PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 1: MATRICES Junio, Ejercicio 1, Opción B
3 Sean las matrices A 0 3, B y C 0 1 1 5 1 3 0 a) Calcule las matrices X e Y si: X Y A y X B Y b) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz D. t t A D C A D C D A C D A C SOCIALES II. 015 JUNIO EJERCICIO 1. OPCION B a) Resolvemos el sistema matricial b) 4 6 4 6 X Y X Y 6 3 1 3Y Y 3 3 3 3 1 1 X Y X Y 5 1 5 1 1 4 6 5 X X 1 1 3 1 A (,) D C(3,) No se puede, ya que para sumar matrices, éstas tienen que tener el mismo orden y la matriz resultante, también es del mismo orden. A D C Si se puede, la matriz D es de orden (,3) t (,) (,3) (,3) D(3,) A (,) C(3,) Si se puede, la matriz D es de orden (3, ) D A C No se puede, ya que la matriz resultante debe tener tantas columnas como t (,) (,3) columnas tiene la matriz A, y 3
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción A
Con motivo de su inauguración, una heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados. El primer tipo de tarrina está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 00 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y barquillos. Sólo se dispone de 8 Kg de helado de chocolate, 10 Kg de helado de straciatella y 100 barquillos. Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo número posible de tarrinas?. SOCIALES II. 015 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A Lo primero que hacemos es plantear el sistema de inecuaciones que define el problema. Para ello vamos a poner en una tabla los datos del problema. Chocolate Straciatella Barquillo x = Tipo A 100g 00g 1 y = Tipo B 150g 150g Total 8000g 10000g 100 100x150y 8.000 00x150y 10.000 Las inecuaciones del problema son: xy 100 x 0 y 0 La función que tenemos que maximizar es: F( x, y) x y. A continuación dibujamos el recinto y calculamos sus vértices. Los vértices del recinto son los puntos: A (0,0) ; B (50,0) ; C (0,40) ; D (0,50). Calculamos los valores que toma la función F( x, y) x y en dichos puntos F( A) F(0,0) 0 ; F( B) F(50,0) 50; F( C) F(0,40) 60 ; F( D) F(0,50) 50 Se deben fabricar 0 tarrinas del tipo A y 40 tarrinas del tipo B
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B
a) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 3ln( x) 3 f( x) g( x) (1 x ) ( x 1) 3 x 7x b) Halle las asíntotas de la función px ( ) 3x 1 SOCIALES II. 015 JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A 1 h x x x e ( ) 3 7 x a) f 1 3 3 x 3x 3ln x '( x) x ( x ) x x 3 x (1 3ln x) 3 (1 3ln x) 3 6 4 3 3 3 4 4 3 4 g '( x) x( x 1) ( x 1) 3 x (1 x ) ( x 1) x x 6x 6 x ( x 1) 8x 6x x x e h'( x) 6x 7 6x 7 ( e ) e x x b) 7x px ( ) 3x 1 La recta x 4 es una asíntota vertical, ya que: La recta 7 y es una asíntota horizontal, ya que: 3 7x 8 lim x4 3 x 1 0 lim x No tiene asíntota oblicua, ya que tiene asíntota horizontal. 7x 7 7 lim 3x 1 x 3 3
x si x 0 Se considera la función f( x) 8x a. si x x 1 a) Determine el valor de a, para que la función sea continua. b) Para a 10, es creciente la función en x 3?. c) Halle sus asíntotas para a 10 SOCIALES II. 015. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La función racional 8 x a es continua en x 1. Por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad en x. Estudiamos la continuidad en x 1. La función polinómica x es continua en lim f ( x) lim f ( x) f () 6 16 a a 10 8x a x x lim 16 a x 1 lim ( x ) 6 x x b) Calculamos la derivada 8( x1) 1(8 x10) 1 f '( x) f '(3) 0 ( x1) ( x1) 4 Es creciente b) La función polinómica x no tiene asíntotas. Calculamos las asíntotas de la función racional 8 x 10 x 1 Asíntota vertical: 8x 10 lim x 1 x1 x 1 es una asíntota vertical, pero no está en su dominio Asíntota horizontal: 8x 10 lim 8 y 8 x x 1 es la asíntota horizontal.
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 5: PROBABILIDAD Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B
De los 700 alumnos matriculados en una asignatura, 10 son hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueban dicha asignatura. Se elige una persona al azar. a) Cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura? b) Sabiendo que ha aprobado la asignatura, cuál es la probabilidad de que sea una mujer? SOCIALES II. 015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A Hacemos una tabla con los datos del problema y la completamos. a) b) 469 p ( aprobar) 0'67 700 343 p ( mujer / aprobar) 0'7313 469
La proporción de personas de una población que tiene una determinada enfermedad es de 1 por cada 500 personas. Se dispone de una prueba para detectar dicha enfermedad. La prueba detecta la enfermedad en el 90% de los casos en que la persona está enferma, pero también da como enfermas al 5% de las personas sanas. a) se elige al azar una persona y se le hace la prueba, Cuál es la probabilidad de que haya sido diagnosticada correctamente? b) Si la prueba ha diagnosticado que la persona está enferma, cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?. Y de que está sana?. SOCIALES II. 015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B Hacemos un diagrama de árbol con los datos del problema a) b) 1 499 p ( diagnostico correcto) 0'9 0'95 0'9499 500 500 1 0'9 p ( realmente enfermo / enferma) 500 0'0348 1 499 0'9 0'05 500 500 499 0'05 p ( sano / enferma) 500 0'9651 1 499 0'9 0'05 500 500
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Junio, Ejercicio 4, Opción B
Un fabricante de tuberías PVC sabe que la distribución de los diámetros interiores de los tubos de conducción de agua que produce sigue una ley Normal con varianza 0.5 mm. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma una muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 0 mm. a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica. b) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa distribución para que la amplitud de un intervalo de confianza, con ese mismo nivel de confianza, sea inferior a mm. SOCIALES II. 015 JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B a) Con los datos del problema calculamos: 1 0'98 0'99 '33 z Luego, sustituyendo, tenemos: 0'5 0'5 IC.. 0 '33, 0 '33 (19'8543 ; 0'1456) 64 64 b) Amplitud Error E 1 0'5 E 1 '33 n 1'35 n Luego, el tamaño mínimo de la muestra debe ser tubos.
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 7: CONTRASTE DE HIPÓTESIS Junio, Ejercicio 4, Opción A
La concejalía de Educación de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 0 años de edad es, a lo sumo, de 8 horas semanales. Para contrastar esta hipótesis ( H : 8 0 ), se escoge al azar una muestra de 100 jóvenes, de entre 15 y 0 años, y se obtiene una media de 8.3 horas de dedicación a la lectura. Supuesto que el tiempo dedicado a la lectura sigue una ley Normal con desviación típica igual a 1 hora, qué se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la concejalía?. SOCIALES II. 014 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4 OPCIÓN A Etapa 1: Hipótesis nula H0: 0 5; Hipótesis alternativa H1: 0 5, la cual nos indica la dirección del contraste, es decir, la región crítica está a la derecha del punto crítico z 1 Etapa : Calculamos el punto o puntos críticos que nos darán las regiones críticas y de aceptación. Para el nivel de significación de 0'05 1 0'95 valor crítico z 1 1'645 Etapa 3 y 4: Ponemos el estadístico del contraste y calculamos el valor observado. X 0 Estadístico: Z Valor observado: z 0 n x 0 5'5 5 1'317 1' n 10 Etapa 5: Comparamos el valor observado con el punto crítico para tomar la decisión adecuada. El valor observado z 0 1'317, está a la izquierda del punto crítico 1 645, por lo tanto, estamos en la zona de aceptación. Luego, aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa. Por lo tanto, afirmamos que la calificación media de los alumnos en Matemáticas es a lo sumo de 5 puntos, con una probabilidad de equivocarnos del 5 %. b) Para el nivel de significación de 0'15 1 0'85 valor crítico z 1 1'04 El valor observado z 0 1'317, está a la derecha del punto crítico 1 04, por lo tanto, estamos en la zona de rechazo. Luego, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. Por lo tanto, afirmamos que la calificación media de los alumnos en Matemáticas es mayor de 5 puntos, con una probabilidad de equivocarnos del 15 %.