INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS

Modelos maemáicos y eorías Un modelo consiuye una represenación absraca de un ciero aspeco de la realidad. En su esrucura inervienen, por una pare, los elemenos que caracerizan la realidad modelizada y, por ora pare, las relaciones exisenes enre ellos. Un modelo maemáico es un ipo de modelo basado en la lógica maemáica, cuyos elemenos son esencialmene variables y funciones, y las relaciones enre ellos vienen expresadas a ravés de relaciones maemáicas (ecuaciones, inecuaciones, operadores lógicos...) que se corresponden con las correspondienes relaciones del mundo real que modelizan (relaciones ecnológicas, leyes físicas, resricciones del mercado...).

Imporancia de los modelos maemáicos en Economía: La consrucción de modelos revela, a veces, relaciones que no son evidenes a primera visa Una vez consruido el modelo, es posible exraer de él propiedades y caracerísicas de las relaciones que de ora forma permanecerían oculas En aquellas siuaciones económicas del mundo real en las que no es posible experimenar con la realidad, ofrecen un marco eórico para evaluar la oma de decisiones así como sus consecuencias

Modelos maemáicos esáicos vs modelos maemáicos dinámicos En un modelo esáico la variable iempo no desempeña un papel relevane. En un modelo dinámico, por el conrario, alguno/s de los elemenos que inervienen en la modelización no permanecen invariables, sino que se consideran como funciones del iempo, describiendo rayecorias emporales. El análisis de un modelo dinámico iene por objeo el esudio de la rayecoria emporal específica de alguno/s de sus elemenos. MODELOS DINÁMICOS DETERMINISTAS VS MODELOS DINÁMICOS ESTOCÁSTICOS

Un modelo dinámico deerminisa es aquel en el que, ano a los parámeros como a las variables emporales, se les asignan valores deerminados con cereza absolua En general exisen pocos modelos deerminisas en el campo de la Economía y las Finanzas, ya que en la mayor pare de los casos, las variables y parámeros involucrados en los modelos económicos y financieros (asas de inerés, precios de acivos,...) son impredecibles. Habiualmene la modelización dinámica en modelos económicofinancieros hace uso de modelos esocásicos. En un modelo esocásico, alguna variable (o parámero) sigue un proceso esocásico, es decir, que los valores que oma a lo largo del iempo no son deerminados con cereza absolua sino que siguen una disribución de probabilidad. El esudio de los modelos dinámicos esocásicos (y sus aplicaciones económico-financieras) consiuye el conenido fundamenal de la asignaura

Ejemplo: Modelo de capialización compuesa Consideremos un depósio financiero a 3 años, con capial inicial C 0 y asa de inerés anual del 6 %. Diseña un modelo de capialización compuesa considerando que la capialización es: (a) Anual Elemenos del modelo Variable iempo : variable discrea {0, 1,, 3} Variable de esado C() que describe la evolución del capial a lo largo del iempo. Es función del iempo y el esudio de su rayecoria emporal es el objeivo del modelo. = 1 : incremeno de iempo ranscurido enre dos valores de la variable, es decir enre dos periodos Los modelos discreos suelen rabajar con valores de equidisanes y, por ano, con un incremeno consane. n = 3; número de periodos. Se cumple n* = inervalo emporal oal.

= 1 0 1 3 años C(0) C(1) C() C(3) Relaciones - Queremos esablecer la relación exisene enre el capial en un insane y el capial en el insane siguiene +. Aplicando la ley de capialización compuesa se iene que: C( + ) = C() + C()*0.06 = C()*(1+0.06) Resolución del modelo - Procediendo recursivamene obenemos C(3): C(0) = C 0 C(1) = C 0 *(1+0.06) C() = C(1)*(1+0.06) = C 0 *(1+0.06)*(1+0.06) = C 0 *(1+0.06) C(3) = C 0 *(1+0.06) 3

(b) Mensual Elemenos del modelo Variable iempo : {0, 1/1, /1,..., 1/1,..., 4/1,..., 36/1} Variable de esado C() = 1/1 (1 mes) n = 36 = 1/1 0 1/1 /1 3/1... +... 36/1=3 años C(0) C(1/1)... C() C( + )... C(1) Relaciones - Como la asa de inerés es anual y el periodo de capialización es mensual, debemos converir la asa anual en mensual. Para ello, susiuimos 0.06 por 0.06/1 = 0.06*(1/1) = 0.06* C( + ) = C() + C()*0.06*

Modelo general: Modelo dinámico discreo en diferencias finias Capialización compuesa C 0 capial inicial r asa de inerés anual expresado de modo que permia ransformar la asa de inerés anual en la correspondiene a la duración del periodo uilizado C( + ) ) = C() + C() *r* C(0) = C 00

Modelo dinámico coninuo Supongamos que en el ejemplo anerior disminuimos la duración del periodo y rabajamos con capialización diaria. El modelo seguira siendo: C( + ) = C() + C() *r* C(0) = C 0 pero pasa a ser =1/360 (ransformando la asa de inerés anual en diaria). Cuano menor sea, menor será el periodo de capialización uilizado. Si hacemos que 0, enonces r* represena la asa de inerés insanánea. Para obener el modelo de capialización insanánea o modelo coninuo de capialización procedemos como sigue:

Operamos en la ecuación de relaciones del modelo reagrupando los érminos: C( + ) - C() = C()*r* C( + ) C( ) = C()* r Tomamos límies cuando 0 en ambos miembros de la igualdad: lim C ( + ) C ( ) lim 0 0 = C ( ) * r Es la definición de derivada de C(): C () C () C () = C()*r C(0)=C 0 0 No depende de Modelo coninuo de capialización Obenemos una ecuación en la que se relaciona una función con su primera derivada. Ese ipo de ecuaciones serán esudiadas en el ema siguiene y consiuyen la esencia de las modelizaciones dinámicas en iempo coninuo. Son las denominadas ecuaciones diferenciales.

ECUACIONES DIFERENCIALES Y SISTEMAS

Definiciones básicas Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida, ano en una como en varias variables, con sus derivadas (o derivadas parciales) hasa un ciero orden. Disinguimos dos ipos de ecuaciones diferenciales: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) : son aquellas en las que la función incognia es una función de una sola variable y = y(). Se represenan como: F(, y, y, y,..., y (n) ) = 0 o bien en su forma normal o explícia como: y (n) = H(, y, y, y,... y (n-1) ) Ejemplos: C ()=C()*r ; y = y+1

Ecuaciones en derivadas parciales (EDP): son aquellas en las que la función incognia es una función de varias variables y = y( 1,,..., n ), por lo que las derivadas que inervienen en la ecuación son derivadas parciales. Se represenan como: n y y y F ( 1,...,,,...,,..., ) = 0 m... Ejemplo: z = z(,x,y) m r1 r r 1 m 1 m z z z x y + 3 + 4 = z + 1 A coninuación nos cenraremos en el esudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias EDO. Consideremos las siguienes definiciones básicas:

Solución de una EDO: es una función y() que al ser susiuida en la ecuación, la conviere en una idenidad. Ejemplo: La solución de la ecuación y ()= -ky() es y()=ce -k, siendo C una consane arbiraria. Solución general de una EDO: es el conjuno de odas las soluciones de la ecuación diferencial. Se expresa como una función que depende de uno o más parámeros. Dando valores concreos a dichos parámeros se obienen las denominadas soluciones pariculares. Ejemplos: 1. Demosrar que la solución general de la ecuación y () = y() + es y()=ce --1. Demosrar que dos soluciones pariculares de la ecuación y () = y() + son y()=e --1 ; y()=--1 3. Demosrar que y()=e -1 no es solución de y () = y() +

Orden de una EDO: se llama orden de la ecuación diferencial al mayor orden de derivación que aparece en la ecuación. Ejemplos: y ()= +y es una EDO de orden 1; 3y ()+y () = e es una EDO de orden 3; Condiciones iniciales de una EDO: se llaman condiciones iniciales a los valores asignados a la función y a sus derivadas hasa orden una unidad menos del orden de la ecuación, en un insane dado 0 : y (n) = H(, y, y, y,... y (n-1) ) y( 0 )=a 0 y ( 0 )=a 1... y (n-1) ( 0 )=a n-1

Problema de valores iniciales: dada la solución general de una EDO, se llama problema de valores iniciales al problema de enconrar una solución paricular para la cual se verifiquen las condiciones iniciales dadas. Ejemplo: Resolver el problema de valores iniciales para dy ( ) = y ( ) + d y (0) = 1 sabiendo que y()=ce --1 es la solución general

Ejemplos con Mahemaica Represenación de la solución general de y () = y() + ; represenación de la solución paricular y() = e --1 Represenación de la solución general de y () = -x

Méodos de resolución de EDO Méodos analíicos: consisen en la obención de la función solución de la EDO expresada por medio de una formula, es decir de una expresión analíica, que involucra funciones elemenales. Ahora bien, en general, las EDO (y los problemas de valores iniciales) no ienen solución analíica, por lo que es necesario recurrir a los denominados méodos numéricos para la obención de soluciones. Méodos numéricos: consisen en la obención de soluciones numéricas de problemas de valores iniciales. La solución se expresa enonces por medio vecores de valores numéricos; es decir que, aunque no conozcamos la expresión analíica de la solución, podemos deerminar en cada insane del iempo cual sería su valor numérico.

Méodos analíicos Para poder aplicar un deerminado méodo analíico de resolución, es necesario que la ecuación presene una esrucura paricular. Si cambia dicha esrucura el méodo deja de ser valido. A coninuación recogemos una clasificación de EDO que admien resolución analíica. EDO No lineales Variables separables Homogéneas y reducibles a homogéneas Exacas y reducibles a exacas Bernouilli Riccai Orden 1 Lineales Orden n con coeficienes consanes Homogéneas Compleas

VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial se dice de variables separables si es de la forma: dy() = f1()* f( y) ( f d (y) 0 ) Méodo de resolución: Se agrupa d con la función en, f 1 (), y dy con la función en y, f (y) dy() f ( y ) = f ()* d 1 Se inegran ambos miembros de la igualdad respeco de su variable correspondiene dy f () y = f () d 1

Ejemplo: dy d = y ( y ) y d dy = y y dy = y d y 1 1 1 dy = ( ) dy = y ln y + C y y d = ln + C Solución general 1 1 ln ln y y+ C = + C 1 1 ln ln y y = + K

LINEALES HOMOGÉNEAS A COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial se dice que es lineal, de orden n, con coeficienes consanes y homogénea si es de la forma: y () + a y () + a y () +... + a y () + a y() = 0 ( n) ( n 1) ( n ) 1 n 1 donde a i son números reales e y (i) es la derivada i-ésima de y(). Méodo de resolución: Sol. general Se consruye el polinomio caracerísico asociado a la ecuación diferencial: n n 1 n P ( k) k + a k + a k + L+ a k + a = 1 n 1 Se obienen las raices del polinomio caracerísico: n n 1 n k + a1 k + ak + L+ an 1k + an = 0 Disinguimos los siguienes casos: Las raices son odas reales y disinas dos a dos: {k 1, k,..., k n } k k y + Las raices son reales múliples n k 1 n ( ) = Ce + C e + L C e (C 1,..., C n consanes arbirarias) 1 { k m, k m,, } 1 1 L n k p m p n

Sol. general k k m k kp kp mp 1 1 1 1 1 1 ( ) = C10e + C11e + L+ C1( m 1) e + L+ Cp 0e + Cp 1e + L+ Cp ( m 1) y 1 C ij consanes arbirarias p e k p Si una raiz es compleja simple α + βi (y su conjugada α - βi), enonces a la solución general consruida como en los casos anerior se le añadirá el sumando: α 1 + C e cosβ Ce α senβ

Ejemplos: () 1. y ( ) + 3y ( ) + y( ) = 0 Polinomio caracerísico P ( k ) = k + 3k + Raices k 1 = -1, k = -. (3) () y( ) + y () 3 y () + 3 y () y() = 0 = C e C e Sol. general 1 3 Polinomio caracerísico P( k) = k 3k + 3k 1 Raices k 1 = -1 m 1 = 3 (raiz riple) 1 3 y () = Ce+ Ce+ Ce Sol. general 3. y () () + 4 y () + 5 y() = 0 Polinomio caracerísico Raices k 1 = - ± i 1 P k k k ( ) = + 4 + 5 y () = Ce cos+ Ce sen Sol. general

Méodos numéricos Los méodos numéricos se aplican a problemas de valores iniciales y se basan en la discreización de la ecuación diferencial considerada, es decir, en la ransformación de la ecuación diferencial (en iempo coninuo) en una ecuación en diferencias finias (en iempo discreo). Esudiaremos los esquemas de discreización de Euler y Adams, aplicados a un problema de valores iniciales con una EDO de orden 1 (con f(y(),) no lineal en el caso general): dy() = f ( y( ), ) d y ( 0) = y0 Si la EDO es de orden n, se ransforma ésa en un sisema equivalene de n ecuaciones diferenciales de orden 1 y se aplican los méodos esudiados.

ESQUEMA DE DISCRETIZACIÓN DE EULER Consideramos el problema genérico de valores iniciales: Méodo de resolución: dy() = f ( y( ), ) d y ( 0) = y0 Suponemos que nuesro inervalo de rabajo es [ 0,T], y consideramos que dicho inervalo esá dividido en subinervalos [ i, i+1 ], de manera que i+1 = i + h, siendo h la longiud del subinervalo h 0 i i+1 T Aplicando a la función y() el desarrollo de Taylor de orden 1 obenemos que: y( i + h) = y( i) + hy ( i) +ο ( h ) Donde o(h ) represena el reso del polinomio de Taylor que depende de h. Si h es muy pequeño (infiniesimal), a o(h ) se le llama infiniésimo de orden, y puede considerarse despreciable a efecos de aproximar.

Susiuyendo en la ecuación diferencial sabemos que: dy() y'( i) = = f( y( i), i) d Uniendo ambas expresiones obenemos: y h y hf y h i ( i + ) = ( i) + ( ( i), i) +ο( ) Despreciando el infiniésimo de orden, o(h ), enemos que: y ( + h) y ( ) + hf( y ( ), ) i i i i Diagrama de flujo del esquema de discreización de Euler: y( 0 ) = y 0 i = 0 y 0 es conocido, y( 1 ) se calcula a parir de y 0 y se conviere en un valor conocido a parir del cual calcular y( ), y así sucesivamene y ( + h) y ( ) + hf( y ( ), ) i i i i i = i+1

Dado el problema de valores iniciales: dy() = 1 + ( y ) d y(0) = 0.5 Compara el comporamieno de su solución analíica y()= + 1/(-), con el comporamieno de la solución numérica proporcionada por el esquema de discreización de Euler, en el inervalo [0, 1.9999] Consruimos un programa en lenguaje FORTRAN con la siguiene esrucura: * PROGRAMA EULER PROGRAM EULER Nombre del programa *PARAMETROS Y VARIABLES IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) PARAMETER(T0=0.,Y0=0.5,A=1.9999,N=1000) DIMENSION T(N),Y(N),Z(N)

Dividimos el inervalo en 1000 subinervalos. La variable T almacena los cores de los subinervalos La variable Y almacena los valores de la aproximación numérica La variable Z almacena los valores de la solución analíica *FICHEROS OPEN(0,FILE='EULER.SOL') Guarda en el fichero Euler.sol los valores de T, Y y Z en res columnas *INICIALIZACION DE MATRICES. DO I=1,N T(I)=0. Y(I)=0. Z(N)=0. END DO Asigna a las variables un valor inicial de 0 *RUTINA DE CALCULO. H=A/N T(1)=T0+H Y(1)=Y0+H*(1+(Y0-T0)**) Calcula la longiud H de los subinervalos y el valor de la aproximación de Euler en el primer core Y(1).

DO I=,N T(I)=T(I-1)+H Y(I)=Y(I-1)+H*(1+(Y(I-1)-T(I-1))**) END DO DO I=1,N Z(I)= T(I)+1 / (.0 -T(I) ) END DO Calcula los valores de la discreización de Euler en el reso de cores Evalua la expresión analíica de la solución en cada core del inervalo *ESCRITURA EN UN FICHERO DE LOS VALORES DO K=1,N WRITE(0,*) T(K), Y(K), Z(K) END DO STOP END Insrucciones de finalización de programa Transcribe los valores obenidos al fichero de soluciones Euler.sol creado anes

Análisis de la solución El fichero Euler.sol que genera el programa anerior al ser ejecuado coniene res columnas de números de 0 dígios: La 1ª columna coniene los 1000 cores del inervalo emporal de rabajo. La ª columna los valores de la aproximación numérica en cada core. La 3ª columna los correspondienes valores de la solución analíica. A coninuación presenamos las 11 primeras filas del fichero para poder comparar la precisión de la aproximación numérica realizada: Euler.sol Aproximación Valor analíico 0.99994999170303347E-03 0.5014993748968761 0.5015006539648988 0.199989998340606694E-0 0.5050015016744681 0.5050037549675961 0.99984997510910041E-0 0.50375056956604031 0.503750939046151869 0.39997999668113389E-0 0.505001516851459 0.50500175376590185 0.499974995851516779E-0 0.5065191579335986 0.5065819966504175 0.5999699950180170E-0 0.507503383016484677 0.5075041380697791 0.6999649941913560E-0 0.5087548637493745 0.50875570834378886 0.7999599933646951E-0 0.5100065033711440 0.51000753140605383 0.8999549953730341E-0 0.511584703761406 0.51159607155598039 0.99994999170303373E-0 0.5151067177190118 0.51511936450743111 0.10999449908733371E-01 0.5137631661376333 0.51376451950819346

CONCLUSIONES El méodo de discreización de Euler nos permie obener una aproximación numérica de la solución de la ecuación diferencial del ejemplo anerior, con una precisión de 4 cifras decimales. Exisen esquemas de discreización más sofisicados que proporcionan mucho mejores aproximaciones. Por ejemplo, el méodo de Runge-Kua aplicado al ejemplo anerior iene una precisión de 15 cifras decimales. El méodo de Euler uiliza el polinomio de Taylor de orden 1 para diseñar el esquema de discreización. Si incremenamos el orden del polinomio de Taylor, mejoramos la pecisión de la aproximación. Ese hecho es el que incorpora Runge-Kua. Asimismo, el esquema de discreización de Adams que describimos a coninuación uiliza el desarrollo de Taylor de orden.

ESQUEMA DE DISCRETIZACIÓN DE ADAMS Consideramos el problema genérico de valores iniciales: dy() = f ( y( ), ) d y ( 0) = y0 Méodo de resolución: Suponemos que nuesro inervalo de rabajo es [ 0,T], y consideramos que dicho inervalo esá dividido en subinervalos [ i, i+1 ], de manera que i+1 = i + h, siendo h la longiud del subinervalo h 0 i i+1 T Aplicando a la función y() el desarrollo de Taylor de orden 1 obenemos que: y( i + h) = y( i ) + hy ( ) + y ( ) ο ( h Donde o(h 3 ) represena el reso de orden 3 del polinomio de Taylor. i h i 3 )

Susiuyendo en la ecuación diferencial sabemos que: dy() d i = f((),) y i i dy () d Uniendo ambas expresiones obenemos: h 3 y ( i + h) = y ( i) + hf( y ( i), i) + f ( i) +ο ( h) Despreciando el infiniésimo de orden 3, o(h 3 ), enemos que: h y( i + h) y( i) + hf ( y( i), i) + f ( y( i), i) Uilizando la definición de derivada, aproximamos: i = f ( y ( ), ) f( y( i), i) f( y( i 1), i 1) f '( y( i), i) h Susiuyendo y operando en la expresión anerior obenemos: h y ( i + h) y ( i) + (3 f( y ( i), i) f( y ( i 1), i 1)) i i

Noemos que para calcular el valor de la función en el insane y( i +h), necesiamos conocer y( i ) e y( i-1 ). Por ano, el algorimo del esquema de discreización de Adams arranca calculando y() a parir de y(0) e y(1). El valor de y(0) es conocido, pero y(1) deberá obenerse a parir de y(0). Para ello uilizamos el esquema de discreización de Euler: y(1) y(0) + hf ( y(0), 0) Diagrama de flujo del esquema de discreización de Adams y( 0 ) = y 0 y( 1 ) = y 0 + h f(y 0,0) i = h y ( i + h) y ( i) + (3 f( y ( i), i) f( y ( i 1), i 1)) i = i+1