Capítlo 3: Desaollo del poama. COMPENSACIÓN DEL RADIO. Intodccón Los pntos tomados dectamente po palpacón sobe la spece de la peza en cestón no son pntos eales de dcha spece, ya qe el pnto ecodo tene las coodenadas del cento de la esea de la sonda, especto al sstema de eeenca dendo. Tal sstema de eeenca pede establecese pevamente a la ncacón de la toma de pntos, peo s no se dene nnno, el sstema de eeenca con el qe se opeaá seá el anteomente tlzado en otas medcones. Es convenente, po ello, den nada más aanca el sstema de contol TUTOR los ceos del sstema de eeenca qe se tlzaán. Tenemos qe el pnto se tomaá especto al ceo coespondente al ceo del sstema de coodenadas, peo no es n pnto de la spece palpada debdo a qe altaía compensa el ado de la pnta de la sonda tlzada. El dámeto de esta sonda se pede med con ayda del sstema TUTOR y apovecha el esltado obtendo paa compensa el ado.. Compensacón del ado Cando hablamos de compensa el ado, qeemos dec qe el ado de la pnta de la heamenta debe se tlzado de alna oma paa halla el pnto qe ealmente petenece a la spece. S se conocea el pnto de contacto ente la spece y la esea de bí, se podía calcla sn poblemas el pnto eal de la spece a pat de las coodenadas del cento de la esea de la sente oma: Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 9
Compensacón del ado Fa..- Esea en plano nclnado. Llamando a las coodenadas del pnto tomado x,y=,, al ado de la esea, ala al ánlo omado po la ecta qe ne el cento de la ccneenca con el pnto de tanenca y el eje Y y beta s complementao tal qe =9º-, se pede obtene áclmente el pnto de tanenca ente el plano y la ccneenca s el ánlo y el ado son conocdos. De esta oma los pntos petenecentes al plano seán de la oma: +sen,-cos Lamentablemente estos ánlos son desconocdos y sólo se conoce el valo del ado, de modo qe el método de cálclo tlzado no es el expesto. Se ealzan nos cálclos con el n de apoxma ese pnto de contacto ente la ccneenca y la spece. En esos cálclos se tlza nomacón acltada po otos pntos seún sea el pnto consdeado. Es dec, paa los pntos ncal y nal se tlza n método y paa los pntos ntemedos oto método. Paa los pntos nco, P,, y nal, P n n, n con nnúmeo de pntos, se tlza la nomacón de los dos pntos posteoes y anteoes espectvamente mentas qe paa los pntos ntemedos, P, se haá so de la nomacón de los pntos anteo y posteo al consdeado. A contnacón descbemos con más detenmento los métodos tlzados seún el pnto qe se consdee sea el pnto ncal, nal o pnto ntemedo..3 Pnto ncal y nal Paa los pntos ncal y nal se tlza el msmo método. Este se basa en la sente dea: tlzando los dos pntos sentes, P, y P,, al ncal, P,, se halla el cento de la ccneenca, P c c, c, qe pasa po esos tes 9 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM
Capítlo 3: Desaollo del poama pntos dado qe na ccneenca pede se denda eométcamente po tes pntos de la sente oma: Fa..- Ccneenca qe pasa po 3 pntos Sean los tes pntos dados A, B y C de la a anteo, se ne, po ejemplo, el pnto B con los pntos A y C y se constyen las medatces AB y BC, las cales pasaán po los pntos medos M y N de los msmos. Estas medatces se cotan en el pnto O, el cal, po petenece a la medatz GF del semento BC, eqdsta de los pntos B y C, y po petenece a la medatz DE del semento AB, eqdsta de los pntos A y B. Eqdsta de los tes pntos tomados, y tomándolo como n cento y con n ado al a OA, se pede taza na ccneenca, la cal pasaá po los tes pntos dados. En nesto caso, la ccneenca pasaá po los centos de la esea y sevá de ayda paa detemna apoxmadamente el pnto de tanenca, dando como esltado na cva ccneenca qe tendá más ado canto más alneados estén esos tes pntos dato. En el caso límte de qe tales pntos estvean alneados, la ccneenca tendá ado nnto. Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 93
Compensacón del ado Fa.3.- Ccneenca qe pasa po tes pntos no alneados Paa pode hace esto es necesao conoce na see de elementos qe ntevendán dante el desaollo como son los vectoes qe nen los centos de las ccneencas, las medatces de dchos vectoes, las coodenadas del cento de la ccneenca qe pasa po los 3 pntos, las coodenadas de los pntos meddos tanto el ncal como los dos sentes y otos qe se án ntodcendo conome se vayan necestando. Geométcamente el poceso a se es el qe se mesta a contnacón a alta de epesenta los sementos otoonales qe pasan po el pnto medo de los vectoes qe nen P con P y P con P, así como tambén el pnto cental P c c, c : Fa.4.- Pnto ncal y sentes La nomenclata qe tlzaé es: el pnto ncal es llamado P x,y = P,, el vecto qe ne el pnto P con P lo llamo Y y el vecto qe ne P con 94 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM
Capítlo 3: Desaollo del poama P es Y. Las ectas pependclaes a los sementos Y e Y y qe pasan po las medatces de estos daán como esltado el cento de la ccneenca bscada cando ambos sementos se ntesecconen: Fa.5.- Medatces en amallo a los sementos Y e Y en vede Fa.6.- Cento de la ccneenca P c x c, y c = P c c, c qe pasa po los tes pntos esltado de la nteseccón de ambas medatces Al podcse tal nteseccón, se conoceá las coodenadas del pnto P c. Gacas a ese pnto, se pede detemna el vecto decto de la nón de P con P c llamado v: v P P c c, c De este modo, el pnto A bscado vendá dado po: A P v, Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 95
Compensacón del ado 96 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM Fa.7.- Cento de la ccneenca Hasta aqí se ha expesto la explcacón áca paa conse detemna el pnto bscado A. A contnacón se explcaá la oma matemátca de opea, necesaa paa mplementa en el poama la compensacón. Sabemos qe en na ecta de la oma y=mx+b, o expesado tambén de la oma =m+b, la pendente vene dada po el paámeto m= t y qe na ecta se pede detemna conocendo dos de los pntos po los qe pasa. De este modo, la ecta qe ne los pntos P, y P, la llamaemos R = y a la ecta qe ne los pntos P, y P, la denomnaemos R =. De este modo R seá: R Y R seá: R Conocdas las pendentes de estas ectas, podemos halla s pependcla hacendo la nvesa neatva de la pendente anteo. Llamo a la ecta pependcla a R como R qe vendá dada po: R cte
Capítlo 3: Desaollo del poama Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 97 Análoamente, la ecta otoonal a R es R, qe tendá la oma: ' cte R donde ctecte. Peo qeemos qe esa ecta pependcla pase po el pnto medo qe ne dchos pntos. Estos pntos medos, llamados M y N en la a 7, tendán po coodenadas: ª ecta, ª ecta, Qeemos qe las ectas pependclaes pasen po dchos pntos medos, de modo qe tendemos qe calcla el valo de las constantes paa ambos casos. Paa la pmea ecta: cte R y M,, lo qe nos lleva a: cte. La pmea ecta pependcla a R y qe pasa po el pnto medo qe ne P con P es: R Realzando el msmo pocedmento paa la senda ecta, obteno qe: ' cte. Reslta na ecta de la oma: R La nteseccón de las ectas R y R daán el cento de la ccneenca qe pasa po los tes pntos dados. Ialando dchas ectas:
Compensacón del ado 98 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM La coodenada c seá el esltado de despeja en la ecacón anteo: c Ssttyendo en R qeda la coodenada y c como: c Leo, el vecto qe ne el pnto ncal con el cento me da na apoxmacón a la deccón donde se encenta el pnto de nteseccón ente la esea y la spece. El pnto bscado A =P + v. En coodenadas se expesa como:,,, c c A Se pede expesa la ecacón anteo en componentes de la sente oma: Paa el pnto nal se hace n desaollo smla, salvo qe tendemos qe consdea los dos pntos anteoes, esltando n pnto nal A n de la oma:,,, n c n c n n n A sendo n el últmo pnto palpado.
Capítlo 3: Desaollo del poama.4 Pntos ntemedos Deno pntos ntemedos como aqellos qe se stúan ente el ncal y el nal, es dec, pntos P tales qe paa n ntevalo I a,b=p,p,...p n con a=p y b=p n exste n- pntos ntemedos tal qe P < P <P n =,,...,n-. Esta dencón da pé a ntodc el método sado paa compensacón del ado en este caso. Debdo a la poscón de tales pntos, es posble tlza la nomacón acltada po los pntos anteo y posteo, llamados P - y P + espectvamente. Se opeaá de la sente oma: se hallaá el vecto v -,+ = P + - P -. Spondemos qe tabajamos en el msmo plano qe paa el caso anteo XY, de oma qe P + = +, +, P - = -, - y el vecto v -,+ = + - -, + - -. El vecto pependcla es v -,+, = + - -, - - +. Una vez qe tenemos la deccón otoonal al vecto qe ne los pntos anteo y posteo, calclamos el módlo de v -,+, paa obtene n vecto ntao. Tal vecto ntao seá: v, Tenendo en centa qe qeemos compensa el ado en P, el pnto apoxmado stado en la spece se obtendá aplcando el sente alotmo: Pesto en componentes qeda: A P v =,,...,n- Gácamente: Fa.8.- Pntos ntemedos Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 99
Compensacón del ado Se pede apeca qe el pnto consedo A no concde exactamente con el pnto de nteseccón de la esea con la spece, lo qe enea n eo qe se veá a contnacón. No obstante, la pecsón conseda con este método es scente paa nesto popósto..5 Notas sobe los eoes Los cálclos nmécos qe se eectúan con na calcladoa o comptadoa no son ales a los qe se ealzan en el áleba tadconal. En la atmétca comptaconal estánda de pnto lotante expesones como +=4 o 4 =6 son vedadeas mentas qe otas como 3 =3 no lo son. Paa entende esto hay qe al mndo de la atmétca de dítos ntos. En el mndo matemátco tadconal pede habe númeos con na cantdad nnta de dítos no peódcos. La atmétca qe empleamos en este mndo dene 3 como el únco númeo postvo qe cando se mltplca po sí msmo podce el enteo 3. Sn embao en el mndo de la comptacón todo númeo epesentable tene sólo n númeo jo y nto de dítos. Pesto qe 3 no tene na epesentacón de dítos ntos, en el nteo de la comptadoa se le da na epesentacón apoxmada cyo cadado no seá exactamente 3, anqe estaá lo bastante ceca al 3 paa eslta aceptable en cas todos los casos. Cas sempe la epesentacón y atmétca comptaconales son satsactoas y pasan nadvetdas o sn poblemas. Peo no sempe es así. Esto nos lleva a comenta el eo de edondeo. El eo de edondeo se da cando samos na comptadoa paa eecta cálclos con númeos eales. El eo se poqe las opeacones atmétcas ealzadas en na máqna nclyen exclsvamente númeos ntos de dítos, de manea qe los cálclos se llevan a cabo con epesentacones apoxmadas de los númeos eales. En na comptadoa común, sólo n conjnto elatvamente peqeño de númeos eales se tlza paa epesenta a todos estos númeos. El sbconjnto qe contene úncamente númeos aconales, tanto postvos como neatvos, y almacena na pate acconaa se llama mantsa, jnto con na pate exponencal conocda como caacteístca. Exsten tambén los deectos llamados sbljo y speljo o desbodamento. Los númeos de los cálclos qe tenen na mantd meno a na dada podcen los qe comúnmente se llama sbljo y selen dáseles el valo de ceo. Los númeo mayoes qe na mantd dada podcen n speljo e ntempen los cálclos. Los cálclos atmétcos qe se ealzan en las mcocomptadoas deen de los qe se eectúan en mcocomptadoas. En 985, el IEEE Insttte o Electcal and Electonc Ennees pblcó n nome ttlado Noma de la atmétca bnaa Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM
Capítlo 3: Desaollo del poama de pntos lotante754-985. En él se especcaban los omatos de la pecsón smple, doble y extendda; los abcantes de comptadoas tlzan estas nomas. El so de númeos bnaos tende a cancela los poblemas comptaconales qe sen cando todos los númeos eales se epesentan po medo de n conjnto nto de númeos de máqna. Estos númeos de máqna están epesentados en la oma nomalzada de pnto lotante: d d...d k n, d 9, d 9, paa cada =,...,k. A los númeos de esta clase se les llama númeos de máqna decmales. Podemos nomalza calqe númeo eal postvo y paa convetlo en: y= d d...d k d k+ d k+... n En esmen, los eoes de edondeo peden se my andes a menos qe se tomen cetas pecacones. Una manea de edc este eo es mnmza la cantdad de opeacones. Ota técnca es emplea el modo de doble pecsón a n de compoba los esltados. En eneal, el eo de edondeo es mpedecble, dícl de analza y no lo menconamos en el análss de eoes así como tampoco en el análss de eoes qe se ealzaá paa la ntepolacón. Nos centaemos en la nvestacón de eoes ntodcdos al sa na ómla o alotmo paa calcla los valoes apoxmados de la solcón..6 Eoes en pnto ncal y nal Al ealza la compensacón del ado, se cometen eoes. Es necesao evala estos eoes paa cantca la exacttd del esltado obtendo. Al tatase de meddas ndectas, tlzamos la ley de popaacón de vaanzas. S expesón, paa na ncón =x,x,...x,...x n donde x son las vaables de las qe depende tal ncón, es: j x U sendo con k acto de ecbmento y U la ncetdmbe asocada. k El acto k sele tene dos valoes caacteístcos: y 3. Nomalmente se tlza cando se conozca la pecsón y 3 en caso contao. Tenendo en centa el desaollo anteo paa halla el pnto apoxmado A,, tenemos qe la coodenada se expesa como: Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM
Compensacón del ado Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM I leo =,,,,,,. Aplcando la ley de popaacón de vaanzas se obtene: Smplcando la expesón I, obteno: con. k U y. k U '. Opeando, se obtenen los sentes esltados:
Capítlo 3: Desaollo del poama Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 3 Con todas las devadas pacales, se halla y sponendo n acto de ecbmento de 3, la ncetdmbe asocada seá: 3 U Paa la coodenada, qeda: leo =,,,,,,. Aplcando la ley de popaacón de vaanzas:
Compensacón del ado 4 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM.5 con. k U,. k U ' y ya calclado..7 Eoes en pntos ntemedos En el caso de pntos ntemedos, no podemos pede de vsta el desaollo ealzado en la seccón 8.4. Se desaolló na oma de apoxma el pnto bscado sobe la spece, en patcla se obtvo qe v P A =,,...,n-. Sponamos qe el plano de tabajo es oto deente al tlzado hasta ahoa, po ejemplo, el plano YZ. Los pntos consdeados se denotaán po P + = +, +, P - = -, - y P,. Las coodenadas del pnto A, se peden expesa como: = +n y = +n. Tenendo en centa las componentes de n y n se obtene paa la pmea coodenada qe: = -,, +,, -, + Aplcando la ley de popaacón de vaanzas antes expesta:
Capítlo 3: Desaollo del poama Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 5 Desaollando: 3 3 3 3 La sente coodenada se pede expesa como: De oma explícta: = -, +,, -, +, Aplcando la ley de popaacón de vaanzas qeda: Desaollando: 3
Compensacón del ado 6 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 3 3 3.8 Complementacones Con el popósto de oece na nomacón más completa se nclye en el cálclo de eoes de compensacón, los valoes máxmos y mínmos de estos, así como la desvacón típca de los eoes de compensacón paa los ejes en los qe se tabaja dante la medcón. La desvacón típca se obtene aplcando la sente ómla: n x x s con n el númeo de pntos tomados en la medcón. Esta nomacón ayda a ve mejo los eoes cometdos. Adconalmente se nclyen ácos qe mestan los eoes de compensacón en cada pnto, vaando ente el máxmo y el mínmo calclado. Los ácos coesponden a los dos ejes en los qe se ealza la medcón. Fa.9.- Eoes de compensacón
Capítlo 3: Desaollo del poama Po últmo dec qe la ncetdmbe de la medda no es po lo tanto ja, sno qe pede vaa con el tamaño del objeto qe se mde. Canto mayo sea el objeto, tanto más boosos seán los pomenoes de s estcta. No oce al en la vda odnaa, donde la mpecsón de la medda, ndependentemente del tamaño del objeto, depende solo de cán nas sean las sbdvsones de nesta ela. Es como s nesta eleccón de qé se va a med aectase a la estcta nal del espaco tempo. Fa..- Matz de compensacón Fa..- Pantalla pncpal de eoes de compensacón Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM 7
Compensacón del ado Fa..- Pantalla completa de eoes de compensacón 8 Inteacón de máqnas meddoas po coodenadas en entonos CAD/CAM