Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas

Transcripción

1 Contraste de Independencia entre Variables Cualitativas Grado en NHD. Grupos C y E

2 Ejemplo I Ejemplo: Supóngase que se desea estudiar la posible relación entre dos variables de tipo cualitativo (tipo de piel y el color de pelo) en una población. Para ello se extrae una muestra de 100 individuos, obteniéndose la tabla siguiente: PIEL / PELO NEGRO CASTAÑO RUBIO TOTAL OSCURA CLARA TOTAL El objetivo es decidir si las variables están o no relacionadas.

3 Definición Independencia I Definición: Se dice que dos variables cualitativas A y B son independientes cuando la proporción de individuos de cada una de las modalidades de la variable A es la misma para cada una de las modalidades de la variable B. En el ejemplo, si el color de pelo fuese independiente del color de la piel, se deberían esperar las siguientes proporciones: De los 35 individuos de pelo negro: (60/100) deberían tener la piel oscura y por tanto (40/100) deberían tener la piel clara. De los 40 individuos de pelo castaño: el (60/100) deberían tener piel oscura y el (40/100) deberían tener la piel clara. De los 25 individuos con pelo rubio se esperaría una proporción del (60/100) con piel oscura y una proporción de (40/100) con piel clara.

4 Contraste Independencia I La hipótesis de independencia es la que interesa contrastar, o sea, decidir si se rechaza o no. Así, se tendría que: { H 0 : H 1 : Independencia entre variables No Independencia entre variables Según esta suposición de independencia entre variables, es decir si fuese cierta H 0, el número de individuos teórico en cada caso sería el reflejado en la siguiente tabla: PIEL / PELO NEGRO CASTAÑO RUBIO TOTAL OSCURA CLARA TOTAL

5 Contraste Independencia: Idea Intuitiva para Resolución I Como puede verse, estos números no son los que figuran en la tabla de observaciones, pero también es evidente que aunque las variables en cuestión fuesen independientes, tampoco coincidirían como consecuencia de las fluctuaciones debidas al azar. Objetivo: Determinar si las diferencias existentes entre lo que se ha observado (tabla inicial, que se denominará de tabla frecuencias observadas) y lo que teóricamente habría de darse (segunda tabla, que se denominará tabla de frecuencias esperadas) son suficientemente importantes como para pensar que la hipótesis de que las variables son independientes no es cierta.

6 Generalización del Contraste Independencia I La representación general correspondientes a las variables A y B vendrá expresada en una tabla del siguiente tipo: A / B B 1 B 2 B j B m Totales A 1 n 11 n 12 n 1j n 1m n 1. A 2 n 21 n 22 n 2j n 2m n A i n i1 n i2 n ij n im n i A k n k1 n k2 n kj n km n k. Totales n.1 n.2 n.j n.m n

7 Notación en el Contraste de Independencia I A v.a. cualitativa con k modalidades, A = {A 1, A 2,..., A i,..., A k } B v.a. cualitativa con m modalidades, B = {B 1, B 2,..., B j,..., B m } n ij número de veces que se presenta en la muestra simultáneamente la modalidad i de la variable A y la modalidad j de la variable B. n i. total de individuos que presentan la modalidad i de la variable A (total de la i-ésima fila). n.j total de individuos que presentan la modalidad j de la variable B (total de la j-ésima columna).

8 Contraste Independencia: Cálculo Frecuencias Esperadas y Estadístico de Contraste I Si se cumple H 0, (es decir, si se da la hipótesis de independencia entre variables), los valores esperados que debían darse, que se llamarán frecuencias esperadas, y se representarán como e ij serían: e ij = n i. n.j n La idea, que ya ha sido expresada anteriormente en el ejemplo, es medir las diferencias entre lo que se ha observado en la muestra, valores n ij, y lo que debe de darse si hay independencia entre variables, e ij.

9 Contraste Independencia: Cálculo Frecuencias Esperadas y Estadístico de Contraste II Se necesita una medida de la diferencia global entre lo observado y lo esperado. Esta medida es proporcionada por el estadístico U cuya expresión es: U = k m (n ij e ij ) 2 e i=1 j=1 ij

10 Estadístico de Contraste: Distribución de Probabilidad I Si se cumple H 0, se podría demostrar que el estadístico U, es una v.a. Chi-Cuadrado con (k 1) (m 1) grados de libertad. Para resolver el contraste, aplicamos el siguiente procedimiento: Se fija α (nivel de significación del contraste). Se calcula el valor de U en la muestra, es decir el valor U exp. Sabiendo que si H 0 es cierta entonces U χ 2 (k 1) (m 1), se compara U exp con el valor de una v.a. χ 2 (k 1) (m 1);α (utilizándose las tablas de la v.a. χ 2 ). Si se cumple H 0, sería demasiado extraño que U exp fuese mayor que χ 2 (k 1) (m 1);α por lo que en ese caso se rechazaría la independencia entre variables.

11 Estadístico de Contraste: Distribución de Probabilidad II

12 Resolución Contraste Independencia: Resumen I En resumen, y según el planteamiento anterior, para la toma de decisión del contraste, se tiene que para un nivel de significación α: Si U exp χ 2 (k 1) (m 1);α Se rechaza H 0 Si U exp < χ 2 (k 1) (m 1);α No se rechaza H 0

13 Resolución Contraste Independencia: Ejemplo I Para el ejemplo inicial se tiene: U exp = (25 21) (25 24) (10 15)2 (15 10) = con k = 2 y m = 3, por lo que el correspondiente χ 2 (k 1) (m 1) para nivel de significación α = 0.05 es (veáse en la tabla): χ 2 (2 1) (3 1);α χ2 2;0.05 = Comparando los valores χ 2 2;0.05 y U exp la conclusión es que se rechaza la hipótesis de independencia entre las variables a un nivel de significación del α = 0.05, con lo cual se diría que existe relación entre el tipo de piel y color de pelo a un nivel de significación α = 0.05.