EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes. a) x 4 b) x 8 a) 4 x x 4 b) x 8 x 8. Expresa estas fracciones con el mismo denominador. a), y b) 9, y 8 a) 4 44 4 b) 9 4 8 9 9 4 8 8 9. 9 Amplifica cada una de estas fracciones:,, y, a otra fracción equivalente que tenga por denominador una potencia de. 9 9 8 4 4 4.4 4 Una clase tiene 4 alumnos. Se puede afirmar que son chicos y chicas? Razona la respuesta. de 4 es 4 4 de 4 es 4 4 4 No podemos hacer tal afirmación, ya que de ese modo habría 4 4 alumnos y alumnas en la clase, lo cual no es cierto.. Realiza y simplifica estas operaciones. a) b) c) 4 d) 4 9 4 8 a) 4 8 8 9 c) 4 4 4 4 4 8 9 4 b) 8 8 4 d) 4 9 9 9 4 4. Efectúa estas operaciones. a) b) 4 c) 8 d) 4 9 a) 8 c) 8 8 4 4 4 b) 4 4 d) 9 8 9 8 4 4
. Calcula y simplifica el resultado. a) 4 b) 9 4 a) 4 4 9 4 b) 9 4 8 4 8.8 Realiza las siguientes operaciones. a) 4 b) 4 c) 4 a) 4 8 4 8 8 8 b) 4 c) 4 9.9 Dibuja los puntos de abscisa y ; y ; y. Cómo son estos pares de puntos respecto del origen? Son puntos simétricos respecto al origen.. Utiliza el método de Tales para representar en una recta estos números racionales. a) b) c) d) 9 a) b) c) d) = + 9 = + 9. Calcula los valores de las abscisas de los puntos de cada figura. a) b) a) 8 b) 4 4
. Escribe cada número fraccionario en forma decimal. Indica qué tipo de decimal es cada uno y, si existen, la parte entera, el anteperíodo y el período. a) b) c) d) 9 a),v. La parte entera es, no hay anteperíodo, y el período es. b),4v. La parte entera es, el anteperíodo es 4 y el período es. c),8v. La parte entera es, el anteperíodo es 8 y el período es. d),48. w La parte entera es, no hay anteperíodo y el período es 48...4 Sin hacer la división, explica qué tipo de expresión decimal corresponde a cada fracción. a) b) 9 c) 9 d) 4 a) Decimal exacto c) Periódico puro b) Periódico mixto d) 4 9 ; Periódico mixto Escribe en forma fraccionaria los números. a), c),... e),... g),... b),... d),... f),... h),... a) e) 9 4 9 b) 9 f) 99 c) g) 9 9 9 9 d) 99 9 9 h) 9 99 99. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. a) c) e) b), d) 4 f),4 44 4... a) Racional c) Irracional e) Racional b) Racional d) Racional f) Irracional. Escribe tres números irracionales que estén dados por raíces y tres que no lo estén. Respuesta abierta. Por ejemplo: Tres números irracionales dados por raíces:,, 4 Tres números irracionales que no vienen dados por una raíz:,,,, 4
. Clasifica estos números en racionales o irracionales, y razona la respuesta. a),... b) 9,... c),... d),... a) Racional, tiene período. b) Racional, tiene período. c) Irracional, detrás de cada aparecen, sucesivamente,,,, 4 cifras. De este modo no va haber ningún período. d) Irracional, no hay ningún grupo de cifras que se repita periódicamente..8 Una de las mejores aproximaciones fraccionarias del número es. Si el valor del número es,49, halla el número de cifras que coincide con la aproximación dada.,499 Coinciden cifras decimales..9 Sabiendo que,, escribe las primeras aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo. Por defecto,,,,, Por exceso,,,,,8 Por redondeo,,,,,8. Realiza cada operación con una aproximación de dos cifras decimales, por exceso y por defecto. a) b) c) a) Por exceso,,4, Por defecto,,,4 b) Por exceso,4,4,, Por defecto,4,,9, c) Por exceso,4,,94 Por defecto,,4,9
. Calcula los valores que faltan en la tabla. Por exceso, Por defecto,4 a b a b a b a b a b a b Por exceso,4,,99 Por defecto,4,,99. Halla el error absoluto y el error relativo que se produce, cuando se toma para el valor,.. Error absoluto:,,48...,48 Error relativo:, 48...,99, 48... Una excelente aproximación del número irracional es la fracción señala el error máximo.,4,44 Error absoluto:,44,4,4, 4... Error relativo:,4..., 44.... Comprueba este resultado y.4 El número es un número irracional. Arquímedes solía utilizar como aproximación el número racional. Si el radio de una plaza mide metros. a) Cuánto mide su circunferencia tomando para el valor?, y si tomamos,4? b) Es aceptable el error cometido en ambos casos? a) 88,4 m,4 88,49 m b) Teniendo en cuenta que la circunferencia mide 88,49 m, el primer error es un poco grande; el segundo es aceptable, ya que por redondeo a tres decimales nos quedaría en eso la aproximación.. Representa estos números irracionales. a),44... b),... c),9... d), a) [, 4] b) [, ] c) [, ] d) 4 [,4;,] [,;,] [,;,] [, 4] 4 [,;,] [,4;,44] [,;,] [,;,] [,;,] 4 4
. Representa los siguientes números irracionales. a) b) 8 c) d) 4 a) b) c) d) = + 8 = + = + 4 = + 8 4 4 4. Escribe los números representados en cada figura. 4 4 La primera figura representa, y la segunda,..8 Dibuja en la recta real cada uno de estos intervalos. a) (, ) b) [, ) c) (, ] d) [, ] a) c) b) d).9 Dibuja en la recta real estas semirrectas. a) (, ) b) [, ) c) (, ] d) (, ] a) c) b) d). Indica el intervalo que representa cada dibujo. a) b) a) (, ] b) (, ). Dibuja en la recta real las semirrectas determinadas por las relaciones x y x. x x y x (, ) (, ) x x y x (, ] [, )
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Una clase de tercero con alumnos tiene que elegir delegado y subdelegado. Cuántas elecciones diferentes son posibles? Planteamos el problema para casos más sencillos y vemos si se encuentra alguna regularidad. alumnos alumnos 4 alumnos Delegado-subdelegado AB, BA AB, AC, BA, BC, CA, CB AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Posibilidades ( ) ( ) 4 (4 ) Vemos que se cumple la regla de n (n ) posibilidades, donde n es el número de alumnos. Entonces, en una clase de alumnos las posibilidades son: 4.. Los alumnos de una clase juegan un torneo de ajedrez. Di cuántas partidas se celebrarán si: a) Se juega en forma de liga. b) Se juega por eliminatorias. a) Planteamos el problema para casos más sencillos y vemos si se encuentra alguna regularidad. alumnos alumnos 4 alumnos Partidos AB, BA AB, AC, BC, BA, CA, CB AB, AC, AD, BC, BD, CD, BA, CA, DA, CB, DB, DC Posibilidades ( ) ( ) 4 (4 ) Vemos que se cumple la regla de n (n ) posibilidades, donde n es el número de alumnos. Entonces, en una clase de alumnos las posibilidades son: 99. b) Se celebrarán partidas de dieciseisavos de final, de octavos, de cuartos, semifinal y final, en total: 8 4 partidas se celebrarán.
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Números fraccionarios.4 Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas. a) b) a) b) 9 4. Averigua el valor de x en cada caso. a) de x c) de x 98 b) x 4 de d) de x a) x c) x 98 x 98 4 x b) x 4 d) x x 4 4. Halla el valor de cada letra para que todas las fracciones sean equivalentes. a 4 b c 4 d a a a 9 4 b 8 b b c c 89 c 4 9 d d d. Realiza estas operaciones. a) 4 c) 4 e) (4) 4 b) d) () f) () 4 a) 4 c) () (4) e) 4 4 b) 8 9 () d) f) () 4
.8 Indica la abscisa de los puntos indicados. a) b) a) 4 b).9 Ordena las fracciones de menor a mayor utilizando en cada caso el método que se indica. a) 9,, Observando las fracciones. 8 b) 4, 4, Reduciendo a común denominador. c) 9,, 9 Representándolas en una recta. a) 9 8 Ya que se trata de fracciones con igual numerador, es más grande la que menor denominador tenga. b),, 4 4 4 4 4 c) 9 9 9 9.4 Escribe en cada caso la fracción irreducible. a) b) 8 c) d) 8 4 a) b) c) d).4 Realiza las siguientes operaciones. a) 4 4 c) 4 4 b) d) 4 4 a) 4 4. 4 4 8 8 9 b) c) 4 4 4 4 4 4 8 d) 4 4 4 8 4 4
.4 Efectúa esta operación. 4 4 4 4 4 : 4 4 : 4 9 4 9 4 4 4.4 En mi cumpleaños, he partido la tarta en trozos iguales, pero un amigo me dice que le dé 4 de la 4 tarta. Cuántas porciones de la tarta le tengo que dar? Por qué? Le tengo que dar dos trozos, ya que: 4 4 Números decimales.44 Encuentra una fracción que esté situada entre 4 y. 4 4,, 4.4 Indica, sin realizar la división, qué tipo de expresión decimal tiene cada fracción. a) c) b) 4 d) a). Es decimal exacto. c). Es periódico mixto. b). Es periódico puro. d) Es periódico puro..4 Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales. a) 4, c),4 b), d), a) 4 4 4 c) 4 4 9 9 9 9 8 4 4 b) 99 9 9 d) 99 9 9 9.4 Realiza las siguientes operaciones, expresando los decimales previamente en forma de fracción. a),4vv,4 b),4v w a) 4 4 9 4 4 4 4 4 4 9 9 4 b) 4 9 8 9
.48 Representa estas fracciones utilizando el teorema de Tales. a) c) b) d) a) c) = + b) d) = + 4 Números reales.49 Clasifica estos números en racionales o irracionales. Justifica la respuesta. a) c) b) 4,... d) 4,... a) Irracional. No podemos expresar su parte decimal de modo exacto o periódico. b) Irracional. En la parte decimal, después de cada se le añaden sucesivamente,, cifras de. De este modo, nunca lo podremos expresar de forma periódica o exacta. c) Racional.. Número entero d) Racional, de período. Realiza estas aproximaciones del número 4,. a) Aproxima por defecto a la centésima. b) Aproxima por exceso a la milésima. c) Redondea a la parte entera. d) Redondea a la décima. a) Aproximación por defecto a la centésima: 4, b) Aproximación por exceso a la milésima: 4,8 c) Redondea a la parte entera: 4 d) Redondea a la décima: 4,. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete al elegir, como aproximación de. a) Error absoluto: E abs,,... E abs b) Error relativo: E relat,88...
. Efectúa estas operaciones con una aproximación de tres cifras decimales, por exceso y por defecto. a) b) a) Por exceso,4,,4, Por defecto,4,,44,9 b) Por exceso,,4, Por defecto,,44,4. Representa cada uno de estos números irracionales en una recta. a) c) b),44... d),... a) c) 8 = + = ( 8) + = ( ) + = 4 + 4 8 [, ] b) d) [,4;,] [, 4] 4 [;,] [,4;,48] [,;,] 4.4 Halla el valor de x e y para que se cumpla la relación. x y 4 x y 4. Respuesta abierta. Por ejemplo:,; 4, x y, (Fracción irreducible). Dibuja en una recta estos intervalos y semirrectas. a) [, ) c) (, 4] b) [, ) d) (, 4) a) c) 4 b) d) 4
. Indica el intervalo que representa cada dibujo. a) c) b) d) a) [, ] c) (, ) b) (, ] d) (, ]. Representa la relación x en una recta y escribe el intervalo que la determina. x x El intervalo que determina es (, ).
CUESTIONES PARA ACLARARSE.8 Qué fracción le falta a para completar la unidad?.9 Indica si son correctas estas desigualdades. a) 8 b) 8 a) Expresamos las fracciones con común denominador: 4 ; 8 ; ; 8 Falsa b) Expresamos las fracciones con común denominador: 9 ; 98 ; 9 ; 4 4 4 8 Falsa. Responde a las siguientes cuestiones. a) Qué fracción del alfabeto representan las vocales? b) Qué fracción de la decena representa la centena? c) Qué fracción de la semana representa el lunes? d) Qué fracción del día representa minuto? e) Qué fracción de un siglo representa mes? f) Qué fracción del kilómetro representa centímetro? Alfabeto 8 letras a) Vocales letras 8 b) centena decenas c) semana días d) día 44 minutos 4 4 e) siglo años meses f) km cm. Indica qué relación tiene el triángulo de catetos 4 y, con la representación del número 4. 4 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 4 y, verificando dicho triángulo el teorema de Pitágoras: 4 4
. Qué paréntesis son necesarios y de cuáles podríamos prescindir en estas operaciones? a) 4 b) c) 4 4 4 d) 4 4 a) Sobra el paréntesis, pues la división ya tiene prioridad sobre la suma. b) Sí es necesario, ya que: c) Sobra el paréntesis, ya que solo hay sumas y restas, que no tienen prioridad una sobre la otra. d) No es necesario, por las razones expuestas en a y c.. Explica si son ciertas o falsas estas afirmaciones. a) Todo número entero es racional. b) Todo número real es racional. c) Muchos números racionales son naturales. d) Un número racional tiene una sola expresión fraccionaria. e) Los números irracionales forman el conjunto de todos los números con infinitas cifras decimales. a) Verdadero, ya que todo número entero z se puede escribir como z. b) Falso, porque los números reales están compuestos por la unión de los racionales y los irracionales. Por ejemplo, no es racional y sí es real. c) Verdadero. Todos los racionales con numerador que sea un número natural y denominador igual a uno. d) Falso. Por ejemplo: 4... e) Falso. Además de tener infinitas cifras decimales, estas han de ser no periódicas..4 Se pueden encontrar dos números enteros cuyo cociente sea,444? Justifica la respuesta. No, ya que si se pudiese expresar dicho número como cociente de dos números enteros, sería un número racional, y,4444... es un número irracional.
PROBLEMAS PARA APLICAR. Los resultados finales de junio de una clase de.º de ESO son los siguientes: Aprueban todo Suspenden Suspenden Suspenden Suspenden 4 Suspenden más de 4 Si el grupo es de alumnos, cuántos alumnos hay en cada nivel de suspensos? Aprueban todo: de alumnos. Suspenden : de alumnos. Suspenden : de alumnos. Suspenden : de alumnos. Suspenden 4: de alumnos. Suspenden más de 4: de 4 alumnos.. El agua es un elemento escaso en nuestro planeta, sobre todo que utilizamos en las necesidades diarias. Agua en la Tierra % Dulce Agua dulce en la Tierra, % Subterránea 9 % Salada De cada litros de agua, qué parte se encuentra en los ríos y lagos? Si tenemos litros de agua, solo de ellos son de agua dulce, y a esos litros tenemos que aplicarles un, %. De modo que: De litros de agua, solo, litros son potables., % Glaciares,, L, % Ríos y lagos
. De todas mis vacaciones de verano, las paso en mi pueblo. Una vez allí, del tiempo estoy en la piscina. a) Qué fracción de mis vacaciones estoy en la piscina? b) Si tengo 9 días de vacaciones, cuántos días paso en la piscina? a) La fracción de tiempo que paso en la piscina es: de b) El número de días que estoy en la piscina es: de 9 8 días.8 El equipo de baloncesto del instituto juega la final del campeonato. Luis hizo 8 de los puntos, Sonia los 8 y Laura los. Los restantes jugadores hicieron puntos. Calcula el número de puntos conseguidos por Luis, Sonia y 8 Laura. 8 8 8 8 los restantes jugadores obtuvieron de los puntos del equipo, que son puntos ( ) 8 4 8 puntos obtuvo todo el equipo. Luis consiguió 8 de 4 8 puntos, Sonia 8 de 4 puntos y Laura de 4 4 puntos. 8.9 Juan trabaja el fin de semana como canguro, y de los 9 euros que le pagan decide dar a su padre y a su madre. Qué fracción del total puede invertir en un regalo para su hermano menor, si necesita quedarse con euros para comprar un compás? da a sus padres. de 9 4 9 4 4 le restan. Ahora le restamos el dinero para el compás: 4 le quedan para el regalo. Como inicialmente tenía 9, la fracción respecto al dinero inicial es. 9. En un concurso organizado por el ayuntamiento sobre hábitos saludables y de higiene, nuestra clase recibe el primer premio. Decidimos invertir el premio en material para el uso del aula, de la siguiente forma: del premio en un escáner. 4 del premio en una minicadena. del premio en un DVD. Como nos excedimos en la compra, el centro nos hizo un bono regalo valorado en los 4 euros que nos faltaban. A cuánto ascendió el premio? 4 se gastó en el escáner, en la minicadena y en el DVD. Ya que nos excedimos en del premio, que son 4, obtenemos que: (4 ) 84 es el valor total del premio.
. El resultado del cálculo del área de un círculo de centímetros de radio es 8,4 centímetros cuadrados. a) Qué aproximación de se ha tomado? b) Es por exceso o por defecto? c) Cuál es el error absoluto y relativo cometido? a) A círculo r A círculo 8, 4,49 r 9 b) La aproximación tomada es por exceso, ya que,49... c) Error absoluto:,49,49...,..., Error relativo:,8..., 49.... En el triángulo equilátero de la figura. a) Determina la altura redondeando a la milésima. b) Expresa la altura mediante un número racional de dos decimales. a) Aplicando el teorema de Pitágoras: h,9 cm b) h,9 9 cm h. Los griegos consideraban que las dimensiones perfectas de un rectángulo cumplen la igualdad: a b y a este número le denominaban número áureo o número de oro. Utiliza una aproximación a la centésima del número de oro, para calcular las dimensiones del rectángulo áureo de 4 centímetros cuadrados de área. a, a,b. Por otro lado: b Área a b,b b 4,b 4 b 4,8 cm. Sustituimos en la anterior expresión para obtener: a,b,,8,4 cm.,
Números racionales REFUERZO.4 Realiza estos cálculos teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. a) 4 c) 4 b) 4 d) 4 a) 4 8 b) 4 4 4 c) 4 4 4 d) 4 9. Halla los valores que faltan en la tabla. Expresión decimal,, Expresión fraccionaria 4 4 Expresión decimal,48 w,4v Expresión fraccionaria 9 Números irracionales. Aproxima con dos cifras decimales el valor de, por exceso y por defecto. Por exceso 4, Por defecto 4,. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. a) 9 c),444 b) d) 49 a) Racional, el resultado de la operación es 4. b) Irracional, es un número irracional, su expresión decimal ni es exacta ni se puede expresar de forma periódica; al multiplicarlo por ocurrirá lo mismo. c) Irracional. En la parte decimal, después de cada 4 se le añaden sucesivamente,, cincos. De este modo, nunca lo podremos expresar de forma periódica o exacta. d) Racional, el resultado de la operación es.
.8 El resultado del cálculo de la diagonal del rectángulo de la figura es,8. cm cm Determina el error absoluto y el error relativo. El valor de la diagonal es 4. Error absoluto:,8,8989,48, 48... Error relativo:,8, 8989....9 Calcula, con un aproximación de dos decimales, por exceso y por defecto. Por exceso,,, Por defecto,4,, Números reales.8 Representa en la recta real el número. = ( ) + = + = ( ) +.8 Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos. a) b) c) a) (, ] b) [, ) c) (, ]
AMPLIACIÓN.8 A una fiesta de números racionales, asistieron los siguientes. 4 9 9 9 4 99 Se quisieron colocar por orden de mayor a menor. A uno se le ocurrió que para ello podrían vestirse de números decimales, pero alguno de ellos no había traído el traje. a) Cuál fue el orden de colocación? b) Entraron a la fiesta 4 colegas y cada uno de ellos se situó entre dos de los otros. Se vistieron para ello de decimales, uno de exacto, otro de periódico puro y el último, que se coló, de irracional. Qué posibles colegas encajarían con esas condiciones? a) m.c.m. (9,,, 9, 99) 98 4 9 8 ; 8 ; 9 98 98 9 ; 4 8 4 9 4 98 99 98 9 99 9 b),4 4 9 Decimal exacto,44... 4 Periódico puro 999,4... 4 9 Periódico mixto 9,... Irracional.8.84 Observa la siguiente operación. 4 a) Qué prioridad no se ha tenido en cuenta en la operación? b) Introduce los paréntesis que se necesitan para que la solución sea correcta. a) La de la división, se han hecho primero las dos restas. b) : 4 Se han realizado tres cálculos distintos del volumen de un cilindro de centímetros de radio y centímetros de altura. En cada uno de ellos se ha utilizado una aproximación distinta de. V,99 cm V,998 cm V,98 cm En cuál de ellos se ha utilizado la mejor aproximación de? V,99,4 V,998,49 V,98,4 La mejor aproximación se ha utilizado en V, y ha sido,49..8 La longitud de una circunferencia se expresa mediante un número irracional. Indica el valor que debe tener el radio de una circunferencia para que la longitud de esta circunferencia sea un número racional. Justifica tu respuesta. La longitud de una circunferencia es: L r; como es un número irracional, la longitud de una circunferencia también es un número irracional. Pero si r k L k k Q, con k N
PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.8 La noria La noria de la figura contiene coches para viajeros nombrados de la A a la L. B A L C K D J E I F G H La noria tarda exactamente segundos en dar una vuelta completa. a) Indica cuánto tiempo pasa desde que la noria comienza a girar hasta que el coche A pasa por tercera vez por la posición inicial de D. b) Indica la posición de los coches cuando han pasado exactamente minutos y 4 segundos. a) Cuando el coche A pasa por tercera vez por la posición inicial de D, la noria ha dado dos vueltas y cuarto y, por tanto, han pasado, 4, segundos. b) Un coche tarda en pasar de una posición a la consecutiva:, segundos minutos 4 segundos segundos 48 posiciones 48 8, Por tanto, la noria habrá dado vueltas más ocho posiciones..8 Transporte de pescado. Se precisa transportar kilogramos de pescado desde tres puertos marítimos P, P y P hasta tres ciudades del interior C, C y C. Las cantidades disponibles en los puertos y las demandadas por las ciudades son las siguientes: P P P C C C Completa la tabla siguiente en la que se indican las cantidades que van de cada puerto a cada ciudad. Habrá más de una solución, pero el número de trayectos debe ser el mínimo posible. Razona por qué es el número mínimo de trayectos. El número de trayectos deberá ser superior o igual a tres ya que desde cada puerto debe salir al menos uno. Sin embrago, no puede ser tres ya que los kg del puerto uno no pueden ir a un única ciudad de destino. Una posible solución de cuatro trayectos sería la que aparece en la tabla. P P P C C C
AUTOEVALUACIÓN.A De una tarta dividida en porciones iguales, Iker, Mohamed y Luis se comen, y de la tarta, respectivamente. a) Cuántos trozos se toma cada uno de ellos? b) Cuántos sobran? a) de es, de es y de es 9. Iker se toma trozos; Mohamed, y Luis, 9. b) ( 9). Sobran trozos..a Halla el valor de las letras que aparecen en esta cadena de igualdades de fracciones. a 4 d b c 4 4 4 4.A Representa en la recta real los siguientes números. a) b) c) d) 8 4 - - 8 - - 4 4 4.A4 Averigua la expresión fraccionaria de estos números decimales. a) 8, b), c),4444 a) 8 b) 99 9 9 c) 4 9 9
.A Realiza y simplifica estas operaciones. a) c) 4 b) 4 4 d) 4 4 8 a) 8 4 b) 4 c) d) 4 4 8 9 9 49 4.A Efectúa la operación, con una aproximación de una cifra decimal, por exceso y por defecto. Por exceso,,, Por defecto,,,.a Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete al tomar, como aproximación de. 49 Error absoluto:,,, Error relativo:,...,4,....a8 Realiza esta operación. 4 4 4 8 8 4 4 4.A9 Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos. a) b) 4 a) (, 4] b) [, )