Ejecicios esueltos Boletín 2 Campo gavitatoio y movimiento de satélites Ejecicio 1 En el punto A(2,0) se sitúa una masa de 2 kg y en el punto B(5,0) se coloca ota masa de 4 kg. Calcula la fueza esultante que actúa sobe una tecea masa de 5 kg cuando se coloca en el oigen de coodenadas y cuando se sitúa en el punto C(2,4). Solución 1 En una distibución de masas la fueza esultante que actúa sobe una de ellas es la suma vectoial de las fuezas con las que actúan las demás masas sobe ella. a) Al coloca la masa de m = 5 kg en O (0,0). Las masas m 1 = 2 kg y m 2 = 4 kg inteaccionan con la masa m = 5 kg con unas fuezas que tienen de diección el eje X y sentido hacia las masas m 1 y m 2. Y F 2 O(0, 0) F 1 X A(2, 0) B(5, 0) m 1= 2 kg m 2= 4 kg Aplicando la ley de gavitación univesal: F = F 1 + F 2 = G m 1 m 2 1 i + G m 2 m 2 2 i = G m ( m1 2 1 + m ) 2 i 2 2 F = 6,67 10 11 5 ( 2 2 2 + 4 5 2 ) i = 2,20 10 10 i N b) Al coloca la masa m = 5 kg en C(2,4). Las fuezas que actúan sobe la masa m tienen de diección las ectas que unen la citada masa con las otas dos y po sentido hacia las masas m 1 y m 2. F 1 = G m 1 m 2 1 ( j) = 6,67 10 11 2 5 4 2 j = 4,17 10 11 j N El módulo de la fueza con la que actúa la masa m 2 = 4 kg es: F 2 = G m 2 m 2 2 = 6,67 10 11 4 5 ( 3 2 + 4 2 ) 2 = 5,34 10 11 N 1
Y C(2, 4) F 2x ϕ ϕ F 2y F 2 F 1 O A(2, 0) m 1= 2 kg B(5, 0) m 2= 4 kg X De la figua se deduce que cosϕ = 4/5 y sin ϕ = 3/5 po lo que las componentes de la fueza que ejece la masa m 2 son: F 2x = F 2 sin ϕ i = 5,34 10 11 3 5 i = 3,20 10 11 i N F 2y = F 2 cos ϕ( j) = 5,34 10 11 4 5 j = 4,27 10 11 j N La fueza esultante que actúa sobe la patícula de masa m tiene de componentes: F x = F 2x = 3,20 10 11 i N Su módulo es: Ejecicio 2 F y = F 1 + F 2y = 4,17 10 11 j 4,27 10 11 j = 8,44 10 11 j N F = F 2 x + F 2 y = (3,20 10 11 ) 2 + (8,44 10 11 ) 2 = 9,03 10 11 N Calcula el módulo del campo gavitatoio teeste a una distancia de 100 km sobe la supeficie de la Tiea. Datos: M T = 5,98 10 24 kg, R T = 6370 km Solución 2 Aplicando la definición de intensidad del campo gavitatoio y como la Tiea se compota como una patícula con su masa concentada en su cento, se tiene: g = G M T 2 = G M T (R T + h) 2 g = 6,67 10 11 5,98 10 24 (6,37 10 6 + 10 5 ) 2 = 9,53 N/kg 2
Ejecicio 3 Una patícula de masa m 1 = 2 kg está situada en el oigen de un sistema de efeencia y ota patícula de masa m 2 = 4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el campo gavitatoio en los puntos de coodenadas B(3,0) y C(3,4) y la fueza que actúa sobe una patícula de 3 kg de masa situada en el punto C. Solución 3 Aplicando el pincipio de supeposición, el campo gavitatoio en un punto es igual a la suma vectoial de los campos individuales que actúan en ese punto. Y u 1 O(0, 0) m 1= 2 kg g 1 g 2 B(3, 0) u 2 X A(6, 0) m 2= 4 kg a) Campo gavitatoio en el punto B(3,0). Sumando: g 1 = G m 1 2 1 g 2 = G m 2 2 2 u 1 = G 2 3 2 i = G 2 9 i u 2 = G 4 3 2 ( i) = G 4 9 i g B = g 1 + g 2 = G 2 9 i + G 4 9 i = G 2 9 i = 1,48 10 11 i N/kg b) Campo gavitatoio en el punto C(3,4). El punto C está situado a la misma distancia de cada una de las patículas, aplicando el teoema de Pitágoas: d = 5 m. Los módulos de los campos ceados po cada una de las patículas son: g 1 = G m 1 2 1 = G 2 5 2 = G 2 25 g 2 = G m 2 = G 4 2 2 5 = G 4 2 25 Teniendo en cuenta la figua paa detemina las elaciones tigonométicas de los espectivos ángulos y aplicando el pincipio de supeposición, se tiene: g 1x = g 1 sin ϕ 1 ( i) = G 2 25 3 5 i = G 6 125 i g 2x = g 2 sin ϕ 2 i = G 4 3 25 5 i = G 12 125 i g x = G 6 125 i 3
Y g 1x C(3, 4) g 2x g 1 ϕ 1 ϕ 2 g 1y g 2y g 2 O m 1= 2 kg u 1 u 2 A(3, 0) B(6, 0) m 2= 4 kg X g 1y = g 1 cosϕ 1 ( j) = G 2 25 g 2y = g 2 cosϕ 2 ( j) = G 4 25 g y = G 24 125 j 4 5 j = G 8 125 j 4 5 j = G 16 125 j g C = g x + g y = (3,20 10 12 i 12,8 10 12 j) N/kg g C = g 2 x + g2 y = (3,20 10 12 ) 2 + (12,8 10 12 ) 2 = 1,32 10 11 N/kg c) La fueza que actúa sobe la patícula colocada en el punto C es: F = m g C = 3 (3,20 10 12 i 12,8 10 12 j) = 9,6 10 12 i 38,4 10 12 j N/kg Ejecicio 4 F = m g C = 3 1,32 10 11 = 3,96 10 11 N Demuesta la validez de la expesión m g h paa la vaiación de enegía potencial gavitatoia en puntos póximos a la supeficie teeste. Solución 4 La vaiación de la enegía potencial al taslada un objeto de masa m desde la supeficie de la Tiea hasta un punto situado a una altua h, con h << R Tiea, es: E p = E p,h E p,t = G M ( T m R T + h G M ) ( ) T m 1 1 = G M T m R T R T + h 4 R T
Opeando, y como g 0 = G M T, se tiene: E p = g 0 m h R T (R T + h) Si la distancia h es mucho meno que el adio de la Tiea, entonces se puede ealiza la apoximación R T (R T + h) y po tanto: E p = m g h Ejecicio 5 Dos patículas de masas m 1 = 4 kg y m 2 = 0,5 kg que están situadas a una distancia de 20 cm se sepaan hasta una distancia de 40 cm. calcula la enegía potencial asociada a las dos posiciones elativas y el tabajo ealizado duante el poceso. Solución 5 a) La enegía potencial asociada a las dos posiciones elativas es: E p,inicial = G M m 11 4 0,5 = 6,67 10 = 6,67 10 10 J inicial 0,2 E p,final = G M m 11 4 0,5 = 6,67 10 final 0,4 = 3,335 10 10 J b) Aplicando la ley de la enegía potencial, el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia es: W Fg = E p = (E p,final E p,inicial ) = ( 3,35 10 10 ( 6,67 10 10 )) = 3,335 10 10 J El tabajo que ealiza la fueza gavitatoia tiene el signo negativo, como coesponde a una tansfomación no espontánea, aumentando la enegía potencial de la distibución. Ejecicio 6 La gáfica adjunta epesenta la enegía potencial gavitatoia asociada a la posición de una masa de 1 kg en puntos póximos a la supeficie de un planeta de 5000 km de adio. Detemina la intensidad del campo gavitatoio en su supeficie. Solución 6 Si se elige como oigen del sistema de efeencia la supeficie del planeta, entonces paa puntos póximos a dicha supeficie la enegía potencial gavitatoia asociada a la posición de un objeto de masa m es E p = m g h El valo de la pendiente de la epesentación gáfica es igual al poducto m g. Po tanto: pendiente = 100 J 25 m = 4 N = m g = 1 g Despejando: g = 4 N/kg 5
100 80 60 40 20 E (J) p 5 10 15 20 25 h(m) Ejecicio 7 Una patícula de masa m 1 = 2 kg está situada en el oigen de un sistema de efeencia y ota patícula de masa m 2 = 4 kg está colocada en el punto A(6,0). Calcula el potencial gavitatoio en los puntos de coodenadas B(3,0) y C(3,4). Qué tabajo se ealiza al tanspota una masa de 5 kg desde el punto B hasta el punto C? Solución 7 aplicando el teoema de Pitágoas, el punto C está situado a 5 m de cada una de las dos masas. a) El potencial gavitatoio en un punto es igual a la suma de los potenciales ceados po cada una de las masas. V B = V 1 + V 2 = G m 1 G m ( 2 2 = G 1 2 3 + 4 ) = 1,334 10 10 J/kg 5 V C = V 1 + V 2 = G m 1 G m ( 2 2 = G 1 2 5 + 4 ) = 8,004 10 11 J/kg 5 b) Aplicando la elación ente el tabajo de la fueza consevativa y la enegía potencial: W B C = E p = m U = m (V C V B ) = = 5 ( 8,004 10 11 ( 1,334 10 10 )) = 2,668 10 10 J El tabajo que ealiza la fueza gavitatoia tiene el signo negativo po lo que el poceso no es espontáneo, ya que el sistema evoluciona hacia una situación de mayo enegía potencial. Ejecicio 8 Consideando a la Tiea y a la Luna aisladas de toda influencia exteio se desea sabe el potencial gavitatoio en el punto en el que se anula el campo gavitatoio. La masa de la Tiea es igual a 5,98 10 24 kg y equivale a 81 veces la de la Luna y la distancia desde la Tiea hasta la Luna es de 384000 km. 6
Solución 8 Sea d la distancia Tiea-Luna y P el punto pedido, que supongamos está a una distancia x del cento de la Tiea. En ese punto los módulos de los campos gavitatoios ceados po cada asto son iguales, g T = g L. G M T x 2 = G M L (d x) 2 ; Po tanto: G 81 M L x 2 = G M L (d x) 2 92 x 2 = 1 (d x) 2 9 (d x) = x 9 d = 10 x x = 9 10 384 106 m = 3,456 10 8 m El potencial gavitatoio en ese punto es el debido a la Tiea y a la Luna: V P = V T + V L = G M T x G M L d x = G M T 9/10 d G M T/81 d 9/10 d Opeando: V P = G 10 M T 9 d G 10 M T 81 d = 100 81 G M T d V P = 100 81 6,67 10 11 5,98 1024 3,84 10 8 = 1,3 106 J/kg Ejecicio 9 Un meteoito de 1000 kg de masa se encuenta en eposo a una distancia sobe la supeficie de la Tiea de cinco veces el adio teeste. Cuál es el valo de la enegía mecánica asociada al meteoito en esa posición? Justifica el signo obtenido. Pescindiendo de la ficción con el aie, calcula la velocidad con la que impactaá conta la supeficie de la Tiea. Dependeá esa velocidad de la tayectoia que siga el meteoito? Dato: R T = 6370 km. Solución 9 a) El meteoito está situado a una distancia 6 R T del cento de la Tiea y en eposo, po lo que la enegía mecánica asociada a su posición es exclusivamente potencial gavitatoia. E mecánica = E potencial = G M T m m 6 R T Multiplicando y dividiendo po R T, como 7
y sustituyendo, esulta que: E mecánica = g 0 R T m m 6 = 9,8 6,37 106 1000 6 = 1,04 10 10 J El signo negativo significa que el meteoito está ligado al campo gavitatoio teeste. b) Al pescindi de la ficción con el aie, la única fueza que actúa sobe el meteoito es la que aplica el campo gavitatoio teeste, po lo que la enegía mecánica asociada a la posición del meteoito se conseva duante su caída. E c + E p = 0 E c,inicial + E p,inicial = E c,supeficie + E p,supeficie La enegía potencial gavitatoia asociada a la posición inicial del meteoito se tansfoma en enegía potencial gavitatoia y enegía cinética en la supeficie de la Tiea. 0 G M T m m 6 R T = 1 2 m m v 2 supeficie G M T m m R T Simplificando, multiplicando y dividiendo po R T y como se tiene: 1 2 v2 = 1 6 g 0 R T + g 0 R T = 5 5 6 g 0 R T v = 3 g 0 R T 5 v = 3 9,8 6,37 106 = 10200 = 10,2 km/s El campo gavitatoio es consevativo, po lo que el tabajo que ealizan las fuezas del campo paa modifica la posición del meteoito es independiente de la tayectoia seguida. Po tanto, la velocidad con que llega a la supeficie de la Tiea es independiente de la tayectoia que ecoa. Ejecicio 10 Se lanza veticalmente, desde la supeficie de la Tiea, un objeto con una velocidad inicial de 5 km/s. Hasta qué altua subiá, si se pescinde del ozamiento con el aie? Dato: R T = 6370 km. Solución 10 Si se pescinde del ozamiento con el aie, la única fueza que actúa sobe el objeto es la atacción gavitatoia, po lo que la enegía mecánica se conseva. E c + E p = 0 E c,supeficie + E p,supeficie = E c,final + E p,final La enegía cinética y potencial en la supeficie de la Tiea se tansfoman en enegía potencial gavitatoia asociada a su posición final. 1 2 m s v 2 supeficie G M T m s R T 8 = 0 G M T m s R T + h
Opeando: v 2 supeficie R T 2 G M T 2 R T = G M T R T + h R T + h G M T = Despejando: 2 R T 2 G M T v 2 supeficie R T h = 2 G M T R T 2 G M T v 2 supeficie R T R T = v 2 supeficie 2 G M T v 2 supeficie R T Como se tiene que: h = h = v 2 supeficie = 2 g 0 v2 supeficie R T v 2 supeficie R T 2 g 0 R T v 2 supeficie (5000) 2 6,37 10 6 2 9,8 6,37 10 6 (5000) 2 = 1,59 106 m Ejecicio 11 El adio de la Tiea es de 6400 km y el valo de la aceleación de la gavedad en su supeficie es de 9,8 m/s 2 ; la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tiea y su adio 1/4 veces el adio teeste. Con estos datos, detemina la velocidad de escape desde la supeficie de la Luna. Con el esultado obtenido, se podía explica la ausencia de atmósfea en la Luna? Solución 11 Una patícula se desliga de la Luna cuando su enegía mecánica es igual a ceo. 1 2 m v2 escape G M L m = 0 v escape = R L R T 2 G ML v escape = 2 G M T/81 = 2 2 G MT = 2 R T /4 9 9 v escapetiea R L Opeando, y como se tiene: v escape = 2 9 2 g 0 R T v escape = 2 2 9,8 6,4 10 9 6 = 2,5 10 3 m/s Este valo es meno que el de la velocidad media de agitación de las patículas gaseosas, po lo que la Luna no es capaz de etene una atmósfea. 9
Ejecicio 12 En la Tiea un saltado de altua alcanza los 2 m con un binco que le comunica una velocidad inicial adecuada. Calcula el adio máximo que debe tene un asteoide esféico (de densidad igual a la teeste), paa que el saltado, al da en el asteoide el mismo binco que en la Tiea, salga despedido de éste escapando de su acción gavitatoia. Dato: adio medio de la Tiea, R = 6,37 10 6 m Solución 12 La velocidad con que salta el atleta en la supeficie de la Tiea es: v = 2 g 0 h = 2 g 0 2 = 2 g 0 Paa que el atleta se desligue del asteoide su enegía mecánica tiene que se como mínimo igual a ceo. Sea m la masa del atleta, M A la del asteoide y R A su adio. Simplificando y sustituyendo: E c + E p = 1 2 m v2 G m M A R A = 0 1 2 (2 g 0 ) 2 = G M A R A 2 g 0 = G M A R A Las densidades de los astos son iguales, entonces: M T R 3 T = M A R 3 A M A R A = M T R 3 T R 2 A Como se tiene que: 2 g 0 = G M A R A 2 G M T = G M T R 3 T R 2 A R2 A = 2 R T Po tanto, el adio del asteoide es: R A = 2 R T = 3569 m Ejecicio 13 Un vehículo exploado ecoe una óbita de adio alededo de un planeta. Qué ocue si accidentalmente se encienden los motoes de foma que la velocidad lineal del vehículo se multiplica po 2? 10
Solución 13 La velocidad de un objeto en óbita alededo de un planeta es: vóbita = G Mplaneta Al encendese los motoes la velocidad del vehículo pasa a se: v = 2 vóbita = 2 G Mplaneta La enegía mecánica del vehículo espacial es igual a la suma de su enegía cinética y potencial gavitatoia. E = E c + E p = 1 2 m v2 G M planeta m Sustituyendo la velocidad po su nuevo valo, se tiene: E = 1 2 m 2 G M planeta G M planeta m = 0 Po lo que el vehículo espacial deja de obita al planeta quedando desligado de él. Paa cualquie objeto puesto en óbita alededo de un asto cuya velocidad lineal se multiplique po 2, su enegía mecánica es igual a ceo y se desliga del asto. Ejecicio 14 Un satélite de 250 kg de masa, está en óbita cicula en tono a la Tiea a una altua de 500 km sobe su supeficie. Calcula su velocidad y su peiodo de evolución. Cuál es la enegía involucada en el poceso de pone al satélite en óbita con esa velocidad? Datos: Radio de la Tiea = 6380 km y g 0 = 9,8 m/s 2 Solución 14 a) Aplicando al satélite la segunda ley de Newton y como la única fueza que actúa sobe él es la inteacción gavitatoia, se tiene: F = m an Despejando y como se tiene que la velocidad obital es: v = G MT = g 0 G M T m s v 2 = m 2 s = 9,8 (6,38 106 ) 2 6,38 10 6 + 500 10 3 = 7,6 103 m/s 11
El peiodo de evolución es T = 2 π v = 2 π (6,38 106 + 500 10 3 ) 7,6 10 3 = 5687,9 s 1,6 h b) Aplicando la ley de la consevación de la enegía ente la supeficie de la Tiea y la óbita del satélite, se tiene que el tabajo ealizado es igual a la vaiación de la enegía mecánica del satélite. W ealizado = E c + E p = E mecánica final E mecánica inicial = Eóbita E supeficie La enegía asociada al satélite en óbita es: Eóbita = E p,óbita + E c,óbita = G M T m s Sustituyendo la velocidad obital po su valo: + 1 2 m s v 2 obital v 2 obital = G M T Eóbita = G M T m s Opeando y sustituyendo: + 1 2 m s G M T = 1 2 G M T m s Eóbita = 1 2 g 0 m s = 1 2 9,8 (6,38 106 ) 2 250 6,38 10 6 + 500 10 3 = 7,25 109 J Si se considea que el satélite se lanza siguiendo la vetical, sin apovecha el movimiento de otación de la Tiea, la velocidad inicial en la supeficie de la Tiea es igual a ceo y la enegía asociada a la posición del satélite sobe la supeficie de la Tiea es solamente potencial: E supeficie = E p,supeficie = G M T m s R T = g 0 R T m s E supeficie = 9,8 6,38 10 6 250 = 1,56 10 10 J Po tanto, la enegía necesaia paa pone el satélite en óbita es: W ealizado = E = Eóbita E supeficie = 7,25 10 9 ( 1,56 10 10 ) = 8,35 10 9 J Ejecicio 15 Detemina la enegía necesaia paa coloca en una óbita de adio = 3 R T a un satélite atificial de 65 kg de masa, lanzándolo desde un punto del ecuado teeste y teniendo en cuenta el movimiento de otación de la Tiea. Cuál es el peiodo del satélite? Dato: R T = 6380 km y g 0 = 9,8 m/s 2 12
Solución 15 Debido al movimiento de otación de la Tiea, los puntos situados sobe el ecuado tienen velocidad máxima. Al lanza los satélites atificiales desde puntos póximos al ecuado y hacia el este, se apovecha la enegía cinética debida a la otación de la Tiea. La velocidad del satélite es la misma que la del punto de lanzamiento, po lo que la enegía mecánica asociada al satélite cuando está situado sobe la supeficie de la Tiea es: E supeficie = E c + E p = 1 2 m s vt 2 G M T m s R T Como: E RT 2 supeficie = 1 2 m s vt 2 g 0 m s R T La velocidad del satélite en su óbita se detemina aplicando la segunda ley de Newton: F = ms a n G M T m s vóbita 2 = m 2 s vóbita 2 = G M T La enegía mecánica asociada al satélite en su óbita es: Eóbita = 1 2 m s v 2 óbita G M T m s Como = 3 R T, se tiene: = 1 2 m s G M T G M T m s = 1 2 G M T m s Eóbita = 1 2 G M T m s 3 R T = 1 6 g 0 m s R T Aplicando la ley de la consevación de la enegía, el tabajo ealizado es igual a la vaiación de la enegía mecánica del satélite. W pone en óbita = Eóbita E supeficie = 1 ( ) 1 6 g 0 m s R T 2 m s vt 2 g 0 m s R T Opeando: W pone en óbita = 5 6 g 0 m s R T 1 2 m s v 2 T La velocidad de un punto del ecuado es: v T = 2 π R T T = 2 π 6,38 106 24 3600 = 464 m/s W pone en óbita = 5 6 9,8 65 6,38 106 1 2 65 (464)2 = 3,38 10 9 J b) Aplicando las elaciones ente el peiodo y la velocidad, se tiene: vóbita = G MT T = 2 π v = 2 π G MT = 2 π 3 G M T Como = 3 R T, se tiene: T = 2 π 27 R 3 T G M T = 6 π 3 RT g 0 = 26342,6 s 7,3 h 13
Ejecicio 16 Un satélite atificial de comunicaciones, de 500 kg de masa, descibe una óbita cicula de 9000 km de adio en tono a la Tiea. En un momento dado, se decide vaia el adio de su óbita, paa lo cual enciende uno de los cohetes populsoes del satélite, comunicándole un impulso tangente a su tayectoia antigua. Si el adio de la nueva óbita descita po el satélite, en tono a la Tiea, es de 13000 km, calcula la velocidad del satélite en la nueva óbita y la enegía involucada en el poceso. Datos: Radio de la Tiea = 6380 km y g 0 = 9,8 m/s 2 Solución 16 a) Aplicando al satélite la segunda ley de Newton y como la única fueza que actúa sobe él es la inteacción gavitatoia, se tiene: F = m an Despejando, como y sustituyendo, se tiene que: v final = G MT final = g 0 G M T m s v 2 = m 2 s final = 9,8 (6,38 106 ) 2 13 10 6 = 5,5 10 3 m/s b) El tabajo ealizado po un agente exteno paa modifica la óbita del satélite es igual a la vaiación de su enegía mecánica. W ealizado = E c + E p = E mecánica,final E mecánica,inicial La enegía asociada al satélite en óbita es igual a la denominada enegía de enlace: Eóbita = E potencial + E cinética = G M T m s Sustituyendo la velocidad obital po su valo: + 1 2 m s v 2 obital v 2 obital = G M T Eóbita = G M T m s Opeando y como se tiene que: + 1 2 m s G M T Eóbita = 1 2 g 0 m s = 1 2 G M T m s 14
La enegía involucada en el poceso es la difeencia de las enegías mecánicas de las dos óbitas: W ealizado = E = Eóbita final Eóbita inicial = 1 2 g 0 m s final + 1 2 g 0 m s inicial Opeando: E = 1 2 g 0 m s ( 1 1 ) = 1 inicial final 2 g 0 RT 2 m s ( ) final inicial inicial final E = 1 ( 13 10 2 9,8 (6,38 106 ) 2 6 9 10 6 ) 500 = 3,4 10 9 J 9 10 6 13 10 6 Que lógicamente es una cantidad positiva. 15