APUNTES DE SISTEMAS DE CONTROL R. P.

APUNTES DE SISTEMAS DE CONTROL R. P. Ñeco O. Reinoso N. García R. Aracil Elche, octubre, 2003

II

Índice general Índice de Figuras Índice de Tablas Prólogo X XIX XXI I Análisis de sistemas continuos de control realimentados 1 1. Introducción 3 1.1. Sistemas de control. Conceptos básicos... 4 1.1.1. Elementos en un sistema de control... 5 1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado... 5 1.1.3. Realimentacióndesistemas... 7 1.1.4. Esquemas típicosdecontrol... 7 1.2. Comportamiento dinámico de sistemas continuos. Resumen..... 8 1.2.1. La Transformada de Laplace... 9 1.2.2. Función de Transferencia de un sistema... 11 1.2.3. Respuesta temporal de un sistema continuo... 11 1.2.4. Sistemas de primer orden... 12 1.2.5. Sistemas de segundo orden... 13 1.2.6. Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente... 17 1.3. Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados.... 18 1.3.1. Criterio de Routh... 18 Bibliografía para ampliar.... 19 2. Análisis en régimen permanente de sistemas continuos realimentados 21 2.1. Respuesta en régimen transitorio y en régimen permanente en el dominio deltiempo... 22 2.2. Error en régimen permanente... 23 iii

IV ÍNDICE GENERAL 2.3. Señales de entrada normalizadas... 27 2.4. Tipo de un sistema.... 29 2.5. Constantes de error en sistemas con realimentación unitaria.... 30 2.5.1. Error ante una entrada escalón. Error de posición. Constante de error de posición... 30 2.5.2. Error ante una entrada rampa. Error de velocidad. Constante de errordevelocidad... 31 2.5.3. Error ante una entrada parabólica. Error de aceleración. Constante de error de aceleración... 32 2.6. Errores en sistemas con realimentación no unitaria... 34 2.6.1. Transformación en un sistema equivalente con realimentación unitaria 34 2.6.2. Cálculo del error a partir de la ganancia estática de la realimentación 36 2.7. Comparación bucle abierto-bucle cerrado... 38 2.8. Sensibilidad... 40 Bibliografía para ampliar... 42 3. Técnica del lugar de las raíces 45 3.1. Ecuaciones básicas del lugar de las raíces... 46 3.2. Reglas para el trazado del lugar de las raíces... 48 3.2.1. Ejemplos de trazado del lugar de las raíces... 53 3.2.1.1. Ejemplo 1... 53 3.2.1.2. Ejemplo 2... 55 3.3. Forma básica del lugar de las raíces en sistemas de primer y segundo orden 56 3.3.1. Sistemas de primer orden... 56 3.3.2. Sistemas de segundo orden... 59 3.3.2.1. Adición de ceros a un sistema de segundo orden simple. 60 3.3.2.2. Adición de polos a un sistema de segundo orden simple. 65 3.3.3. Sistemas de fase no mínima... 65 3.4. Contorno de las raíces... 67 Bibliografía para ampliar... 72 4. Análisis dinámico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia 73 4.1. Respuesta en frecuencia de un sistema... 75 4.1.1. Justificación del estudio de la respuesta en frecuencia... 75 4.1.2. Régimen permanente senoidal... 76 4.2. Diagramas de respuesta en frecuencia... 77 4.2.1. Representación de los Diagramas de Bode... 77 4.2.2. Diagrama de Nyquist o trazado polar... 87 4.2.3. Diagrama de Black-Nichols... 88 4.2.4. Identificación en frecuencia... 88 4.3. Frecuencia de resonancia... 91 4.4. Estabilidad de un sistema realimentado... 92

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil V 4.5. Principio del argumento de Cauchy... 94 4.6. Camino de Nyquist..... 98 4.7. Criterio de estabilidad de Nyquist...101 4.7.1. Ejemplos de aplicación del criterio de Nyquist...102 4.8. Introducción de polos y ceros adicionales...105 4.8.1. Adición de polos reales...105 4.8.2. Adición de polos en el origen...107 4.8.3. Adicióndecerosreales...109 4.9. Criterio de Nyquist para sistemas de fase mínima. Estabilidad relativa.. 109 4.10. Márgenes de ganancia y de fase... 110 4.11. Estabilidad en los diagramas de Bode... 113 4.11.1. Frecuencia de corte y ancho de banda... 115 4.12. Respuesta en frecuencia en bucle cerrado. Círculos M y N. Diagrama de Black-Nichols...117 4.12.1. Sistemas con realimentación unitaria... 118 4.12.2. Sistemas con realimentación no unitaria... 121 Bibliografía para ampliar.... 122 II Diseño de sistemas continuos de control 123 5. Consideraciones sobre el diseño y acciones básicas de control 125 5.1. Introducción...126 5.2. Tipos de compensación...129 5.3. Metodologías para el diseñodereguladores...130 5.3.1. Especificaciones de funcionamiento...131 5.4. Condiciones básicasdelsistemadecontrol...134 5.5. Acciones básicasdecontrol...134 5.6. Reguladores de tipo P e I...136 5.7. Regulador de tipo PD...138 5.8. Regulador de tipo PI....141 5.9. Regulador PID...142 5.10. Efectos de las acciones de control integral y diferencial en el comportamientodeunsistema...145 Bibliografía para ampliar.... 145 6. Diseño de reguladores PID continuos. Método del lugar de las raíces 147 6.1. Enfoque del lugar de las raíces para el diseño de sistemas de control... 148 6.2. Sistema equivalente de orden reducido...150 6.3. CompensaciónmediantereguladorPD...151 6.3.1. Ejemplo introductorio...152 6.3.2. Procedimiento de diseño de un regulador PD...156

VI ÍNDICE GENERAL 6.3.3. Criterios para situar el cero de un regulador PD...... 160 6.4. CompensaciónmediantereguladorPI...160 6.4.1. Pasos en el diseñodeunreguladorpi...164 6.5. CompensaciónmedianteunreguladorPID...165 6.6. Otros métodosdeajustedereguladorestipopid...171 6.6.1. Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar reguladores PID...172 6.6.1.1. Primer método...173 6.6.1.2. Segundo método...174 Bibliografía para ampliar...175 7. Diseño de reguladores continuos. Método de respuesta en frecuencia 177 7.1. Introducción...178 7.1.1. Especificaciones en el dominio de la frecuencia...179 7.1.2. Análisis del diagrama de Bode de un sistema en bucle abierto... 181 7.1.3. Método de la respuesta en frecuencia para la compensación de un sistema realimentado...181 7.2. Compensaciónmediantereddeadelantodefase...182 7.2.1. Ejemplo...... 185 7.2.2. Limitaciones del control de adelanto de fase...188 7.3. Compensaciónmedianteredderetrasodefase...190 7.3.1. Ejemplo...... 193 7.3.2. Efectos y limitaciones del control de retraso de fase..... 195 7.4. Compensaciónmediantereddeatraso-adelantodefase...196 7.4.1. Ejemplo...... 197 Bibliografía para ampliar...200 III Análisis de sistemas discretos de control realimentados 203 8. Conceptos de teoría de sistemas discretos 205 8.1. Sistemas controlados por computador. Motivación.... 206 8.2. Sistemas discretos. Secuencias.... 206 8.2.1. Propiedades de las secuencias...207 8.2.2. Secuencia de ponderación...208 8.3. La transformada Z....208 8.3.1. Propiedades de la transformada Z...209 8.3.2. Transformada inversa Z...209 8.3.3. Función de transferencia en Z...210 8.4. Muestreo y reconstrucción de señales...211 8.4.1. Teorema del muestreo...211 8.5. Sistemas muestreados...211 Bibliografía para ampliar...214

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil VII 9. Estabilidad en sistemas discretos 215 9.1. Introducción...216 9.2. Transformaciones del plano s al plano z...218 9.2.1. Eje imaginario...219 9.2.2. Semiplano negativo...219 9.2.3. Regióndelplanos...221 9.2.4. Rectas de abscisa constante...222 9.2.5. Recta que pasa por el origen...222 9.2.6. Rectas de ω constante...223 9.3. Estabilidad en el plano s y en el plano z...224 9.3.1. Efectos de los polos sobre la estabilidad de un sistema discreto.. 225 9.3.2. Métodos para la determinación de la estabilidad en sistemas discretos227 9.4. Métodosalgebraicos...229 9.4.1. Criterio de Jury...230 9.4.2. Análisis de estabilidad mediante la transformación bilineal y el criterio de estabilidad de Routh...234 9.5. Consideraciones finales sobre el estudio de estabilidad...237 Bibliografía para ampliar.... 237 10.Análisis dinámico de sistemas discretos 239 10.1. Respuesta ante la secuencia impulso... 240 10.2. Respuesta ante un escalón unitario... 241 10.3. Sistema reducido equivalente... 243 10.3.1. Eliminación de pares polo-cero... 245 10.3.2. Eliminación de polos de módulo comparativamente pequeño... 246 10.3.3. Resumen. Reglas para la obtención del sistema reducido equivalente 247 10.4. Sistemas de primer orden... 248 10.4.1. Respuesta a la secuencia impulso... 249 10.4.2. Respuesta a la secuencia escalón unitario... 250 10.4.3. Especificaciones de los sistemas discretos de primer orden... 253 10.5. Sistemas de segundo orden... 254 10.5.1. Sistemas de segundo orden con dos polos reales... 254 10.5.2. Sistemas de segundo orden con dos polos complejos conjugados.. 255 10.5.3. Características dinámicas temporales... 257 Bibliografía para ampliar.... 259 11.Sistemas discretos realimentados 261 11.1. Errores en régimen permanente... 262 11.1.1. Señales discretas de entrada normalizadas... 264 11.1.2. Tipo de un sistema discreto... 265 11.1.3. Medidas del error en régimen permanente... 265 11.2. Errores en sistemas con realimentación no unitaria... 268

VIII ÍNDICE GENERAL 11.3. Influencia de las perturbaciones sobre el error en régimen permanente.. 271 11.4. Técnica del lugar de las raíces... 273 11.4.1. Reglas de construcción... 275 Bibliografía para ampliar...275 12.Análisis de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia 277 12.1. Respuesta en frecuencia de un sistema discreto de control..... 278 12.2. Representación gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema discreto decontrol...280 12.2.1. Trazado polar... 280 12.2.2. Transformaciónbilineal... 281 12.2.3. Diagramas de Bode... 282 12.3. Análisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia. Criterio de Nyquist 283 12.3.1. Criterio de Estabilidad de Nyquist en el plano ω... 285 12.3.2. Ejemplos de aplicación del criterio de Nyquist para sistemas discretos286 12.3.2.1. Ejemplo 1... 286 12.3.2.2. Ejemplo 2... 288 12.4. Estabilidad relativa.... 291 Bibliografía para ampliar...291 IV Diseño de sistemas discretos de control 293 13.Discretización de Reguladores Continuos 295 13.1. Introducción...296 13.2. Métodos de discretización... 300 13.3. Métodos basados en la aproximación de la evolucióntemporal... 301 13.4. Discretización por integración numérica. Aplicación a la discretización del reguladorpid...302 13.4.1. Acciónproporcional... 304 13.4.2. Acciónintegral... 304 13.4.3. Accióndiferencial... 308 13.4.4. Regulador proporcional-integral o regulador PI... 310 13.4.5. Regulador proporcional-diferencial o regulador PD..... 311 13.4.6. Regulador PID digital... 312 13.5. Discretización por emparejamiento de polos y ceros... 314 13.6. Configuraciones del regulador PID... 317 Bibliografía para ampliar...318

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil IX 14.Diseño de reguladores PID discretos. Extensión de las técnicas clásicas321 14.1. Diseño de reguladores PID discretos con el método del lugar de las raíces 322 14.1.1. Reguladores PD... 323 14.1.2. Reguladores PI... 327 14.1.3. Reguladores PID... 329 14.2. Métodos frecuenciales de diseño... 330 14.2.1. Reguladores P... 330 14.2.2. Efecto de la adición de polos y ceros...330 14.2.3. Reguladores PI... 332 14.2.4. Reguladores PD... 336 Bibliografía para ampliar.... 339 15.Diseño por síntesis directa I 341 15.1. Método de Truxal o de síntesisdirecta...342 15.1.1. Condiciones para el diseño de un controlador por síntesis directa. 343 15.1.1.1. Realización física del controlador... 344 15.1.1.2. Estabilidad del bucle cerrado... 346 15.1.2. Método de diseño de controladores por síntesis directa... 349 15.2. Método de asignación de polos... 350 15.2.1. Eliminación del error en régimen permanente... 353 Bibliografía para ampliar.... 354 16.Diseño por síntesis directa II. Controladores de tiempo mínimo y tiempo finito 357 16.1. Controladores de tiempo mínimo... 358 16.1.1. Consideracióndelretardodelproceso... 361 16.1.2. Procesos con ceros de fase no mínima y/o polos fuera del círculo unidad...362 16.1.3. Cálculo del orden de M(z 1 )...363 16.1.4. Cálculo de la rapidez de un controlador de tiempo mínimo...363 16.1.5. Caso particular: procesos con polos en z = 1... 364 16.1.6. Método de diseño de controladores de tiempo mínimo... 366 16.1.6.1. Modos de resolución de los sistemas polinomiales... 366 16.1.6.2. Pasos en el diseño de un controlador de tiempo mínimo. 367 16.2. Controladores de tiempo finito... 367 16.2.1. Definición de los controladores de tiempo finito... 368 16.2.2. Análisis de los controladores de tiempo finito... 372 Bibliografía para ampliar.... 373 BIBLIOGRAFÍA 375

X ÍNDICE GENERAL

Índice de figuras 1.1. Sistema de control...... 4 1.2. Sistema de control en bucle abierto.... 6 1.3. Sistema de control en bucle cerrado.... 7 1.4. Sistema de control continuo.... 8 1.5. Sistema continuo y control discreto.... 8 1.6. Sistema discreto y control discreto.... 9 1.7. Respuesta ante impulso de un sistema de primer orden.... 13 1.8. Respuesta ante escalón de un sistema de primer orden.... 14 1.9. Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden.... 15 1.10. Respuesta ante escalón de un sistema de segundo orden.... 16 1.11. Respuesta ante una rampa de un sistema de segundo orden...... 17 2.1. Error del sistema....... 24 2.2. Sistema sin realimentación.... 24 2.3. Sistema con realimentación unitaria.... 25 2.4. Sistema con realimentación no unitaria.... 26 2.5. Sistema con realimentación no unitaria transformado en un sistema con realimentación unitaria.... 35 2.6. Sistema en bucle abierto (a) y sistema en bucle cerrado (b)...... 39 2.7. Sistema ejemplo para el cálculo de sensibilidad.... 41 3.1. Sistema en bucle cerrado.... 46 3.2. Representación en el plano de los polos y ceros del sistema ejemplo.... 49 3.3. Sistemas con polos y ceros cancelables.... 52 3.4. Sistema de cuarto orden.... 53 3.5. Lugar de las raíces para el sistema del ejemplo 1.... 53 3.6. Lugar de las raíces para el sistema del ejemplo 2.... 56 3.7. Lugar de las raíces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) =K/(s + 1). 57 3.8. Lugar de las raíces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s +1)... 58 xi

XII ÍNDICE DE FIGURAS 3.9. Lugar de las raíces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s + 1,5)/(s +1)... 58 3.10. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s + 1)(s +2).... 59 3.11. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) =K/(s 2 + 3s +3).... 62 3.12. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 3)/(s + 1)(s +2)... 62 3.13. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 1,5)/(s + 1)(s +2)... 63 3.14. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s + 1)(s +2)... 63 3.15. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 2)/(s 2 +3s +3).... 64 3.16. Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s 2 +3s +3).... 64 3.17. Lugar de las raíces del sistema, G(s)H(s) =K/(s + 2)(s + 1)(s + 3).... 66 3.18. Lugar de las raíces del sistema, G(s)H(s) =K/(s + 1)(s 2 +3s + 3).... 66 3.19. Lugar de las raíces del sistema, G(s)H(s) =K/(s + 2)(s 2 +3s + 3).... 67 3.20. Sistema en bucle cerrado con tres parámetros... 69 3.21. Lugar de las raíces simple.... 70 3.22. Contorno de las raíces para el parámetro T... 71 3.23. Contorno de las raíces para el parámetro a.... 71 4.1. Sistema en bucle abierto al que se le aplica una entrada senoidal.... 77 4.2. Diagrama de Bode correspondiente al factor constante.... 79 4.3. Diagrama de Bode correspondiente a un cero en el origen...... 80 4.4. Diagrama de Bode correspondiente a un polo en el origen...... 81 4.5. Diagrama de Bode asintótico correspondiente a un polo de primer orden.. 83 4.6. Diagrama de Bode real y asintótico correspondiente a un polo de primer orden.... 84 4.7. Diagrama de Bode asintótico correspondiente a un polo de segundo orden. 85 4.8. Sistema en bucle cerrado.... 86 4.9. Diagrama de Bode asintótico del sistema G(s) = 100 s(s+1) 4.10. Diagrama de Bode real y asintótico del sistema G(s) = 100 s(s+1) 4.11. Diagrama de Nyquist o traza polar del sistema G(s) = 1 0,001s+1.... 87... 88... 89 1 4.12. Diagrama de Black-Nichols del sistema G(s) = 0,001s+1.... 90 4.13. Respuesta en frecuencia obtenida experimentalmente.... 91 4.14. Sistema en bucle cerrado.... 93 4.15. Representación del plano s y del plano F.... 96

R.P. Ñeco,O.Reinoso,N.García, R. Aracil XIII 4.16. Ejemplo de configuración de polos y ceros para el principio del argumento decauchy.... 97 4.17. Camino de Nyquist e imagen asociada.... 99 4.18. Camino de Nyquist con singularidades en el origen (a) y sobre el eje imaginario(b)....100 4.19. Detalle del tramo IV del camino de Nyquist de la figura 4.18 (a)....103 4.20. Sistema en bucle cerrado del ejemplo 2.... 104 4.21. Camino origen (izquierda) y camino imagen (derecha) de Nyquist para el sistema de la figura 4.20....105 4.22. Lugar de Nyquist de G (s)h (s) = K 1+T....106 1s 4.23. Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional.......107 4.24. Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional en el origen, K correspondiente al sistema G(s)H(s) = s(1+t....108 1s) 4.25. Lugar de Nyquist de la figura 4.24 con un polo adicional en el origen, K correspondiente al sistema G(s)H(s) = s 2 (1+T...108 1s) 4.26. Lugar de Nyquist de la figura 4.25 con un polo adicional en el origen, K correspondiente al sistema G(s)H(s) = s 3 (1+T...109 1s) 4.27. Efecto de la adicióndecerosreales... 110 4.28. Margen de ganancia y de fase....112 4.29. Sistema en bucle cerrado ejemplo.... 113 4.30. Diagrama de Nyquist del sistema de la figura 4.29.... 114 4.31. Márgenes de ganancia y fase sobre el diagrama de Bode....115 4.32. Frecuencia de corte..... 116 4.33. Diagrama de Nyquist del sistema ejemplo.... 118 4.34. Diagrama de Bode del sistema ejemplo.... 119 4.35. Ejemplo de diagrama de Nichols.... 121 5.1. Estructura para el control de un proceso....127 5.2. Estructura para el control de un proceso mostrado en la figura 5.1 con la inclusióndeunregulador....128 5.3. Ejemplo de compensación en paralelo....129 5.4. Ejemplo de compensación por prealimentación....130 5.5. Diseño del regulador por el método de síntesis....131 5.6. Especificaciones en el dominio del tiempo....132 5.7. Especificaciones en el dominio complejo....133 5.8. Amortiguamiento de un sistema a partir del margen de fase......135 5.9. Regulador de tipo P..... 137 5.10. Regulador de tipo I..... 138 5.11. Regulador de tipo PD.... 139 5.12. Regulador de tipo PI.... 142 5.13. Regulador de tipo PID (ideal).... 143

XIV ÍNDICE DE FIGURAS 6.1. Compensación de un sistema mediante el regulador G R (s)....149 6.2. Situación del polo dominante deseado. El lugar de las raíces del sistema G p (s) = 1 s(s+1) no pasa por dicho polo....153 6.3. Cálculo de los ángulos para la aplicación del criterio del argumento.... 154 6.4. El cero del regulador PD se sitúasobreelpolo-1delsistema...155 6.5. Lugar de las raíces del sistema compensado con un regulador PD.... 156 1 6.6. Respuesta al escalón unitario del sistema G(s) = s(s+1), junto con la misma respuesta del sistema compensado con el regulador PD G R (s) = 4(s+1) s+2,83...157 6.7. Lugar de las raíces de un sistema con función de transferencia G(s)H(s) = K s(s+a)(s+b)....158 6.8. El ángulo ϕ R debeseraportadoporelreguladorpd...159 6.9. Método gráfico para situar el par polo-cero de un regulador PD....161 6.10. Compensación con regulador PI: el par de polos dominantes se mantiene aproximadamente en el mismo punto....162 6.11. Primer criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI.... 164 6.12. Segundo criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI.... 165 1 6.13. Lugar de las raíces del sistema G(s) = (s+1)(s+2)...167 6.14. Aplicación del criterio del argumento para obtener el ángulo proporcionado porelreguladorpd....168 6.15. El cero del regulador PD se sitúa en este caso cancelando el segundo polo delsistema....168 6.16. Polos y ceros del regulador PID a diseñar... 169 6.17. Lugar de las raíces del sistema compensado con el regulador PD.... 170 6.18. Lugar de las raíces del sistema compensado con el regulador PID.... 171 6.19. Respuesta ante entrada escalón unitario del sistema original, junto con el sistema compensado con el PD y PID diseñados....172 6.20. Primer métododeziegler-nichols....173 6.21. Sistema con oscilaciones sostenidas con un periodo crítico P cr....175 7.1. Compensación de un sistema bajando la curva de ganancia G(jw) (reguladorpi)....182 7.2. Compensación de un sistema subiendo la curva de ángulo de fase G(jw) (reguladorpd)...183 7.3. Diagram de Bode de la red de adelanto de fase, para distintos valores de α.184 7.4. Diagrama de Bode del sistema sin compensar, con K = 143,55, calculada enelpaso1...186 7.5. Cálculo de la frecuencia de cruce de ganancia (paso 5)....187 7.6. Diagrama de Bode del regulador calculado G R (s) =0,33 1+0,1161s 1+0,038s....189 7.7. Diagrama de Bode del sistema compensado con el regulador PD....190

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil XV 7.8. Respuesta en bucle cerrado al escalón unitario del sistema sin compensar yelsistemacompensadoconelreguladorpdcalculado....191 7.9. Diagrama de Bode de la red de retraso de fase....192 7.10. Diagrama de Bode del sistema con función de transferencia 7.5 con ganancia K = 287,1, calculada en el paso 1 de diseñodelreguladorpi....194 7.11. Diagrama de Bode del sistema con función de transferencia 7.5 compensadoconelreguladorpicalculado...195 7.12. Respuesta en bucle cerrado al escalón unitario del sistema con función de transferencia 7.5 sin compensar y compensado con el regulador PI calculado.196 7.13. Diagrama de Bode del sistema sin compensar con K =19...198 7.14. Diagrama de Bode del sistema compensado sólo con el regulador PI.... 199 7.15. Diagrama de Bode del sistema compensado con el regulador PID diseñado. 201 7.16. Respuesta en bucle cerrado al escalón unitario del sistema sin compensar y compensado con el regulador PID diseñado...201 8.1. Muestreador....211 8.2. Sistema Híbrido....212 8.3. Elemento Bloqueador/Retenedor.... 212 8.4. Bloqueador de orden cero....213 8.5. Bloqueador de orden uno....214 9.1. Sistema discreto representado por su función de transferencia en Z....216 9.2. Sistemas discretos con salida acotada para la entrada escalón unitario... 217 9.3. Sistemas discretos con salida no acotada para la entrada escalón unitario y,portanto,inestables....217 9.4. Sistema formado por la suma de dos bloques....218 9.5. Transformación del eje imaginario al plano z....220 9.6. Transformación del semiplano negativo en el plano s en el interior del círculounidadenelplanoz...220 9.7. Ejemplo de transformación del plano s al plano z...221 9.8. Transformación de la región en el plano s dada por la figura 9.7 al plano z. 222 9.9. Transformación de la recta que pasa por el origen en el plano s al plano z. 223 9.10. Respuesta discreta al escalón unitario del sistema G 1 (z) = z 2 (z 1)(z 3) (inestable)...229 9.11. Respuesta discreta al escalón unitario del sistema G 2 (z) = z 2 (z 0,5)(z+0,7) (estable)....230 9.12. Respuesta discreta al escalón unitario del sistema G 3 (z) = z 2 z 2 +z+2 (inestable)...231 9.13. Respuesta al escalón unitario del sistema G 4 (z) = z 2 2z 2 +z+1 (estable).... 232 10.1. Respuesta a un escalón unitario del sistema Y (z) R(z) = 0,5z 0,25 z 2 1,5z+0,75....244

XVI ÍNDICE DE FIGURAS 10.2. Secuencia de ponderación para un sistema de primer orden con función de transferencia G(z) = bz z a, cuando a>0...249 10.3. Secuencia de ponderación para un sistema de primer orden con función de transferencia G(z) = bz z a, cuando 1 <a<0(sistemaestable)...250 10.4. Secuencia de ponderación para un sistema de primer orden con función de transferencia G(z) = bz z a, cuando a< 1 (sistemainestable)...251 10.5. Respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden con función de transferencia G(z) = bz z a, (a) cuando a>0; y (b) cuando a<0...252 0,3z 10.6. Secuencia de ponderación del sistema G(z) = 2 1 1,5z 1 +0,7z...256 2 10.7. Polos de un sistema de segundo orden. Situación de p 1...257 0,3z 10.8. Respuesta al escalón unitario del sistema G(z) = 2 1 1,5z 1 +0,7z...258 2 11.1. Sistema discreto de control con realimentación unitaria....... 262 11.2. Sistema equivalente simplificado al de la figura 11.1.... 263 11.3. Sistema discreto realimentado con realimentación constante h no unitaria. 268 11.4. Sistema discreto realimentado con realimentación constante h no unitaria, equivalente al sistema representado en la figura 11.3....269 11.5. Sistema discreto realimentado con dinámica H(s) en la realimentación (H(s) noconstante)...270 11.6. Sistema discreto realimentado equivalente al representado en la figura 11.5. 271 11.7. Sistema discreto realimentado con perturbación.... 272 12.1. Conjunto bloqueador-proceso-muestreador....278 12.2. Ejemplo de trazado polar.... 281 12.3. Método gráfico de cálculo de la respuesta en frecuencia de un sistema muestreado a partir de la respuesta en frecuencia del sistema continuo... 282 12.4. Diagramas que muestran las correspondencias del plano s con el plano z y del plano z con el plano ω....283 12.5. Sistema discreto realimentado para el análisis de estabilidad.... 284 12.6. Trayectoria para el análisis de estabilidad en el plano z....... 285 12.7. Sistema muestreado para el ejemplo 1.... 286 12.8. Imagen del camino de Nyquist de la figura 12.7 para el ejemplo 1....287 12.9. Sistema muestreado para el ejemplo 2 de análisis de estabilidad.... 288 12.10.Camino de Nyquist del ejemplo 2....289 12.11.Imagen del camino de Nyquist del ejemplo 2....290 12.12.Margen de fase γ y margen de ganancia K G de un sistema discreto.... 291 13.1. Sistema de control con controlador continuo frente a sistema de control con controlador discreto.... 297 13.2. Sistema discreto de control con realimentación unitaria....... 298 13.3. Discretización del sistema continuo (a) por equivalencia con el sistema muestreado(b)...299

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil XVII 13.4. Equivalencia entre el sistema continuo (a) y el sistema muestreado (b) en bucle abierto....300 13.5. Respuesta al escalón unitario del sistema continuo G R (s) =25 s+1 s+5 ysu aproximación discreta G R (z) = 25 23z 1 1 0,6065z, con periodo de muestreo T = 1 0,1 segybloqueadordeordencero...303 13.6. Regulador PID continuo.... 304 13.7. Método de los rectángulos para la aproximación de la acción integral... 305 13.8. Método de los trapecios para la aproximación de la acciónintegral... 306 13.9. Respuesta ante un escalón unitario de la acción integral I(z) dada por la aproximacióndelostrapecios...308 13.10.ReguladorPIDenparalelo....313 13.11.Configuración del regulador PID con acciones divididas entre la señal de error y la de realimentación...317 13.12.Configuración del regulador PID equivalente a la de la figura 13.11.... 318 14.1. Polo dominante del sistema.... 323 14.2. Aplicación del criterio del móduloydelargumento... 325 14.3. Sistema G(z) regulado por G R (z)....325 5 14.4. Lugar de las raíces del sistema G(z) = (z 0,7)(z 0,9)....326 14.5. Cálculo de los ángulos correspondientes a los ceros y polos del sistema ejemplo...326 14.6. Disminución del margen de fase de γ 1 a γ 2 como consecuencia de la acción deunreguladorp....331 14.7. Cálculo del módulo y argumento de Ĝ(w) =( e jwt c ) G(w)...332 G(w) 14.8. Cálculo del módulo y argumento de Ĝ(w) = e jwt p....333 14.9. Sistema regulado con un regulador PI.... 334 14.10.SistemadiscretoequivalentereguladoconunreguladorPI....334 14.11.El cero c del regulador PI se añade cercano al polo p =1....335 14.12.SistemareguladoconunreguladorPD....336 14.13.El cero c del regulador PD se coloca tal que el desfase adicional para la frecuencia w g sea ϕ....338 14.14.AumentodelmargendefaseconunreguladorPD....339 15.1. El controlador de síntesis directa situado en serie con el proceso cancela la dinámica de G P (z)....343 15.2. Bucle cerrado discreto de control.... 351 16.1. Situación de la función de transferencia del error, E(z 1 ), en el bucle cerradodiscreto....359 16.2. Respuesta al escalón unitario del proceso G(s) = 100 s 2 +3s+2 con el controlador de tiempo mínimo, presentando oscilaciones ocultas.... 368

XVIII ÍNDICE DE FIGURAS 16.3. La acción de control tras el bloqueador de orden cero con el controlador de tiempo mínimo diseñado...369 16.4. Respuesta al escalón unitario y acción de control con oscilaciones ocultas. 370

Índice de tablas 1.1. Transformadas de Laplace de funciones típicas.... 11 1.2. Tabla de Routh....... 19 2.1. Constantes de error y errores en régimen permanente en función del tipo delsistema.... 34 3.1. Tabla de Routh para el sistema del ejemplo 1.... 55 6.1. Reglas de sintonización para el primer método de Ziegler-Nichols...174 6.2. Reglas de sintonización para el segundo método de Ziegler-Nichols...175 8.1. Transformada Z de secuencias básicas...209 8.2. Propiedades de la transformada Z....209 9.1. Forma general de la tabla de estabilidad de Jury....233 9.2. Tabla de estabilidad de Jury para el polinomio z 3 +0,4z 2 +(0,47+b)z +0,13.233 9.3. Tabla de Routh del sistema ejemplo....237 11.1. Valor de los errores en régimen permanente en función del tipo del sistema discreto...268 12.1. Valores de BG(z) para el tramo I.... 289 16.1. Eliminación del error en régimen permanente en un tiempo mínimo para procesosconretardo1...361 xix

XX ÍNDICE DE TABLAS

Prólogo El libro que ahora presentamos nace con la pretensión de ofrecer una introducción a la teoría clásica de control continuo y discreto de sistemas. Puede ser útil como libro de texto en asignaturas de distintas ingenierías e ingenierías técnicas (industrial, telecomunicaciones, informática, etc.), aunque también puede usarse para introducirse en el apasionante tema del control automático a ingenieros en ejercicio. Se requiere haber seguido un curso básico sobre Teoría de Sistemas (continuos y discretos) previamente a la lectura del libro. No obstante, en las partes I y III del libro se da un breve repaso sobre el análisis de sistemas continuos y discretos, respectivamente. Existen excelentes textos sobre teoría de Sistemas de Control, algunos de ellos muy clásicos, como los de los profesores Ogata y Kuo que se mencionan en la bibliografía tanto desde el punto de vista discreto como continuo. Asimismo es necesario citar dos textos clásicos que nos han servido a muchos para introducirnos en la Teoría de Sistemas y Control como son los realizados por los profesores Puente, Aracil y Jiménez en la Universidad Politécnica de Madrid. De esta forma, este libro pretende ser un compendio de lo expuesto en estos textos clásicos adaptado a los planes de estudio actualmente vigentes en las escuelas de ingeniería de las universidades españolas de forma que los alumnos puedan seguir perfectamente los diferentes temas expuestos. Este compendio es fruto de la experiencia docente de los autores que imparten asignaturas sobre Sistemas de Control y Regulación Automática en la Universidad Politécnica de Madrid y la Universidad Miguel Hernández de Elche desde hace varios años. En cuanto al contenido del libro, se ha dividido la materia tratada en cuatro partes: La parte I se dedica al análisis de sistemas continuos realimentados, centrándose en el análisis en régimen permanente, descripción de la técnica del lugar de las raíces y análisis en el dominio de la frecuencia. En la parte II se estudian las técnicas clásicas de diseño de sistemas continuos de control, tanto en el dominio temporal como en el dominio frecuencial. Previamente xxi

se realizan consideraciones generales sobre el diseño y se describen las acciones básicas de control. La parte III se dedica a las técnicas de análisis de sistemas discretos realimentados. Después de dar un repaso a la teoría básica y herramientas matemáticas sobre sistemas discretos, se pasa a estudiar la estabilidad, análisis dinámico y en régimen permanente de sistemas discretos realimentados. También se hace una extensión al caso discreto del análisis en frecuencia estudiado en la parte I para sistemas continuos. En la parte IV se describen las técnicas de diseño de sistemas discretos de control. Los dos primeros capítulos de esta parte están dedicados a las técnicas clásicas de diseño (discretización de controladores continuos y extensión de las técnicas estudiadas para sistemas continuos). En los dos últimos capítulos se describen técnicas específicas de diseño de controladores discretos (por asignación de polos y por síntesis directa, particularizando para el caso de sistemas de tiempo mínimo y tiempo finito). Al final de todos los capítulos se incluyen comentarios sobre bibliografía que pueden ser útiles para ampliar algunos aspectos de la materia tratada. Consideramos que siempre que se estudia una materia es deseable consultar otras fuentes de información que permitan ahondar en los temas tratados. Por este motivo se ha incluido al final de cada capítulo estas pequeñas referencias bibliográficas que consideramos interesantes de consultar para ampliar su contenido de forma que le sea más fácil al lector acudir a estas referencias. Especialmente interesantes son las referencias a libros de problemas resueltos y propuestos. Los autores desean reconocer la colaboración prestada por nuestros compañeros del Área de Ingeniería de Sistemas y Automática de la Universidad Miguel Hernández de Elche durante los primeros años de puesta en marcha de las asignaturas en las que se ha impartido la materia tratada en este libro. Los autores, Profesores Ramón P. Ñeco Oscar Reinoso Nicolás M. García Rafael Aracil xxii

Parte I ANÁLISIS DE SISTEMAS CONTINUOS DE CONTROL REALIMENTADOS 1

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Índice 1.1. Sistemas de control. Conceptos básicos............ 4 1.1.1. Elementos en un sistema de control............... 5 1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado............ 5 1.1.3. Realimentación de sistemas................... 7 1.1.4. Esquemas típicosdecontrol................... 7 1.2. Comportamiento dinámico de sistemas continuos. Resumen 8 1.2.1. La Transformada de Laplace.................. 9 1.2.2. Función de Transf erencia de un sistema............ 11 1.2.3. Respuesta temporal de un sistema continuo.......... 11 1.2.4. Sistemas de primer orden.................... 12 1.2.5. Sistemas de segundo orden................... 13 1.2.6. Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente.. 17 1.3. Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados 18 1.3.1. Criterio de Routh........................ 18 Bibliografía para ampliar........................ 19 Para poder llevar a cabo un estudio adecuado de los sistemas de control es preciso un repaso de los conceptos fundamentales alcanzados en un curso de teoría de sistemas. De esta forma, en este capítulo se presentan los resultados básicos y fundamentales del comportamiento de sistemas continuos. Se comenzará introduciendo los conceptos básicos 3

4 Introducción así como los elementos que integran un sistema de control junto con el concepto de realimentación haciendo especial hincapié en sus características frente al control en bucle abierto. En un posterior apartado se revisan las propiedades de la transformada de Laplace que posibilitan el estudio de los sistemas continuos. Asimismo se repasa la respuesta temporal de los sistemas de primer y segundo orden así como sus parámetros característicos. Por último se presenta el criterio de Routh para analizar la estabilidad de un sistema continuo. Este primer capítulo sirve como base para el posterior desarrollo de los capítulos dedicados a los sistemas realimentados. 1.1. Sistemas de control. Conceptos básicos Quizás una de las primeras cuestiones que nos deberíamos plantear antes de estudiar los sistemas de control consistiría en intentar responder la pregunta qué es el control?. Sería difícil responder de una forma exacta a esta pregunta, pero todos tenemos una idea más o menos clara de la respuesta. Así encontramos en la vida cotidiana numerosos ejemplos donde podemos observar que existe control de algún sistema. El ejemplo más cercano lo encontramos en las viviendas donde observamos la existencia de un mecanismo que permite regular la temperatura de las viviendas. Basándonos en este ejemplo podemos entender cómo el mecanismo actúa sobre un sistema (caldera, etc.) para que la vivienda alcance una mayor o menor temperatura (señal de salida) en relación con la temperatura que nosotros deseemos (señal de referencia). Hoy en día, casi todas las actividades en las que se desarrolla el ser humano aparece involucrado de alguna u otra forma un sistema de control. De esta forma podríamos considerar en un sentido lo más amplio posible un sistema de control como aquel sistema que ante unos objetivos determinados responde con una serie de actuaciones (figura 1.1). Objetivos Sistema de control Actuaciones Figura 1.1: Sistema de control. En el presente libro se van a considerar sistemas tanto de tiempo continuo como de tiempo discreto, lineales e invariantes con el tiempo. Recordemos que un sistema continuo se dice que es lineal si se puede aplicar al mismo el principio de superposición. De igual forma, cuando los parámetros del sistema son estacionarios con respecto al tiempo el sistema se denomina invariante con el tiempo. Así pues, dentro de la teoría de sistemas de control, el ámbito de este libro queda restringido a considerar sistemas (tanto continuos como discretos) lineales e invariantes con el tiempo.

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil 5 1.1.1. Elementos en un sistema de control En todo sistema de control aparecen claramente diferenciados una serie de elementos característicos al mismo que es necesario clarificar: Variable a controlar. Generalmente se le conoce como señal de salida. Constituye la señal que deseamos que adquiera unos valores determinados. En el ejemplo anteriormente descrito la señal de salida o variable a controlar sería la temperatura ambiente de la vivienda o de una habitación determinada. Planta o Sistema. La planta o sistema constituye el conjunto de elementos que realizan una determinada función. En el ejemplo propuesto la planta o sistema lo constituiría toda la vivienda en su conjunto. El sistema estaría determinado por las relaciones de transmisión de calor en la misma con las aportaciones y fugas que presentase en función de sus características. Sensor. El sensor es el elemento que permite captar el valor de la variable a controlar en determinados instantes de tiempo. En el caso propuesto consistiría en el elemento que permitiría conocer la temperatura de la vivienda en determinados momentos. Señal de referencia. Es la señal consigna o valor que deseamos que adquiera la señal de salida (objetivo de control). En el ejemplo indicaría la temperatura que deseamos que tenga la vivienda a lo largo de toda la jornada. Actuador. El actuador es el elemento que actúa sobre el sistema modificando de esta forma la señal de salida. En el caso de un sistema de calefacción consistiría en la caldera que permite aportar mayor o menor cantidad de calor sobre el sistema o planta (vivienda) a regular. Controlador. El controlador o regulador es el elemento que comanda al actuador en función del objetivo de control. En el ejemplo planteado anteriormente, el regulador tendría como misión decidir cuál debe ser la aportación de la caldera en todo instante para mantener el objetivo de control (temperatura de la vivienda). Todos estos elementos aparecen de alguna u otra forma en casi todo sistema de control. Identificar y estudiar cada uno de ellos de una forma correcta resulta esencial para poder diseñar un controlador que permita alcanzar el objetivo de control deseado en todo instante. 1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado Cuando se desea mantener un objetivo de control determinado en un sistema dos son los esquemas de control que se pueden considerar: sistemas de control en bucle abierto y sistemas de control en bucle cerrado.

6 Introducción Un sistema de control en bucle abierto es aquel en el que la señal de salida no influye sobre la acción de control. De esta forma el controlador o regulador no tiene en cuenta el valor de la señal de salida, ni se compara ésta con la señal de referencia para decidir la actuación en todo instante sobre el sistema. El caso más típico de un sistema de control en bucle abierto lo constituye la lavadora eléctrica donde el sistema de control va modificando el tiempo, la temperatura de lavado, etc. en función de la indicación del usuario y no en función del nivel de lavado de la ropa (que constituiría el objetivo de control). De esta forma el usuario decide el programa que desea realizar (señal de referencia), y el controlador actúa sobre los diferentes mecanismos del sistema (lavadora) de forma que realiza una serie de actuaciones sin tener en cuenta la señal de salida. En la figura 1.2 se pueden observar las señales involucradas en un control en lazo abierto. Entrada de referencia Controlador control u Sistema a controlar Variable controlada Figura 1.2: Sistema de control en bucle abierto. Evidentemente los sistemas de control en bucle abierto funcionarán razonablemente bien siempre y cuando hayan sido perfectamente estudiados y no exista ninguna alteración sobre el sistema. Si el fabricante ha estudiado perfectamente cuál debe ser el proceso de lavado para la ropa de unas características determinadas y no se altera en modo alguno el proceso, el objetivo final quedará perfectamente alcanzado. Sin embargo, en el momento en que se altere alguna de las características del proceso (cantidad de ropa, temperatura del agua, suciedad de la ropa, etc.) por cualquier motivo, el objetivo de control puede no satisfacerse. Por el contrario, en los sistemas de control en bucle cerrado existe una realimentación de la señal de salida o variable a controlar. En este tipo de sistemas se compara la variable a controlar con la señal de referencia de forma que en función de esta diferencia entre una y otra, el controlador modifica la acción de control sobre los actuadores de la planta o sistema. En la figura 1.3 aparece representado un esquema típico de un sistema controlado en bucle cerrado. En el sistema de control en bucle cerrado ya no afecta tanto las variaciones en cada una de las características del proceso (cantidad de ropa, temperatura, etc.) ya que el controlador debe actuar en todo instante en función de la diferencia entre la señal a controlar (limpieza de la ropa) y la señal de referencia (por ejemplo blancura deseada). Es necesario comentar que si se conociese perfectamente un sistema y no pudiese alterarse de ninguna forma las características del mismo (tanto internas como externas), es más aconsejable utilizar un sistema de control en lazo abierto pues serían más sencillos y económicos. Los sistemas de control en lazo cerrado presentan ventajas cuando se pueden producir perturbaciones sobre el sistema o bien variaciones impredecibles en

R.P. Ñeco, O. Reinoso, N. García, R. Aracil 7 Entrada de referencia + - error controlador Sistema a controlar Variable controlada Figura 1.3: Sistema de control en bucle cerrado. alguna de las características del mismo. 1.1.3. Realimentación de sistemas En el apartado previo se ha establecido la diferencia entre los sistemas de control en bucle abierto y los sistemas de control en bucle cerrado. Como quedó establecido, en estos últimos se compara la señal de salida (o variable que se desea controlar) obtenida en la mayor parte de las ocasiones a través de un conjunto de sensores, con una señal de referencia. Este efecto se conoce como realimentación. El efecto inmediato que persigue esta realimentación es reducir el error entre la señal de salida y la señal de referencia actuando en consecuencia. Pero no sólo la realimentación tiene por cometido reducir el error entre la señal de salida y la señal de referencia de un sistema. La realimentación también produce efectos sobre la ganancia global del sistema (puede tanto aumentar como disminuir en función de la realimentación), la estabilidad (un sistema inicialmente estable puede pasar a ser inestable o a la inversa en función de la realimentación), así como sobre las perturbaciones posibles que se presenten sobre el mismo (puede reducir el efecto de las perturbaciones que se originan sobre el sistema). Por lo tanto, la realimentación es un elemento clave muy a tener en cuenta en el estudio de los sistemas de control ya que puede modificar considerablemente los resultados producidos por éstos. 1.1.4. Esquemas típicos de control El esquema típico de control continuo de un sistema en bucle cerrado aparece reflejado en la figura 1.4. En el mismo aparecen los principales elementos que aparecen en todo sistema de control: el controlador, los actuadores, la planta o sistema continuo a controlar y los elementos de realimentación. Con la aparición de los computadores y los microcontroladores, el uso de controladores digitales ha venido incrementándose en los últimos años. Cuando se desea controlar sistemas continuos mediante un control de tipo discreto el diagrama de bloques a considerar varía ligeramente (Figura 1.5). El controlador en este caso es discreto y como tal actúa sobre una señal discreta generando una señal discreta a la salida. Esta señal

8 Introducción R(s) + r(t) - å(s) å(t) G (s) R G(s) Planta Y(s) y(t) H(s) Figura 1.4: Sistema de control continuo. discreta se convierte en una señal continua mediante un convertidor digital/analógico que en teoría de sistemas se denomina bloqueador o retenedor. Dado que el sistema es de tipo continuo genera a la salida una señal continua. Será necesario por lo tanto, tras la lectura de esta señal continua por parte de los sensores adecuados, utilizar un convertidor analógico/digital (muestreador) para poder comparar esta señal con la de referencia y utilizar la diferencia como entrada al controlador digital. U(z) + E(z) Y(s) G R(z) B(s) G(s) - T Y(z) T Figura 1.5: Sistema continuo y control discreto. Finalmente si el sistema a controlar es de tipo discreto la utilización de un regulador o controlador discreto es totalmente inmediata (ver Figura 1.6). 1.2. Comportamiento dinámico de sistemas continuos. Resumen En esta sección se repasarán los conceptos fundamentales de los sistemas continuos. No es nuestro propósito analizar todas las propiedades de los mismos (fuera del ámbito del presente libro), sino más bien recordar las herramientas y características fundamentales de los sistemas continuos que se emplearán para el estudio, análisis y diseño de los sistemas de control.