Solucionaio l cao aitatoio CICIS USS. n los étices e un tiánulo equiláteo e e altua, se encuentan tes asas untuales e, y k, esectiaente. Calcula la intensia el cao aitatoio en el baicento el tiánulo. enieno en cuenta en la fiua la sietía e la istibución e las asas, lo ás aecuao en este caso es one el cento el sistea e cooenaas en el baicento el tiánulo. ste se encuenta a / e la altua, e anea que, tenieno en cuenta que el lao el tianulo equiláteo es: l l l, las cooenaas e los étices el tianulo con esecto al baicento seán: C C (, ); (,); C (, ) k k os ectoes e osición e con esecto a las asas seán: i j ; j ; i j oos ellos tienen e óulo. l cao aitatoio en es la sua e los caos aitatoios ceaos o caa una e las asas: i j j i j C ; ; ; C C k enieno en cuenta las coniciones e sietía e la osición y la asa e los étices y C, se e enseuia que las coonentes en x e y C se anulan. n cuanto a la coonente en el eje y, se tiene: 8 9 j,, j ( N k ) 8 8. n los untos (, ), (, ) y (, ) existen tes asas iuales e k caa una. Calcula la intensia el cao aitatoio en el oien e cooenaas. De la obseación el ibujo, tenieno en cuenta que las asas son iuales, y se euce ineiataente que los caos aitatoios e las asas situaas en el eje e oenaas, y k (,), se anulan. o lo tanto, es suficiente con calcula el cao ( ceao o la asa situaa en el unto (, ): _,) x k 9, i, i ( N k ) k (, _ ). enieno en cuenta los aios ola y ecuatoial e la esfea teeste, calcula los aloes e en esos untos. os aios ecuatoial y ola teestes se ueen enconta en el ítico que acoaña al libo; sus aloes son: aio ecuatoial: 8 k; aio ola: k. Sustituyeno estos aloes en la exesión el cao aitatoio teeste, se tiene:,98 e, 9,8N k ; (,8 ),98, 9,8 N k (, ) Solucionaio
. Si se uiea efoa un ozo e k e ofunia, cuánto alía la intensia el cao aitatoio teeste en su inteio? Dento e una esfea e ensia e asa constante, el cao aitatoio solo eene e la asa que se encuenta con un aio infeio al aio en que nos encontaos. o tanto: I u ; I 9,8 9, N k. n una zona el esacio one está establecio el cao e fuezas unifoe con F i 9j, se uee una atícula ese el unto (, ) al unto (, ). Calcula la ifeencia e eneía otencial que exeienta en el taslao. Coo los caos e fuezas unifoes son caos conseatios, se uee establece el conceto e ifeencia e eneía otencial coo el tabajo que hace el cao aa llea la atícula ese hasta o cualquie caino. Si se llea en línea ecta siuieno el ecto, este tabajo seía: Δ () () W F n este caso, F es constante y se uee ealiza el cálculo e la siuiente anea: Δ F F ( ) ( i 9 j) ( i j) 9. Si el oien e eneía otencial el ejecicio anteio se sitúa en el unto (, ), calcula las eneías otenciales en y en. o efinición, la eneía otencial e es iual al tabajo ealizao o el cao aa llea la atícula ese el oien e eneías otenciales (oien) hasta. o lo tanto, siuieno el iso azonaiento el oblea anteio, se tiene: () F F ( ) ( i 9 j) ( i j) () F F ( ) ( i 9 j) ( i j) 8 8. n los étices, y C e un cuaao e e lao, existen asas e, y k, esectiaente. Calcula el tabajo que hay que hace aa eslaza una asa e, k ese el cento el cuaao al étice D. l tabajo se coesone con la ifeencia e eneía otencial aitatoia e la asa e, k cuano ocua el cento y cuano ocua el étice D. o ota ate, la eneía otencial aitatoia en el cento es iual a la sua e las eneías otenciales aitatoias que han ceao las asas en, y C: n i i i C aa la atícula situaa en el cento y en D, la eneía otencial seía: (), (D), C,,,,, Dao que el tabajo es la ifeencia e eneías otenciales inicial y final, se tenía: W D () (D), Solucionaio
Solucionaio onaio.8 esuele e nueo el ejecicio ouesto eleano ahoa el conceto e otencial aitatoio. l lanteaiento es el iso, eo eleano el conceto e otencial aitatoio. Una ez calculaa la ifeencia e otencial, basta con ultilica esta o la asa tansotaa. sí, el otencial aitatoio es: V n i i i C que aa el cento el cuaao y aa el étice D esultan: V (), V (D), C,,, a ifeencia e otencial aitatoio ente los os untos es, k y la ifeencia e eneía otencial seía: W D () (D) ΔV, k k,,.9 Sabieno que la istancia eia e la iea a la una es e,8 8, calcula el otencial aitatoio en el unto situao ente la iea y la una en el que. n ie lua, hay que situa en la ecta iea-una el unto en el que el cao aitatoio teeste y luna tiene iual óulo y sentio contaio. Si ese unto está a una istancia x e la iea: x x ( x) ( x) 8, 8, x ( x) Sustituyeno o su alo, se tiene: l otencial aitatoio en este unto seá: V 8, 8 x (,8 x) 8,x, 8 x, 9 x, e la iea y,9 e la una,, 8,8,9 k. Calcula si una nae esacial lanzaa ese la una con la elocia e escae luna escaaía e la atacción e la iea. No escaaía, ao que la eneía cinética que tenía que tene ebeía coensa, aeás el cao aitatoio luna, al cao aitatoio teeste en la óbita luna. Solucionaio
. a asa el sistea sola está ácticaente concentaa en el Sol. Calcula la elocia con la que hay que lanza una nae ese la iea aa que escae el sistea sola. Coo en el oblea anteio, la elocia e escae el sistea sola aa un cueo que se lance ese la sueficie teeste es: e Sol,99,9, s. Inica el tio e tayectoia que escibe una nae esacial e k e asa situaa a k el cento e la iea y cuya elocia es e 9 s. Dato.,98 k l tio e óbita iene fijao o la eneía ecánica e la nae. aa este caso: Y la eneía cinética es:,,98, 9 c, 9, a eneía ecánica es entonces ceo y el cueo tiene una tayectoia aabólica que le lleaá al infinito. 9. Un satélite atificial e 8 k e asa escibe una óbita elítica aleeo e la iea que ocua uno e sus focos. n el eieo, a k e altua, su elocia es e 9, s. Calcula la elocia cuano esté en un unto a una istancia e k e la sueficie teeste. a eneía ecánica el satélite es constante en cualquie unto e su tayectoia. Calculánola aa el eieo, se uee euci la eneía cinética y la elocia en cualquie oto unto e su tayectoia. n el eieo: c,,98 n el unto a k e istancia, la eneía otencial es: Con lo que la eneía cinética seá: y la elocia e la nae seá:,,,98, 8 8 8, 9,9 (9, ),,9 8 9 8 s. Calcula a qué ofunia e la sueficie teeste el cao aitatoio es iual al existente a una altua iual al aio teeste. Si se iualan las exesiones coesonientes a los caos aitatoios y se eseja: a ofunia ese la sueficie teeste seá: h Solucionaio
Solucionaio onaio. Se suelta una canica e iio e 8 e asa a c e istancia e un cable etical e un ontacaas e una ina que tiene una asa e,9 k o eto e lonitu. Calcula la fueza con que el cable y la canica se ataen. licano el cao aitatoio ceao o un cilino e an lonitu, seún se ha eucio e la alicación el teoea e auss, se tiene:,,,9 a fueza e atacción ente la canica y el cable seá el oucto el cao aitatoio ceao o el cable o la asa e la canica: F,8,8 N N k CICIS Y S C VII. C VII S. Una asa untual e k está situaa en el oien e un sistea e cooenaas. Calcula la intensia el cao aitatoio en el unto (,, ). l ecto e osición el unto, su óulo y el ecto unitaio coesoniente son: i j k, 9 y u i j Sustituyeno en la exesión el cao aitatoio, se tiene: u, i j k, k ( i j k)( N k ). De un cao aitatoio se sabe que lo ha ceao una asa untual situaa en uno e los ejes e cooenaas y que en el unto (, 8) el ecto ( 9i j) N k. Calcula la osición y el alo e la asa que lo enea. a asa se encuenta en uno e los ejes. Dao que el cao aitatoio no es aalelo al eje y, se tiene que la asa ha e esta en el eje x, coo se uesta en la fiua. a osición el eje en que se encuenta se uee calcula coo: 9 tα x 8 x, ueo la asa se encuenta en el unto (,; ). l alo e la asa se uee calcula a ati el óulo e : y (,8) ( _ 9 i _ j )., x x 9 ( 9) ( ), (, 8 ),8 8,, 9 k.8 Dos asas untuales e iuales se encuentan en étices ouestos, y C, e un cuaao e e lao. Calcula el alo el cao en los otos étices el cuaao. l cao ceao o las asas e y C en los untos y D e la fiua son la sua e los caos ceaos o caa asa: i j ( i j) (N k ) D i j ( i j) (N k ) D D C Solucionaio
Solucionaio.9 Calcula el cao aitatoio ceao o el Sol en los untos e la óbita teeste. Hay que sustitui la asa el Sol y la istancia el Sol a la iea en la exesión el cao aitatoio: N k,9 ) (,9,989,. Calcula la altua, exesaa en función el aio teeste, en la que: enieno en cuenta la exesión el cao teeste: u u Dao que esta istancia incluye al aio e la iea, la altua sobe la sueficie seá: ) ( h h. Calcula la ofunia, exesánola en función el aio teeste y suonieno que la iea es una esfea hooénea, a la que: enieno en cuenta el cao aitatoio en un unto el inteio e la iea, que es el eneao o la ate e la asa que se encuenta a istancias infeioes al cento que el unto consieao, se uee escibi la siuiente elación: I a ofunia seá: h. l eso e una nae esacial en un unto el cao aitatoio teeste es eces ayo que en oto. Cual es la elación e sus istancias al cento e la iea? l eso e la nae esacial es iual a su asa o la intensia el cao aitatoio en caa unto. Si ente os luaes hay una elación e a en el eso, esa isa elación seá la que habá ente los caos aitatoios. o tanto:. Una asa cae ese e altua y con una aceleación e,8 s sobe la sueficie e un laneta que tiene un aio,. Calcula la asa el laneta en elación con la e la iea. a ecuación e la aceleación aitatoia es equialente aa los os lanetas; ao que la altua consieaa es uy infeio al aio el laneta, lanteano las ecuaciones y sustituyeno los aloes inicaos, se tiene:,, 9,8,8
Solucionaio onaio CS CNSVIVS. NÍ NCI. NCI VII. l cao aitatoio, en ausencia e ozaiento, es conseatio. Calcula el tabajo necesaio aa subi una caa e k con una úa que la iza eticalente o eslizánose o un lano inclinao e º. º Dao que el cao aitatoio es conseatio, el tabajo seá iual al inceento e eneía otencial. o tanto, el tabajo en abos casos seá: W Δ h 9,8. Una caja cúbica e e aista está situaa en un cao e fuezas F i j k en el sistea e cooenaas efinio o sus aistas. Coueba que el cao es conseatio calculano el tabajo que se ealiza aa llea la atícula ese el oien (,, ) a la esquina ouesta (,, ) iectaente y siuieno las aistas. n la fiua, se obsean los os cainos osibles; en el caino iecto: W F F F ( i j k) ( i j k) 8 (,,) Cuano se llea a taés e las aistas, se tiene: W W W C WC os tabajos aciales son: W F F F ( i j k) i C C W C F F F (C ) ( i j k) j W C l tabajo total seá: F F C W C F ( ) ( i j k) k 8 W W C WC 8 C (,,) C (,,). n un cao conseatio ceao o una fueza constante e óulo N, el tabajo ealizao aa i ese el unto (,, ) al unto (,, ) es 8. Calcula el ánulo que foa la tayectoia con la fueza. l tabajo es un oucto escala, e anea que se uee establece la siuiente elación: W 8 W F F cos α cos α,8 α,9º F ( ) ( ) ( ) Solucionaio
. Calcula el tabajo necesaio aa llea una atícula e k e asa ese el unto (,, ) al unto (,, ) en el cao aitatoio ceao o una esfea e k que ocua el oien e cooenaas. l tabajo seá equialente al inceento e eneía otencial. o tanto: W Δ (,,) (,,) Dao que la istancia al oien es iual aa el unto inicial y el final, no hay que hace tabajo aa oe la asa..8 Calcula la eneía otencial e una asa e k que se encuenta en el cento e un cuaao e e lao cuyos étices están ocuaos o asas e,, y k. k k k l k k a eneía otencial aitatoia e la asa situaa en el cento el cuaao es la eneaa o las asas que se encuentan en los étices: V, ( ) ( ),.9 os tes étices e un tiánulo equiláteo e e lao están ocuaos o asas e k. Calcula el tabajo necesaio aa aleja sucesiaente las asas ese los untos que ocuan hasta el infinito. a eneía necesaia aa enia una asa ese su situación hasta el infinito es equialente a su eneía otencial aitatoia con sino contaio. o tanto, aa enia la iea asa es necesaio ealiza el siuiente tabajo: W W,, as eliina la iea atícula, el tabajo necesaio aa enia la seuna al infinito es: W W,, as eliina la seuna atícula solo quea una tecea que no se encuenta en ninún cao aitatoio aate el suyo oio. o tanto, W Solucionaio
Solucionaio onaio. Dese qué altua hay que solta un cueo sobe la sueficie luna aa que lleue a ella con la isa elocia que llea a la iea cuano se suelta ese? Duante la caía e una asa en un cao aitatoio, se ueen alica las ecuaciones el ua; o tanto: h () () h () h h h () a aceleación e la aea en la una es:, (),, s (, ) Sustituyeno este alo en la ecuación anteio, se tiene: 9,8 h h h,. n la eesentación áfica el cao aitatoio ceao o una asa untual, la línea e V k es una cicunfeencia e 8 c e aio. Calcula el aio y ibuja las líneas coesonientes a los otenciales: aa el otencial el enunciao, se cule la elación: V V (,, 8,, ) k V ( ),8 o tanto, aa los ifeentes aloes se tiene que culi la ecuación: V,8 k,8,8 V () k l esultao e alica esta ecuación a los aloes el enunciao son: (; ; ;,8; ) c a eesentación áfica seía: V _. k _ V _ 8. k _ V _. k _ c c V _. k _ c,8 c c V _. k _. Un laneta e las isas iensiones que la iea tiene una ensia eia. Calcula: a) qué istancia e su cento el cao aitatoio es iual al e la sueficie teeste? b) qué altua sobe su sueficie el otencial aitatoio es iual al e la sueficie teeste? a) l cao aitatoio en la sueficie el seuno laneta tená la siuiente aceleación aitatoia: Iualano el cao en el inteio el laneta con el e la sueficie e la iea, se tiene: b) Iualano el cao en el exteio el laneta con el e la sueficie e la iea, se tiene: h h ( ) 8 Solucionaio
. Un cueo se lanza ese la iea con una elocia iual a la ita e la elocia e escae. a) Hasta qué altua subiá? b) Si lo que se etene es onelo en óbita cicula, cuál seá el aio e la isa? a) a elocia e lanzaiento y la eneía cinéticas seán: c a eneía otencial en el oento el lanzaiento es: a eneía ecánica total el cueo seá: c l cueo subiá hasta que toa la eneía ecánica sea eneía otencial; o tanto: h h h b) Si se coloca en una óbita cicula, el cueo tená eneía cinética y eneía otencial. Iualano la eneía ecánica e un cueo en óbita cicula con la eneía ecánica calculaa anteioente, se tiene: óbita n estas coniciones, se tenía un aio e óbita infeio al teeste, lo que esulta iosible.. Calcula el otencial aitatoio en un unto situao a 9 k e altua sobe la sueficie teeste. l otencial aitatoio seía: V, h,98,,9,9 k. Se quiee lanza una sona e 9 k e asa que lleue hasta los k e altua aa ealiza alunos exeientos en icoaea uante su caía. Calcula la elocia inicial que hay que ale y la eneía necesaia. a eneía ecánica uante el lanzaiento ha e se iual a la eneía otencial el unto ás alto e su tayectoia. o tanto: lanzaiento óbita Desejano y sustituyeno, se eteina la elocia el lanzaiento: h h ( h),,98,,,9 s a eneía cinética el lanzaiento es: 9 9 (,9 ), c Solucionaio 9
Solucionaio onaio. Calcula la ifeencia e otencial aitatoio ente la sueficie teeste y un unto a e altua sobe la iea. Dao que la aiación e altua es equeña en coaación con el aio e la iea, se uee alica la siuiente ecuación: ΔV h 9,8 k - SÉIS IFICIS. a ensia eia e úite es, k, y su aio eio,,. Calcula: a) a aceleación e la aea en su sueficie. b) a elocia e escae. a) a aceleación e la aea, que es el cao aitatoio, seá: a π π π,,,, s b) a elocia e escae ese la sueficie e úite es: e e,,, s.8 Una nae esacial en óbita aleeo e la una lanza en sentio contaio a su acha y con la isa elocia una sona e 9 k, con el fin e que choque conta la sueficie luna. Si la nae está a k e altua, con qué elocia lleaá la sona al suelo luna? a nae lanza la sona con la isa elocia que tiene ella y con sentio contaio, e anea que un obseao sobe la sueficie e la una eía la sona coo aaa a k e altua y, ese allí, sufiá una caía libe. Duante la caía, ate e la eneía otencial se coniete en eneía cinética hasta que choca con la sueficie e la una. o tanto: c su eficie h h ( h) Sustituyeno los aloes el enunciao y e la una, el ítico se tiene:,,, (, ), s.9 Se llaa aujeo neo a los cueos celestes en cuya sueficie la elocia e escae es iual o sueio a la elocia e la luz. Calcula la ensia que ebe tene un cueo celeste e k e iáeto aa que sea consieao un aujeo neo. Sin conta efectos elatiísticos, la elocia e escae en la sueficie e un cueo esféico es: e π Desejano y sustituyeno, se tiene: e 8 π 8, 8 ( ) π ( ), 8 k Solucionaio
. a nae esacial Discoey escibe una óbita cicula aleeo e la iea a una elocia e, s. Calcula el aio y el eíoo e su óbita. a elocia e una óbita cicula es aquella que hace que la fueza centíeta sea iual a la atacción aitatoia: Desejano el aio e la óbita y sustituyeno los aloes, se tiene:,98,,8 (, ) l eíoo e la óbita se uee calcula a ati e su lonitu y e la elocia obital: π π,8,, s. l ie satélite atificial, Sutnik I, tenía un eíoo e seunos. Calcula el aio e su óbita utilizano únicaente los aloes e 9,8 N k y,. De la tecea ley e Kele se eteina: π π a aceleación e la aea se uee elaciona con alunas e estas anitues: Sustituyeno este alo en la iea ecuación y sustituyeno o sus aloes, se tiene: π 9,8 (, ) π,9. Un laneta e aio k tiene a k e istancia un satélite que ia a su aleeo con un eíoo e ías y, hoas. Calcula la elocia e escae ese su sueficie. a elocia e escae e la sueficie e un laneta es: e licano la tecea ley e Kele, al iual que se ha hecho en el ejecicio anteio, se tiene: π Sustituyeno en la anteio ecuación, se tiene: π e π Sustityeno los aloes el enunciao, se tiene: e 8π ( 8 ( ), ) 8, s Solucionaio
Solucionaio onaio. Un satélite e k está en óbita a k e altua sobe la sueficie teeste. Calcula: a) a elocia lineal con la que se uee. b) a eneía necesaia aa onelo en óbita. a) a elocia e una óbita cicula a una altua h sobe la sueficie teeste se uee eteina iualano la aceleación aitatoia con la aceleación centíeta y sustituyeno los aloes el enunciao: ( h) h h,,98,, s b) a eneía necesaia aa onelo en óbita se obtiene el inciio e conseación e la eneía ecánica. a eneía ecánica en el lanzaiento y en la óbita es la isa: Sustituyeno, se tiene: s lanzaiento ( s h) lanzaiento s ( h) lanzaient o,,98,, (, ) 9. Un sistea eteoolóico consta e satélites que obitan la iea a k e altua sobe la sueficie teeste. Calcula la elocia y el eíoo e estos satélites. a elocia en una óbita cicula iene aa o:,,98,, s l eíoo se uee obtene e la tecea ley e Kele: π π,,98 (, ), s. Se llaa iea elocia cósica a la elocia necesaia aa antene un satélite en óbita asante sobe la sueficie el laneta. Calcula la iea elocia cósica e la iea. a elocia aa antene una elocia asante seá:,,98,,9 s. s osible one una nae esacial en óbita cicula aleeo e la iea con una elocia e 8, k s? aa esta elocia, el aio e la óbita seía:,,98 8, ste aio es infeio al e la iea, e anea que no es osible tene esa elocia obital. Solucionaio
. Un satélite atificial e k e asa está en óbita teeste a k e altua. Calcula, utilizano solaente los aloes 9,8 N k y,, su eneía ecánica y su oento anula con esecto al cento e la iea. a eneía ecánica e un satélite en óbita cicula es iual a la ita e su eneía otencial, es eci: l oucto se uee one en función e y e tenieno en cuenta la siuiente elación: Sustituyeno esta elación en la iea ecuación, se tiene: 9,8 (, ),,8 l oento anula y su óulo se efinen e la siuiente anea: a elocia en la óbita se efine coo: 9,8 (,, ), s l oento anula seá:,,9, k s.8 Calcula el aio y la asa e un asteoie esféico e ensia siila a la e la iea, k, aa que un hobe uea one en óbita cicula a su aleeo una iea e, lanzánola hoizontalente con la ano a s. l aio el asteoie seá iéntico al e la óbita, ao que la iea se lanza hoizontalente. leano la ecuación e la elocia obital y calculano la asa el asteoie en función e su ensia, se tiene: π π a asa el asteoie seá: π π, π π (, ), k,.9 Deuesta que la eneía que hay que counica a un satélite e asa que se encuenta en una óbita e aio ób aa colocalo en ota e aio ób es: ób a eneía que hay que suinista es iual a la ifeencia e eneía ecánica ente las os óbitas: ób ób ób ób ób ób ób Solucionaio
Solucionaio onaio. aa hace escene una nae esacial cuano está en óbita a k el cento e la iea, se le hace ee, eiante etocohetes, la ita e su eneía cinética. Calcula el aio e la nuea óbita. a eneía ecánica el satélite en su óbita es: c Si la eneía cinética se euce a la ita, se tená: c ób ób ób ób ób sta eneía se coesoneá con la eneía ecánica e la nuea óbita el satélite; o tanto: ób ób, ób ób ób. qué istancia e la iea la elocia obital es iual a la ita e la elocia e escae en su sueficie? a elocia obital y la elocia e escae teeste son: y o e Iualano la elocia obital con la ita e la elocia e escae, se tiene: o h h. un satélite que está en óbita cicula e aio ób se le auenta, eiante los cohetes oulsoes, la elocia en un %, y esués, eiante cohetes e anioba que no oifican su eneía cinética, se coie su tayectoia aa colocalo en ota óbita e aio ób. Calcula la elación ente abos aios. a eneía ecánica el satélite en su iea óbita es: c ób ób Si la elocia se auenta un %, asaá a se,, y la eneía cinética asaá a se, eces la inical; o tanto, se tená:, c, ób ób ób,9 sta eneía se coesoneá con la eneía ecánica e la nuea óbita el satélite; o tanto: ób,9 ób ób ób,9 ób, ób. eite el oblea anteio aa un auento e la elocia el,%. Si se auenta la elocia a,, la eneía cinética auentaá aa se el oble. c l se su eneía ecánica nula, el satélite no estaá liao a la iea y escibiá una tayectoia aabólica. ób ób Solucionaio
. Una eesa e telecounicaciones quiee one una seie e satélites en óbita con un eíoo e hoas. aa ello, uee colocalos iectaente en óbita ese la iea o bien tansotalos en el tansboao esacial hasta la stación sacial Intenacional (ISS), a 9 k e altua, coo aso inteeio, y lanzalos ese allí. Calcula la eneía e satelización necesaia en abos casos si la asa el satélite es e k. a eneía, aa colocalo en óbita en una sola etaa, seá: S F aa colocalo en os etaas, la eneía seá: S S S F n abos casos, la eneía e satelización es la isa. Dao que el eíoo e la óbita es e hoas, el aio obital es: a eneía e satelización seá: F,8 π, F,8 S,,98 F, F. eite el ejecicio anteio eo ahoa consieano que el satélite, cuano se lanza ese la iea, llea, coo eleentos e otección y oulsión, una asa aicional e k, que no llea cuano iaja en las boeas el tansboao. a eneía e la iea satelización es ayo:, 8,, S,98 a eneía e la seuna satelización seía: ',,,8 S,98 F a eneía e satelización total es: 9,,, 9,,. Dos tozos e chataa esacial chocan a k e altua sobe la sueficie teeste. Coo consecuencia el choque quean instantáneaente en eoso. Calcula la elocia con la que lleaían a la iea si la atósfea no los fenaa. n este caso, la eneía ecánica e la chataa es iual a la eneía otencial que tiene, que se coniete en eneía otencial y eneía cinética en la sueficie e la iea. o tanto, se uee establece la siuiente iuala: I F h h ( h) Sustituyeno los aloes, se tiene la elocia e la chataa en la sueficie e la iea:,,98, (, ),9 s Solucionaio
Solucionaio onaio F Y NÍ D S YCIS. Una nae esacial e 9 k e asa se encuenta en óbita elítica aleeo e la iea e anea que en el aoeo tiene una elocia a,8 s y que es iual a,8, sieno la elocia coesoniente a una óbita cicula. Calcula la eneía ecánica e la nae en el aoeo. a elocia obital aa una óbita cicula seía: a eneía cinética que le coesoneía seía:,8 9, s,8 9 (9, ), Coo en una óbita cicula la eneía cinética es la ita en óulo e la eneía otencial y e sino contaio, o tanto, la eneía otencial en el aoeo seía:, a eneía cinética e la nae en óbita elítica es: 9 (,8 ),8 a eneía ecánica e la nae en el aoeo y en cualquie unto e la tayectoia es:,,8,.8 l óulo luna eseó e la una aa acolase a la nae olo XI que obitaba a k e su sueficie. Deteina su elocia e satelización. Utilizaos los atos, k;,. a eneía total se consea ente el unto e salia e la sueficie luna,, y cualquie unto e la óbita. n el unto e salia e la sueficie luna el óulo tená una eneía total: s n un unto cualquiea e la óbita su eneía total seá: Se cule o tanto: s,,, s,8.9 os coetas tienen aleeo el Sol óbitas elíticas uy excénticas. Un cueo celeste que se uee en las oxiiaes el Sol tiene, cuano está a U, una elocia e, s. s un coeta? Dato. U, a eneía ecánica el cueo celeste es: Si el alo ente aéntesis es neatio, la eneía ecánica tabién lo seá y la tayectoia seá una elise. Si fuea iual a ceo, seía una aábola, y si fuea ositia seía una hiébola. Sustituyeno, se tiene:,,99 (, ) 8, k Dao que el alo es ositio, la tayectoia es una hiébola y no seá un coeta. Solucionaio
. hobos, satélite e ate, tiene un eíoo s y un aio obital e 9 k. Sabieno que el iáeto e ate es 8 k, calcula su ensia. enieno en cuenta que la óbita se uee consiea cicula, la atacción aitatoia seá iual a la fueza centíeta: a ensia que tená ate seá: F π π F ω F, k π,,8 π,9 k. Un tozo e chataa esacial, inicialente en eoso y uy alejao e la iea, es ataío o el cao aitatoio teeste. a) Qué elocia lleaá en el unto e cooenaas (,, ) con esecto al cento e la iea? b) osteioente asó o, e cooenaas (,, ). Qué elocia lleaba entonces? c) a tayectoia ente y, a qué cónica etenece? a) a eneía ecánica se consea y es ceo, ao que eanecía en eoso en el infinito. Cuano esté en el unto, su eneía cinética seá: c,,98,9 s b) l unto se encuenta a una istancia iéntica a la el unto. o tanto, la elocia e la chataa seá la isa. c) a eneía ecánica e los faentos es ceo, lueo se tataá e una aábola. D USS. n la noela Cita con aa, thu C. Clake oone una an nae extateeste esféica y hueca, one sees ajenos al sistea sola iajan o el unieso a la búsquea e lanetas one oe esaollase. Cuánto ale la aceleación e la aea en el inteio e icha nae? a aceleación e la aea en el inteio e un cueo eene e la cantia e asa que hay ente la osición en que se encuenta el unto one se quiee ei el cao y el cento o eje el cueo. Dao que es hueco, esta asa seá nula y la aceleación e la aea tabién lo seá. n la noela la nae ia sobe eje, lo que oía ouci una aea atificial.. Calcula con qué fueza o unia e lonitu se ataen os cables aalelos y seaaos c e un ontacaas e una ina que tienen una asa e k. l cao que enea una istibución lineal e asa es: a fueza aitatoia o unia e lonitu en el oto cable seá: F F,, F, 8 N Solucionaio
Solucionaio onaio S D SÍNSIS. n una eión el esacio suficienteente alejaa aa que se uea consiea que el cao aitatoio exteno es nulo, se fijan os asas untuales y e y 9 k, esectiaente, seaaas o una istancia e. ta asa e, k se encuenta libe y en eoso en un unto el cao ceao o abas. a) o qué han e esta fijas y? b) Dóne se encuenta el unto? c) Cuánto ale el otencial aitatoio en y la eneía otencial e la asa en ese unto? ) Si eiante un equeño iulso se euja hacia la asa, qué aceleación tiene y qué elocia llea cuano esté a e ella? e) Cuánto ale la sua e toas las fuezas que actúan sobe las tes atículas? a) s necesaio que estén fijas aa que no se aoxien ente sí y aa que el cao aitatoio en too el esacio se antena constante y uea tenese a la asa en eoso. b) l unto tiene que esta en el seento que une las os asas y se encontaá a una istancia x e la asa. Si las os fuezas aitatoias se iualan, se tiene: ( x) Desejano el alo e la osición, se tiene: x ( x ) x x 9 9 l unto x se encuenta ente las os asas a una istancia e e la asa ayo. c) l otencial e ese unto y la eneía otencial son: V x x, x x 9, 8 k V, ) a aceleación que tená la asa cuano esté a seá: a x ( x), 8 9,, 9, ( ) l eujón se consiea que no aota eneía cinética a la atícula, e anea que su eneía cinética seá iual a la aiación e la eneía otencial: V x x a eneía cinética seá: ; V x x, 8 s 9, 8 Δ ΔV ΔV (V V ) (,, ), s k e) Dao que la fueza que enea la asa en es iual a la que enea en, y lo iso sucee aa caa a e asas, o tanto, la sua e toas las fuezas aitatoias es ceo. 8 Solucionaio
. a estella S tiene, en una óbita elítica e eje ayo iual a os eces el eje eno, al laneta. n el eieo, la istancia e a S es U y la elocia es,, en la que es la elocia obital coesoniente a una óbita cicula a esa istancia. Calcula: a) a istancia a S en el aoeo. b) a elocia e en el aoeo. c) a elocia e en los untos en los que la tayectoia cota al eje eno e la óbita. α α e a) Dao que se tata e una óbita elítica, la istancia ente la estella y el aoeo se uee calcula coo la istancia ente la estella y el eieo ás la istancia ente los focos. Dao que el seieje ayo es el oble el seieje eno, se tiene que la óbita tiene una excenticia: b a e,8 aa la elise se tiene que la istancia ese la estella al eieo es: a istancia al aoeo sea: S U a ( e) a e,8 S, U S a ( e), (,8),9 U b) n el eieo y aoeo se cule la siuiente elación: S S S, S,9,88 c) n cualquie unto e la tayectoia, se tiene que la elocia aeola es constante. aa oe elea esta elación es necesaio conoce la istancia ese la estella hasta. ste alo se uee calcula hacieno uso e la seiistancia focal (c): c a b S c b a b b a, U a exesión que se eteina a ati e la elocia aeola es: S cos α S cos α c c b a b a b b a a a,8 Desejano la elocia en y sustituyeno los ifeentes esultaos se tiene:, S S cos α,,8, Solucionaio 9