REGULACIÓN AUTOMATICA (7)

REGULACIÓN AUTOMATICA (7) (Respuesta en frecuencia Bode) Escuela Politécnica Superior Profesor: Darío García Rodríguez

CONCEPTOS UTILES Definición de Decibelios.- La necesidad de comparar magnitudes en electrónica nos lleva a la utilización de decibelio que nos viene definido por: P I R I N º decibelios + escribir como: 0 log 0 log 0 log 0 log o también se puede P I R I R R N º decibelios P V R 0 log 0 log 0 log 0 log esta última formula es P V V R R R la mas empleada. Por regla general se desprecia 0 log. R También la salida se puede expresar en decibelios y viene expresada como: V N º decibelios 0 logv Cuando el número de decibelios se mide en los aparatos electrónicos se compara con una potencia de 0.00 vatios y una resistencias de 600 Ω.( equivale a una tensión de 0.775 voltios). R Definición de octava y década con respecto a la frecuencia.- Con referencia a la frecuencias, estas también se comparan y su unidad es la octava y la década. Una frecuencia aumenta una octava cuando su frecuencia se duplica, y disminuye una octava cuando su frecuencia se hace la mitad. Nos viene expresada por: n f final f n nº de octavas inicial Una frecuencia aumenta una década cuando su frecuencia se multiplica por 0, y disminuye una década cuando su frecuencia se divide por 0 Nos viene expresada por:. n f final 0 f nnº de décadas inicial Nota: La frecuencia en el sistema Internacional nos viene expresada en radianes partido segundo (rad/s). La frecuencia en la mayoría de los casos viene expresadas en hercios que es vueltas partido por seg.(hz). Ambas unidades están relacionada por π Nº radianes Nº vueltas por π. ( π f ).

.5.-Trazar el diagrama de bode de las siguientes funciones: g(s)(s+) y g(s)/(s+). Ambas funciones tiene una frecuencia de cruce con un valor de rad/seg., la primera en el numerador (cero) y la segunda en el denominador (polo). (es el valor absoluto de s, para que me haga cero el numerador o denominador). Su representación en matlab sería: 3

Las líneas rectas en las figuras, son la manera de trazarla manualmente en un papel semilogaritmo. Hacemos s j y calculamos modulo y ángulo: [ ] + g ; ang-gtan - (/) N º db 0 log + 0 log( ϖ + ) [ g ] ; ang-g-tan - (/) N º db 0 log 0 log( + ) + + en esta representación varíamos ente 0. y 00 rad/seg. En el primer caso, g los valores de la ganancia en db son positivos. 0. rad/seg. Nº db0 log(0. +) 0 db aproximadamente. rad/seg. Nº db0 log( +) 3 db si se toma 0dB error de 3 db. 0 rad/seg. Nº db0 log(0 +) 0 db aproximadamente. Para g todos los resultados de la ganancia en db. son negativos. 4

0. rad/seg. Nº db-0 log(0. +) 0 db aproximadamente. rad/seg. Nº db-0 log( +) 3 db si se toma 0dB error de 3 db. 0 rad/seg. Nº db-0 log(0 +) 0 db aproximadamente. El valor de k en estas funciones es. La ganancia en db es 0 log() 0 db. siendo el nº de db. hasta llegar a la frecuencia de cruce (). A partir de aquí g tendrá una pendiente de 0 db/dec y g 0dB/dec. Para trazarlo se toma el punto como (frecuencia de cruce, Nº db) y el punto (frecuencia de cruce multiplicado por 0, Nº db mas o menos 0dB(dependiendo sea en el numerador o denominador)). Y se unen los puntos. Referente a los ángulos se le dan todos los valores posibles a ente 0. a 0 rad/seg.(dentro de unos límites). En el caso de g son positivos los ángulos y en g negativos. 5

.5.- Dibuje las trazas de bode de la red de adelanto y de la red de atraso de la figura. Tomar el valor de RC5 seg C + + Eo(t) + Eo(t) + Ei(t) R Ei(t) C La transformada de Laplace de la función de transferencia de la primera figura, viene expresada por: Eo ( s) R RCs E ( ) i s RCs + R + s iϖ Cs el módulo en decibelios nos viene expresado por: 5ϖ N º db 0log y el ángulo por ang 90º tan (5 ) ( 5 ) + La frecuencia de cruce es 0. para el polo y 0 para el cero. RC 5 Su representación gráfica utilizando Matlab sería la siguiente figura: varia en a figura ente 0. y 0 rad/seg. Las líneas rectas representa el trazado manual. Donde la recta se inicia en 0log(5 0.)-6 con una pendiente de 0 db/dec y termina en la siguiente frecuencia de cruce que es 0. La recta se ha dibujado desde 6 a 4 cuya diferencia es 0 db y con respecto a la frecuencia, se ha empezado en 0, y ha terminado en que corresponde a una década (es decir se unen los puntos (0., 6) con (, 4)). Cuando llega a la próxima frecuencia de cruce tendrá una pendiente de : 0 db/dec 0dB/dec0dB/dec (la que poduce la siguiente frecuencia de cruce es de 0 db/dec.). Referente a los ángulos se le dan todos los valores posibles a ente 0. a 0 rad/seg.(dentro de unos límites). 6

La transformada de laplace de la función de transferencia de la segunda figura, viene expresada por: 7

Eo ( s) E ( s) i Cs R + Cs RCs + s iϖ Vamos a darle al valor de RC5seg. el modulo en decibelios nos viene expresado por: N º db 0log y el ángulo por ang tan (5 ) La frecuencia de ( 5 ) + cruce es 0. Su representación gráfica utilizando Matlab RC 5 sería: Donde la recta se inicia en 0 log()0 con una pendiente de 0 db/dec y termina en la siguiente frecuencia de cruce que es 0. La recta se ha dibujado desde 0 db con una pendiente de 0 db/dec. Cuando llega a la frecuencia de cruce tendrá una pendiente de : 0 db/dec 0dB/dec-0 db/dec Referente a los ángulos se le dan todos los valores posibles a ente 0. a 0 rad/seg.(dentro de unos límites). 8

3.5.-Dibujar el diagrama de Bode de los siguientes sistemas: s + s g ( s) y g ( s) el primer sistema es de fase mínima y el s + s + segundo de fase no mínima. El modulo de ambos sistemas es: [ g ( j) ] [ g( j] El ángulo es diferente: ang g( j) tan tan 4 + + ang g( j) tan tan Las frecuencias de cruce son ½. y rd/seg. La ganancia k es uno, luego es una recta que empieza en 0dB con pendiente 0 db/dec, hasta que llega la primera frecuencia de cruce. En la frecuencia 0.5 rad/seg., tengo que representar (s+). Es una recta que empieza en 0.5 rad/seg y 0dB con una pendiente de 0dB/dec (uno los puntos (0.5, 0dB) con (5, 0) esta recta es valido solo hasta la siguiente frecuencia de cruce, que es rad/seg. A partir de rad/seg. tengo que representar (s+) -, que le corresponde una pendiente de 0dB/dec que sumado a la pendiente anterior nos dará 0 db/dec. Es decir una recta horizontal. 9

Aquí se interpreta lo que es fase mínima y no mínima. 0

4.5.- Trazar el diagrama de bode para la siguientes funciones g ( s). s + 0.5s + g ( s) y s + s + Lo primero que tenemos que hacer comprobar si el denominador tienen raíces reales o imaginarias, si las raíces son imaginarias, comparamos con la siguiente expresión: n, siendo la frecuencia de cruce el valor de n y se calcula el valor de s + δ ns + n δ que es la relación de amortiguamiento. En ambos casos n rad/seg. δ es igual a 0.5 y 0.5 respectivamente para g (s) y g (s). A la hora del trazado, hay que tener presente el sobrimpulso máximo a la frecuencia de resonancia. Para el primer caso se tiene: M r expresada en db 0 log( δ δ ) ϖ r n δ δ δ dbm r 0log 0.5 0.5.5dB. ϖ 0.5 0.7rad / seg. r Su representación gráfica es la de la figura siguiente, donde los trazos rectos son los haríamos manualmente. Los curvas son los trazados con Matlab. Aquí el sobreimpulso máximo es pequeño solo de.5 db. (No tener en cuenta). Con respecto a los ángulos, darles valores para diferentes frecuencias (suficientes para trazarlos bien).

Para el segundo caso, si sería conveniente para su trazado, tener presente el sobreimpulso máximo y la frecuencia en que se produce: dbm r 0 log 0.5 0.5 6,3dB. ϖ r 0.5 0.93rad / seg. es decir muy próximo a a frecuencia de cruce. Su representación gráfica sería:

Aquí alrededor de la frecuencia de resonancia se incrementa la ganancia en M r, expresada en db, y se trazan unas rectas, que se unan a las de 0 db y 40 db que será la nueva gráfica a tener en cuenta. Con respecto a los ángulos, igual que en el caso anterior. 3

5.5.- Trazar el diagrama de Bode de la siguiente función de transferencia en lazo abierto, y que ganancia mínima tendríamos que multiplicar la función de transferencia para que el sistema sea estable, G ( s) H ( s). s( s + )(s + ) El sistema está normalizado donde las frecuencias de cruce son y ½. Para su trazado ponemos en orden las frecuencias de cruce: Primero calculamos /s, después (s+) - y por último (s+) -. Como empezamos en 0. rad/seg., tenemos Nº DB0log(/0.)0 db. trazamos una recta desde 0 db en 0. rad/seg con una pendiente de 0db/dec (unimos los puntos (0., 0) con (, 0)), solo valido hasta llegar a 0.5 rad que es la siguiente frecuencia de cruce, entonces tendremos una pendiente de 40 db/dec, y por último en la siguiente frecuencia de cruce, que es rad/seg. con una pendiente de 60 deb/dec. (ver trazos rectos de la figura) Los ángulos los trazamos igual que en los anteriores problemas, dándole valores a la frecuencia. Angulo-tang - (/0)-tang - ()-tang - (). 4

Para la segunda parte del problema, un sistema es estable cuando el margen de fase y ganancia sea positivo. Para el margen de ganancia, se calcula de la siguiente manera, se toma la frecuencia a la que el ángulo tiene un valor de 80º y a esa misma frecuencia la ganancia me da un valor en db, pues ese valor cambiado de signo es el margen de ganancia., en nuestro caso es de 0 db, luego k tiene que ser (está en el limite de la estabilidad). luego para k< será el sistema estable (desplaza la gráfica de ganancia hacia abajo). Para el margen de fase, se calcula de la siguiente manera, se toma la frecuencia a la que la ganancia es de 0 db, a esa mima frecuencia se toma el ángulo, este ángulo sumado a 80º nos dará el margen de fase para este caso es cero. Para la gráfica en Matlab, el margen de ganancia nos da en cambio 3.5 db es debido a que las frecuencias de cruce del sistema se encuentra muy próxima 0,7 rad/seg (en las frecuencias de cruce el error es de 3 db. y hay dos muy proximas)., que es la frecuencia que le corresponde a 80 º el ángulo de la ganancia lazo. En este caso el sistema es estable, para llegar al borde de la estabilidad le tendría que aumentar 3,5 db. Que expresado en la forma de ganancia k, sería: 3.5 0 log k 3.5 log k. 50 0 La siguiente figura muestra el diagrama de bode para k.5. donde el margen de fase y ganancia es cero. 5

6.5.-.- Considere el sistema de la figura. Dibuje las trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto y determine el valor de la ganancia k tal que el margen de fase sea de 50º. Cuál es el margen de ganancia de este sistema con esta ganancia k? R(s) s + 0. k s + 0.5 0 s( s + ) C(s) La función de transferencia en lazo abierto la tenemos que normalizar, para posteriormente trazar el diagrama de Bode, supongamos que k. 0( s + 0.) 0. G ( s) H ( s) ( s + 0.5) s( s + ) 0. 0.5 0.5 s ( + ) 0. s s ( + ) ( s + ) 0.5 Para su trazado, ordenemos las funciones por frecuencias de corte., s - s, + 0., s + 0.5 y s + Vamos a empezar su trazado en 0.0 rad/seg. Para s - tenemos N º db 0 log() 0 log(00) 46dB Luego empezamos en 46 db. con una pendiente de 0 db/dec s Hasta llegar a la siguiente frecuencia de cruce que es 0. en + 0. que tiene una pendiente de 0 db/dec que sumada con la anterior nos da 0dB/dec. Le corresponde una línea horizontal hasta llegar a 0.5 rad/seg s + 0.5 s que tiene una pendiente de 0db/dec. Hasta llegar a rad/seg. + 0.5 que tiene una pendiente de 0db/dec, que sumada a la anterior nos dará una pendiente de 40db/dec. Con respecto a los ángulos haremos una tabla para los diferentes valores de, 6

rad/seg 0.0 0. 0.5.45 5.7º 45º 84.3º 89.5º 87.º 86. 86º tan 0. -90º -90º -90º -90º -90º -90º -90 tan 0-0.º -.3º -63.4º -87.º -76º -7.6º 7º tan 0.5-0.6º -5.7º -45º -84.3º -63.4º -56.3º 55.4º tan ángulos -85º -6º -4.º -7,9º -4.3º -3.7º -30.4º En la tabla de ángulos nos interesa, un ángulo de -30º, ya que el margen de fase deseado es de M f 80 º + ang 50º luego ang 50º 80º 30º Como se observa en la frecuencia de.45 rad/seg. le corresponde una ganancia de aproximadamente db. y debería ser de 0 db. Luego la k tendría que valer: bdb 0 log k log k 0. 5 0 El margen de ganancia para este valor es infinito, ya que, el ángulos de la función de transferencia en lazo abierto no llega a 80º (para valores reales). 7

7.5.- a) Trace el diagrama de Bode para la siguiente función de transferencia de lazo abierto para k0. k G ( s) H ( s) s( s + )( s + 5) b) Calcular el margen de fase y ganancia, e indicar la estabilidad del sistema. c) para que valores de k el sistema será estable?. d) A partir del diagrama de Bode para k0, trazar el diagrama polar y el diagrama de Nichols. Los primero es normalizar la función de transferencia. 0 0 G ( s) H ( s) s( s + )( s + 5) 5 + + s ( )( 5) s s s s s + + 5 5 las frecuencias de cruce son y 5 rad/seg. Ordenemos las funciones por frecuencias de corte. s -, s + y s + 5 Vamos a empezar en una frecuencia de 0. rad/seg. s - empieza en 0 log 0dB con una pendiente de 0dB/dec. 0. hasta llegar a rad/seg que tendrá 0+040 db/dec, hasta 5 rad/seg y a partir de aquí 40+060 db/dec. Con respecto al ángulo, haremos la tabla para diferentes valores de. rad/seg 0. 0 00 5 3 3. -90º -90º -90º -90º -90º -90º -90º tan 0 -.9º -6.6º -78.7º 88.9º -68.º -56.3º -58º tan -.º -.3º -63.4-87.º -45º 3º -3.6 tan 5 ángulos -94-7.9º 3.º 66º -03.º 77.3º -80.6 b) Para calcular el margen de ganancia, nos interesa calcular la frecuencia, para que el ángulo valga 80º, habiéndolo conseguido para un valor de 3. rad/seg. Según la gráfica, se puede calcular el margen de fase y el margen de ganancia. Cuando el ángulo vale 80º la ganancia es de 8 db luego, el margen de ganancia es 8 db. Cuando la ganancia vale 0 dbel ángulo es de 5º, luego el margen de fase es de M f 80 º + angulo 80º 5º 55º. 8

El sistema es estable por tener el margen de ganancia y fase positivo. c) El Sistema será estable hasta que, en 80º, la ganancia valga 0 db, pero no positiva (si lo es el margen de ganancia es negativo), luego a la ganancia se le puede aumentar 8 db. 8 8 0 log k log k 7. 94 luego el valor de k máximo es de : 0 k0 7.97 79.7. d) Para el trazado de Nychols el eje de las ordenas nos indica el nº de db y el de las abscisa el ángulo para una misma frecuencia. Vamos a tomar solo cuatro valores: 9

0.5 rad/seg. ang -0º Nº db 5.5 rad/seg. ang -30º Nº db -0 rad/seg. ang -60º Nº db -0 0 rad/seg. ang -40º Nº db -40 Para esos mismos valores vamos a trazar el diagrama polar: en el eje de la ordenada tenemos la parte imaginaria y en el eje de la abscisa la parte real de la función de transferencia, también se pueden representar por el modulo y ángulo: Para 0.5 rad/seg 5.5 db equivale a una ganancia.9 y ángulo 0º. Para rad/seg. -0dB equivale a una ganancia y ángulo 30º. Para rad/seg. -0dB equivale a una ganancia 0.3 y ángulo 60º. Para 0 rad/seg. -40dB equivale a una ganancia 0.0 y angulo 40º. Su representación gráfica. 0

8.5.- Considere el sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia de lazo abierto es as + G( s) s a) Determine el valor de a tal que el margen de fase sea 45º. b) Para ese valor de a, cual será el margen de ganancia. El margen de fase se consigue a la frecuencia en que la ganancia vale 0 db, que equivale que la ganancia sea, y en esa frecuencia el ángulo de la función de transferencia debe ser ang-g(j)m f 80º 45º-80º-35º. ang G( j) tan a tan tan 0 Luego tan - a 45º a a / a 80º 35º + ( ) j + G j cuyo modulo es.9 luego a 0. 84.9 b) El ángulo de la función ganancia lazo, nunca llegara a valer infinito, o llega cuando la frecuencia es infinito y entonces la ganancia vale menos infinito, luego el margen de ganancia vale infinito.

9.5.- Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo abierto. k G ( s) s( s + s + 4) Determine el valor de la ganancia k tal que el margen de fase sea de 50º. Cual es el margen de ganancia de este sistema con esta ganancia k. Pongamos en primer lugar el modulo y el ángulo: ( j) k G ang G( j ) tan tan ( 4 ) + 0 4 ang G( j) 90º tan 4 Si el margen de fase es 50º tiene que cumplir M f 80-ang-G(j)50º ang G( j) 90º tan 30º 4 tan( 40º ) 0.84 4 de aquí.49 rad/seg a esta frecuencia la ganancia tiene que ser de 0 db equivale que el modulo de G(j) k G ( j) ( 4 ) + ( 4 ) +.49 : ( 4.49 ) +.49 3. 46 k El margen de ganancia se calcula a la frecuencia en que el ángulo de G(j) valga 80º ang G( j) 90º tan 80º 4 tan(90º ) 4 luego 4 0 luego rad/seg Si sustituimos en la ganancia de G(j) tendremos: k 3,46 G ( j) 4 + (4 ) + ( ) 3.46 4 0.87 N º db 0 log 0.87.6 luego el margen de ganancia es.6 db. 3

Si este problema queremos resolverlo por matlab, trazamos el diagram de Bode. >> gtf(,[ 4 0]); >> bode(g) 0.8 k log 3.47 0 b) Para calcular el margen de ganancia, para ese valor de k, >> gtf(3.47,[ 4 0]); >> bode(g) Cuando el ángulo vale 80º el modulo es.8 db luego M g.8 db. 4