Unidad 1 Números 1.- Números Naturales Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto. El conjunto de números naturales se representa por la letra N Operaciones con Números Naturales. N {1,2,3,4,5,6,...,12,...,123,...1234,...} Para operar vatios números naturales tenemos que aplicar la jerarquía de operaciones: El orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 1.- Paréntesis. 2.- Multiplicaciones y divisiones. Si hay varias se opera de izquierda a derecha. 3.- Sumas y restas. Si hay varias se opera de izquierda a derecha. Ejercicios: 1. Opera: a) (8 + 7 + 5) : 5 3 : (8 5) b) 2 (6 2 3) + 12 (7 4) c) 12 + (7 + 2) : 3 5 3 d) (17 4 2) : 3 + 2 (8 6) e) 13 : (5 + 4 2) + 3 (5 4) f) 10 + (14 + 12) : 13 7 2. Resuelve: 15 (6 + 5 3 3) 5 (6 + 4 7) + 9 : (7 + 4 2 4) Divisibilidad Si dividimos un número a entre otro b y la división es exacta decimos que a es divisible entre b o que a es múltiplo de b. Un número primo es aquel que tiene como únicos divisores el 1 y él mismo. En caso contrario se dice que el número es compuesto.
Criterios de Divisibilidad Un número es divisible entre 2 si es par, es decir, si acaba en 0, 2, 4, 6 u 8. Un número es divisible entre 3 si es la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible entre 4 si las dos últimas cifras son 00 o son múltiplo de 4. Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5. Un número es divisible entre 6 si lo es de 2 y de3 a la vez. Un número es divisible entre 8 si las tres últimas cifras son 000 o son múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 si es la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Un número es divisible entre 10 si acaba en 0. Un número es divisible entre 11 si al sumar las cifras que ocupan posición impar y restarle las que ocupan posición par el resultado es 0 u 11. Descomposición factorial Llamamos descomposición factorial o descomposición en factores primos a la forma de expresar un número como producto de potencias de los números primos que lo componen. Ejemplos 24 = 2 2 2 3 = 2 3 3 36 = 2 2 3 3 = 2 2 3 2 Veamos cómo se consigue la factorización de un número. Tomemos como ejemplo el número 120: 1. Dividimos el número 120 entre el menor número primo posible. En nuestro caso, como 120 es par, se puede dividir entre 2: 120 : 2 = 60 2. Seguimos dividiendo entre ese primo hasta que el resultado deje de ser divisible. Como 60 es par se puede dividir nuevamente entre 2: 60 : 2 = 30. Volvemos a dividir entre 2, 30 : 2 = 15 3. Como 15 ya no se puede seguir dividiendo entre 2, buscamos el siguiente número primo, que es 3. 1 + 5 = 6, como es múltiplo de 3, 15 se puede dividir entre 3: 15 : 3 = 5 4. El resultado ya sólo es divisible entre 5, que es el último primo que compone a 120.
Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de números es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 8 y 12. Múltiplos de 8 8, 16, 24, 32, 40, 48... Múltiplos de 12 12, 24, 36, 48... Múltiplos comunes 24, 48, 72... Por lo tanto, mcm(8, 12) = 24 Para obtener el mínimo común múltiplo de varios números existe un método más rápido que se basa en la descomposición factorial. El cálculo se realiza siguiendo los siguientes pasos: 1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números. 2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. El mínimo común múltiplo será el producto de todos estos números. 3. Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 4 y 9 b) 6 y 8 c) 8 y 10 d) 30 y 15
4. Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 16 y 18 b) 12 y 18 c) 14 y 36 d) 100 y 220 5. Andrés y María van al cine cada 4 y 6 semanas respectivamente. Si fueron al cine juntos el sábado pasado, cuántas semanas pasarán hasta que vuelvan a coincidir juntos en el cine? 6. Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 4, 8 y 24 b) 8, 12 y 36 c) 60, 90 y 150 7. Explica por qué si 10 es múltiplo de 2 y 5, 30 también lo es. 8. Obtén los múltiplos comunes a 3 y 5 que estén entre 65 y 90. Máximo común divisor El máximo común divisor (MCD) de un conjunto de números es el mayor de los divisores comunes de esos números. Ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 8 y 12. Divisores de 8 1, 2, 4, 8 Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores comunes 1, 2 y 4 Por lo tanto, MCD(8, 12) = 4 Al igual que para calcular el mcm, se puede utilizar el método de factorización para resolver de manera sencilla el cálculo del máximo común divisor. El cálculo se realiza siguiendo los siguientes pasos: 1. Obtenemos la descomposición factorial de todos los números. 2. Tomamos los factores primos comunes con el menor exponente. El máximo común divisor será el producto de todos estos números. Si dos números no tienen divisores comunes se dice que son primos entre si
Ejercicios: 9. Calcula el máximo común divisor de: a) 4 y 9 b) 6 y 8 c) 8 y 10 d) 30 y 15 10. Calcula el máximo común divisor de: a) 16 y 18 b) 12 y 18 c) 14 y 36 d) 100 y 220 11. Tenemos 20 caramelos de fresa, 30 caramelos de menta y 15 caramelos de nata. Queremos guardarlos en bolsas iguales, lo más grandes posible, y de manera que los sabores no se mezclen. Cuántos caramelos contendrá cada bolsa? Cuántas bolsas de cada sabor usaré? 12. Calcula el máximo común divisor de: a) 4, 8 y 24 b) 8, 12 y 36 c) 60, 90 y 150 2.- Números Enteros El conjunto de los números enteros (Z) está compuesto por los números negativos y los números naturales. Z = {... 100..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5..., +100...} 2.1.Representación de los números enteros en la recta En la recta el cero marca el origen. A la izquierda del cero aparecerán los números enteros negativos y a la derecha del cero los números enteros positivos, es decir, los números naturales. 2.2. Opuesto de un número entero Todo número entero tiene su opuesto, que se corresponde con el simétrico respecto del 0. Por ejemplo, el opuesto de 3 es 3 y el opuesto de 5 es 5. 2.3. Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el mismo número sin el signo. Por tanto, el valor absoluto de un número es siempre positivo: El valor absoluto de un número positivo es él mismo.
El valor absoluto de un número negativo es su opuesto. +5 = 5 3 = 3 18 = 18 2.4 Operaciones con números enteros 2.4.1. Suma y resta de números enteros Las reglas básicas para sumar y restar números enteros son las siguientes: 1. Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y se deja el signo que tienen. (+a) + (+b) = +(a + b) ( a) + ( b) = (a + b) 2. Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los números y se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto. (+a) + ( b) = +(a b) si a > b (+7) + (-4) = + ( 7 4 ) (+a) + ( b) = (b a) si b > a (+3) + (-9) = - ( 9 3 ) 3. La resta de dos números enteros es la suma del primero más el opuesto del segundo. Ejemplos (+3) + (+5) = 3 + 5 = 8 (+4) + ( 3) = 4 3 = 1 ( 5) (+ 4) = 5 4 = 9 (+a) (+b) = (+a) + ( b) (+3) (+7) = (+3) + (-7) = + 3-7 (+a) ( b) = (+a) + (+b) (-4) (-8) = (-4) + (+8) = -4 + 8 (+16) (+12) ( 12) (+32) = 16 12 + 12 32 = (16 + 12) (12 + 32) = 28 44 = 16 12 + 13 8 + 5 +17 = (12 + 13 + 5 + 17) 8 = 47 8 = 39 13 15 + 14 8 = 14 (13 + 15 + 8) = 14 36 = 22 Ejercicios: 13. Opera: a) (+4) + (+3) c) ( 5) + (+1) e) ( 8) + ( 2) b) (+3) + ( 5) d) (+1) + (+9) f) ( 6) + ( 4)
14. Resuelve las siguientes restas de números enteros: a) (+5) (+1) c) ( 7) ( 9) e) ( 21) (+23) b) (+6) (+3) d) (+1) (+11) f) ( 5) ( 4) 15. Realiza las siguientes operaciones de sumas y restas: a) 11 + 3 18 + 3 +7 c) 3 1 + 5 18 e) 15 + 1 + 17 2 4 b) 3 15 + 15 + 16 d) 3 + 8 + 5 4 + 9 f) 35 + 21 6 + 27 + 4 16. Resuelve las operaciones con paréntesis: a) (3 5 + 15) + (6 5 + 13) c) +4 8 + (5 + 6 + 7) (10 4) b) (2 + 3 4) (5 +7) (3 5 + 2) d) ( 4 + 2 + 5) (16 3 + 15) 2.4.2.Producto de números enteros Para multiplicar números enteros tenemos que: 1. Multiplicar los valores absolutos de los números. 2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos. Ejemplos (+2) (+4) = +8 (+8) ( 3) = 24 ( 5) ( 4) = +20 (+2) ( 3) ( 4) = (+ ) (2 3 4) = +24 ( 3) ( 5) ( 3) = 45 ( 7) (+2) ( 3) = +42 2.4.3.División de números enteros Para dividir números enteros tenemos que: 1. Dividir los valores absolutos de los números. 2. Poner el signo resultante de aplicar la regla de los signos. Ejemplos (+4) : (+2) = +2 (+8) : ( 4) = 2 ( 55) : ( 5) = +11 (+20) : ( 2) : ( 5) = (+ : : ) (20 : 2 : 5) = +2 ( 30) : ( 5) : ( 3) = 2 ( 70) : (+2) : ( 7) = +5
Ejercicios: 17. Opera los siguientes productos de números enteros: a) (+1) (+5) c) ( 16) ( 2) e) ( 2) (+2) b) (+18) (+3) d) (+6) (+2) f) ( 5) ( 14) 18. Opera las siguientes divisiones de números enteros: a) (+10) : (+5) c) ( 16) : ( 2) e) ( 2) : (+2) b) (+18) : (+3) d) (+6) : (+2) f) ( 50) : ( 10) 19. Realiza las siguientes operaciones: a) (+2) ( 3) (+5) c) (+27) : ( 3) : (+3) b) ( 4) (+3) ( 14) d) ( 40) : (+8) : ( 5) 2.5. Potencias de números enteros Una potencia es la forma abreviada de representar un número multiplicado varias veces Elementos de una potencia Dada una potencia a n : 4 4 4 4 4 = 4 5 La base es el factor que se está multiplicando (a). El exponente es el número de veces que se multiplica el factor (n). Ejemplos 2 2 = 22 Se lee 2 elevado a 2 ó 2 al cuadrado Su valor es 4. 4 4 4 = 43 Se lee 4 elevado a 3 ó 4 al cubo Su valor es 64. 6 6 6 6 = 64 Se lee 6 elevado a 4 ó 6 a la cuarta Su valor es 1.296. 2.5.1. Potencias de números negativos El signo de una potencia de base negativa es positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.
Ejemplos ( 2) 2 = ( 2) ( 2) = +4 ( 4) 3 = ( 4) ( 4) ( 4) = 64 ( 6) 4 = ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) = 1.296 ( 3) 5 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 243 Ejercicios 20. Calcula el resultado de las siguientes potencias: a) ( 5) 2 b) ( 6) 3 c) ( 9) 4 d) ( 3) 3 e) ( 7) 1 2.5.2. Operaciones con potencias Producto de potencias Producto de potencias de distinta base y mismo exponente Para multiplicar dos potencias de distinta base y el mismo exponente se multiplican las bases y se deja el exponente. Producto de potencias de la misma base El resultado de multiplicar potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de exponente la suma de los exponentes. n n n a b ( a b) a n a m a nm n n n a b ( a b) a n ( a n a ) m m a a nm nm Cociente de potencias Cociente de potencias de distinta base y mismo exponente Para dividir dos potencias de distinta base y el mismo exponente se dividen las bases y se deja el exponente. Cociente de potencias de la misma base El resultado de dividir potencias de la misma base es otra potencia de igual base y de exponente la diferencia de los exponentes. Potencia de una potencia El resultado de operar una potencia de potencia es otra potencia de igual base y exponente el producto de los exponentes.
Ejemplos: 4 3 2 3 = (4 2) 3 = 83 5 3 6 3 = (5 6) 3 = 303 6 3 6 2 = 6 3+2 = 65 2 7 2 3 = 2 7+3 = 210 9 6 : 3 6 = (9 : 3) 6 = 36 8 4 : 4 4 = (8 : 4) 4 = 24 3 7 : 3 2 = 3 7 2 = 35 8 3 : 8 2 = 8 3 2 = 81 (6 5 ) 2 = 6 5 2 = 610 (5 3 ) 4 = 5 3 4 = 512 Ejercicios 21. Opera: a) 3 3 3 4 b) 7 4 7 c) 2 3 4 3 d) 3 2 5 2 22. Opera: a) 4 2 : 4 b) 7 7 : 7 4 c) 12 4 : 3 4 d) 1 5 : 1 2 23. Opera: a) (5 2 ) 6 b) (4 4 ) 4 c) (8 3 ) 3 d) (12 3 ) 0 24. Calcula el resultado: a) 3 2 3 2 b) 2 2 2 2 2 2 c) (5 4 : 5 2 ) 3 d) (6 2 6) 3 3.- Números Racionales El tipo de números que nos indican una parte de un todo reciben el nombre de números racionales. El conjunto de estos números se representa con la letra Q. Podemos decir que una fracción es el cociente entre dos números. b a Todo número entero admite una expresión racional: a cualquier número entero a admite la expresión racional. De 1 esto se deduce que los números enteros están contenidos en los racionales.
3.1. Tipos de Fracciones Fracción propia: es una fracción cuyo numerador es menor que el denominador y que, al hacer el cociente, resulta un número menor que la unidad Fracción impropia: es una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador y cuyo cociente es mayor que la unidad. Con las fracciones impropias se pueden dar los dos casos siguientes: Caso 1: el numerador es un múltiplo del denominador. En este caso tenemos un número entero. Caso 2: el numerador no es múltiplo del denominador. En este caso aparece el concepto de número mixto. Un número mixto es un número racional que consta de parte entera y parte fraccionaria. 3.2. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes si y sólo si representan el mismo valor. O dicho de otra manera si el producto de medios es igual al producto de extremos a c 6 9 ad bc 66 49 b d 4 6 3 15 Consideremos las fracciones y. Vamos a observar las siguientes operaciones: 4 20 35 15 155 3 45 20 205 4 En el primer caso diremos que hemos amplificado las fracción 4 3 y que hemos encontrado una fracción equivalente. En el segundo caso diremos que hemos simplificado la 15 fracción. 20 Para simplificar una fracción dividiremos numerador y denominador por su máximo común divisor.
La fracción b a es irreducible si y solo si el numerador y el denominador son primos entre sí. Por 3 13 12 5 ejemplo:,,,, 4 4 41 17 Ejercicios 25. De las siguientes fracciones, indica cuales son equivalentes: a) 5 10 4 12 3 15 2 8 y b) y c) y d) y 6 6 7 6 25 50 9 36 26. Simplifica las siguientes fracciones utilizando los dos métodos: 60 a) 120 28 b) 49 432 c) 2160 84 d) 96 30 e) 32 3.3. Suma y resta de números racionales 3.3.1 Fracciones con igual denominador Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. 2 7 3 7 2 3 7 3.3.2. Fracciones con distinto denominador Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a denominador común y después sumamos o restamos los numeradores. 5 7
2 7 3 5 (35 7) 2 (35 5) 3 35 35 10 35 21 35 10 21 35 31 35 Ejercicios: 3.4. Producto y Cociente de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. a b c d a c bd 2 3 23 7 5 75 6 35 Dada una fracción b a con b 0, su inversa es la fracción a b inversa de d c Para dividir la fracción b a entre la fracción d c multiplicamos la fracción b a por la a b c d a d bc 2 7 3 25 5 73 10 21
Ejercicios 4.- Números Decimales Los números decimales expresan cantidades con unidades incompletas. Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada la derecha. Parte Entera Parte Decimal Decena Unidades decimas centésimas milésimas diezmilésimas 3 7, 0 9 0 7 37,0907 Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas. Tipos de números decimales. Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de cifras decimales. Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llaman periodo. -Si el periodo empieza inmediatamente después de la coma, es un decimal periódico puro. - En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras decimales que no se repiten llaman anteperiodo. Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.
Ejemplos: 12,152 Decimal exacto 12,6666666 = 12,6 Decimal periódico puro 42,32515151515 = 42,3251 Decimal periódico mixto 782,145563569854115. Decimal ni exacto ni periódico, Ejercicios: 27. Indica la parte entera, la decimal, el periodo y el anteperiodo a) 0.3333333 b) 234,4562525 c) 3,37888 d) 0,012333 28. Clasifica los siguientes números decimales a) 2.022333 b) 1.236 c) 0.252525 d) 2.3658489697 Paso de Fracción a Número Decimal Cualquier fracción, dividiendo su numerador entre su denominador, puede expresarse mediante: - Un número entero, si el numerador es múltiplo del denominador. - Un número decimal exacto, cuando su denominador solo tiene como factores2, 5 o ambos números. - Un número decimal periódico, en caso de que no ocurra ninguno de las condiciones anteriores. Paso de decimal a fracción La fracción generatriz de un numero decimal es la fracción irreducible tal que, al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es ese número decimal. Decimal Exacto Llamamos N al número decimal N 6. 39 Multiplicamos ambos miembros por la unidad 100 N 100 6.39 seguida de tantos ceros como cifras decimales haya 100N 639
Despejamos N, obteniendo la fracción buscada 639 N 100 639 6.39 Fracción 100 Generatriz Decimal Periódico Puro Llamamos N al número decimal N 4.6 5 Multiplicamos ambos miembros por la unidad 100 N 100 4.65 seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo 100N 465.65 100 N 465.65 Restamos a este resultado el primer número. 100N 465.65 Despejamos N, obteniendo la fracción buscada 99N 461 461 N 99 461 4.65 Fracción 99 Generatriz Decimal Periódico Mixto Llamamos N al número decimal N 3.745 Multiplicamos ambos miembros por la unidad 10 N 10 3.745 seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo 10N 37.45 Multiplicamos ambos miembros por la unidad 100 10N 100 3.745 seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo 1000N 3745.45 1000N 3745.45 A este resultado restamos el primero. 10N 37.45 Despejamos N, obteniendo la fracción buscada 990N 3708 3708 206 N 990 56 206 3.745 Fracción 56 Generatriz
Ejercicios 29. Sin realizar la división, clasifica estas fracciones. Explica por qué. a) 3 5 b) 6 7 c) 5 9 175 d) 25 111 e) 240 85 f) 17 17 g) 6 84 h) 222 30. Clasifica y calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales. a) 1, 25 b) 1,2 5 c) 1,25 d) 3,425 h) 3, 425 i) 0. 9 j) 15.63 k) 3.002 e) 3,425 f) 3,425 l) 7.3 6 m) 4,879