Tema 8 Cuerpos en el espacio Poliedros La primera distinción que debemos hacer es entre los poliedros, que son cuerpos geométricos limitados por polígonos, y los cuerpos de revolución, donde una forma plana girando en torno a un eje de revolución forma lo que se conoce como un cuerpo redondo. Observemos ahora los llamados poliedros regulares (figura 8.1). De ellos tres tienen por caras triángulos equiláteros: el Tetraedro con 4 caras, el Octaedro con 8 y el Icosaedro con 20 caras. Aún hay dos más: El Hexaedro o Cubo, que tiene 6 caras formadas por cuadrados y el Dodecaedro, con 12 caras formadas por pentágonos regulares. Figura 8.1 En general, los poliedros regulares tienen por caras polígonos regulares (sus lados son iguales, sus ángulos interiores también) y sólo son cinco los que se pueden construir. Pero estos poliedros tienen otros elementos característicos, al igual que otros poliedros no regulares. Al cortarse dos planos se divide el espacio en cuatro regiones, cada una de las cuales se llama ángulo diedro (figura 8.2). Sus caras son los semiplanos que los determinan y la recta común a las dos caras se llama arista. Cuántas aristas tienen los poliedros regulares? Se puede comprobar que son: Tetraedro 6 Octaedro 12 Icosaedro... 30 Cubo.. 12 Dodecaedro 30 Figura 8.2 1
Si en vez de dos son tres o más planos cortándose mediante rectas que concurren en un punto, a la región del espacio comprendido entre esos planos se le llama ángulo poliedro y al punto común vértice. En el tetraedro, por ejemplo, concurren tres planos en cada uno de los vértices, en el octaedro son cuatro, sin embargo, y cinco en el dodecaedro. Cuántos vértices tienen estos poliedros regulares? Si formamos una tabla con el número de caras, aristas y vértices encontraremos una curiosa relación: Poliedro Caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Octaedro 8 6 12 Icosaedro 20 12 30 Cubo 6 8 12 Dodecaedro 12 20 30 Se puede observar que sumando el número de caras y vértices siempre excede en 2 al número de aristas, relación conocida como teorema de Euler (figura 8.3), válida para cualquier poliedro, no sólo los regulares: C + V = A + 2. Figura 8.3 Usaremos ahora este teorema para demostrar que no pueden existir más de cinco poliedros regulares. En efecto, sea C el número de caras y n el número de lados por cara (n 3 porque al menos las caras son triángulos). Sea V el número de vértices, A el número de aristas y a el número de aristas concurrentes en un vértice (a 3). Pues bien, se cumplirá n C = 2 A y a V = 2 A ya que, en el primer caso, si fuera un tetraedro, por ejemplo, tendríamos 4 caras pero cada cara dispondría de 3 lados, al multiplicar ambos números estaríamos contando dos veces el número de aristas. Si esto es así, A = nc/2 V = 2A / a = nc/a Y ahora sustituimos en la relación de Euler: C + nc/a = nc/2 + 2 Multiplicando por 2 a: 2aC + 2nC = anc + 4 a Despejando C: C = Si n = 3 (las caras son triángulos equiláteros): - a = 3 C = 4 y tenemos el tetraedro. - a = 4 C = 8 y es el octaedro. 4 a 2 (a + n) an 2
- a = 5 C = 20 el icosaedro Si n = 4 (las caras son cuadrados): - a = 3 C = 6 El cubo Si n = 5 (tomando por caras pentágonos): - a = 3 C = 12 Dodecaedro Si en este último caso, por ejemplo, a = 4 sería C = -8, que es imposible. Del mismo modo, n = 6, es decir, considerando como caras hexágonos regulares, no da lugar a ningún poliedro regular puesto que para a = 3, C = 12/0 Áreas laterales de los poliedros Es un ejercicio habitual en Primaria construir estos poliedros regulares a partir de su desarrollo plano (figura 8.4). Eso nos conduce a tratar de averiguar, a partir exclusivamente de la longitud de sus aristas, cuál será el área de dicho poliedro. Figura 8.4 En el caso más sencillo, el del tetraedro, basta multiplicar por 4 el área de una de sus caras triangulares. Siendo a la arista y h la altura del triángulo, se cumplirá por aplicación del teorema de Pitágoras, que h = a 3 / 2 de donde el área de una de las caras será: A = a 2 3 / 4 de donde el área total es: A T = a 2 3 En esta línea es sencillo deducir otras áreas laterales: Octaedro A T = 2 a 2 3 Icosaedro A T = 5 a 2 3 Cubo A T = 6 a 2 La del dodecaedro resulta considerablemente más complicada y será por tanto no considerada aquí. 3
Prismas Entre los poliedros, además de los regulares, destacan dos tipos: los prismas y las pirámides. El prisma es un cuerpo geométrico que está limitado por dos bases paralelas formadas por polígonos iguales teniendo por caras laterales paralelogramos. Si las bases son triángulos el prisma se llama triangular, si son cuadrados, prisma cuadrangular y así sucesivamente. Los prismas más frecuentes son aquellos en que las bases son paralelogramos, al igual que las caras laterales. En este caso nos encontramos con prismas cuadrados, rectangulares, romboidales, etc. que se denominan paralelepípedos. Pues bien, una caja de zapatos, una torre de base cuadrada o rectangular, son ejemplos de paralelepípedos frecuentes en nuestras vidas pero hay casos en que las caras laterales de un prisma no son perpendiculares a las bases. Estamos entonces, como sucede en las famosas torres KIO de Madrid, con prismas oblicuos (figura 8.5). Figura 8.5 En el caso de los prismas rectilíneos la altura de los mismos coincide con una de las aristas laterales pero, si el prisma es oblicuo, la altura habrá de definirse como la longitud del segmento perpendicular comprendido entre las dos bases. Estos prismas también son susceptibles de ser construidos con no demasiada dificultad. En el caso de un paralelepípedo de base cuadrada, su superficie estaría constituida por cuatro rectángulos y dos bases cuadradas (figura 8.6). Figura 8.6 Naturalmente, el área lateral se formaría con los cuatro rectángulos que actúan como caras formando un rectángulo más general que tiene de largo el perímetro de la base cuadrada, y de ancho la altura del paralelepípedo. Área lateral = Perímetro base x Altura de forma que el área total se obtendría sumando las dos bases cuadradas. 4
Pirámides Cuando las caras laterales no son paralelogramos sino triángulos con un vértice común sólo existe, por tanto, una base poligonal. Estamos entonces ante el caso de una pirámide cuyos ejemplos más conocidos son los monumentos egipcios de su Imperio Antiguo (figura 8.7), que tienen base cuadrada. Figura 8.7 El desarrollo de la superficie lateral de una pirámide de este tipo (figura 8.8) nos da las claves para averiguar su área. Si el cuadrado de la base tiene de lado L y h es la altura de una de las caras laterales, la superficie total se obtendrá sumando las cuatro caras laterales (superficie lateral de la pirámide) al área de la base: A = 4 L h + L 2 = P h + L 2 2 2 dado que 4L es igual al perímetro P de la base. Figura 8.8 5
Volúmenes Como en el caso de las superficies planas, la medida de un volumen para un cuerpo en el espacio parte de una unidad de medida, en este caso un cubo que puede repetirse tantas veces como haga falta. Para un prisma recto de base rectangular, por ejemplo, los cubos que pueden incluirse en su interior serán tantos como los marcados por la superficie B de la base por la altura h que alcanza. Volumen prisma = B x h No es sencillo deducir que un prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides de la misma base e idéntica altura (figura 8.9) pero ello permite concluir que el volumen de una pirámide será la tercera parte del volumen del prisma correspondiente: Volumen pirámide = B x h / 3 Figura 8.9 Conviene hacer un repaso de las unidades principales. En general, la unidad fundamental es el metro cúbico, el cubo que tiene un metro por arista. Otras bien conocidas son el decímetro o el centímetro cúbico, cuyas equivalencias serían: 1 dm 3 = 0,001 m 3 1 cm 3 = 0,001 dm 3 = 0,000001 m 3 Mientras el volumen se refiere al espacio ocupado por dicho cuerpo, la capacidad se mide en litros y viene a referirse al volumen de líquido que contiene dicho cuerpo cuando está lleno. Es necesario recordar la relación: 1 dm 3 = 1 litro de donde caben 1000 litros (10 Hl = 1 Kl) en un metro cúbico. Por ejemplo, ante una noticia como ésta, qué cantidades en litros corresponden?: La reserva hidráulica española ha aumentado esta semana sólo en 119 hectómetros cúbicos, lo que sitúa las reservas de agua en la Península en el 47,6 por ciento (25.370 hm 3 ). El aumento de 119 hm 3 significa que se está tomando como unidad de medida un cubo de 1 hm de arista, es decir, 100 metros. De ahí que el hectómetro cúbico equivalga a 1 hm 3 = 100 3 m 3 = 1.000.000 m 3 Es decir, un millón de m 3. Como a su vez el metro cúbico admite una capacidad de mil litros, 1 hm 3 = 1.000.000.000 litros 6
litros. En otras palabras, la reserva hidráulica española ha aumenta en 119 mil millones de Cilindro y cono Si apoyamos un rectángulo por uno de sus lados sobre un eje de revolución y hacemos girar el rectángulo, obtendremos un cilindro, un cuerpo caracterizado por tener una superficie lateral curva y dos bases iguales que son círculos (figura 8.10). Figura 8.10 Figura 8.11 En caso de que dicha base tenga de radio r y la altura del cilindro sea h, el desarrollo de su superficie (figura 8.11) nos indica que el área vendrá dado por el de un rectángulo que constituye la superficie lateral con un largo igual a la circunferencia de la base y ancho la altura del cilindro. Por tanto, en total será: A = 2 π r h + 2 π r 2 = 2 π r (h + r) El cono, en cambio, se forma con el espacio engendrado por un triángulo rectángulo cuando gira apoyando uno de sus catetos sobre el eje de revoluciónla base en este caso será de nuevo un círculo pero el resto de la superficie curva convergerá en un punto, uno de los vértices de ese triángulo rectángulo (figura 8.12). 7
Figura 8.12 La superficie del cono en este caso es algo más complicado ya que, además de la base circular, se obtiene un sector circular de radio igual a la hipotenusa del triángulo (también llamada generatriz del cono) y de arco la longitud de la circunferencia de la base (figura 8.13). De manera que si llamamos g a dicha hipotenusa, el área será: Área sector = ½ arco x radio = ½ 2 π g. r = π r g Área total = π r g + π r 2 = π r (g + r) Los volúmenes de estos cuerpos se calculan de un modo similar al del prisma y la pirámide, es decir, en el caso del cilindro: V = π r 2 h Y la tercera parte para el cono: V = 1/3 π r 2 h Figura 8.13 8
Problemas 1) Cuántas aristas tiene un prisma exagonal? Y un paralelepípedo? 2) Calcular el área lateral de un prisma pentagonal de 10 cm de altura y 8 cm de lado del pentágono. 3) Calcular la altura de un prisma recto, sabiendo que el perímetro de la base es de 22,5 cm y la superficie lateral mide 202,50 cm 2 4) Hallar el área total de un prisma recto de altura 10 cm y de base un triángulo equilátero de lado 5 cm. 5) Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 euros el metro cuadrado. Cuánto costará pintarla? Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla? 6) Calcular la superficie total de un prisma recto de 20 cm de altura, cuya base es un heptágono regular de 5 cm de lado y 6,23 cm de apotema. 7) Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? 8) Hallar el número de caras que tiene un prisma recto, cuya arista lateral es de 12 cm, cada lado de la base mide 4 cm y la superficie lateral es de 288 cm 2 9) Si la suma de todas las aristas de un cubo es de 320 cm, calcular la superficie total del cubo. 10) Deducir en un cubo la longitud de una diagonal del mismo en función de la arista a. 11) En un depósito de materiales hay un espacio de 8,4 m de largo por 4,5 m de ancho por 1,2 m de alto. En el se acomodaron ladrillos para la construcción de 28 cm por 15 cm por 4 cm. Averiguar cuántos ladrillos se apilaron. 12) Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm 2 y 48 litros de capacidad. 13) Determinar la profundidad de una piscina de 6 m de longitud y 4 m de ancho, sabiendo que para llenarla es preciso tener abierto, durante 12 horas, un grifo que arroja 50 dm 3 de agua por minuto. 14) Se tiene un paralelepípedo recto de base rectangular y área total 370 dm 2. La superficie de una cara es de 50 dm 2. Midiendo 5 dm la arista perpendicular a dicha cara, hallar el valor de las otras aristas. 15) Cuánto mide el lado de la base de un prisma exagonal cuya área total es 46,392 m 2 y la altura es el triple del lado de la base? 16) Calcular la altura de un prisma recto cuya área lateral es 171 m 2 y la base un pentágono regular con 3,8 m de lado. 9
17) Una caja de hojalata tiene 0,50 m de largo, 0,25 m de ancho y 0,20 m de profundidad. Cuántos litros cabe? 18) Una caja de madera se ha forrado interiormente con una chapa que presenta una superficie de 6,40 m 2. La longitud de la caja es el doble de su anchura y las caras extremas son cuadrados iguales. Hallar el volumen interior. 19) Un florero tiene la forma de un prisma exagonal con 30 cm de alto y 9 dm 2 de área lateral. Sus tres cuartas partes se llenan de agua. Cuál es el volumen de dicha agua? 20) La arista de la base en una pirámide triangular mide 8 m y la arista lateral 5 m. Calcular su área total. 21) Determinar el área total de una pirámide cuadrangular de lado de la base 5 cm y de apotema 10 cm. 22) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular de altura 8 dm y de arista básica 6 dm. Cuántos litros contiene? 23) Una pirámide exagonal tiene de arista básica 3 cm y de arista lateral 5 cm. Hallar el área lateral, el total y su volumen. 24) Se tiene un tubo de 4 cm de radio interior. Si se tapa por un extremo y se echa un litro de agua qué altura alcanzará? 25) En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. A qué altura llegará el agua cuando se derritan? 26) Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 27) La superficie lateral de un cilindro es igual a la superficie de su base y la altura del mismo es de 10 cm. Calcular el volumen del cilindro. 28) La base de un cilindro es 3,08 m 2 y la altura es triple del radio de la base. Calcular el área lateral del cilindro. 29) Qué volumen tiene una piedra que, echada en un vaso cilíndrico de 0,8 m de diámetro, eleva 0,483 m el nivel del agua que había en él? 30) El diámetro de la base de un cono es el doble de la altura. Cuál es el área lateral de ese cono? 31) El contenido de un cono, cuya base tiene 20 cm de diámetro y 30 cm de altura, se vuelca 6 veces en un cilindro cuya base tiene el mismo radio que dicho cono. Calcular la altura del cilindro. 32) Los diámetros de dos conos con igual altura miden 0,56 m y 1,12 m respectivamente. En qué proporción están los volúmenes de esos conos? 33) Un triángulo equilátero de 4 cm de lado gira alrededor de un lado. Hallar el volumen engendrado. 10
34) Hallar el volumen engendrado por un trapecio isósceles (figura 8.14) que gira sobre la base mayor de 12 m. La otra base mide 7 m y el lado no paralelo 9 m. Figura 8.14 1) El prisma 18, el paralelepípedo 12. 2) Perímetro de la base = 8 x 5 = 40 cm Área lateral = 40 x 10 = 400 cm 2 3) h = 9 cm 4) Área lateral = P x a = 15 x 10 = 150 cm Base = l 2 3 / 4 = 25 3 / 4 Área total = A lateral + 2B = 150 + 12,5 3 cm 2 5) A = 90 m 2 lo que da un precio de 540 euros V = 8. 6. 1,5 = 72 m 3 = 72.000 litros 6) Área total = 1101,66 cm 2 7) A = 156 m 2 A loseta = 20. 20 = 400 cm 2 = 0,04 m 2 El número de losetas será de 156 / 0,04 = 3900 8) Tiene 6 caras. 9) Área total = 5766 cm 2 Soluciones 10) Si llamamos d a la diagonal de una cara y D a la del cubo (figura 9.11), aplicando Pitágoras será d = a 2 D = a 3 11) 27.000 ladrillos 12) 48 dm 3 = 12. h h = 4 dm 13) La altura es de 1,5 metros 14) Área total = 2ab + 2ac + 2bc = 370; A = bc = 50 ; a = 5 Operando: ab + ac + bc = 185 5b + 5c + 50 = 185 b + c = 27 11
Y considerando que bc = 50 se obtiene b = 2, c = 25 Las aristas son 2, 5 y 25 cm 15) Área de las dos bases = 3 3 l 2 Área lateral = 18 l 2 Área total = 46,392 m 2 de donde l 2 = 2 y l = 2 m 16) Perímetro de la base = 19 m Área lateral = 19 a = 171 m 2 De donde la altura a = 9 m. 17) Volumen caja = 0,340 m 2 Capacidad en litros = 340 litros 18) Si x es la anchura y 2x la longitud, el perímetro de la caja será 6x. Entonces el área lateral será 6x 2 y el área de la base 2x 2, de donde el área total es 10 x 2. 10 x 2 = 6,4 x = 0,8 m Volumen interior = 0,8. 0,8. 1,6 = 1,024 m 2 19) Perímetro de la base = 30 cm Lado de la base = 5 cm Área de la base = 64,95 cm 2 Volumen agua = 1461,375 cm 2 20) La apotema de esta pirámide es cateto de un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa 5 m siendo 4 m el otro cateto. De ahí que la apotema resulte de 3 m. Área lateral = 36 m 2 Área base = 27,712 m 2 Área total = 63,712 m 2 21) Área total = P. a / 2 + l 2 = 20. 10 / 2 + 5 2 = 125 cm 2 22) V = 1/3 B h = 1/3 6 2. 8 = 96 dm 3 = 96 litros 23) Apotema = 4,77 Área lateral = P. a / 2 = 42,93 cm 2 Área total = 66,33 cm 2 siendo la base = 23,4 cm 2 V = 1/3 B h = 31,2 cm 3 siendo h = 4 24) 1 litro = 1 dm 3 = 1000 cm 3 Como el Volumen = B h = π r 2 h 1000 = π. 4 2. h h = 19,9 cm 25) V = 256 cm 3 = π 6 2 h h = 2,26 cm 26) A = 2 π 5 (20 + 5) = 785,398 cm 2 que para 10 botes será 7.853,98 cm 2 27) V = 12.560 cm 3 28) Área lateral cilindro = 2 π r a Como a = 3 r A = 2 π r. 3 r = 18,48 m 2 29) Volumen piedra = (0,8 / 2) 2. 3,14. 0,483 = 0,242782 m 3 30) Diámetro de la base es 2r y 2ª de donde r = a. l 2 = a 2 + r 2 = 2 r 2 = 9 de donde r = 3 2 / 2 Área lateral = 3,14. 3. 3 2 / 2 = 19,993 m 2 31) La altura será de 60 cm 32) Sea a la altura común. Los volúmenes serán: a/3. π 0,56 2 / 4 y a/3. π 1,12 2 / 4 De donde la razón será 0,56 2 / 1,12 2 = 1/4 33) Se forman dos conos iguales, por lo que V = 2. 1/3. B. h La base tiene como radio la altura del triángulo: r = l 3 / 2 La altura del cono es h = l/2 V = 2. 1/3 π r 2 h = 16 π cm 3 12
La altura del cono es h = l/2 V = 2. 1/3 π r 2 h = 16 π cm 3 34) Se forma un cilindro central más dos conos en los extremos. La altura de los conos será: 12 7 / 2 = 2,5 m y el radio r = 9 2 2,5 2 = 8,65 de donde r 2 = 74,75 V cono = 1/3 B h = 1/3 π r 2 h = 62,29 π m 3 V cilindro = B h = π r 2 h = 523,25 π m 3 V total = 523,25 π + 2. 62,29 π = 647,83 π m 3 13