FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. TEM3: CMPO ELÉCTRICO o Natualeza eléctica de la mateia. o Ley de Coulomb vs Ley de Newton. o Pincipio de supeposición. o Intensidad del campo elético. o Líneas del campo eléctico vs campo gavitatoio. o Potencial, difeencia de potencial. o Enegía potencial. o Flujo. Teoema de Gauss. o Campo ceado po una esfea. o Campo ceado po un plano. o Campo ceado po un hilo conducto. José Enique Peandés Yuste 1/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. Natualeza eléctica de la mateia. La caga eléctica es la popiedad que adquieen los cuepos que se han electizado. Los expeimentos ponen de manifiesto que las fuezas ente cuepos electizados pueden se de atacción o de epulsión, lo que se explica suponiendo la existencia de dos tipos de caga que se denominan caga positiva y caga negativa. La explicación de algunos fenómenos elécticos en la natualeza atómica de la mateia, llevó a la conclusión de que la unidad mínima de caga ea la que pesentaban el potón o el electón (hoy día se conocen facciones más pequeñas de caga) de este modo se puede conclui que la caga está cuantizada. Una deducción diecta de a cuantización de la caga es su consevación ya que las cagas que en un sistema aislado se tasladan de un cuepo a oto altean el valo paticula de la caga de los cuepos peo nunca cambie el valo total de la caga del sistema. Ley de Coulomb. Cuando se considean dos cuepos cagados (supuestamente puntuales) y en eposo o con movimiento muy pequeño, la intensidad de las fuezas atactivas o epulsivas que se ejecen ente sí es diectamente popocional al poducto de sus cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa, dependiendo además dicha fueza de la natualeza del medio que la odea. Las fuezas elécticas se aplican en los espectivos centos de las cagas y están diigidos a lo lago de la línea que los une. u q1q La expesión matemática de la ley de Coulomb es: F e = K u donde las cagas se sustituyen con su signo, y el valo de la constante de popocionalidad K paa el vacío 9 m es: K = 9 10 N, que justifica el elevado valo de las fuezas elécticas. C Paa el caso de cagas situadas en agua pua, el valo de la fueza electostática se educe 81 veces especto al valo en el vacío, luego K taduce la influencia del medio: 1 K = 4πε, donde ε epesenta la pemitividad dieléctica del medio (ε 0 paa el vacío). El siguiente cuado muesta de foma esquemática las analogías y difeencias ente el campo gavitatoio y el campo eléctico. u q1q F e = K u ; 9 m u mm' Kvacío= 9 10 N F g = G u ; 11 m G= 6,67 10 N C kg nalogías Difeencias u expesión matemática es semejante La fueza gavitatoia está asociada a Desciben fuezas que son la popocionales a la magnitud física que masa y la fueza eléctica a la caga. inteacciona, las masas en las fuezas La fueza gavitatoia es de atacción gavitatoias y las cagas en las elécticas (poque solo hay un tipo de masa) y la En ambas leyes las fuezas son fueza eléctica puede se de atacción o José Enique Peandés Yuste /11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. invesamente popocionales al cuadado de la distancia Tanto las fuezas gavitatoias como las elécticas son fuezas centales, es deci, actúan en la diección de la ecta que une las masas o las cagas, espectivamente. de epulsión (poque hay dos tipos de cagas) El valo de la constante G no depende del medio mientas que el valo de la constante K depende del medio en el que estén las cagas. El valo de G es muy pequeño fente a K: la inteacción gavitatoia es mucho más débil que la eléctica. Campo eléctico ( E u ). Una o vaias cagas en eposo o movimiento muy pequeño, cean en la egión del espacio en tono a ellas un campo eléctico, que se manifiesta cuando colocamos una caga de pueba y se obseva la apaición sobe ella de fuezas elécticas. Definimos la u u F N intensidad del campo como la fueza po unidad de caga en un punto: E =, que q ' C u q N en caso del campo ceado po una sola caga q, E = K C Éste campo puede epesentase mediante las llamadas líneas de fueza que indican la tayectoia que seguiía la caga de pueba positiva si se la abandonase libemente a la influencia del campo. El campo eléctico seá un vecto tangente a la línea de fueza en el punto consideado. Una caga puntual da luga a un mapa de líneas de fueza adiales: Manantial y sumideo. upeposición de campos elécticos. Cuando el campo es geneado po vaias cagas, su efecto en un punto se obtiene como suma de los vectoes campo poducidos po cada una de ellas po sepaado: u u u u ET = E1+ E +... = E n Ejemplo: Dos cagas en el vacío de 3µC y -µc están situadas en dos vétices de un tiángulo equiláteo de lado 10 cm. Calcula: José Enique Peandés Yuste 3/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. a) El vecto intensidad de campo en el oto vétice (P); b) La fueza que actúa sobe una caga de -µc situada en P. E 1 1. Hacemos un dibujo que epesente los datos del poblema:. Calculamos las coodenadas de todos los puntos y pedecimos la diección y sentido del campo ceado po cada caga. 3. Obtenemos los vectoes que van de cada caga al punto de cálculo del campo: R 1 =(0 05,0 09)-(0,0)= (0 05,0 09) R =(0 05,0 09)-(0 10,0)=(-0 05,0 09) (0 05,0 09) P E 10 cm (0,0) (0 1,0) Q 1 =3µC Q 1 =-µc u u 4. plicamos la ecuación del campo a cada caga: ( 0,1) u q q q E= K u = K = K 3 3 10 N = = = + C 6 9 6 6 6 E1 9 10 3 ( 0'05,0'09) 7 10 ( 0'05,0'09) 1'35 10 i '43 10 j 10 N = = = ( 0,1) C u 6 5 N 5. Calculamos el campo total: ET = '5 10 i+ 8'1 10 j C 6 9 6 5 6 E 9 10 3 ( 0'05,0'09) 18 10 ( 0'05,0'09) 9 10 i 1'6 10 j 6. hoa calculamos la fueza que actúa sobe la caga situada en dicho punto: u u 6 5 6 ( '5 10 8'1 10 ) ( 10 ) 4'5 16' ( ) F = ET q= i+ j = i j N Ejemplo: Dos patículas con caga q = 0,8 mc, cada una, están fijas en el vacío y sepaadas una distancia d = 5 m. Detemina el vecto campo eléctico que poducen estas cagas en el punto, que foma un tiángulo equiláteo con ambas. Calcula el campo y el potencial elécticos en el punto medio ente las cagas, B. DTO: Constante de Coulomb: K = 1/(4лε 0 ) = 9 10 9 N m C - OL: u E = 5'0 10 5 N j C u ; E B = 0 N C ; VB 6 = 5'76 10 V Enegía potencial electostática. José Enique Peandés Yuste 4/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. + q + q B B + q El tabajo que ealiza la fueza eléctica consevativa (el campo) paa taslada q desde hasta B, seá: B B u B B B qq' d 1 1 1 W = F d K u ' ' ' = d = Kqq Kqq Kqq B = = = = B Donde: u d = 1 d cos 0= d El W seá positivo cuando lo haga el campo y negativo cuando lo ealicen fuezas extenas en conta del campo. Luego se define la de una caga q en un punto, como el tabajo ealizado paa lleva esa caga desde ese punto al. i es positivo lo hace el campo, y si es negativo lo hace un agente exteno. La en un punto puede se + o -, según el signo de las cagas. i el campo en un punto estuviea ceado po vaias cagas, la seía: qiq j sistema = K ip j ij Compaemos ahoa con el campo gavitatoio: m ' = GM T qq' = K qq' = K W = = p 0 W = = f 0 W = = f 0 W W a p 0 F extena f 0 Campo Ejemplo: Halla la de un sistema fomado po: a) Dos potones sepaados po una distancia de 1 Å. b) Un potón y un electón sepaados una distancia de 1Å. Intepeta el signo de la obtenida en cada caso. Dato: q e =1,6x10-19 C. José Enique Peandés Yuste 5/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. a) 19 19 qq' 9 1,6 10 1,6 10 18 = K = 9 10 =,3 10 J, 10 10 como W=- =-,3x10-18 J, luego el tabajo lo debe hace un agente exteno. b) 19 19 qq' 9 1,6 10 ( 1,6 10 ) 18 = K = 9 10 =,3 10 J, 10 10 como W=- =,3x10-18 J, luego el tabajo lo debe hace el popio campo. Potencial electostático (V). La difeencia de potencial ente y B se define como la difeencia de ente ambos B q q puntos po unidad de caga: V VB = = K K, luego W B = q( V VB ) q q q q En un punto, V V = K K V = K i el campo está ceado po vaias cagas: qi Vsistema = K i i hoa vamos a obtene la elación ente el potencial (V) y el campo (E): B d = W = u F d d F F = ; dividiendo po la caga testigo q, queda; = d y d q' q' como d dv q = ; F dv dv u dv = E = ; y en foma vectoial E = u ; y si q ' d d d u u E= cte V V = E B B Ejemplo: Dos cagas elécticas están situadas en los puntos (,0)m y (4,0)m espectivamente. La pimea es de µc y la segunda de 3µC. Calcula el potencial en los puntos X(3,0) e Y(5,0). (,0) (3,0) (4,0) (5,0) + + q X q Y 6 6 qi 9 10 3 10 4 VX = K = 9 10 + = 4,5 10 V i i 1 1 6 6 qi 9 10 3 10 4 VY = K = 9 10 + = 3,3 10 V i i 3 1 Cuato cagas en el vacío están situadas en los vétices de un cuadado de un meto de lado. Los valoes de las cagas son: 10-8 C; -4x10-8 C; -3x10-8 C; y x10-8 C; espectivamente. Calcula: a) El potencial en el cento del cuadado. b) La enegía potencial de una caga de -3x10-8 C situada en el cento del cuadado. OL: a) -509 V; b) 1 5x10-5 J José Enique Peandés Yuste 6/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. upeficies equipotenciales. 50V Visualizan cómo vaía el potencial de un punto a oto del campo. on el luga geomético de los puntos del campo que se encuentan 75V a igual potencial. 100V Teóicamente había infinitas envoltuas (supeficies), peo sólo se + q suelen epesenta vaiaciones fijas del potencial, que obsevamos + no están igualmente espaciadas. Las cagas positivas se desplazaán espontáneamente hacia potenciales menoes y las negativas hacia potenciales mayoes. Paa taslada una caga desde una supeficie a ota podemos B calcula el tabajo: W = q( V V ) B Una caga puntual q = (1/3) 10-8 C está situada en el oigen de coodenadas. Dibuja las supeficies equipotenciales a intevalos de 5 V desde 50 V hasta 100 V. Están igualmente espaciadas? Calcula el W paa taslada una caga de 3 micoculombios desde la supeficie de 75 V hasta la de 50 V, indicando quien lo ealizaá. Datos: Constante de Coulomb K = 9 10 9 Nm C Concepto de flujo del campo eléctico. Es una medida del númeo neto de líneas de campo que ataviesan una supeficie. i es positivo indica que las lineas de campo salen y si es negativo, que entan. Cuando el vecto campo eléctico E es constante en todos los puntos de una supeficie, se denomina flujo al poducto escala del vecto campo po el vecto supeficie u u Φ= E El vecto supeficie es un vecto que tiene po módulo el áea de dicha supeficie, la diección es pependicula al plano que la contiene. Cuando el vecto campo E y el vecto supeficie son pependiculaes el flujo es ceo. En el caso de una supeficie cualquiea, el flujo total se calcula como la integal a lo u u lago de la supeficie: Φ= E d = Ed cosθ, y si es una supeficie ceada: u u Φ= E d José Enique Peandés Yuste 7/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. Teoema de Gauss. Paa un campo vectoial consevativo, el flujo que ataviesa una supeficie ceada es u u constante: Φ= E d = cte R Tenemos una supeficie ceada iegula, en cuyo inteio hay una caga q. q El flujo del campo eléctico a tavés de seá igual que a tavés de, que es una esfea de adio R. u u u u Φ= E d = E d = ' u q E = K u ; ' R q 1 Ed E d E K R q R π π cos 0 = = ' = 4 = 4 = 4πε ' 0 ε0 q En el caso de vaias cagas: el flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie Q ceada es popocional a la caga neta Q enceada en dicha supeficie. Φ= Es ε 0 muy útil paa calcula el campo eléctico debido a distibuciones de caga como esfeas, hilos y placas. Campo eléctico ceado po una esfea cagada positivamente en un punto exteio Paa una distibución esféica y unifome de caga, la aplicación del teoema de Gauss equiee los siguientes pasos: 1. pati de la simetía de la distibución de caga, detemina la diección del campo eléctico: La distibución de caga tiene simetía esféica, la diección del campo es adial. Elegi una supeficie ceada apopiada paa calcula el flujo: Tomamos como supeficie ceada, una esfea de adio. El campo eléctico E es paalelo al vecto supeficie d, y el campo es constante en todos los puntos de la supeficie esféica como se ve en la figua, po lo que, u u Φ= E d = Ed cos 0 = E d = E ' = E 4π R ' ' ' José Enique Peandés Yuste 8/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. 3. Detemina la caga que hay en el inteio de la supeficie ceada: i estamos calculando el campo en el exteio de la esfea unifomemente cagada, la caga que hay en el inteio de la supeficie esféica de adio es la caga total q=q. 4. plica el teoema de Gauss y despeja el módulo del campo eléctico: E π R Q E = Q 4 = ε ; luego 4πε 0 0 El campo en el exteio de una esfea cagada con caga Q, tiene la misma expesión que el campo poducido po una caga puntual Q situada en su cento. Campo eléctico ceado po un hilo conducto cagado e indefinido. El teoema de Gauss afima que el flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie ceada es igual al cociente ente la caga que hay en el inteio de dicha supeficie dividido ente e 0. u u Q E d = ε ' Paa una línea indefinida cagada, la aplicación del teoema de Gauss equiee los siguientes pasos: 0 1. pati de la simetía de la distibución de caga, detemina la diección del campo eléctico: La diección del campo es adial y pependicula a la línea cagada. Elegi una supeficie ceada apopiada paa calcula el flujo: Tomamos como supeficie ceada, un cilindo de adio y longitud L. José Enique Peandés Yuste 9/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. Flujo a tavés de las bases del cilindo: el campo E y el vecto supeficie 1 o foman 90º, luego el flujo es ceo. Flujo a tavés de la supeficie lateal del cilindo: el campo E es paalelo al vecto supeficie d. El campo eléctico E es constante en todos los puntos de la supeficie lateal, u u Φ= E d = Ed cos 0 = E d = E ' = E π RL ' ' ' 3. Detemina la caga que hay en el inteio de la supeficie ceada: La caga que hay en el inteio de la supeficie ceada vale q=λ L, donde λ es la caga po unidad de longitud. 4. plica el teoema de Gauss y despeja el módulo del campo eléctico: Q λl λ E π RL= = ; luego, E = ε ε πε R 0 0 0 Campo ceado po una placa plana indefinida cagada. Paa una placa indefinida cagada, la aplicación del teoema de Gauss equiee los siguientes pasos: 1. pati de la simetía de la distibución de caga, detemina la diección del campo eléctico. La diección del campo es pependicula a la placa cagada, hacia afuea si la caga es positiva y hacia la placa si la caga es negativa.. Elegi una supeficie ceada apopiada paa calcula el flujo Tomamos como supeficie ceada, un cilindo de base, cuya geneatiz es pependicula a la placa cagada. El flujo tiene dos contibuciones Flujo a tavés de las bases del cilindo: el campo y el vecto supeficie son paalelos. E 1 +E =Ecos0º=E Flujo a tavés de la supeficie lateal del cilindo. El campo E es pependicula al vecto supeficie d, el flujo es ceo. El flujo total es po tanto; E 3. Detemina la caga que hay en el inteio de la supeficie ceada José Enique Peandés Yuste 10/11
FÍIC º BCHILLERTO. CMPO ELÉCTRICO. La caga (en la figua de colo ojo) en el inteio de la supeficie ceada vale q=σ, donde σ es la caga po unidad de supeficie 4. plica el teoema de Gauss y despeja el módulo del campo eléctico σ σ E = E = ε ε 0 0 El campo poducido po una placa infinitamente gande es constante, su diección es pependicula a la placa. Esta fómula la podemos considea válida paa distancias póximas a una placa en compaación con sus dimensiones. Campo ceado po dos placas planas cagadas con cagas iguales y opuestas: Condensado. e denomina condensado al dispositivo fomado po dos placas paalelas y con igual caga peo de signo contaio. El campo ente las placas valdá: E = σ y fuea de él apoximadamente nulo. ε 0 σ d Qd La difeencia de potencial ente las amaduas seá: V V ' = E d = = ε ε 0 0 La capacidad C de un condensado se define como el cociente ente la caga Q y la difeencia de potencia V-V existente ente ellos. C Q = V V ' La unidad de capacidad es el faadio F, aunque se suelen emplea submúltiplos de esta unidad como el micofaadio µf=10-6 F, y el picofaadio, pf=10-1 F. Un condensado acumula una enegía U en foma de campo eléctico. La fómula como Q demostaemos más abajo esu =. C José Enique Peandés Yuste 11/11