 ) 68 y S (999 ) 66 8 Las sumas de los 0 y 99 primeros múltiplos de cinco son: S 0 (00 5) 0 050 y S 99 (995 5) 99 99 500 La suma de los múltiplos de tres buscados: S S 66 8 68 65 50. La suma de los múltiplos de cinco buscados: S 99 S 0 99 500 050 98 450. La diferencia entre los múltiplos de tres y de cinco pedida es: 65 50 98 450 66 700..68 Calcula el área de la región coloreada teniendo en cuenta que el lado de cada cuadrado es la mitad del anterior. La sucesión de los catetos de los triángulos rectángulos es una progresión geométrica de razón r. Por otro lado, la sucesión de las áreas de los triángulos es una progresión geométrica con a y r 4. Finalmente, a 5 4 4 S 9 5 a 5r a 9 0,67 cm r cm.69 Los lados de un pentágono están en progresión aritmética, el lado mayor mide centímetros y el perímetro es de 40 centímetros. Calcula las longitudes de los lados del pentágono. Los términos de la progresión aritmética son: a k, a k d, a k d, a k d, a k 4d. Perímetro 5a k 0d 40 Lado a k 4d Los lados miden 4, 6, 8, 0 y cm. 5a k 0d 60 d a k 4 5a k 0d 40
.70 La presa de Assuán situada sobre el río Nilo, en Egipto, contiene 64 0 9 litros de agua el día del comienzo del verano. Teniendo en cuenta que cada día pierde el 0, % de su capacidad, cuántos litros contendrá tras haber pasado 90 días? Utiliza la calculadora. Progresión geométrica de razón r 0,00 a 90 64 0 9 0,998 89,7 0 litros.7 Interpolar m números entre dos números dados cualesquiera es hallar los m términos intermedios de una progresión aritmética cuyos primero y último término son los números dados. Interpola cuatro números entre el 0 y el 00. a 0; a 6 00 0 5 d d 8 a 8; a 46; a 4 64; a 5 8.7 Interpolar m medios proporcionales entre dos números dados cualesquiera es hallar los m términos de una progresión geométrica cuyos primero y último término son los números dados. Interpola dos medios proporcionales entre y 6. a ; a 4 6 a r r r 6 a ; a 4 4
REFUERZO Sucesiones y operaciones.7 Escribe los siguientes cinco términos de cada sucesión. a), 4, 8... b) 4,, 0 c) 9,,... a),,, 6 6 4 8, b), 4, 6, 8, 0 c), 9, 7, 8, 4 56.74 Dadas las sucesiones (a n ) (,, 5, 7...), (b n ) (, 4, 6, 8...), (c n ) (5, 0, 5,0...), halla: a) (a n b n ) b) (a n ) (c n ) c) (a n c n ) (b n ) a) (a n b n ) n n 4n b) (a n ) c n (n ) (5n 0) 4n 5n 0 n 8 c) (a n c n ) (b n ) (n 5n 0) n (n 9) n 6n 8n.75 Averigua cuál es el término que falta en las siguientes sucesiones. a), 4,, 6,... c) 7, 9,,,... b) 9, 6,,, d), 5,, 5 5, 65... a) 8 b) 0 c) d).76 Determina si los números,, 8 5, n son términos de la sucesión de término general a 7 n. n n n n n. Sí, es el segundo término. n n n (n ) n n. Sí, es el primer término. n 8 n 5 n. Sí, es el tercer término. n 7(n ) (n ) n 4. Sí, es el cuarto término. n 7.77 Halla los términos primero, décimo y vigésimo de cada sucesión. n a n n b n n a n n a ; a 0 0; a 0 40 b n n n b 5; b 0 ; b 9 0 6 9.78 Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones recurrentes. a) a ; a n a n b) a 5; a 5; a n a n a n a), 4, 6, 0, 8, 4 b) 5, 5, 5, 65, 45, 05, 65
Progresiones aritméticas y geométricas.79 Escribe el término general de cada progresión aritmética. a) 5,,, 7 b) 4, 7,, 5... a) a n 5 (n ) 4 4n 9 b) b n 4 (n ) 9 n.80 El sexto término de una progresión aritmética es 6, y la diferencia es igual a. Calcula: a) El valor del primer término de la progresión. b) La suma de los 0 primeros términos. a) a 6 a 5d 6 a 5 a 6 5 a 9 b) S 0 (a a0) 0 (9 8) 0 45.8 El número de donantes de sangre en un hospital el primer día de cierto mes fue de 0 personas. Si cada día el número de donantes aumentó en 7 personas, cuántas personas donaron sangre el último día del mes? El número de donantes es una progresión aritmética con a 0 y d 7. a a 0d 0 0 40 El número de donantes es la suma de los primeros términos: S (0 40) 4 85 donantes.8 Halla el décimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 4 y la suma de los 0 primeros términos es 55. S 0 (a a0) 0 (4 a 0) 0 55 4 a 0 7 a 0 67.8 Cuál es la suma de los múltiplos de 7 comprendidos entre y 00? Los múltiplos de siete forman una progresión aritmética: a n 7n El primer múltiplo de siete es a 7. El último múltiplo de siete menor que 00 es a 4 7 4 98. La suma buscada es S 4 (7 9 8) 4 75..84 Halla el término general de las progresiones geométricas. a),,, 5 7 5 75... b) 5,, 5,... 5 a) a n 5 n b) 5 n 5
.85 Calcula el primer término de una progresión geométrica cuyo tercer término es 9 y la razón es 8. a a r a 8 9 a 9 64.86 Halla cuánto vale la suma de los 0 primeros términos de la progresión geométrica:,, 4, 8, 6... La razón es: r a 0 9 La suma de los 0 primeros términos es: S 0 9 07 74 8.87 El tercer término de una progresión geométrica es 44 y la razón es 6. Qué posición ocupa dentro de la progresión el número 5 84? a a r a 6 44 a 44 4 6 Buscamos un n que verifique: a n 4 6 n 5 84 6 n 96 6 4 n 4 n 5
AMPLIACIÓN.88 Calcula... 9 0 El numerador es la suma de los 0 primeros términos de una progresión geométrica de razón 9 0... r 9 ( 0 ) 0 0.89 Halla el área de la figura sombreada. 4 m Los triángulos rectángulos de la figura son isósceles, con lo que los dos catetos son iguales. La sucesión de las áreas de los triángulos rectángulos es una progresión geométrica de razón 4 a 4 4 8; a 6 a r 5 8 4 5 4 8 La suma de las áreas es igual a la suma de los seis primeros términos de la progresión: 8 4 5 4 8 S 6 0,7 m 4 5 y cuyo primer término es:.90 Un reloj da tantas campanadas como indica la hora y además en las medias da una campanada. Halla el número de campanadas que da en un día. La suma de las campanadas que se dan a las horas en punto es el doble de la suma de los primeros términos de una progresión aritmética de diferencia y primer término: a : a a d ; S ( ) 6 78 S 78 56 campanadas a las horas en punto. Finalmente, como se da una campanada a las medias y el día tiene 4 horas, se dan 4 campanadas a esas horas; con lo que el número total de campanadas es de 56 4 80.
.9 En un cuadrado se inscribe un círculo. Sobre el círculo se inscribe un cuadrado, y se repite el proceso hasta obtener 0 cuadrados y 0 círculos. Si el lado del cuadrado inicial mide 4 centímetros, calcula: a) La suma de las áreas de los 0 círculos obtenidos. b) La suma de las áreas de los 0 cuadrados obtenidos. La sucesión formada por las áreas de los cuadrados es una progresión geométrica de razón r y a 6. La sucesión formada por las áreas de los círculos es una progresión geométrica de razón r y b 4. 6 9 6 a) La suma de las áreas de los cuadrados es S 0,97 cm 4 9 4 b) La suma de las áreas de los círculos es S 0 5, cm.9 La suma de los términos primero y tercero de una progresión geométrica es 0 y la suma de los términos segundo y cuarto es 0. Calcula el primer término y la razón de la progresión. a a a ( r a r a 0 0 ) 0 a a a r( r r a r a 4 0 0 ) 0 a 0 0 r a a r
PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.9 Los panales Las abejas construyen panales con formas hexagonales. El segundo hexágono que construyen lo hacen utilizando un lado del primero. A partir del tercer hexágono, lo construyen utilizando siempre dos lados de hexágonos ya construidos. Si se entiende como unidad de cera la cantidad de este material necesaria para construir un lado de un hexágono, se verificará que: Para construir un panal de una celda se necesitan 6 unidades de cera. Para construir un panal de dos celdas se necesitan unidades de cera. Para construir un panal de tres celdas se necesitan 5 unidades de cera. Cuántas celdas tendrá un panal que precisa de 5 unidades de cera para su construcción? A partir de n, un panal con n celdas precisa de 4n unidades de cera. 5 4n n 5 4 Por tanto, un panal de celdas precisará de 5 unidades de cera para su construcción.
AUTOEVALUACIÓN.A Construimos con palillos las siguientes figuras. Cuántos palillos se necesitan para formar una figura con n pentágonos? a 5; a 9; a ;...; a n 5 (n ) 4 4n.A Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. a) a n n 4n b) b n 4 n c) a 5; a n a n 8 a), 8, 7, 78, 57 b), 0, 5,, c), 7, 9, 79, 45.A En una progresión aritmética, el segundo término es 9 y el cuarto es 5. Calcula la suma de los 0 primeros términos. a a d 9 d 4 d a 7 a 4 a d 5 a 0 a 9d 7 9 45; S 0 (7 4 5) 0 50.A4 En una progresión geométrica el segundo término es y el quinto 4. Calcula la suma de los 8 primeros términos. a a r r (a r) 4 r 4 r 7 r a 4 a 5 a r 4 4 a 8 a r 7 4 7 8 748; S 8 8 748 4 0.A5 Los ángulos de cierto triángulo rectángulo están en progresión aritmética. Halla la medida de los ángulos. Ya que el triángulo es rectángulo, uno de sus ángulos es de 90 y los ángulos serían: 90 d, 90 d, 90. Suma 90 d 90 d 90 80 70 d 80 d 0 Los ángulos son: 0, 60, 90.
.A6 Halla la suma de las áreas de los cuatro cuadrados de la figura, sabiendo que el lado de cada uno es cuatro veces mayor que el del siguiente cuadrado. m Las áreas de los cuadrados forman una progresión geométrica de razón r y a 6 4. a 4 a r 4 6 4 6 4 5 La suma de las áreas de los cuatro cuadrados es la suma de los cuatro primeros términos de la progresión geométrica: 4 4 5 6 S 4 4,7 cm 6.A7 La suma de los dos primeros términos de cierta progresión geométrica es igual a y la suma de sus dos términos siguientes es igual a 4. Calcula la suma de los primeros 6 términos de esta progresión. a a r a ( r) a a (r r r a r 4a ) 4 4 r r r 4r 4 0 r y r r r (r no da una solución coherente). r a a 6 a r 5 () 5 5 S 6 a 6r a 6 r 6 r a a 6 a r 5 5 S 6 a 6r a 6 r Para ambos valores de r sale la misma solución..a8 La suma de las edades de cuatro hermanos es igual a 8 años y la diferencia entre el pequeño y el tercero es de años. Averigua la edad de cada hermano sabiendo que las edades están en progresión aritmética. a a a d a d d,5 S 4 8 a a d a d a d 4a 6d 4a 9 8 4a 9 a 7,5 Las edades de los cuatro hermanos son de 7,5, 8,75, 0,5 y,75 años..a9 Calcula el número de términos de la siguiente sucesión: 7, 4, 8, 56,, 896. La sucesión es una progresión geométrica, ya que: a a... r. a a an a r n 896 7 n 8 n 7 n n 7 n 8. La sucesión tiene 8 términos.
.A0 Halla el término general de una progresión aritmética cuyo tercer término es y el quinto es. a a d d 8 d 4 a 5 a 5 a 4d El término general buscado es: a n 5 (n ) 4 4n..A Halla el término general de una progresión geométrica que verifica que a 5 y a 4 5. a a r 5 a r (r ) 5 5r 5 r 9 r y r a 4 a r 5 Si r a 5 a n 5 () n Si r a 5 a n 5 n