Soluciones Óptimas y Aproximadas para Problemas de Optimización Discreta Guía Docente Master Oficial en Planificación y Gestión de Procesos Empresariales Universitat de València
Datos del Curso Nombre de la asignatura Soluciones Óptimas y Aproximadas para Problemas de Optimización Discreta Carácter Obligatorio Titulación Master Oficial en Planificación y Gestión de Procesos Empresariales Departamento: Estadística e Investigación Operativa Profesores responsables Angel Corberán Salvador
Introducción La Optimización Discreta, o Programación Lineal Entera, consiste básicamente en resolver problemas de optimización con variables enteras. Tales variables se usan para modelizar cantidades indivisibles y representar decisiones del tipo sí/no para comprar, invertir, alquilar, construir, etc. Estos problemas se encuentran entre los modelos más utilizados en Investigación Operativa y Gestión Empresarial porque surgen en una gran variedad de contextos y situaciones. Por ejemplo en la obtención de horarios para trenes o aviones, en la planificación del trabajo en una línea de producción o de un equipo de mantenimiento, o determinando las rutas que una flota de vehículos debe realizar para servir a sus clientes. En esta asignatura prestaremos especial atención a los aspectos relacionados con la formulación y construcción de estos modelos y a su resolución.
Volumen de Trabajo Cada sesión semanal es de 3 horas y se divide en dos bloques de 2 horas y 1 hora, respectivamente. El primer bloque de 2 horas se dedica a la descripción de contenidos por parte del profesor y el segundo a su consolidación y manejo, bien haciendo prácticas en aula de informática o resolviendo manualmente problemas y cuestiones. El curso se desarrolla en 15 semanas de clase. Asistencia a clases teóricas: 2 hora/semana Asistencia a clases prácticas de problemas: 1 hora/semana Preparación de trabajos: 25 horas Estudio-preparación clases de teoría: 0,5 horas Preparación de clases de problemas: 1 hora/semana Preparación de la exposición del trabajo: 5 horas Exposición de trabajo de curso: 3,5 hora Asistencia a tutorías: 7,5 horas Charlas de profesores invitados: 4 horas
Tabla Horas / Trabajo ACTIVIDAD Horas/curso ASISTENCIA A CLASES TEÓRICAS 30 ASISTENCIA A CLASES PRÁCTICAS 15 PREPARACIÓN DE TRABAJOS 35 ESTUDIO PREPARACIÓN CLASES 7,5 PREPARACIÓN PROBLEMAS 15 ESTUDIO PREPARACIÓN DE EXÁMENES 5 REALIZACIÓN DE EXÁMENES 3,5 ASISTENCIA A TUTORÍAS 7,5 ASISTENCIA A SEMINARIOS Y ACTIVIDADES 4 TOTAL VOLUMEN DE TRABAJO 112,5
Objetivos Proporcionar los conocimientos y las herramientas necesarias para que los titulados puedan analizar, plantear y resolver los problemas de optimización discreta que aparecen en la planificación y control de la producción, logística y otros. Para ello, introduciremos la terminología y aspectos básicos de la Teoría de Grafos, que serán de gran utilidad en la modelización y resolución de problemas reales relacionados con redes (de carreteras, calles, distribución, comunicaciones, etc.) También complementaremos las nociones que sobre modelización y resolución de problemas difíciles de optimización discreta se han adquirido previamente. Aunque el objetivo principal es dotar al estudiante de las herramientas básicas con las que formular y resolver problemas de estos tipos, un segundo objetivo trata de que su conocimiento en estos campos sea lo suficientemente sólido para que, aquellos que así lo deseen, puedan abordar en una etapa posterior una formación dirigida a la investigación.
Contenidos Comenzamos introduciendo los problemas de Optimización Discreta y su complejidad, haciendo especial hincapié en la dificultad de su resolución y, como contraposición a lo que sucede en Programación Lineal, en la no existencia de un método eficiente de resolución. Se hace necesario, por tanto, justificar la necesidad de su estudio. En este sentido mostramos cómo en muchas circunstancias es necesario el uso de variables enteras y su enorme potencial para modelizar condiciones lógicas o no lineales. A continuación presentamos algunos de los problemas de Optimización Discreta más estudiados y de mayor aplicación práctica como los de Localización de Servicios y del Viajante y comentamos algunas de sus características y aplicaciones. Como a menudo poder resolver o no estos problemas depende de su formulación, presentamos diversas técnicas que permiten mejorar la formulación de un problema y hacer así más fácil encontrar su solución óptima. Es entonces el momento de hablar de los métodos generales de resolución exacta de estos problemas, basados fundamentalmente en la utilización de los árboles de enumeración y el uso de cotas inferiores (obtenidas generalmente resolviendo problemas de Programación Lineal) o en los algoritmos de planos de corte. Se describe la aplicación de estos procedimientos tanto a problemas sólo con variables enteras como a aquellos que están planteados con variables enteras y continuas. Las últimas técnicas propuestas de resolución exacta, basadas en la combinación de las dos metodologías anteriores, son también comentadas aquí, así como algunas técnicas de resolución aproximada y su utilización en algunos problemas concretos. La última parte de la asignatura está dedicada a introducir los grafos (o redes) y describir las posibilidades que a la hora de modelizar y resolver ciertos problemas nos ofrecen. También presentaremos algoritmos de resolución para problemas tan importantes como los de caminos más cortos o de conectividad en redes.
Contenidos TEMA 1: Introducción a la Optimización Discreta. Necesidad de las restricciones de integridad. TEMA 2: Problemas estructurados y modelos asociados: (i) Problemas de la Mochila, Asignación Generalizada y Asignación Cuadrática, Cubrimiento, Empaquetamiento y Particionamiento; (ii) Problemas de Localización de Servicios y Problema del Viajante. TEMA 3: Reforzamiento de una formulación. Desigualdades de cubrimiento y su separación. TEMA 4: Métodos de resolución basados en ramificación y acotación. TEMA 5: Métodos de resolución basados en planos de corte para problemas enteros puros y mixtos. TEMA 6: Otros métodos de resolución exacta y aproximada: métodos de de ramificación y corte y algoritmos heurísticos. TEMA 7: Introducción a la Teoría de Grafos. Definiciones y conceptos básicos y ejemplos. TEMA 8: Problemas básicos de Teoría de Grafos. Caminos más cortos. Conectividad. Árboles.
Destrezas y Habilidades Pretendemos que el estudiante sea capaz de formular problemas y resolverlos, utilizando el ordenador y códigos comerciales, pero al mismo tiempo conociendo bien las bases teóricas en las que se apoyan los algoritmos de resolución. Mayor capacidad de análisis y sistematización. Trabajo en equipo.
Temario Tema Título y contenido Horas 1 Introducción a la Optimización Combinatoria 4 2 Problemas y modelos estructurados 4 3 Reforzamiento de una formulación 6 4 Métodos de resolución basados en ramificación y acotación 5 Métodos de resolución basados en planos de corte 7 6 Otros métodos de resolución exacta y aproximada 6 7 Introducción a la Teoría de Grafos 3 8 Problemas básicos de Teoría de Grafos 9 6
Bibliografía Bibliografía básica: 1.- Christofides, N.: Graph Theory: An Algorithmic Approach. Academic Press 1975. 2.- Williams, H.: Model Building in Mathematical Programming. Wiley 1990. 3.- Wolsey, L.: Integer programming. Wiley Interscience 1998. Bibliografía complementaria: 1.- Cunningham, K. and Schrage, L.: Manual del Lingo. LINDO Systems Inc. 1990. 2.- Garfinkel, R. and Nemhauser, G.: Integer Programming. Wiley Interscience 1972. 3.- Papadimitriou, C. and Steiglitz, K.: Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Prentice Hall 1982. 4.- Williams, H.: Model Solving in Mathematical Programming. Wiley 1993. 5.- Wilson, R. and Watkins, J.: Graphs: An Introductory Approach. Wiley 1990.
Metodología En las clases de tipo teórico primará la clase magistral, mientras que en las clases prácticas se potenciará el trabajo y la discusión en equipo. En ambos casos se procurará la intervención activa del estudiante mediante preguntas y comentarios sobre los contenidos y sus implicaciones.
Evaluación Se evaluará la realización de una colección de problemas y cuestiones, que son propuestos periódicamente por el profesor. Al final del curso se realizará también un examen de problemas con ordenador y otro escrito de cuestiones y problemas.