Criterio del segundo cociente para convergencia de series numéricas

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA Criterio del segundo cociente para convergencia de series numéricas Trabajo Especial de Grado presentado ante la ilustre Universidad Central de Venezuela por el Br. Richard Rene Frangie Vera para optar al título de Licenciado en Matemática. Tutor: Ramón Bruzual. Caracas, Venezuela Septiembre 2009

ii Nosotros, los abajo firmantes, designados por la Universidad Central de Venezuela como integrantes del Jurado Examinador del Trabajo Especial de Grado titulado Criterio del segundo cociente para convergencia de series numéricas, presentado por el Br. Richard Rene Frangie Vera, titular de la Cédula de Identidad 8.00.824, certificamos que este trabajo cumple con los requisitos exigidos por nuestra Magna Casa de Estudios para optar al título de Licenciado en Matemática. Ramón Bruzual Tutor Marisela Domínguez Jurado Carmen Da Silva Jurado

iii Agradecimiento Primero que todo gracias a Dios por darme vida y salud. Mi sincero agradecimiento al profesor Ramón Bruzual por todo su apoyo y colaboración en la realización de este trabajo. Agradezco a mis compañeros y todas esas personas que han apoyado de una u otra manera y han confiado en mi. Al Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico de la Universidad Central de Venezuela por su colaboración con la impresión de este trabajo. Gracias a todos.

Índice general Introducción Capítulo. Resultados básicos y criterio de D Alembert 3. Nociones básicas. 3 2. Límite Superior y Límite Inferior. 4 3. Criterio de D Alembert 6 4. Algunos criterios básicos de convergencia 9 Capítulo 2. Criterio del segundo cociente y refinamientos clásicos del criterio de D Alembert. Criterio del segundo cociente 2. Criterio de Kummer 6 3. Criterio de Raabe 8 4. Criterio de Gauss 24 Capítulo 3. Ejemplos 27. La serie 2. La serie 3. La serie 4. La serie 5. La serie 6. La serie n0 n p 27 3 5 (2n ) 29 [ 2 n (n+)! ] p 3 5 (2n ) 3 2 n n! a(a+)(a+2) (a+n )b(b+)(b+2) (b+n ) n! c(c+)(c+2) (c+n ) 33 (n )! (+x)(2+x)(3+x) (n+x) 37 2p 3p (n ) p (+x)(2 p +x)(3 p +x) (n p +x) 38 Bibliografía 40 iv

Introducción El objetivo fundamental de este Trabajo Especial de Grado es el desarrollo del artículo The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series de Sayel A. Ali ([7]), en el cual se prueba un nuevo criterio para la convergencia de series. El muy conocido criterio de convergencia para series numéricas de D Alembert, también conocido como criterio del cociente, establece lo siguiente: Si { } es una sucesión de términos positivos tal que existe entonces α +, (i) Si α < entonces la serie converge. (ii) Si α > entonces la serie diverge. (iii) Si α el criterio no da información. Tal como muestran los ejemplos que se dan en el Capítulo 3, este criterio suele no dar información en series cuyo término general contiene factoriales o productos finitos. Este tipo de series suele aparecer en muchos desarrollos de Taylor. Si el criterio falla, el límite de + es y se tiene que + + b n para alguna sucesión {b n } que converge a 0. Un estudio detallado de la relación entre la convergencia de la serie y el comportamiento de la sucesión {b n } ha permitido establecer refinamientos del criterio del cociente, entre los que destacan los criterios clásicos de Kummer, Raabe y Gauss. En el artículo ya mencionado, Ali Sayel desarrolla un nuevo criterio, el del segundo cociente, que refina el del cociente y que depende de los siguientes límites y,

INTRODUCCIÓN 2 donde es el término general de la serie. Este criterio contiene al de Raabe y una parte del criterio de Gauss. El trabajo está organizado en tres capítulos. En el Capítulo se da un repaso de algunas definiciones y resultados básicos de series y límites. Además se hace un breve estudio del teorema del cociente de D Alembert. En el Capítulo 2 se estudia en detalle el criterio del segundo cociente, los criterios de Kummer, Raabe y Gauss y la relación que existe entre ellos. Por último, en el Capítulo 3 se evaluarán el comportamiento de algunas series para las que falla el criterio de D Alembert y sin embargo, el criterio del segundo cociente permite determinar el carácter de la serie.

CAPíTULO Resultados básicos y criterio de D Alembert El objetivo de este primer capítulo es realizar una revisión de algunas definiciones y resultados básicos, necesarios para la comprensión de este trabajo. Las definiciones y resultados que se dan forman parte del Cálculo Básico y no se dan demostraciones, salvo en el caso del criterio del cociente. Se pueden encontrar más detalles en las siguientes referencias. [, 2, 3, 4, 6]. Nociones básicas. Una serie es un par ({ }, {S n }) donde es una sucesión de números reales y S n a + a 2 + + n a k. k Es usual utilizar la siguiente terminología: A se le llama término general de la serie. A la sucesión {S n } se le llama sucesión de sumas parciales de la serie. En vez de referirse a las series como un par es usual hablar de la serie +. Se dice que la serie converge cuando la sucesión de sumas parciales {S n } es convergente. Se dice que la serie diverge cuando la sucesión de sumas parciales {S n } no converge. Si la sucesión {S n } converge a S con S R, se suele escribir S. Debe quedar claro que S no se obtiene simplemente por adición, S es el límite de una sucesión de sumas. 3

2. LÍMITE SUPERIOR Y LÍMITE INFERIOR. 4 Ejemplo. (La serie geométrica). Una serie geométrica es una serie donde cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante, llamada razón. Una serie geométrica tiene la forma donde a, r R. ar n, Para a 0 esta serie converge si y sólo si r < y, en este caso se tiene que ar n a r Se cumple el siguiente resultado. Teorema.2. Si la serie converge, entonces lím 0. En este trabajo solamente se considerarán series de términos no negativos. En este caso la sucesión de sumas parciales forma una sucesión monótona creciente. Del hecho de que una sucesión monótona creciente es convergente si y sólo si es acotada se deducen los siguientes resultados. Teorema.3. Una serie de términos no negativos converge si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada. Teorema.4 (Criterio de comparación). Sean { } y {b n } sucesiones no negativas tales que b n para todo n (i) Si converge entonces b n también converge. (ii) Si b n diverge entonces también diverge. 2. Límite Superior y Límite Inferior. Sea {x n } una sucesión de números reales. Sea E E {xn} el conjunto de los x tales que existe una subsucesión de {x n } con límite x (puede ocurrir que + ó sean elementos de E). Definición.5. El límite superior de {x n } es el supremo de E. Se denotará por lím sup x n

2. LÍMITE SUPERIOR Y LÍMITE INFERIOR. 5 con la convención sup E +, si + está en E. El límite inferior de {x n } es el ínfimo de E. Se denotará por lím inf con la convención ínf E, si está en E. Se tienen los siguientes resultados. Proposición.6. Sea {x n } una sucesión. Entonces lím inf Teorema.7. Sea {x n } una sucesión. x n x n lím sup x n Existe lím x n si y sólo si lím inf x n sup x n. En este caso lím x n inf x n sup x n. Un resultado importante que se obtiene a través de este teorema es que una sucesión acotada {x n } converge si y sólo si lím inf x n sup x n. por Teorema.8. Sea {x n } una sucesión acotada y sean {s n } y {t n } las sucesiones definidas s n sup{x n, x n+, x n+2,...}. t n ínf{x n, x n+, x n+2,...}. Entonces la sucesión {s n } y {t n } son convergentes y lím s n sup x n. lím t n inf x n. Observación.9. Por el Teorema.8 y la definición de límite superior e inferior se tiene que si {x n } es una sucesión (no necesariamente acotada) entonces y lím sup x n ínf lím inf sup x k n k n x n sup ínf x k. n k n

3. CRITERIO DE D ALEMBERT 6 Por lo tanto, si {x n } es una sucesión tal que lím sup x n < r para algún número real r, entonces existe un entero positivo N tal que y por lo tanto sup x k < r k N x n < r para todo n N. De igual manera se puede ver que si {x n } es una sucesión tal que lím inf x n > r para algún número real r, entonces existe un entero positivo N tal que x n > r para todo n N. 3. Criterio de D Alembert Jean le Rond d Alembert (6 de noviembre 77-24 de octubre 783) fue un matemático y filósofo francés. Se le considera uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado, concibe las Ciencias como un todo integrado y una herramienta para el progreso de la Humanidad. Abordó la Matemática a través de la Física, con el problema de los tres cuerpos. Esto lo llevó a estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También probó un criterio de convergencia para series. Cuadro y estatua de D Alembert

3. CRITERIO DE D ALEMBERT 7 Estota histórica y las imágenes fueron tomadas de [8]. D Alembert demostró el siguiente criterio para convergencia de series. Teorema.0 (Criterio de D Alembert o criterio simplificado del cociente). + Sea { } una sucesión de términos positivos tal que existe α (i) Si α < entonces la serie converge. (ii) Si α > entonces la serie diverge. (iii) Si α el criterio no da información. Este resultado es consecuencia del siguiente teorema. Teorema. (Criterio ampliado de D Alembert o criterio del cociente). Sea { } una sucesión de términos positivos. (i) Si lím sup + < entonces la serie converge. (ii) Si existe n 0 N tal que + diverge. para todo n n 0 entonces la serie (iii) Si lím inf + > entonces la serie diverge. (iv) Si lím inf + lím sup + el criterio no da información. Demostración. (i) Sea y sea η (α, ). α sup + < Por la Observación.9 existe N tal que + < η si n N.

3. CRITERIO DE D ALEMBERT 8 Usando la desigualdad anterior se obtiene a N+ < ηa N a N+2 < ηa N+ < η 2 a N a N+3 < ηa N+2 < η 3 a N...... a N+k < η k a N para todo k. Como + k ηk es una serie geométrica de razón η < entonces + k ηk converge. Por el criterio de comparación se tiene que + k a N+k converge y por lo tanto converge. (ii) En este caso + 0 + serie no tiende a 0, por lo que diverge. para todo n n 0 y por lo tanto el término general de la (iii) Este caso se reduce fácilmente al anterior. En efecto sea < α inf + + sup ínf. k n k Nuevamente por la Observación.9 existe n 0 N < + si n n 0. Usando (ii) se obtiene que la serie + diverge. (iv) Basta considerar las series + + n y n. 2 La primera de estas series diverge y la segunda converge, sin embargo en ambos existe y da. + lím

4. ALGUNOS CRITERIOS BÁSICOS DE CONVERGENCIA 9 4. Algunos criterios básicos de convergencia Los criterios básicos que se enuncian a continuación serán utilizados en algunas partes de este trabajo. Teorema.2 (Criterio de Cauchy o criterio de la raíz). Sea { } una sucesión no negativa y sea Entonces α sup (i) Si α < la serie converge. (ii) Si α > la serie diverge. (iii) Si α el criterio no da información. n an. También se cumple el siguiente resultado. Teorema.3. Si {c n } es una sucesión de números positivos entonces lím inf c n+ c n lím inf n c n lím sup n c n lím sup c n+ c n. Este último resultado permite concluir que el criterio de la raíz es más fino que el criterio del cociente, es decir, si se puede concluir convergencia a partir del criterio del cociente también se puede hacer a partir del criterio de la raíz. Teorema.4 (Criterio de la integral). Supóngase que f es una función positiva y monótona decreciente definida en [, + ) y que f(n) para todo n natural. Entonces la serie converge si y sólo si existe el límite A lím A + f(x) dx.

4. ALGUNOS CRITERIOS BÁSICOS DE CONVERGENCIA 0 Teorema.5 (Criterio de condensación de Cauchy). Sea { } una sucesión decreciente tal que lím n + 0. Entonces converge si y sólo si converge. 2 n a 2 n

CAPíTULO 2 Criterio del segundo cociente y refinamientos clásicos del criterio de D Alembert En este capítulo se expone el criterio del segundo cociente, demostrado por Ali Sayel en su artículo [7] y se estudia su relación con algunos refinamientos clásicos del criterio de D Alembert.. Criterio del segundo cociente Teorema 2. (Criterio del segundo cociente, [7]). Sea una serie de términos positivos y sean { L máx lím sup, lím sup } y { l mín lím inf, lím inf }. Entonces (i) Si L < 2 se tiene que converge. (ii) Si l > 2 se tiene que diverge. (iii) Si l 2 L el criterio no proporciona información. Demostración. (i) Supóngase que L < 2. Sea r R tal que L < r < 2, entonces lím sup < r y lím sup < r. Por la Observación.9 se tiene que existe un entero positivo N tal que r y r para todo n N.

. CRITERIO DEL SEGUNDO COCIENTE 2 Por otra parte (a N + a N+ + + a 2N ) + (a 2N + a 2N+ + + a 4N )+ nn + (a 4N + a 4N+ + + a 8N ) + + (a 2 k N + a 2 k N+ + + a 2 N ) + k+ (a 2 k N + a 2 k N+ + + a 2 N ). k+ k0 Sea S k a 2 k N + a 2 k N+ + + a 2 k+ N para k 0,, 2, 3,.... Entonces, para k 0, S k (a 2 k N + a 2 N+) + (a k 2 k N+2 + a 2 N+3) + + (a k 2 k+ N 2 + a 2 N ). k+ Como par N se tiene que entonces y por lo tanto r y + r + r r + 2r par N. Luego S k (a 2 k N + a 2 k N+) + (a 2 k N+2 + a 2 k N+3) + + (a 2 k+ N 2 + a 2 k+ N ) 2ra 2 k N + 2ra 2 k N+ + + 2ra 2 k N 2r(a 2 k N + a 2 k N+ + + a 2 k N ) 2rS k. Procediendo inductivamente se obtiene S k 2rS k 2r(2rS k 2 ) 2r(2r(2rS k 3 ))... 2 k r k S 0 para k 0, de donde S k S 0 (2r) k <, nn k0 k0 por el Criterio de Comparación (Teorema.4) se tiene que converge. n0

. CRITERIO DEL SEGUNDO COCIENTE 3 (ii) Supóngase que l > 2. Sea r R tal que 2 < r < l, entonces lím inf > r y lím inf > r. Nuevamente, por la Observación.9 se tiene que existe un entero positivo N tal que para todo n N. r y Procediendo de manera análoga que en la prueba de (i), par N se tiene que y por lo tanto Luego + r r + r + 2r. S k (a 2 k N + a 2 k N+) + (a 2 k N+2 + a 2 k N+3) + + (a 2 k+ N 2 + a 2 k+ N ) 2ra 2 k N + 2ra 2 k N+ + + 2ra 2 k N 2r(a 2 k N + a 2 k N+ + + a 2 k N ) 2rS k. Procediendo inductivamente, S k 2rS k 2r(2rS k 2 ) 2r(2r(2rS k 3 ))... 2 k r k S 0. Como r >, se tiene que 2 nn S k k0 S 0 (2r) k, k0 por el Criterio de Comparación (Teorema.4) se tiene que n0 diverge. (iii) Para verificar que el criterio no da información en este caso, se debe mostrar que existe una serie convergente para la cual se cumple la condición l 2 L y que existe una serie divergente que cumple la misma condición.

. CRITERIO DEL SEGUNDO COCIENTE 4 Se considerará la serie n2 n(ln n) p. Usando el criterio de la integral se puede deducir que la serie converge si p > y diverge si p. y Para cualquier p lím lím ( n(ln n) p 2n[ln(2n)] p 2 n(ln n) p (2n + )[ln(2n + )] p ln n ln(2) + ln(n) ( n 2n + ) p 2 ln n ln(2n + ) ) p 2. En muchos ejemplos los límites existen. En este caso y lím y lím. lím lím sup sup Por lo tanto se tiene el siguiente corolario. inf inf. Corolario 2.2 (Criterio simplificado del segundo cociente, [7]). Sea n0 una serie de términos positivos tal que existen. Sean lím y lím L, L máx{l, L 2 }, y l mín{l, L 2 }. Entonces (i) Si L < 2 se tiene que n0 converge. (ii) Si l > 2 se tiene que n0 diverge. L 2, (iii) Si l L el criterio no proporciona información. 2

. CRITERIO DEL SEGUNDO COCIENTE 5 Si a las hipótesis del resultado anterior se agrega que la sucesión { } es decreciente, entonces y, por lo tanto Luego se tiene el siguiente corolario. L y l. Corolario 2.3. Sea n0 una serie de términos positivos tal que la sucesión { } es decreciente y existen. Sean lím y lím L, l. Entonces (i) Si L < 2 se tiene que n0 converge. (ii) Si l > 2 se tiene que n0 diverge. Observación 2.4. El resultado anterior también se puede obtener a partir del Criterio de condensación de Cauchy (Teorema.5) y el Criterio de D Alembert de la siguiente manera. (i) Si L < 2 entonces, aplicando el Criterio de D Alembert a n0 2n a 2 n, se obtiene 2 n+ a 2 n+ lím 2 n a 2 n 2 lím a 2(2n ) a 2 n 2L <. Por lo tanto n0 2n a 2 n converge, de donde n0 converge. (ii) Si l > 2, entonces 2 n+ a 2 n+ lím 2 n a 2 n 2 lím a 2(2n ) a 2 n 2l >. Por lo tanto n0 2n a 2 n diverge, de donde n0 diverge.

2. CRITERIO DE KUMMER 6 2. Criterio de Kummer Ernst Eduard Kummer (29 de enero de 80-4 de mayo de 893) fue un matemático alemán que realizó varias contribuciones a la matemática en áreas diversas, entre las que destacan las series numéricas, la teoría de números y la geometría de superficies. Probó el último teorema de Fermat para una clase considerable de exponentes primos. E. Kummer Estota histórica y la imagen fueron tomadas de [8]. Teorema 2.5 (Criterio de Kummer). Sea n0 una serie de términos positivos. Supóngase que existe una sucesión de términos positivos {d n } tal que el siguiente límite ( lím a ) n+ h d n existe. Entonces (i) Si h > 0 se tiene que n0 converge. d n+ (ii) Si h < 0 y d n diverge, se tiene que n0 diverge. Demostración. La demostración que se va a dar está basada en la que aparece en el libro [5]. (i) Supóngase que h > 0. Sea σ (0, h], entonces existe N N tal que + σ > 0 d n d n+

2. CRITERIO DE KUMMER 7 para todo n N. Sea γ n /d n. Entonces, par N se tiene que Como > 0 γ n +γ n+ σ > 0. γ n + γ n+ σ > 0 si n N. (2.) Por lo tanto + γ n+ γ n si n N, es decir la sucesión { γ n } es monótona decreciente par N. Como esta sucesión está acotada inferiormente por 0, es convergente. La serie telescópica tiene sumas parciales T n n k0 n0 σ (γ n + γ n+ ) σ (a kγ k a k+ γ k+ ) σ (a 0γ 0 + γ n+ ). Como { γ n } converge, la sucesión {T n } converge y por lo tanto la serie es convergente. n0 Por la desigualdad (2.) se tiene que σ (γ n + γ n+ ) σ (γ n + γ n+ ). Finalmente por el criterio de comparación la serie converge. n0 (ii) Supóngase que h < 0. Entonces existe N N tal que + 0 d n d n+ par N, esta última desigualdad equivale a d n + d n+.

3. CRITERIO DE RAABE 8 Por lo tanto para todo n N, de donde d n a N d N > 0 ( an d N ) d n para todo n N. Como n0 d n diverge, por el criterio de comparación la serie es divergente. n0 Observación 2.6. Considerando la serie (divergente) de término general constante e igual a se obtienen las partes (i) y (ii) del criterio simplificado de D Alembert. En el teorema anterior puede ocurrir que h 0 y el criterio no de información. Basta considerar la serie (divergente) de término general constante e igual a y ejemplos donde falle el criterio simplificado de D Alembert. 3. Criterio de Raabe Joseph Ludwig Raabe (5 de mayo de 80 22 de enero de 859) fue un matemático suizo. Estableció un criterio de convergencia para series de términos positivos. También estudió diversos aspectos de los movimientos planetarios. J. Raabe Estota histórica y la imagen fueron tomadas de [8].

3. CRITERIO DE RAABE 9 El criterio de convergencia que se enuncia a continuación fue demostrado por J. Raabe y se va a probar a partir del criterio del segundo cociente (Teorema 2.). Es importante destacar que esto prueba que el criterio del segundo cociente es más general que el de Raabe. Teorema 2.7 (Criterio de Raabe). Sea n0 una serie de términos positivos. Supóngase que existen una sucesión {ε n } tal que lím ε n 0 y β R tales que Entonces + β n + ε n n. (i) Si β > se tiene que n0 converge. (ii) Si β < se tiene que n0 diverge. (iii) Si β el criterio no proporciona información. Para demostrar este teorema será necesario demostrar la siguiente desigualdad. Proposición 2.8. Si n es un entero mayor o igual que, entonces n + n + + + 2n ln 2. Demostración. Si k es un entero positivo y x [k, k + ] entonces k x y por lo tanto Luego k+ k dx k x. n + n + + + n+ 2n n 2n n ln dx n+2 x + dx 2n n+ x + + dx 2n x dx ln(2n) ln(n) x ) ln 2. ( 2n n Demostración del criterio de Raabe. (i) Supóngase que β >.

3. CRITERIO DE RAABE 20 Se tiene que ( ) ( lím n an+ n β n + ε ) n β. n Sea α (, β), entonces existe N N tal que si n N entonces ( ) an+ n < α. y Se N, entonces + < α n + +2 a ( 2n < α ) ( α ). + n 2n Como 0 < x e x para 0 < x <, se tiene que ( α ) ( α ) ( α ) n n + 2n por la Proposición 2.8 por lo tanto para todo n N. α n + Procediendo de manera análoga para todo n N. Como α > por el Teorema 2. lím sup α n + + + α 2n e α ln 2 2 α + +2 + a2n+ < ( α ) n e ( α n + α n+ + + α 2n) e ( α n + α n+ + + 2n ) α, α ln 2, ( α ) ( α ) n + 2n 2n+ α ln e n e α ln 2 2 α 2 α < 2 y lím sup 2 α < 2,

3. CRITERIO DE RAABE 2 converge. (ii) Supóngase que β <. Igual que en el caso (i) ( ) ( lím n an+ n β n + ε ) n β. n Por lo tanto si β < existe N N tal que ( ) an+ n > para todo n N. donde Supóngase que n N, entonces Luego por lo que si n > N. Por el criterio de comparación diverge. (iii) La serie armónica + > n n n d n n. + d n+ > d n, d n+ d n, ( ) an + > d n+ ( ) an d N n d N + que es divergente, satisface las hipótesis del criterio de Raabe con β (ver Ejemplo del Capítulo 3). n, Para ver que el criterio no da información en el caso β, basta mostrar una serie convergente que satisface las hipótesis con β. Para esto se considerará la serie + n2 n(ln n) 2.

3. CRITERIO DE RAABE 22 Usando el criterio de la integral se puede verificar que esta serie converge. que Como Para verificar que la serie satisface las hipótesis del criterio con β se debe verificar Se tiene que n basta mostrar que Finalmente lím n (n + )(ln(n + )) 2 n(ln n) 2 n(ln(n + )) 2 n(ln n) 2 lím (ln(n + )) 2 (n + )(ln(n + )) 2 n(ln n) 2. ) ( n n(ln n) 2 (n + )(ln(n + )) 2 ( ) ( ) n (n + )(ln(n + )) 2 n(ln n) 2 n + (ln(n + )) 2 ( ) n ( + n(ln(n + ) ))2 n(ln n) 2. n + (ln(n + )) 2 lím n n +, n(ln(n + )) 2 n(ln n) 2 lím 0. (ln(n + )) 2 [ ] [ ] n(ln(n + ) ln n) ln(n + ) + ln n ln(n + ) ln(n + ) ( + ) n n 2 lím ln(n + ) ln 0. A continuación se presenta una versión alternativa del criterio de Raabe que, en algunos casos, permite simplificar algunos cálculos. Antes de demostrarlo es necesario el siguiente resultado. Proposición 2.9. Sea {γ n } una sucesión de números no negativos que converge a 0. Entonces se tiene que la sucesión {nγ n } es convergente si y sólo si la sucesión ( + γ n ) n es

3. CRITERIO DE RAABE 23 convergente. En este caso si y sólo si lím nγ n λ lím ( + γ n) n e λ. Demostración. Se deben considerar dos casos: Primer caso: {γ n } se anula una cantidad infinita de veces. En este caso {nγ n } es convergente si y sólo {nγ n } tiende a 0 y ( + γ n ) n es convergente si y sólo si ( + γ n ) n tiende a, de donde se obtiene el resultado. Segundo caso: {γ n } se anula solamente una cantidad finita de veces. Sea N N tal que γ n 0 para todo n N. Par N se tiene que Por las propiedades básicas del número e, ( + γ n ) n ( ( + γ n ) /γn) nγ n. lím ( + γ n) /γn e. Por lo tanto ( + γ n ) n converge a e λ si y sólo si nγ n tiende a λ. Observación 2.0. Por el resultado anterior se tiene que si {α n } es una sucesión que tiende a entonces la sucesión {n(α n )} converge si y sólo si la sucesión {(α n ) n } converge y, en este caso si y sólo si lím n(α n ) ξ lím (α n) n e ξ. Teorema 2. (Forma alternativa del criterio de Raabe). Sea n0 una serie de términos positivos tal que y existe + lím ( ) lím n an+.

4. CRITERIO DE GAUSS 24 Sea L R tal que e L ( an+ ) n. Entonces (i) Si L < se tiene que n0 converge. (ii) Si L > se tiene que n0 diverge. Demostración. Sea β definido por ( ) an+ β lím n. Entonces se tiene que + β n + ε n n, donde {ε n } es una sucesión que tiende a 0. Además, por la Observación 2.0 se tiene que L β. Por lo tanto el resultado sigue del criterio de Raabe. 4. Criterio de Gauss Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 777 23 de febrero de 855), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Muchos lo consideran el príncipe de las matemáticas y el matemático más grande desde la antigüedad. Su obra tuvo una influenciotable en muchos campos de la matemática y de la ciencia.

4. CRITERIO DE GAUSS 25 J. C. Gauss El reconocimiento a Gauss en Alemania es tan grande que su imagen, con dibujos alegóricos a su trabajo, fue colocado en los billetes de 0 marcos (previos a la implantación del euro), tal como se muestra en la siguiente ilustración. Estota histórica y las imágenes fueron tomadas de [8]. Teorema 2.2 (Criterio de Gauss). Sea n0 una serie de términos positivos. Supóngase que existen una sucesión acotada {θ n }, β R y λ > 0 tales que Entonces + β n + θ n n +λ. (i) Si β > se tiene que n0 converge. (ii) Si β se tiene que n0 diverge. Demostración.

4. CRITERIO DE GAUSS 26 El caso β se obtiene del criterio de Raabe, tomando Supóngase que β. Sea entonces es divergente y además ( lím + d n d n+ ) ε n θ n n λ. d n n ln n, n0 d n ( ( n ln n n + θ n ( ) n ( n ln n + 0 + 0. n +λ ) ) (n + )(ln(n + )) + θ ) n (n + ) ln(n + ) n n +λ ( ( (n )(n + ) ln(n + ) n ln n + θ )) n(n + ) ln(n + ) n n +λ ( ) n ln n (n2 ) (n + ) ln(n + ) θn ln(n + ) n n n λ ( ) ln(n + ) (n + ) n ln n n ln(n + ) + θn ln(n + ) n n n λ ( ) ln n ln(n + ) ln(n + ) (n + ) + θn ln(n + ) /n n n n λ Por el criterio de Kummer la serie n0 diverge.

CAPíTULO 3 Ejemplos Este capítulo está dedicado a estudiar el comportamiento de algunas series para las que falla el criterio de D Alembert y sin embargo, el criterio del segundo cociente permite determinar el carácter de la serie. En algunos de los ejemplos también se aplican otros de los criterios que se han presentado, lo que permite comparar las ventajas que pueden ofrecer los diferentes criterios dependiendo del tipo de serie que se desea estudiar. Los siguientes límites, que se pueden probar de manera análoga a como se probó la Proposición 2.9, se utilizarán en algunos casos. lím [ ] n α tn + α e α/t (3.) tn y lím [ ] n α tn + β e (β α)/t (3.2) tn + α. La serie n p Para la serie n p, donde p R, el criterio de D Alembert falla ya que + n p (n + ) p y por lo tanto + lím ( ) p n. n + 27

. LA SERIE 28 n p.. Aplicación del criterio del segundo cociente. Se tiene que 2 p y (2 + n )p y por lo tanto, lím 2. p Del criterio del segundo cociente se deduce que la serie converge si p > y diverge si p <, el criterio no da información si p..2. Aplicación del criterio de Kummer. Tomando d n n se obtiene ( lím a ) ) n+ (n np (n + ) d n d n+ (n + ) p ( ) ) p n ( n n + ( x x + x x x (p ) p. ) p ( x x + ) p 2 x 2 (x + ) 2 Del criterio de Kummer se deduce que la serie converge si p > y diverge si p <.

2. LA SERIE 3 5 (2n ) 29 2 n (n+)!.3. Aplicación del criterio de Raabe. Se tiene que Por lo tanto donde tiende a 0. ( ) ( ) lím n an+ n p n (n + ) p ( ) p x + x x p p. x + x ( x x + p n + ε n n, ( ) an+ ε n n + p ) p x 2 (x + ) 2 Del criterio de Raabe ( β p) se deduce que la serie converge si p > y diverge si p <..4. Comentarios. El criterio de Gauss no parece ser adecuado para esta serie, ya que resulta muy complicado encontrar la sucesión {θ n }. También es importante destacar que para aplicar el criterio de Kummer hay que escoger (o poder adivinar ) la sucesión {d n }. Para la serie 2. La serie 3 5 (2n ) 2 n (n+)! el criterio de D Alembert falla ya que 3 5 (2n ) 2 n (n + )! + 2n + 2n + 4

2. LA SERIE 3 5 (2n ) 30 2 n (n+)! y por lo tanto + lím 2n + 2n + 4. 2.. Aplicación del criterio del segundo cociente. Se tiene que y por lo tanto <. Además 4n + 4n + 4 < Como < (2n + 3)(2n + 5) (4n ) 2 n (n + 2)(n + 3) (2n) ( ) ( ) ( ) 2n + 3 2n + 5 4n 2 2n + 4 2n + 6 4n ( ) ( ) 2 2n + 4 2n + 6 < 2 ( 4n ) n. ( lím ) n 4 4n e se tiene que lím sup lím sup 2 4 e < 2. Del criterio del segundo cociente se deduce que la serie converge. ( ) 4n 2.2. Aplicación del criterio de Kummer. Tomando se obtiene ( lím + d n d n+ ) d n n ( n ( n 2n + 4 Del criterio de Kummer se deduce que la serie converge. ( 2n + 2n + 4 ) 2 > 0. ) ) (n + )

3. LA SERIE [ ] p 3 5 (2n ) 3 2 n n! 2.3. Aplicación del criterio de Raabe. Se tiene que Por lo tanto donde tiende a 0. ( ) ( ) lím n an+ 2n + n 2n + 4 + 3 2 3n 2n + 4 ( ) ( ) 3 + ε n 2 n n, ( ) an+ ε n n + 3 2 3n 2n + 4 + 3 2 3 n + 2 Del criterio de Raabe ( β 3/2) se deduce que la serie converge. 2.4. Aplicación del criterio de Gauss. Por los cálculos ya hechos para aplicar el criterio de Raabe se tiene que ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 3 + 2 n n n + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 n + 2 n n 3/2 n + 2 Del criterio de Gauss, con β 3/2, λ /2 y se deduce que la serie converge. θ n 3 n n + 2, 3. La serie [ ] p 3 5 (2n ) 2 n n! Para la serie [ ] p 3 5 (2n ), 2 n n!

3. LA SERIE [ ] p 3 5 (2n ) 32 2 n n! donde p R, el criterio de D Alembert falla ya que [ + 2n + 2n + 2 ] p y por lo tanto + lím [ ] p 2n +. 2n + 2 3.. Aplicación del criterio del segundo cociente. Se tiene que y por lo tanto <. Además [ ] p 4n + < 4n + 2 < [ (2n + )(2n + 3)(2n + 5) (4n ) [( 2n + 2 2 n (n + )(n + 2) (2n) ) ( 2n + 4 ) ] p ( )] p. 4n Como 0 < x e x para 0 < x <, < e p ( 2n+2 + 2n+4 + + 4n). Al igual que en la Proposición 2.8 se prueba que n + + n + 2 + + [ ] 2n + 2n ln, n + por lo tanto Luego, si p > 2. lím sup < lím sup [ ] p/2 e p 2 ln [ 2n+ n+ ] 2n +. n + [ ] p/2 2n + lím 2 p/2 < n + 2 Del criterio del segundo cociente se deduce que la serie converge si p > 2. Para el caso p 2 el criterio del segundo cociente no aporta información, sin embargo se puede demostrar directamente, que en este caso, la serie diverge.

4. LA SERIE a(a+)(a+2) (a+n )b(b+)(b+2) (b+n ) 33 n! c(c+)(c+2) (c+n ) Se procede de la siguiente manera. ( ) /p 2 n n! 3 5 (2n ) (2 2)(2 3)(2 4) (2 n) 2 3 5 (2n ) ( ) ( ) ( 2 2 2 3 2 4 2 3 5 7 ( 2 + ) ( + ) ( + 3 5 7 ) ( 2 n 2n ) Como 0 < + x e x para x > 0, se tiene que ( ) /p 2 e 3 + 5 + + 2n 2 e 2 + 4 + + 2n Al igual que se probó la Proposición 2.8 se prueba que por lo tanto luego 2 + 4 + + 2n 2 ( ( + 2 + 3 + + n ) /p 2 e e ln n 2 2e 2 n 4 n, 4 p n p/2. Por el criterio de comparación la serie diverge para p 2. ) ( + 2n ) ) + ln n, 2 3.2. Comentarios. El criterio del segundo cociente funciona bastante bien para esta serie, al intentar aplicar cualquiera de los otros tres criterios aparecen límites más complicados que los que aparecen con el del segundo cociente. 4. La serie a(a+)(a+2) (a+n )b(b+)(b+2) (b+n ) n! c(c+)(c+2) (c+n ) Sean a, b y c números positivos, la serie a(a + )(a + 2) (a + n )b(b + )(b + 2) (b + n ) n! c(c + )(c + 2) (c + n ) se conoce con el nombre de serie hipergeométrica.

4. LA SERIE a(a+)(a+2) (a+n )b(b+)(b+2) (b+n ) 34 n! c(c+)(c+2) (c+n ) Para esta serie el criterio de D Alembert falla ya que y por lo tanto + lím + (a + n)(b + n) (n + )(c + n) (a + n)(b + n) (n + )(c + n). 4.. Aplicación del criterio del segundo cociente. (a + n)(a + n + ) (a + 2n )(b + n)(b + n + ) (b + 2n ) (n + )(n + 2) (2n)(c + n)(c + n + ) (c + 2n ) [ (a + n)(b + n) (a + n + )(b + n + ) (a + 2n )(b + 2n ) 2n(c + n) (n + )(c + n + ) (2n )(c + 2n ) Cada una de las expresiones racionales dentro de los corchetes es de la forma Sea Entonces f(x) (a + x)(b + x). x(c + x) (a + x)(b + x). x(c + x) ]. f(x) (a + x)(b + x) x(c + x) + (a + b c)x + ab. x(c + x) Por lo tanto si a + b < c, entonces existe N N tal que f(x) es creciente para x > N. Luego, si a + b < c, entonces (a + n)(b + n) 2n(c + n) (a + n)(b + n) 2n(c + n) [ (a + 2n )(b + 2n ) (2n )(c + 2n ) [ ] n [ 2n + a 2n + b 2n + c 2n para todo n > N. En forma similar se obtiene [ (a + n)(b + n) (a + 2n)(b + 2n) (2n + )(c + n) (2n)(c + 2n) [ ] n [ (a + n)(b + n) 2n + + b (2n + )(c + n) 2n + c 2n para todo n > N. ] n ] n ] n ] n

4. LA SERIE a(a+)(a+2) (a+n )b(b+)(b+2) (b+n ) 35 n! c(c+)(c+2) (c+n ) Utilizando el límite notable (3.2) se obtiene lím sup 2 e a+b c 2 < 2 y lím sup 2 e a+b c 2 < 2 si a + b < c. Del criterio del segundo cociente se deduce que la serie converge si a + b < c. El caso a + b c se puede tratar directamente de la siguiente manera. Si a + b c, entonces para todo x > 0. Por lo tanto (a + x)(b + x) x(c + x) + (a + b c)x + ab x(c + x) > a(a + )(a + 2) (a + n )b(b + )(b + 2) (b + n ) n!c(c + )(c + 2) (c + n ) > ab cn, luego, por el Criterio de Comparación, la serie diverge si a + b c. 4.2. Aplicación del criterio de Kummer. Tomando d n n se obtiene ( lím a ) ( n+ n d n d n+ c a b ) (a + n)(b + n) (n + ) (n + )(c + n) ( ) n 2 + cn ab an nb n 2 n + c Del criterio de Kummer se deduce que la serie converge si a + b < c y diverge si a + b > c.

4. LA SERIE a(a+)(a+2) (a+n )b(b+)(b+2) (b+n ) 36 n! c(c+)(c+2) (c+n ) 4.3. Aplicación del criterio de Raabe. Se tiene que Por lo tanto donde tiende a 0. ( ) ( ) lím n an+ (a + n)(b + n) n (n + )(c + n) (a + b c )n 2 + abn cn n 2 + (c + )n + c a + b c. + + a + b c + ε n n n, ( ) an+ ε n n (a + b c ) Del criterio de Raabe ( β (a + b c ) ) se deduce que la serie converge si a + b < c y diverge si a + b > c por 4.4. Aplicación del criterio de Gauss. Se tiene que + [ n + a + b c + n + n + ] (a c)(b c) n + c [ n + ( + c a b) + + c a b n + + c a b n + n + + n + ] (a c)(b c) n + c ( ) (a c)(b c) n + c ( ) (a c)(b c) n + c + + c a b n(n + ) Se puede aplicar el criterio de Gauss con β (a + b c ), λ /2 y {θ n } definida θ n ( n 3/2) ( n + ( ) (a c)(b c) n + c + + c a b ) n(n + ) Del criterio de Gauss se deduce que la serie converge si a + b < c y diverge si a + b c. 4.5. Comentarios. El criterio de Gauss es muy adecuado para esta serie.

5. LA SERIE (n )! (+x)(2+x)(3+x) (n+x) 37 5. La serie (n )! (+x)(2+x)(3+x) (n+x) Para la serie (n )! ( + x)(2 + x)(3 + x) (n + x) donde x > 0, el criterio de D Alembert falla ya que y por lo tanto + lím + n n + + x n n + + x. 5.. Aplicación del criterio del segundo cociente. Se tiene que por lo tanto. Como Además se tiene que se tiene que n 2n + x Por lo tanto Por el límite notable (3.2) 2n 2n + + x, n(n + )(n + 2) (2n ) (n + + x)(n + 2 + x) (2n + x)(2n + x) ( ) ( ) n + n + 2 n + + x n + 2 + x k k + x x k + x, n + j n + j + x 2n, j,..., n. 2n + x n ( ) n 2n. 2n + x 2n + x ( 2n 2n + x ). Luego lím lím sup n 2n + x ( ) n 2n 2n + x 2 e x/2. lím sup 2 e x/2 < 2.

6. LA SERIE n0 p 2 p 3 p (n ) 38 (+x)(2 p +x)(3 p +x) (n p +x) Del criterio del segundo cociente se deduce que la serie converge para x > 0. n0 (n )! ( + x)(2 + x)(3 + x) (n + x) Para la serie 6. La serie n0 2p 3p (n ) p (+x)(2 p +x)(3 p +x) (n p +x) 2 p 3 p (n ) p ( + x)(2 p + x)(3 p + x) (n p + x), donde p R y x > 0, el criterio de D Alembert falla ya que + n p (n + ) p + x y por lo tanto + lím n p (n + ) p + x. 6.. Aplicación del criterio del segundo cociente. Se tiene que por lo tanto. (2n) p (2n + ) p + x, Además se tiene que (n p )(n + ) p (n + 2) p (2n ) p ((n + ) p + x)((n + 2) p + x) ((2n ) p + x)((2n) p + x) n p (2n) p + x. Por lo tanto, para p > lím sup lím sup 2 p < 2 para p >. Por otra parte (n + j) p (n + j) p + x x (n + j) p + x x (2n ) p + x,

6. LA SERIE n0 p 2 p 3 p (n ) 39 (+x)(2 p +x)(3 p +x) (n p +x) para j,..., n, por lo tanto (n p )(n + ) p (n + 2) p (2n ) p ((n + ) p + x)((n + 2) p + x) ((2n ) p + x)((2n) p + x) ( ) ( ) n p n x. (2n) p + x (2n ) p + x Luego para p < se tiene que lím sup lím sup ( lím n p (2n) p + x ) ( ) n x 0. (2n ) p + x Del criterio del segundo cociente se deduce que la serie converge para todo p < ó p >. Por el Ejemplo 5 la serie converge si p. Por lo tanto esta serie converge para todo x > 0 y para todo p.

Bibliografía [] T. Apostol, Cálculus, Vol. I, John Wiley, 967. Citado en la(s) página(s): 3 [2] R. Bruzual y M. Domínguez, Cálculo Diferencial en una Variable. Disponible en http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/an/cdvan.pdf. Citado en la(s) página(s): 3 [3] R. Bruzual y M. Domínguez, Cálculo Integral y Serie de Funciones. Disponible en http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/an/civan.pdf. Citado en la(s) página(s): 3 [4] J. Perez, Cálculo Diferencial e Integral. Disponible en http://www.ugr.es/ fjperez/apuntes.html. Citado en la(s) página(s): 3 [5] E. Rainville, Infinite Series, Macmillan, New York, 967. Citado en la(s) página(s): 6 [6] Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. McGraw Hill. Citado en la(s) página(s): 3 [7] A. Sayel, The mth ratio test: New convergence test for series. American Mathematical Monthly 5, No. 6, 54-524 (2008). Citado en la(s) página(s):,, 4 [8] Wikipedia en español, http://es.wikipedia.org/wiki/wikipedia:portada. Citado en la(s) página(s): 7, 6, 8, 25 40