Regla de los cuatro pasos La derivada de una función también se puede obtener como el límite del cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos. f ( ) lím 0 f ( ) f ( ) El procedimiento en este caso consiste en los pasos siguientes: 1. Se da un incremento, a la variable independiente Se obtiene el incremento correspondiente a la función f ( ) f ( ) 3. Se obtiene el cociente de los incrementos 4. Se calcula el límite del cociente de incrementos y esto proporciona la derivada de f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lím 0 En la aplicación de esta regla, además de las operaciones de factorización que ya recordamos, será necesario utilizar el desarrollo de binomios como: ( a b) a ab b ( a b) a 3a b 3ab b 3 3 3 4 3 4 ( a b) a 4a b 6a b 4 ab b,etc Y también recordar cómo racionalizar el numerador o denominador de una fracción. Veamos otros ejemplos para obtener la derivada de una función, aplicando esta definición de la regla de los cuatro pasos. - 38 Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
Ejemplo 14 Obtén la derivada de la función f ( ) 5 10 1. Damos un incremento a, Obtenemos el incremento de la función f ( ) f ( ) 5( ) ( 5 ) 5 5 5 5 3. Obtenemos el cociente de incrementos 4. aplicamos el límite Por lo tanto, f ( ) 6 lím ( 6) 6 0 f ( ) f ( ) 5 5 y de Ejemplo 15 Obtén la derivada f ( ) 5 13 3 f() 1. Damos un incremento a y obtenemos el incremento correspondiente a f ( ) f ( ) 5( ) 13( ) 35 13 3 Obtenemos el cociente de incrementos 1. 5( ) 13( ) 3 (5 13 3) Desarrollamos el binomio al cuadrado y eliminamos paréntesis Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio - 39
5( ) 13 13 35 13 3 Simplificamos el 13 y el -3 5 10 5 13 5 10 5 13 10 513 Calculamos el límite de la epresión anterior, para obtener la derivada 10 513 lím 10 13 0 Por lo tanto, f ( ) 10 13 Ejemplo 16 Obtén la derivada de 3 f ( ) 6 7 11 1. Damos inicialmente un incremento a y obtenemos el incremento correspondiente a f() f f 3 3 ( ) ( ) ( ) 6( ) 7( ) 11 ( 6 7 11) Obtenemos el cociente de incrementos 3. f f 3 3 ( ) ( ) ( ) 6( ) 7( ) 11 ( 6 7 11) Desarrollamos los binomios 3 3 3 ( 3 3 ) 6( ) 7 7 11 6 7 11 simplificamos términos semejantes 3 6 6 1 6 7 Dividimos todos los términos entre 4. 0 y aplicamos el límite lím 6 6 1 6 7 6 1 7-40 Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
Finalmente, la derivada de f f 3 ( ) 6 7 11 es ( ) 6 1 7 Ejemplo 17 Obtén la derivada de 11 4 7 3 f ( ) 1. Calculamos el incremento de f() al incrementar la variable 11 11 4 7 3 f ( ) f ( ) ( ) 7( ) 4 3. Obtenemos ahora el cociente de incrementos 11 4 7 3 11 4 7 3 ( ) ( ) f ( ) f ( ) Desarrollamos los binomios a la cuarta y al cubo para después simplificar términos semejantes 11 3 4 7 3 3 11 4 7 3 ( 4 6 4 ) ( 3 3 ) 66 11 7 11 11 7 7 4 3 3 4 3 4. Ahora dividimos cada término entre 0 y aplicamos el límite 33 11 7 lím 11 11 7 7 11 7 3 3 3 Por consiguiente, la derivada de 11 7 f ( ) es f ( ) 11 7 3 Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio - 41
Ejemplo 18 Obtén la derivada de 5 f ( ) 11 6 1. Nuevamente, iniciamos obteniendo el incremento de la función, al incrementar a la variable f f 5 5 ( ) ( ) 11 ( ) 6( ) (11 6 ) 3. Obtenemos ahora el cociente de los incrementos f f 5 5 ( ) ( ) 11 ( ) 6( ) (11 6 ) Desarrollamos los binomios 11 ( ) 6( 5 10 10 5 ) 11 6 5 3 4 5 5 Eliminamos paréntesis y simplificamos términos semejantes 4 30 60 60 30 6 3 4 5 Dividimos por Δ y aplicamos el límite 4. lím 4 30 60 60 30 6 4 30 0 3 4 4 Por lo tanto, la derivada de f ( ) 11 6 5 es f ( ) 4 30 4 Ejemplo 19 Obtén la derivada de f ( ) 3-4 Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio
1.Obtenemos el incremento de f() al incrementar f ( ) f ( ) 3 ( 3 ) 3. Obtenemos ahora el cociente de los incrementos f ( ) f ( ) 3 3 Multiplicaremos, tanto numerador y denominador, por el binomio conjugado del numerador para racionalizar éste 3 3 3 3 9( ) 9 9 9 9 = 3 3 ( 3 3 ) ( 3 3 ) Simplificamos y aplicamos el límite 9 9 3 4. f ( ) lím 0 3 3 6 3 Por consiguiente, la derivada de f ( ) 3 es f ( ) Ejemplo 0 Obtén la derivada de la función f( ) 8 1. Incrementamos y obtenemos el incremento de f( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) 8( ) 8 Debemos obtener el denominador común al sumar las fracciones ( ) 8( ) ( 8 ) ( ) 8( ) ( 8 ) ( )( 8 ) ( ) 8( ) ( )( 8 ) ( ) 8 8 Desarrollando los productos en el numerador, se obtiene Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio - 43
3 3 8 8 ( ) 8 8 ( ) 8( ) ( 8 ) Simplificamos términos semejantes en el numerador, tendremos ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) 3. Ahora obtenemos el cociente de los incrementos y simplificamos ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) f ( ) f ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) 4. Calculamos el límite cuando tiende a cero de éste último cociente lím ( ) 8( ) ( 8 ) 0 ( 8 )( 8 ) ( 8 ) Y éste último resultado es la derivada de la función f( ) 8 Ejercicio 4 Obtén la derivada de las siguientes funciones utilizando ya sea el límite de Fermat o la regla de los cuatro pasos y después calcula la pendiente de la tangente a la curva en el punto que se indica 1. 3. 4. f 3 ( ) 6,en 1 f 3 3 ( ) 4,en 3 f 3 ( ) 6,en 1 f ( ) 4,en 4 5. f ( ) 4 7 1,en 3 6. 5 f ( ), en 3 4-44 Unidad La Derivada: Estudio de la variación y el cambio