1. [ANDA] [JUN-A] De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos A(,-1,0), B(-,1,0) y C(0,1,). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D. x+y-z = 6. [ANDA] [JUN-B] Sean r y s las rectas dadas por: r x+z =, s x-1-1 = y+1 6 = z. a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene.. [ANDA] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-) y D(1,,0). a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) Calcula la distancia del punto D al plano. 4. [ANDA] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(,1,-5) respecto de la recta r definida por x-z = 0 x+y+ = 0. 5. [ARAG] [JUN-A] a) Hallar el plano que contiene a la recta v de ecuación paramétrica v: (,1,) + t(,1,0), y es perpendicular al plano de ecuación x+z =. b) Probar que los vectores {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} forman una base de y dar las coordenadas del vector (1,-,0) en la base anterior. 6. [ARAG] [JUN-B] Sea el haz de planos de ecuación (1+ )x-y- z = 0, con parámetro real. a) Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1). b) Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(,-,1) es. c) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor 6 6. x = 1+ 7. [ARAG] [SEP-A] Dado el punto P=(1,0,6) y la recta r: y = --6 z = a) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P y corta a la recta r. b) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta r anterior y a la recta r': x-z = 0 x-y-z = 10 8. [ARAG] [SEP-B] a) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que es paralelo a la recta r: x-1 = y = z- 4 y que contiene los puntos P=(1,1,1) y Q=(,5,0). x-y = -1 x- b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas siguientes: r: ; r': x-z = -4 = y-4-1 = z+5. 9. [ASTU] [JUN-A] Encuentre una ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo al plano determinado por el punto P(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto Q(,,) y tiene vector director v = (1,,). x = 1+t 10. [ASTU] [JUN-B] Se consideran la recta y planos siguientes: r: y = -5-5t ; 1 : x+y+z-1 = 0 ; : x+y+4z- = 0. z =-+t a) Determine la posición relativa de la recta respecto a cada uno de los planos. b) Determine la posición relativa de los dos planos. Página 1 de 6
c) Calcule la distancia de r al plano. 11. [ASTU] [SEP-A] Considere los planos 1 : x-y+z = 0 y : z- = 0. a) Estudie la posición relativa de 1 y. b) Encuentre, si es posible, una recta paralela a 1 y a que pase por el punto (,,-1). 1. [ASTU] [SEP-B] a) Determine el valor de k para que los puntos A(0,,1), B(1,-,0), C(,0,) y D(1,1,k) se encuentren en el mismo plano. b) Halle la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos A, B y C. 1. [C-LE] [JUN-A] Se consideran las rectas: r x 1 = y-1 - = z- ; s x- = y 1 = z+1-1. a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas. 14. [C-LE] [JUN-B] Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(,1,) y Q(1,,1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6). a) Calcular la ecuación de la recta r. b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. 15. [C-LE] [SEP-A] Dados el punto A(,1,1) y las rectas r x = y+ = z-1 y s x+y = 0, se pide: x+z = a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. 16. [C-LE] [SEP-B] Sea s la recta de ecuaciones paramétricas x = +t y = -1-t. z = 1 a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s. 17. [C-MA] [JUN-A] a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano x-y+z = - con los ejes de coordenadas. b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro para que el tetraedro de vértices A, B, C y D -,+,- tenga volumen mínimo. y+z = 0 18. [C-MA] [JUN-B] Dados el plano x-z = 6 y la recta r x-y+az = 4 a) Encuentra el valor del parámetro a R para el que y r son paralelos. b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a. 19. [C-MA] [SEP-A] Dado el plano x+y+z = 7 y el punto P(1,0,0): a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. b) Calcula el punto simétrico P' de P respecto del plano. 0. [C-MA] [SEP-B] Dado el punto P(1,0,0) y la recta r x = y = + z = -1 a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. Página de 6
b) Calcula la distancia de P a r. 1. [CANA] [JUN-A] Dadas las rectas secantes: r 1 : x = -1+ y = -4 ( ) y r : z = -+ 5x-y+z = -5x+y+z = 0, obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.. [CANA] [JUN-B] Dada la recta r: x = -1+ y = -5 ( ) y dado el punto P (,-,) exterior a r, z = + a) Hallar la ecuación en forma general del plano p que los contiene, explicando el procedimiento utilizado. b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano, explicando el procedimiento utilizado.. [CANA] [SEP-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r: x- = y+ - = z 5 y s: 4x-y+z = 0 x-y+z = 5 (explicar el procedimiento utilizado) 4. [CANA] [SEP-B] Dado el plano : x = -1+ - y = 4+ ( ) ( ) y dado el punto P(0,,-1) exterior a, obtener las ecuaciones en z = -+ -5 forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano, explicando el procedimiento utilizado. 5. [CATA] [JUN] Diga para qué valor del parámetro m los planos 1 : x-y+mz = 1, : x-y+z = m y : my+z = tienen como intersección una recta. x+y+z = 0 6. [CATA] [JUN] Dados el plano : x y+z 5 = 0 y la recta r: x-y+z = 10, a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta. b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano, es perpendicular a la recta r y corta la recta r. 7. [CATA] [JUN] Dados los puntos P = (1,0,0), Q = (0,,0), R = (0,0,) y S = (1,,): a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax +By +Cz +D=0) del plano que contiene los puntos P, Q y R. b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos en un mismo plano). 8. [CATA] [SEP] Considere las siguientes rectas del espacio: r: x+1 = y-1 = z-1-1 a) Compruebe que son secantes. b) Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y es perpendicular a las dos., s: x-4 = y-1-1 = z-. 9. [EXTR] [JUN-B] Calcule la distancia del punto P=(,-1,) a la recta r: x-y+z = 1 x+z = 0. 0. [EXTR] [SEP-A] Dados el plano de ecuación x+z = 1 y los puntos A(1,0,0) y B(0,1,0), calcule los valores de c para los que el punto P(0,0,c) cumple "área del triángulo ABP" = "distancia de P a ". 1. [EXTR] [SEP-B] Sea el plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,c), y la recta r: x-y = x-z =. Página de 6
a) Obtenga la ecuación implícita de. b) Determine los valores de c para los que r y son paralelos. c) Determine los valores de c para los que r y son perpendiculares.. [MADR] [JUN-A] Dados los puntos P 1 (1,,-1), P (a,,0), P (1,5,4) y P 4 (,0,), se pide: a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos esten en el mismo plano. b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vertices en P 1, P, P,P 4 tenga volumen igual a 7. c) Hallar la ecuacion del plano cuyos puntos equidistan de P 1 y de P.. [MADR] [JUN-B] Dadas las rectas r 1 x- = y-1-5 = z y r a) Estudiar su posicion relativa. b) Hallar la mínima distancia de r 1 a r. x = -1- y = + z = 5, se pide: 4. [MADR] [SEP-A] Se dan la recta r y el plano, mediante: r x-4 = y-1-1 = z-, x+y-z-7 = 0. Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno. 5. [MADR] [SEP-A] Dadas las rectas r x-1 = y- = z -, s x+y = 4, se pide: x+z = 4 a) Hallar la ecuacion del plano que pasa por A(,,4) y es paralelo a las rectas r y s. b) Determinar la ecuacion de la recta que pasa por B(4,-1,) y es perpendicular al plano hallado anteriormente. 6. [MADR] [SEP-B] Dado el punto P(,1,-1), se pide: a) Hallar el punto P' simetrico de P respecto del punto Q(,0,). b) Hallar el punto P'' simetrico de P respecto de la recta r x-1 = y-1 = z. c) Hallar el punto P''' simetrico de P respecto del plano x+y+z =. 7. [MURC] [JUN-A] Considere la recta r y el plano dados por las ecuaciones r: x+1 = y-1-1 = z- 1 a) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano. b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano. y : x-y-z = 4. 8. [MURC] [JUN-B] a) Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano : x = 1+ - y = -+. z = + b) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano y pasa por el punto (-1,,). 9. [MURC] [SEP-A] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,1,) y es perpendicular a la x+y-z = -1 recta r: x-y+z =. 40. [MURC] [SEP-B] Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones r: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a. b) Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten. y s: x-5 = y-1-1 = z-6 4. 41. [RIOJ] [JUN] Prueba que para cualquier valor de a 0, los planos x+ay-az = 0 y -x+ay-az = 0 se cortan en una recta r. Calcula la posición relativa de r respecto del plano que pasa por el origen de coordenadas y los puntos A(1,0,-6) y B(0,,a+) (se Página 4 de 6
supone que a 0 para que esté definida). 4. [RIOJ] [SEP] Para los puntos A(1,0,) y B(-1,,4) y la recta de ecuación x+ = y-1 = z-1 : a) Calcula la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan (están a la misma distancia) de A y de B. b) Calcula la ecuación del plano ' paralelo a r y que pasa por A y B. c) Encuentra otro plano '' de modo que la intersección de, ' y '' sea exactamente un punto. 4. [VALE] [JUN-A] Se dan las rectas r 1 : x = 1+ y = z = - y r : a) Las coordenadas del punto de corte de r 1 y r. b) La ecuación del plano que contiene esas dos rectas. c) La distancia del punto (0,0,1) a la recta r. x = -1 y = 1+, siendo y parámetros reales. Calcular razonadamente: z = -1-44. [VALE] [JUN-B] Se da la recta r de ecuación r: x-y-z = 1 x+5y-z = 0 parámetros reales. Obtener razonadamente: a) Todos los valores de n para los que la intersección de la recta r y el plano es un punto. b) El valor de n y el valor de p para los que la recta r está contenida en el plano. c) El valor de n y todos los valores de p para los que la recta r no corta al plano. y el plano de ecuación : x+y+nz = p, donde n y p son dos x+y-z = 1 45. [VALE] [SEP-A] En el espacio se tiene la recta r: y el plano : x+mz = 0, donde m es un parámetro real. x-y-z = 0 Obtener razonadamente: a) Un vector director de la recta r. b) El valor de m para el que la recta r y el plano son perpendiculares. c) El valor de m para el que la recta r y el plano son paralelos. ( puntos). d) La distancia entre r y cuando se da a m el valor obtenido en el apartado c). 46. [VALE] [SEP-B] En el espacio se dan los planos, y de ecuaciones: : x-y+z = ; : x-y+z = ; : x-y-az = b, siendo a y b parámetros reales, y la recta r intersección de los planos y. Obtener razonadamente: a) Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta r. b) La ecuación del plano que contiene a la recta r y pasa por el punto (,1, ). c) Los valores de a y de b para que el plano contenga a la recta r, intersección de los planos y. Soluciones 1. a) x = 1+ 14 y = b) 4 6 c) (4,-1,). a) (-1,11,4) b) x-y+4z- = 0. a) x+y+z-1 = 0 c) z = 1-4. (-6,-1,1) 5. a) x-y-z+ = 0 b) (0,-,) 6. a) todos b) 1x-5y-16z x = 1 = 0; y-z = 0 c) x+y-z = 0; x-y-z = 0 7. a) y = b) 8x-y-7z-10 = 0 8. a) 17x-10y+6z+1 = 0 b) 6º6'44'' 9. 5x-y-z = 0 10. a) corta a 1 ; paralelo a b) se z = 6+ cortan en una recta c) 1 11. se cortan en una recta b) x = + 8-91 y = + 1. a) b) 1. b) (x,y,z) = 8 98,0 7,8 + (0,1,1) 14. a) (x,y,z) = (-4,7,-6)+ (-1,,-) b) 7 z = -1 x-y-z+ = 0 c) (-1,1,0) 16. a) x = -5k y = -1+k z = 1+k (4,-,-1) b) x-4 1. a) x-y-9z+19 = 0 b) = y+ 7 = z+1 x = 1 y = 0 z = 5+ b) x+y-1 = 0 17. a) 11 x = +k y = --k ; x- = x+ 1 - = z- -9 ; x+y-4 = 0 y-z+9 = 0 z = -9k 7. a) 6x+y+z-6 = 0 b) no 8. x = 1+ y = -7 z = -5 b) -1 18. a) - x = 1-7 b) x+5y+4z-8 = 0 19. a) (,1,) b) (,,4) 0. a) y = 14 z = -5 9. 5. se cruzan 4. x = -5 y = +11 z = -1+ ; x -5 = y- 11 = z+1 ; 11x+5y-15 = 0 x+5z+5 = 0 0. 1 4 1. a) cx+cy+z+c = 0 b) -1 c) 1. a) 4 b) 10, - b) 0 5 1. 5. 1 6. a) c) 4x+10z-1 = 0 Página 5 de 6
. se cruzan; 4 b) x = -1+ y = -6 z = + 4.,8,-, 14,, 5. a) x-y+z-11 = 0 b) x = 4+ y = -1- z = + 6. a) (4,-1,5) b) (0,1,1) c) 8,5,-1 7. 0º; x+y-z+ = 0 8. a) x-6y+z- = 0 9. y+z- = 0 40. a) a = 4: secantes; a 4: se cruzan b) (8,0,10) 41. a = -1: contenida; a -1: corta al plano 4. a) x-y-z+4 = 0 b) x+5y-z+4 = 0 4. a) (-1,-1,) b) x-4y-z+ = 0 c) 1 44. a) n - 7 4 b) - 7, 9 7 c) n= - 7, p 9 7 45. a) (1,0,1) b) 1 c) -1 d) 4 46. a) x-y+z = ; P(1,-1,0); w = (0,1,1) b) x+y-z = 0 c) -1, x-y+z = Página 6 de 6