Capítulo III Diseños de bloques completos al azar

Capítulo III Diseños de bloques completos al azar El diseño de bloques completos al azar surge por la necesidad que tiene el investigador de ejercer un control local de la variación dado la existencia de un material experimental heterogéneo En ese orden de ideas, los pasos que el investigador sigue son: (a) Forma los bloques de unidades experimentales homogéneos fundamentándose para ello en algún criterio de bloqueo o agrupamiento Estos criterios pueden ser: Raza, Época, Edad, Sexo, Peso, Sistema de Manejo, Tipo de Explotación, Zona, País, Número de Partos, número de lactaciones, número de ordeños, corrales o establos, potreros, camadas, métodos, variedades, entre otros (b) Luego de formados los bloques se asignan al azar los tratamientos a la unidades experimentales de cada bloque El esquema dado a continuación ayuda a comprender la filosofía de la formación de bloques

8 Los bloques se definen como un conjunto de unidades experimentales homogéneas dentro de sí y heterogéneos entre sí En los bloques están representados todos los tratamientos Objetivos (a) Maximizar las diferencias entre bloques (b) Minimizar la variación dentro de bloques Ventajas (a) Elimina una fuente de variación del error, aumentando de esta forma la precisión del ensayo La precisión del ensayo S se mide a través del coeficiente de variación CV (%) x100

9 (b) (c) (d) Permite una gran flexibilidad en la relación tratamiento bloque, siempre y cuando se reserven un número igual (o un múltiplo) de tratamientos por unidad experimental La pérdida de información por bloque o tratamiento no dificulta el análisis estadístico Permite aplicar el principio de confusión al hacer coincidir los bloques con los ciertas variables que influyen sobre la respuesta pero que no son de interés para el investigador Desventajas (a) (b) (c) (d) No es apropiado para un número elevado de tratamientos (se recomienda entre 6 y 4 tratamientos) No es aconsejable cuando exista una gran variación (en más de una variable) en el material experimental Si el efecto de bloque no es significativo se trabaja innecesariamente con disminución de los grados de libertad para el error y la consecuente disminución de la precisión Si resulta una interacción entre bloque y tratamiento, se invalida la prueba F Modelo aditivo lineal ij i j ij De izquierda a derecha tenemos la variable respuesta ij, la media general, el efecto del i-ésimo tratamiento i, el efecto de bloque j y el efecto del error experimental ij Representación Esquemática del Diseño en Bloques Completos al Azar

30 Tratamientos Bloques 1 J t Total Media Bloque 1 11 1J 1t 1 1 I I1 ij it i i r r1 rj rt r r Total Media TRAT 1 1 j t j t Las fórmulas de definición y de cálculo son: Factor de Corrección: FC rt Suma de Cuadrados Totales: SCT= ij = ij FC

31 Cuadro de ANOVA Fuentes de Variación TRAT Grados de libertad t-1 Suma Cuadrados SCTRAT de Cuadrados Medios CMTRAT Valor F CMTRAT CMERROR BLOQ r-1 SCBLOQ CMBLOQ ERROR (t-1)(r- SCERROR CMERROR 1) Total rt-1 ij Suma de cuadrados de tratamiento: SCTRAT= r ( j ) ij r FC Suma de cuadrados de bloques: SCBLOQ= t ( i ) t i Suma de cuadrados del error: SCERROR= ij i j FC ( ) =SCT-(SCTRAT+SCBLOQ) Diseños en Bloques al Azar con más de una observación por Unidad Experimental o sub-muestreo en Bloques

3 Tratamientos BLOQ 1 t totales medias R1 R Rr Totales 111 11S 11 1S 1r1 1rS 11 1S 1 S r1 rs i t11 t1s t1 ts tr1 trs j j Medias i Modelo aditivo lineal ijk i=1,,k j=1,,r k=1,,s i j ij ijk donde: : es la media general : es el efecto de tratamiento i : es el efecto de bloque j : es el error experimental ij : es el error de muestreo ij Sumas de Cuadrados en Diseño de Bloques con Submuestreo La suma de cuadrados totales:

33 SCT= ( ijk ) ijk krs La suma de cuadrados de tratamientos: SCTRAT= rs ( i ) rs La suma de cuadrados de bloque: SCBLOQ= ks i krs j ( j ) ks krs La suma de cuadrados del error experimental: SCE= ( ) ( SCTRAT S ij O también: SCE= s SCBLOQ) ij krs La suma de cuadrados del error de muestreo es: SCEM= ) ijk ij ( ijk ij ( ) s Cuadro de Anova FV gl SC CM F TRAT k-1 SCTRAT CMTRAT CMTRAT/CMEE BLOQ r-1 SCBLOQ CMBLOQ ERROR EXP (k-1)(r-1) SCEE CMEE ERROR kr(s-1) SCEM CMEM MUESTREO TOTAL krs-1 SCT

34 Observaciones faltantes o perdidas en un diseño de bloques En los experimentos pueden ocurrir accidentes que dan como resultado la pérdida de una o varias unidades experimentales Las observaciones perdidas surgen por varias razones: (i) Un animal puede destruir las plantas de una o varias parcelas (ii) (iii) Puede ocurrir mortalidad de animales Pueden enfermar si ser consecuencia del tratamiento empleado (iv) (v) Un dato registrado puede estar mal tomado Errores en la aplicación de un tratamiento La pérdida de una o varias unidades experimentales anula el Teorema de la Adición de la Suma de Cuadrados, y, por consiguiente, no se podría emplear el método de los mínimos cuadrados, a menos que se estime un valor para la o las unidades perdidas Además, las observaciones perdidas destruyen el balance o simetría con la cual fue planificado nuestro experimento originalmente En tal situación nosotros podemos emplear dos caminos, el análisis estadístico para desigual número de observaciones, digamos por tratamiento, ó, el procedimiento de estimación de observaciones perdidas debido a ates Los casos que se pueden presentar son: (a) Falta un bloque o un tratamiento completo: en este caso se elimina el bloque o el tratamiento y se procede al análisis habitual (b) Falta una observación: en esta situación se estima la observación perdida por el método de ates: tt rb G ( t 1)( r 1)

35 Donde: : observación perdida, t: número de tratamientos, r: número de bloques, T: suma de observaciones en el tratamiento donde figura la observación perdida, B: suma de observaciones en el bloque donde figura la observación perdida, G: gran total de las observaciones que quedan en el experimento La observación así estimada se anota en la matriz de datos y se procede al análisis estadístico de la forma habitual, con la excepción de que se reducen en uno los grados de libertad del total y, como consecuencia también, en igual cantidad, los grados de libertad del error ates, indicó que el análisis de varianza desarrollado utilizando valores estimados conlleva a una sobre-estimación de la suma de cuadrados de tratamientos, la cual puede ser corregida a través de la fórmula: SCTRAT _ CORREGIDA SCTRAT _ SIN _ CORREGIR B ( t 1) t( t 1) (c) Falta más de una observación: el procedimiento más exacto para esta situación, consiste en asignar aquel valor de la observación perdida que reduzca la suma de cuadrados del error experimental Esta solución la podemos encontrar en el cálculo diferencial Calculamos la expresión algebraica de la suma de cuadrados del error experimental, derivamos ésta expresión con respecto a las observaciones perdidas e igualamos a cero, obteniendo de ésta manera un sistema de ecuaciones cuya solución nos da el valor estimado de las observaciones perdidas Si el número de observaciones perdidas son dos, ocurre la pérdida de dos grados de libertad para el error y dos para el total Asimismo, debe reducirse la suma de cuadrados de tratamiento, en igual cantidad, a fin de evitar la sobre-estimación La fórmula es:

36 SCTRAT _ CORREGIDA SCTRAT _ SIN _ CORREGIR B' ( t 1) 1 B'' ( t 1) t( t 1) Donde: t: es el número de tratamientos B : suma de observaciones en el bloque donde figura 1 B : suma de observaciones en el bloque donde figura 1: estimación de la primera observación perdida : estimación de la segunda observación perdida Nota: Las dos observaciones perdidas no deben pertenecer al mismo bloque, para que éste procedimiento sea correcto Eficiencia relativa de un diseño En algunas situaciones es de interés conocer qué tan efectivo fue utilizar un diseño con respecto a otro Esto es particularmente útil si existen dudas en cuanto a la utilización de un diseño en particular Se define como la medida porcentual de la varianza del error de un diseño con respecto a otro En general, será más eficiente aquel diseño que posea menor varianza del error Si deseamos comparar la eficiencia de un diseño dos con respecto al uno, lo indicaremos así:

37 ER(%) S S () (1) x100 Nota: La eficiencia relativa del diseño que se quiere estimar debe colocar en el denominador la varianza del error Ejemplo numérico Si la varianza del error de un diseño en bloques es en un caso particular S 18, 06 y la de un diseño completamente al azar es ( ) S 7,50 Luego la eficiencia del bloque respecto al diseño ( 1) completamente al azar es: S ER(%) S () (1) x100 18,06 ER(%)= x 100 40,8% (esta es la eficiencia del diseño 7,50 completamente al azar) Entonces podemos afirmar que al cambiar de un diseño completamente al azar a un diseño de bloque la ganancia relativa en eficiencia es: 40,8 %- 100%=140,8% Fisher, sugiere al respecto, que esta medida es poco confiable si no se consideran los grados de libertad del error de los diseños en comparación Así, la comparación de dos diseños: completamente al azar y el de bloques vendría dado por: ( n Cantidad relativa de Información= Donde: 1 ( n 1)( n 1)( n 1 3) S x 3) S n1= grados de libertad del error en un diseño en bloques n= grados de libertad del error en un diseño completamente al azar CA BA

38 El factor de ajuste de los grados de libertad del error al cual se refiere Fisher es: Factor de Ajuste = ( n ( n 1 1)( n 1)( n 1 3) 3) En otro orden de ideas, Sokal y Rohlf, exponen que la comparación de la eficiencia relativa no tiene mucho significado en sí misma, sino se consideran los costos relativos de los dos diseños Claramente, si un diseño es dos veces más eficiente que otro (esto es, posee la mitad de la varianza que el primero), pero al mismo tiempo es diez veces más caro de realizar, no realizaríamos el más caro Entonces, resulta obvio que para analizar correctamente la determinación de la eficiencia relativa se deben considerar las funciones de costo total de los dos diseños implicados