ELECTRICIDAD MÓDULO 1

A.Paniagua F-20 ELECTRICIDAD MÓDULO 1 Caga Eléctica Los cuepos cuando son fotados adquieen la popiedad de atae cuepos livianos como po ejemplo: pequeños tozos de papel, cocho, etc. En su estado natual o sea antes de se fotados no pesentan esta popiedad. Tenemos entonces que un cuepo al se fotado pasa de su estado natual a oto estado que llamaemos estado electizado. El nombe se debe a que los pimeos en obseva este efecto fueon los giegos en un tozo de ámba, que en su idioma se dice elekton Duante el poceso de fotamiento, en el cuepo algo cambió y ese algo es el esponsable de la nueva popiedad que pesentan dichos cuepos. A ese algo lo llamaemos caga eléctica, es deci "caga eléctica es la pate del cuepo esponsable de la popiedad de atacción". Video: Caga Eléctica. Video: Electización po fotamiento. La expeiencia con baas colgantes que pueden gia libemente muesta que existen dos tipos de estados electizados. Como la causa de la electización de un cuepo la hemos llamado caga eléctica, concluímos que existen dos tipos difeentes de caga eléctica. La caga eléctica que coesponde al gupo donde se encuenta la vailla de vidio fotada con seda la llamaemos tipo vidio y la caga eléctica que coesponde al gupo donde se encuenta la vailla de ebonita fotada con seda la llamaemos tipo ebonita. Hasta aquí hemos cagado elécticamente un cuepo po fotamiento. Suge entonces la pegunta ese es el único método paa que un cuepo adquiea caga eléctica? Tabajemos ahoa con un electoscopio. Veamos que sucede si ponemos en contacto con el electoscopio una vailla de vidio que ha sido electizada peviamente po fotamiento, podemos obseva que la láminas de la pate infeio se sepaan. 1

Po lo cual podemos ve que un cuepo se puede electiza po contacto. Tenemos entonces que la sepaación de las láminas de un electoscopio nos pemite detemina su electización. Si fotamos nuevamente la vailla de vidio y volvemos a toca el electoscopio vemos que sus láminas se sepaan más. O sea cagas elécticas del mismo tipo se efuezan. Si tocamos ahoa el electoscopio con una vailla de ebonita peviamente fotada vemos que las láminas del electoscopio se juntan mostándonos que la caga eléctica del tipo ebonita anuló a la caga eléctica del tipo vidio. Tenemos entonces que cagas elécticas de distinto tipo se anulan ente sí, es deci el cuepo queda en estado no electizado. Paa apovecha esta popiedad en la pate cuantitativa de la teoía se da po nombe a los dos tipos de caga: positiva (+) y negativa (- ). Y se designa de foma convencional a la caga eléctica tipo vidio (obtenida po el fotamiento de una vailla de vidio con seda) como caga eléctica positiva (+) y a la caga eléctica tipo ebonita (obtenida po el fotamiento de una vailla de ebonita con piel) como caga eléctica negativa (- ). Si electizamos una vailla suspendida de un hilo aislante y luego le acecamos ota vailla también electizada, podemos obseva que si las vaillas tienen estados de electización del mismo tipo se epelen y si tienen estados de electización de difeentes tipos se ataen. Como la esponsable de los estados de electización la hemos llamado caga eléctica y le hemos asignado signo, podemos entonces deci que cagas del mismo signo se epelen y de distinto signo se ataen. Conductoes y aislantes Analicemos el siguiente expeimento: Se colocan dos electoscopios y se unen ambos po medio de una vailla metálica. Se pocede luego a caga uno de los electoscopios po contacto con una vailla peviamente fotada. Se puede obseva que el oto electoscopio que está unida po la vailla metálica también se caga elécticamente. Esto nos muesta que la vailla metálica pemite que el estado electizado de un electoscopio se tansfiea al oto electoscopio. Como la caga eléctica es la esponsable del estado electizado, podemos deci que a tavés de la vailla metálica hubo tansfeencia de caga eléctica. A los mateiales que pemiten el paso de caga eléctica a tavés de ellos los llamaemos conductoes. Son buenos conductoes los metales, el aie húmedo, el agua. Repitamos el expeimento uniendo ahoa ambos electoscopios po medio de una vailla plástica. Podemos obseva que en este expeimento el estado 2

electizado de un electoscopio no se tansfiee al oto. Po lo cual podemos deci que la caga eléctica no se tansfiee a tavés de la vailla plástica al oto electoscopio. A los mateiales que no pemiten el paso de caga eléctica tavés de ellos los llamaemos aislantes (también llamados dielécticos). Son buenos aislantes el plástico, la madea seca, el caucho. Ley de Coulomb Los expeimentos de Coulomb y otos científicos sobe las fuezas ejecidas po una caga puntual sobe ota, se esumen en la ley de Coulomb. La fueza ejecida po una caga puntual sobe ota está diigida a lo lago de la línea que las une. Es epulsiva si las cagas tienen el mismo signo y atactiva si las cagas tienen signos opuestos. La fueza vaía invesamente con el cuadado de la distancia que sepaa las cagas. Con la balanza de tosión que vemos en la figua Coulomb fue capaz de detemina que la fueza es invesamente popocional al cuadado de la distancia que sepaa las cagas. Las medidas con esa balanza son difíciles de hace con una pecisión de más de unos cuantos céntimos, po lo tanto en esa época no se podía afima que el exponente fuea justamente 2 y no po ejemplo 2.01. Expeimentos posteioes con una mayo pecisión ponen de manifiesto que el valo está compendido ente 2.000000002 y 1.999999998. Po esa azón no es de extañase que el exponente se considee exactamente 2 La expesión matemática que eúne los hechos expeimentales con especto a la inteacción ente cagas está dada po F 12 " q 1 q 2 12 2 ( 1T ) La caga eléctica se mide en coulombs y se designa po el símbolo C. El coulomb es una unidad muy gande de caga; se necesitan unos 6x10 18 electones pa obtene un coulomb. 3

Debido a la dificultad de medi la inteacción ente cagas elécticas estáticas, se define la unidad básica de caga a tavés de una unidad de coiente, el ampee; éste se detemina po medio de la fueza de inteacción magnética ente alambes po los cuales cicula coiente. Esta inteacción se estudiaa más adelante en Magnetismo. Se tiene po lo tanto que la caga eléctica en el sistema SI es el coulomb (siendo su símbolo C) y se define como la cantidad de caga que fluye a tavés de una sección tansvesal dada de un alambe en un segundo, cuando en el alambe existe una coiente estacionaia de un ampee. La expesión (1T) se puede escibi con un signo de igualdad si se intoduce una constante de popocionalidad F 12 = k q 1 q 2 12 2 Ley de Coulomb ( 2T ) 1 En geneal la constante k se escibe como k = puesto que 4" 0 simplificaá la foma de cietas ecuaciones que se deivan de ( 2T ) Tenemos entonces que k = 9.0 10 9 Nm 2 / C 2 0 = 8.85 "10 #12 C 2 / Nm 2 Donde 0 ecibe el nombe de constante de pemitividad. Podemos escibi la expesión (2T) en foma vectoial definiendo un vecto unitaio ˆ 12 que está diigido desde la caga 1 a la caga 2 a lo lago de la línea que une las cagas. F 12 = kq 1q 2 ˆ 2 12 (3T) 12 Esta expesión se denomina Ley de Coulomb en foma vectoial y coesponde a la fueza F 12 que la caga eléctica 1 ejece sobe la caga eléctica 2. La fueza ejecida po la caga eléctica 2 sobe la caga eléctica 1 está dada entonces po la siguiente expesión F 21 = kq q 1 2 ˆ 2 21 21 4

donde el vecto unitaio ˆ 21 está diigido desde la caga 2 a la caga 1 a lo lago de la línea que une las cagas. Analicemos si la expesión matemática (3T) así definida, satisface las obsevaciones expeimentales de atacción ente cagas elécticas de distinto signo y de epulsión ente cagas elécticas de igual signo. En la siguiente tabla se desea epesenta en la columna de la izquieda la acción de la caga 1 sobe la caga 2 y en la columna de la deecha la acción de la caa 2 sobe la caga 1, ambas situaciones paa distintas combinaciones de caga eléctica. Dibuje en cada caso los vectoes unitaios que coesponda y haciendo uso de la expesión de la fueza indicada en la pate supeio de cada columna dibuje las fuezas paa cada situación física. F 12 = kq q 1 2 ˆ 2 12 12 F 21 = kq q 1 2 ˆ 2 21 21 Si eunimos ahoa en un sólo dibujo el análisis ealizado en la pate anteio tenemos que nos muesta que la Ley de Coulomb en foma vectoial satisface el hecho expeimental de la atacción ente cagas elécticas de distinto signo y la epulsión ente cagas elécticas de signos iguales. 5

Sistema de patículas (distibución disceta). F T1 = F 21 + F 31 + F 41 + F 51 (4T) Dibuja las fuezas que actúan sobe la caga 1 de pate de las otas cagas que foman el sistema. Estuctua del átomo En la Gecia pesocática, Demócito (546-370 A.C) agumentó que la mateia está compuesta de pequeñas patículas indivisibles llamadas "átomos", que significa indivisibles. La idea paso desapecibida y no adquiió significación científica hasta que John Dalton (1803-1807), publicó una teoía atómica paa explica divesas obsevaciones expeimentales. Esta teoía ha pemanecido fundamentalmente intacta hasta el pesente. Tenemos que se entiende po átomo la meno patícula en que puede dividise un elemento químico consevando sus popiedades y pudiendo se objeto de una eacción química. A mediados del siglo XIX los científicos empezaon a estudia las descagas elécticas a tavés de tubos de vacío y obsevaon que a un voltaje elevado se poduce adiación dento del tubo. Esta adiación fué conocida como ayos catódicos poque se oiginaba en el electodo negativo o cátodo. Aunque estos ayos no se podían obseva, su movimiento se pudo detecta poque los ayos hacen que algunos mateiales ente ellos el vidio emitan luz. Se obsevó que la incidencia de estos ayos en una placa metálica hacia que esta adquiiea caga eléctica negativa. Esto sugiió que dichos ayos constituían un haz de patículas cagadas negativamente a las cuales se les llamó electones. (*) J. J Thomson físico bitánico en 1897 midió la elación de la caga a la masa del electón utilizando un tubo de ayos catódicos. 6

caga del electón masa del electón = e m =1.76 "108 C / g (5T) (*) Millikan en 1909 en un expeimento conocido como "expeimento de la gota de aceite de Millikan" encontó que la caga eléctica que apaecía sobe las gotas de aceite ea siempe múltiplo enteo de 1.6 10 "19 C. Dedujo que esta debía se la caga eléctica del electón. e =1.6 "10 #19 C (6T) Utilizando la elación caga masa del electón obtenida po Thomson se calculó la masa del electón. m e = 9.10939 10 "28 g (7T) El descubimiento de los ayos catódicos hizo intui una mayo complejidad al átomo. En 1911, los expeimentos de Ruthefod de bombadeo de láminas metálicas con patículas α pemitieon que postulaa que la mayo pate de la masa del átomo y toda su caga positiva eside en una egión muy pequeña, extemadamente densa, a la cual llamó núcleo. La mayo pate del volumen total del átomo es un espacio vacío y los electones se mueven alededo del núcleo. Este es un modelo clásico del átomo. Tenemos que el átomo es neuto, po lo tanto tiene la misma cantidad de caga positiva y negativa. Si un átomo piede caga negativa queda con un exceso de caga positiva y se denomina ion positivo. Si un átomo gana caga negativa queda con un exceso de caga negativa y se denomina ion negativo. 7

Posteio al modelo del átomo de Ruthefod se han desaollado otos modelos que pemiten explica fenómenos físicos que no tienen explicación desde un punto de vista clásico. Paa los temas tatados en este cuso es suficiente con el módelo clásico del átomo de Ruthefod. Electización de los cuepos Los cuepos de pueden electiza po: Fotamiento, contacto o inducción. 1) Caga po fotamiento Si dos cuepos como el vidio y la seda se fotan ente sí, pasa una pequeña cantidad de caga de uno a oto, alteándose la neutalidad eléctica de ambos. En el caso a) el vidio se hace positivo y la seda negativa. El vidio cede electones y la seda gana electones. En el caso b) la ebonita se hace negativa y la piel positiva. La piel cede electones y la ebonita gana electones. 2) Caga po contacto Analizaemos que le sucede a una esfea conductoa colocada en un sopote aislante, al tocala con una vailla que ha sido electizada peviamente. 8

3) Caga po inducción 1) Si se hace contacto en la esfea conductoa con una vailla cagada positivamente, la vailla atae electones de la esfea quedando esta con déficit de caga negativa, po lo tanto cagada positivamente. 2) Si se hace contacto en la esfea conductoa con una vailla cagada negativamente, la vailla cede electones a la esfea quedando ésta con exceso de caga negativa, po lo tanto cagada negativamente. Antes de analiza la electización po inducción, veamos más en detalle el compotamiento de los mateiales conductoes y aislantes. Recodemos que los conductoes poseen electones libes que pueden desplazase a tavés del mateial. Los electones libes en un conducto se desplazan po la atacción de la vailla cagada positivamente. Poduciéndose en el conducto la distibución de cagas que se muesta en la fig. anteio. En cambio en un aislante que no posee electones libes, la acción de la vailla cagada positiva solamente actúa desplazando los centos de caga positiva y negativa de los átomos, fomando dipolos. Como se muesta en la siguiente fig. Dipolo 9

En un átomo sin inteacción con un cuepo cagado los centos de caga eléctica positiva y negativa se encuentas solapados dando como efecto, el compotamiento neuto que tiene el átomo. Veamos ahoa como se poduce la electización de un objeto en un poceso de inducción. Si acecamos a la esfea conductoa una vailla cagada negativamente, tenemos que se poduce la sepaación de cagas que se muesta en la fig. desplazándose los electones al extemo contaio al cual se acecó la vailla. Si conectamos a la esfea un conducto a tiea, se tiene que los electones que están siendo epelidos po la vailla cagada negativamente fluyen a tiea. Quedando, la esfea con un déficit de electones y po lo tanto cagada positivamente. Podemos obseva que al caga elécticamente un conducto po inducción este adquiee caga de signo contaio al objeto utilizado paa poduci la inducción. Obseve que la vailla cagada no toca la esfea conductoa. 10

Poblema 1. Se tiene la configuación de cagas que se muesta en la figua. Enconta la fueza total sobe la caga ubicada en el vétice supeio deecho. Considee: q = 1.0 10 "7 C a = 5.0cm = 5.0 10 "2 m Solución Hagamos una epesentación gáfica de la situación física planteada, dibujando las fueza de atacción y epulsión que actúan sobe la caga 2 de pate de las cagas ubicadas en los otos vétices. Tenemos entonces puesto que dicha caga se encuenta en una situación de equilibio que F 12 = "F 12ˆ i F 32 = +F ˆ 32 j F 42 = "F 42 cos#ˆ i " F 42 sen#ˆ j F T = "( F 12 + F 42 cos# )ˆ i + F 32 " F 42 sen# ( ) ˆ j F T2 = F 12 + F 32 + F 42 ( 1" P1) F 12 =? F 32 =? F 42 =? F 12 = k q 1 q 2 Nm 2 1.0 "10 #7 C = 9 "10 9 a 2 C 2 5.0 "10 #2 m ( ) 2 ( ) = 3.6 2 "10#2 N 11

F 32 = k q 3 q 2 Nm 2 2.0 "10 #7 C = 9 "10 9 a 2 C 2 5.0 "10 #2 m F 42 = k q 4 q 2 a 2 ( ) 2 = 9 "109 Nm ( )( 1.0 "10 #7 C) = 7.2 "10 #2 N ( ) 2 ( )( 1.0 "10 #7 C) = 3.6 "10 #2 N 2 " ( 5.0 "10 #2 m) 2 2 2 "10 #7 C C 2 Reemplazando en (1-P1) los módulos de las fuezas y el ángulo = 45 obtenemos F = ["6.15 #10 "2 i ˆ + 4.65 #10 "2 ˆ j ]N Poblema 2. H-26-3(V), 9(N) Dos bolas similaes de masa m se cuelgan de hilos de seda de longitud l y llevan cagas similaes q como se muesta en la figua. Suponga que es tan pequeña que tg" puede eemplazase po sen po se apoximadamente igual. Haciendo esta apoximación, demosta que: $ q 2 l ' x = & ) % 2"# 0 mg( siendo x la sepaación ente las bolas si l =120cm, m =10g y x = 5.0cm. Cuánto vale q? Datos m 1 = m 2 l =120cm =1.20m q 1 = q 2 m =10g =10 "10 #3 Kg = 0.010Kg l 1 = l 2 x = 5.0cm = 0.05m tg " sen 1 3 Plan de solución Análisis físico de la situación. 12

Situación es simética. Po lo tanto es suficiente analiza la situación de una sola caga. Situación de equilibio. " $ F x = 0 F T1 = 0, F T 2 = 0 # % $ F y = 0 (1-P2) Dibujamos las fuezas que actúan sobe una de las cagas. T, P, F e " $ P = mg # F e = kq 1q 2 % $ Dibujamos un sistema de coodenadas. x 2 Aplicamos las ecuación (1-P2) en ese sistema de coodenadas. Despejamos x. Solución Analizamos la caga 2 " F x = 0 F 12 "Tsen# = 0 k q 2 x 2 "T sen# = 0 (2-P2) " F y = 0 T cos" # mg = 0 T = mg cos" (3-P2) eemplazando (2-P2) en (3-P2) tenemos: kq 2 sen = mg = mgtg = mgsen cos x 2 Consideando que kq 2 x 2 = mgsen" (4-P2) sen" = x 2l k = 1 4"# 0 13

y despejando x de (4-P2) tenemos $ q 2 l ' x = & ) % 2"# 0 mg( 1 3 Poblema 3. H-27-8 Tes pequeñas esfeas de 10g se suspenden de un punto común, mediante hilos de seda de 1.0m de longitud. Las cagas de cada esfea son iguales y foman un tiángulo equiláteo cuyos lados miden 0.1m Cuál es la caga de cada esfea? Datos m =10g = 0.01Kg a = 0.1m q 1 = q 2 = q 3 = q =? x q 1 l z q 2 l a 30 l T d a/2 mg q 3 F 23 F13 30 30 y Solución Po se una situación de equilibio tenemos que F = 0 po lo tanto F y = 0 De la fig. se tienen las elaciones T cos" = F 13 cos 30 + F 23 cos 30 = 2 kq2 cos 30 (1-P3) 2 a F z = 0 Tsen = mg (2-P3) cos = d l y d cos30 = a 2 14

eliminando ente ellas d se obtiene a cos" = 2 l cos 30 = 0.1m 2 (1.0m) cos 30 = 87 Eliminando T de las ecuaciones (1-P3) y (2-P3) tenemos que # mg ctg" a2 q = % $ 2k cos 30 eemplazando los valoes numéicos se obtiene m (0.01 kg)(9.8 )(ctg87 )(0.1 m) 2 1 # & 2 seg q = 2 % 2(9 "10 9 Nm $ 2 ) cos 30 ( = 6.0 "10 )8 C C 2 ' & ( ' 1 2 Campo Eléctico E Campo eléctico es aquello que existe alededo de un cuepo cagado y po medio del cual puede actua con otos cuepos cagados o descagados. Tenemos po la Ley de Coulomb (3T) que la fueza ente cagas puntuales esta dada po F 10 = kq 1q 0 10 2 ˆ 10 (4T) A pati de la expesión (4T ) se define el campo eléctico como E 1 = F 10 = kq 1 2 q 0 10 ˆ 10 (5T) Vemos entonces que el campo eléctico se define en función de la caga que lo poduce. 15

Apliquemos la expesión (5T) al diagama que apaece a la deecha. Tenemos entonces que el campo eléctico poducido po una caga positiva tiene una diección que está a lo lago de la línea que une la caga con el punto donde se desea conoce el campo, y apunta en sentido saliente desde la caga. Dibuje el vecto campo eléctico si la caga que lo poduce es negativa. De la expesion (5T) se obtiene que las unidades del campo eléctico E son N / C. Distibución disceta de caga Dibuje en la fig. a), que apaece más abajo, el campo eléctico poducido en el punto P po cada una de las cagas elécticas que foman esta distibución. Fig. a) Fig. b) Tenemos que el campo eléctico total poducido en el punto P po las cagas elécticas q 1, q 2, q 3 está dado po E T = E 1 + E 2 + E 3 + E 4 (6T) 16

Líneas de campo eléctico o líneas de fueza Un concepto muy útil paa epesenta visualmente la configuación de un campo eléctico es el de la líneas del campo eléctico o líneas de fueza. Michael Faaday no manejó el concepto de campo eléctico como vecto sino que él siempe pensó en función de líneas de fueza. Las líneas de fueza siguen siendo una manea conveniente de epesentase en la mente la foma de los campos elécticos. Expeimento donde se muestan las líneas de fueza de distintas configuaciones. Cagas puntuales del mismo signo. Cagas puntuales de distinto signo. ++++++++++++++++ Láminas paalelas finitas de distinto signo Lámina finita cagada 17

Caacteísticas de las líneas de campo eléctico o líneas de fueza Veamos como se epesenta el campo eléctico po medio de las líneas de fueza. a) b) c) d) e) 1) Tenemos entonces que la tangente a un línea de fueza en un punto cualquiea da la diección de E en ese punto. Veamos como se entiende esto cuando tenemos más de una caga que poduce el campo eléctico. En la fig. de la izquieda se eligió una línea de campo eléctico que une las cagas positiva y negativa, en ella se macó un punto que divide dicha línea siméticamente. En dicho punto se dibujó el campo poducido po la caga eléctica positiva y el campo eléctico poducido po la caga negativa y se obtuvo a pati de esos campos el campo eléctico esultante. De la fig. se puede ve que el campo eléctico esultante es tangente a la línea de campo de esa distibución. 2) Las líneas de fueza se dibujan de modo que el númeo de líneas po unidad de áea de sección tansvesal sea popocional a la magnitud de E. 18

3) Las líneas empiezan y teminan en cagas elécticas. 4) Las líneas de fueza no se cotan. Explique poqué? Poblema 4. H-27-Ejemplo 3 Se tiene la distibución de cagas que se muesta en la figua. Enconta el campo eléctico en el punto P. b) Si >> a dicha configuación constituye un dipolo eléctico, enconta el campo eléctico en el punto P en ese caso. c) Cuál es la diección del campo eléctico? Solución a) Dibujemos en pime luga los campos elécticos poducidos po cada una de las cagas de la configuación en el punto P. Tenemos que E T = E 1 + E 2 E 1 = E 1 cos"ˆ i # E 1 sen"ˆ j E 2 = #E 2 cos"ˆ i # E 2 sen"ˆ j 19

Po lo tanto el campo eléctico total en el punto P esta dado po sen" = tenemos que a a 2 + 2 E T = ( E 1 " E 2 )cos#ˆ i " ( E 1 + E 2 )sen#ˆ j (3-P4) (1-P4) kq E 1 = E 2 = (2-P4) ( a 2 + ) 2 2 cos " = a 2 + 2 Reemplazando las expesiones (2-P4), (3-P4) y (4-P4) en (1-P4) tenemos b) Si >> a 2kqa E T = " ( a 2 + 2 ) 3 2 (4-P4) La distibución de cagas que apaece en la fig. puede se consideada paa efectos de cálculo de campo eléctico como un dipolo. 2kqa 2kqa E T = = ( a 2 + 2 ) 3 2 3 a 2 3 " $ # +1 % 2 2 ' 142 4 & 3 E T " 2kqa Campo eléctico poducido po un dipolo. 3 Cálculo campo eléctico ˆ j Si >>a( a 2 2 )0 Cálculo paa distibuciones de caga continua. En la fig. que apaece a la deecha se pesenta una vailla cagada positivamente. En ella se ha seleccionado un elemento que contiene una caga eléctica dq 1 y se ha dibujado en el pto. P el campo eléctico de 1 poducido po dicho elemento de caga. Dibuje en el pto. P el campo eléctico poducido po los elementos de caga dq 2 y dq 3. de 1 dq 1 * 2kqa 3 P dq 2 dq 3 (5-P4) 20

Tenemos po lo tanto que el campo eléctico total E T poducido en el pto. P está dado po las contibuciones de todos los elementos de caga eléctica de la vailla. E T = d E " po toda la distibución de caga Si se intoduce un sistema de coodenadas x, y. E T = E Txˆ i + E Ty j ˆ Donde E Tx = de x Tenemos que dq epesenta un elemento abitaio de caga, el cual ecoe toda la vailla duante la integación. Si designamos como ángulo α, al ángulo fomado po el vecto de y el sentido positivo del eje x, tenemos paa ese sistema de coodenadas y ese ángulo. Donde E Tx = " de x = " de cos# Densidad de caga eléctica " de = k dq E Ty = dq E Ty = y " de P de y a) Densidad lineal ". Po Ej.: vaillas, alambes. = q L 2 " de y = " desen# x (12T) b) Densidad supeficial. Po Ej.: Discos, planos. " = q S c) Densidad volumética. Po Ej.: Esfeas, cilíndos. " = q V El elemento dq que apaece en (12T) depende de la densidad de la distibución. dq 14 = 2 "dl dq = " ds dq = " dv 43 14 243 14 243 lineal supeficial volumética 21

Poblema 5 Se tiene una vailla de longitud L, que está cagada con una densidad lineal de caga. Enconta el campo eléctico E en el punto P que se muesta en la figua. Solución En las siguientes figuas se han epesentado gáficamente algunos pasos a segui en la esolución de este tipo de poblemas. En la fig. a) se indica la posición del punto P donde se desea calcula el campo eléctico En la fig. b) se ha dibujado un elemento abitaio de caga eléctica y el difeencial de campo eléctico coespondiente en el pto. P. En la fig. c) se ha intoducido un sistema de coodenadas, en el cual uno de sus ejes pasa po el pto. P donde se pide calcula el campo eléctico. En la fig. c) se han expesado las distintas vaiables del poblema en función del sistema de coodenadas intoducido. 22

Tenemos que Donde E Tx = " de 12 3 x po toda la vailla cag ada E T = E Txˆ i + E ˆ Ty j E Ty = " de 12 3 y po toda la vailla cag ada E Tx = $ de x = " $ de sen# (1-P5) de =? sen =? cos" =? E Ty = # de y = # de cos" (2-P5) de = kdq x 2 + h 2 dq = "dx # de = k"dx x 2 + h 2 (3-P5) sen" = x x 2 + h 2 (4-P5) cos" = h x 2 + h 2 (5-P5) a) Cálculo de E Tx Reemplazando en (1-P5) las expesiones de (3-P5) y (4-P5) tenemos E Tx = "k# 2 L 3 $ " L 3 xdx cambio de vaiable x 2 + h 2 x 2 + h 2 = z 2xdx = dz ( ) 3 2 E Tx = " k# 2 z "3 2 $ dz = k#z "1 2 = k# 2 L 3 x 2 + h 2 " L 3 $ E Tx = k" & & % 1 # 4L 2 9 + h2 1 L 2 9 + h2 ' ) ) ( E Ty b) Cálculo de Reemplazando (3-P5) y (5-P5) en (2-P5) tenemos 23

E Ty = k"h 2 L 3 dx & ( x 2 + h 2 ) 3 2 cambio de vaiable 14 243 x = h tg" % L 3 h 3 ( tg 2 #+1) 3 2 ( ) 32 =h 3 $sec 3 # h 3 sec 2 # dx = h sec 2 " d" E Ty = k"h hsec2 #d# $ h 3 sec 3 = k" # h d# $ = k" sec# h $ cos#d# E Ty = k" h sen# = k" h x 2L 3 x 2 + h 2 $L 3 Reemplazando E Tx y E Ty = k" # & % 2L h + L ( % $ 3 4L2 9 + h2 3 L2 9 + ( h2 ' E Ty en E T = E Txˆ i + E ˆ Ty j tenemos paa el campo eléctico poducido po la vailla en el pto. P la siguiente expesión * $, E T = k" + &, & -% 1 # 4L 2 9 + h2 1 L 2 9 + h2 ' $ ) i ) ˆ + & & ( % 3h 2L 4L2 9 + h2 + 3h L L2 9 + h2 '. ) ) ˆ, j / (, 0 Poblema 6, H-27-22, N 32 Un disco delgado de adio a está cagado unifomemente y su caga po unidad de áea es enconta el campo eléctico en el eje del disco a una distancia h de éste. h a 24

Solución En la solución de este poblema pesentaemos dos pocedimientos. Pocedimiento 1 El disco se puede subdividi en anillos de áea ds = 2"d Se intoduce el sistema de coodenadas que se indica en la fig. donde el disco se encuenta en el plano xy y el eje del disco está ubicado a lo lago del eje z. Se dibuja el campo eléctico poducido po dos elementos siméticos del anillo como se muesta en la fig. Consideando que E = de tenemos " E = " de = " desen# = 0 (po simetía) E z = " de z = " de cos# Po lo tanto solo es necesaio calcula la componente z del campo eléctico E z = # de cos" (1-P6) de =? cos" =? de = kdq h 2 + 2 Reemplazando en (1-P6) tenemos k"ds ( ) = 2 ( h 2 + ) = 2 2 cos" = h h 2 + 2 k" 2#d h 2 + 2 25

a E z = k"h2# $ d (2-6P) 0 h 2 + 2 ( ) 3 2 cambio de vaiable h 2 + 2 = u 2d = du E z = k"h# h 2 +a 2 du $ = k"h2# %u %1 2 h 2 u 3 2 ( ) h 2 h 2 +a 2 & = %k"h2#( ' 1 % 1 ) h 2 + 2 h + * % E z = "k#h2$' & 1 h 2 + " 1 ( * 2 h) (3-P6) Pocedimiento 2 En este caso el elemento de caga ds es el que se indica en la fig. y coesponde a d dl Donde d d" = dl ds = dld = d"d eemplazando en (1-P6) tenemos de = k"d#d h 2 + 2 cos" = 2% a d#d d E z = k"h $$ = k"h $ d# $ h 2 + 2 0 0 ( ) 3 2 h h 2 + 2 al intega po " se obtiene el mismo integal (2-P6) ( h 2 + 2 ) 3 2 26

E z = k"h2# d ( h 2 + 2 ) 3 2 el cual nos pemite llega a la expesión (3-P6) obtenida anteiomente. Analice el esultado obtenido, en los siguientes casos: a) a " b) a 0 a $ 0 a) Si a " el disco se conviete en un plano infinito. ' lim E z = lim $k%h2& a"# a"# ( )) ( 1 h 2 + a $ 1 *, = k% 2& 2 h+ ya que k = 1 lim E z = $ 4"# a"# 0 2% 0 Campo eléctico poducido po un plano infinito E z = 2" 0 b) Si a 0 el disco se conviete en una caga puntual. Consideemos un disco de = a que tiene una caga caga " está dada po lo tanto po " = Q #a 2 Tenemos po lo tanto de (2-P6) # E z = "2khQ h2 + a % 2 % $ ( ) " 1 2 a 2 " h "1 & ( ( ' Q, la densidad de a 0 " E z = 0 0 $ lim E z = lim #2khQ & a"0 a"0 & % ( ) #3 22a ( ) # 1 2 h 2 + a 2 E = kq h 2 2a ' ) ) = kq h ( 2 27

Campo eléctico poducido po una caga puntual a una distancia ella. h de Poblema 7 Se tiene un semianillo de adio a, que tiene una caga Q unifomemente distibuida. Enconta el campo eléctico E en el punto O que se indica en la figua. o a Solución En pime luga dibujemos el campo eléctico poducido en el punto O po un elemento dl y analicemos la simetía del poblema. E = E xˆ i + E ˆ y j y de de d dl x E y = 0 po simetía E x = " $ de cos# (1- P7) de = kdq a 2 dq = "dl = Qad# a$ = Qd# $ Entonces de = kqd" #a 2 Reemplazando esta expesión en (1-P7) tenemos E x = " kq # 2 % #a 2 cos$d$ = " kq #a 2 sen$ # 2 "# = " 2kQ 2 #a 2 "# 2 28

E x = " 2kQ #a 2 E = " 2kQ i ˆ #a 2 Flujo campo eléctico " E El flujo (cuyo símbolo es ") es una popiedad de todos los campos vectoiales. A nosotos nos inteesa el flujo " E del campo eléctico. Consideemos en pime luga un campo eléctico cuyo valo y diección es unifome en cieta egión del espacio. Las líneas de campo de este tipo se muestan en la fig. Consideemos la supeficie ectangula de áea A, pependicula al campo eléctico indicado en la fig. Puesto que el númeo de líneas po unidad de áea tansvesal es popocional al valo del campo eléctico, el númeo de líneas que ataviesa esta supeficie es popocional al poducto del campo eléctico E po el áea A N " EA # El poducto de la intensidad del campo eléctico po el áea de una supeficie pependicula al campo se denomina flujo del campo a tavés de esa supeficie. " E = EA # (13T) Si tenemos una supeficie que no es pependicula al campo eléctico la expesión (13 T) se puede escibi como " E = EAcos# (14 T) Donde el ángulo es el ángulo que se muesta en la fig. A cos A Puesto que el campo eléctico es un vecto, si definimos el áea A como un vecto podíamos escibi la expesión (14 T) como un poducto escala ente el campo eléctico E y el áea A. E 29

Se define como A a un vecto que tiene como magnitud el áea diección es pependicula a ella. A y su A A E Entonces podemos escibi el flujo del campo eléctico como E = E " A A cos A A Ejecicio a) Se tienen tes supeficies en un campo eléctico unifome como muesta la fig. esciba el flujo a tavés de cada una de ellas. " 1 = E # A 1 = EA 1 cos0 = EA 1 " 2 = E # A 2 = EA 2 cos90 = 0 " 3 = E # A 3 = EA 3 cos$ = EA 1 A 3 cos" = A 1 # 1 = # 3 Ejecicio b) Se tiene una cuepo fomada po las tes supeficies planas que se muesta en la fig. anteio, ahoa unidas ente si, más dos supeficies paalelas que ciean dicho cuepo fomando una supeficie ceada. La vista tansvesal de este cuepo se muesta en la siguiente figua. 30

Enconta el flujo a tavés de cada una de las caas de este cuepo. A o En una supeficie ceada el vecto supeficie. d A es define saliente de dicha " 1 = EA 1 cos# < 0% & " 2 = EA 2 cos$ < 0' Entante " 3 = E # A 3 = EA 3 cos0 = EA 3 > 0 4 = 5 = 0 Saliente Flujo de campo eléctico a tavés de supeficies no planas Si deseamos calcula el flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie que no es plana, no tenemos en este caso un único vecto que epesente la supeficie a tavés de la cual queemos calcula el flujo, po lo tanto debemos subdividi dicha supeficie en pequeños elementos que podamos considea planos. Consideemos la supeficie abieta que se muesta en la fig. E E En este caso el flujo del campo eléctico está dado po la siguiente expesión " E = $ E # da (15 T) Si se tata de una supeficie ceada (15 T) se escibe como " E = $ E # da (16 T) donde el ciculo sobe el signo de integación indica que se tata de una supeficie ceada. da 31

Ley de Gauss Calcule el flujo a tavés de una supeficie de adio caga puntual q. Tenemos que el flujo está dado po " E = $ E # ds El ángulo que foma Po lo tanto " E = $ E # ds = $ EdS cos0 = kq $ ds = R 2 R que odea a una E con ds es 0. El campo eléctico sobe la supeficie de adio R es el poducido po la caga puntual puntual q. E = kq R 2 Consideando que k = 1 tenemos finalmente que 4" 0 kq R 2 4%R2 = kq4% " E = q # 0 Si calculamos el flujo del campo eléctico a tavés de una esfea de adio 2R, tenemos en este caso que el campo eléctico sobe dicha supeficie está dado po E = kq (2R) 2 Po lo tanto " E = # E ds = EdS cos0 = kq kq # # ds = (2R) 2 (2R) 2 4$(2R)2 = kq4$ = q % 0 O sea que el flujo a tavés de una supeficie ceada no depende del tamaño de la supeficie, sino que depende solamente de la caga enceada po dicha supeficie. 32

" E = # E ds = q Ley de Gauss (17-T) $ 0 La ley de Gauss es válida independientemente de la posición de la caga q dento de la supeficie y de la foma de ésta. La caga q epesenta la caga total enceada po la supeficie que denominaemos Supeficie Gaussiana. Conducto cagado aislado en equilibio electostático Expeimentalmente de puede obseva que el exceso de caga eléctica en un conducto yace en su supeficie extena. Este hecho se puede explica utilizando la ley de Gauss. La fig. epesenta una sección tansvesal de un conducto aislado que tiene un exceso de caga q. La línea intena muesta la supeficie gaussiana que se encuenta a poca distancia de la supeficie eal del conducto. Aunque la supeficie gaussiana puede esta tan ceca de la supeficie eal como se desee, es impotante ecoda que se encuenta dento del conducto. Si un conducto ecibe caga eléctica, en su inteio se poducián campos elécticos. Estos campos actuaán sobe los electones libes del conducto y haán que se muevan po un intevalo de tiempo muy coto hasta que los campos elécticos en el inteio del conducto se anulen en todas pates y se establezcan condiciones electostáticas. Recodemos que la fueza que actúa sobe una patícula cagada en un campo eléctico está dada po F = qe. Si, en condiciones de equilibio electostático el campo eléctico E es ceo en todos los puntos intenos del conducto, también debe se ceo en todos los puntos situados sobe la supeficie gaussiana, debido a que esta supeficie se encuenta en el inteio del conducto. Aplicando la ley de Gauss a dicha supeficie y consideando que E = 0 en ella tenemos 33

# E " ds = q = 0 $ 0 " q = 0 O sea la caga enceada po la supeficie gaussiana es nula. Entonces si el exceso de caga no está dento de esa supeficie, solamente puede esta fuea de ella; esto es debe encontase sobe la supeficie eal del conducto. Ota popiedad que pesenta un conducto en equilibio electostático es que el campo eléctico E es pependicula a su supeficie. En la fig. apaecen dibujados dos campos elécticos sobe la supeficie del conducto, uno pependicula y oto que no es pependicula a su supeficie Paa analiza que sucedeía si el campo no fuea pependicula a la supeficie, descomponga ese vecto campo eléctico en dos componentes una tangencial y ota pependicula a la supeficie. Analice que efecto poduce sobe los electones libes del conducto cada una de esas componentes. Solución de Poblemas utilizando la Ley de Gauss La ley de Gauss es útil paa calcula campos elécticos en aquellos casos en que la distibución de cagas tenga cieta simetía que nos pemita coloca una supeficie auxilia paa aplica Gauss, y en la cual el módulo del campo eléctico sea constante. Veamos po ejemplo el caso de un alambe infinito cagado unifomemente. Se entiende po alambe infinito, paa los efectos de cálculo de campo eléctico, a un alambe en el cual el punto en el cual se desea enconta el campo está a un distancia h tal que h << L Tenemos que las líneas de campo eléctico de un alambe infinito cagado positivamente son las que apaecen en las siguientes figs. p L h 34

Esta distibución de las líneas nos pemite deci que un alambe infinito cagado tiene simetía cilíndica; si ealizamos un gio del alambe entono a su eje, no cambia la situación física en los puntos alededo de él. Po pesenta el alambe simetía cilíndica la supefice gaussiana que es conveniente considea esta constituída po el manto de un cilindo y dos tapas que ciean dicha supeficie. Recuede que la Ley de Gauss se aplica a una supeficie ceada. Tenemos que esta supeficie es conveniente puesto que el módulo del campo eléctico en el manto del cilindo tiene el mismo valo po encontase todos los puntos de esta supeficie a la misma distancia del alambe. El mismo análisis podemos ealiza en el caso de un cilindo infinito cagado unifomemente. De foma simila podemos pocede paa enconta la supeficie gaussiana adecuada en el caso de un esfea cagada unifomemente. Poblema 8 Se tiene un alambe infinito de densidad lineal. Enconta el campo eléctico E poducido po dicho alambe. Solución En pime luga dibujamos una supeficie gaussiana auxilia que sea apopiada paa el tipo de simetía que tiene este poblema. 35

Dicha supeficie es una supeficie cilíndica S 1 ceada po dos tapas S 2 y S 3 como se muesta en la fig. Dibujamos posteiomente los vectoes campo eléctico E y de supeficie S o ds en cada una de las supeficies que foman la supeficie ceada a la cual aplicaemos la Ley de Gauss. Tenemos que " E = $ E # ds = q (1-P8) % 0 donde q es la caga total enceada po una supeficie ceada. Aplicando (1-P8) a este poblema tenemos " E 1 # ds 1 + " E 2 # ds 2 + " E 3 # ds 3 = $L % 0 " E 1 ds 1 cos0 + " E 2 ds 2 cos90 + " E 3 ds 3 cos90 = #L $ 0 " E 1 ds 1 cos0 = E 1 " ds 1 = E 1 2#L = $L % 0 E = 2"# 0 E 1 2"L = #L $ 0 E = ˆ 2"# 0 Poblema 9 Se tiene una esfea maciza, no conductoa cagada con una caga q unifomemente distibuida en ella. Enconta el campo eléctico E a) Paa puntos fuea de la esfea b) Paa puntos dento de la esfea > a < a a 36

Solución a) Tenemos que paa enconta el campo eléctico paa puntos que se encuentan fuea de la esfea colocamos una supeficie gaussiana esféica fuea de ella con un adio > a como se muesta en la fig. Aplicando Gauss tenemos # E " ds = q $ 0 # E " ds = # EdS cos0 = E # ds = E4$ 2 = q % 0 q E = 4"# 0 = kq E = kq 2 2 ˆ 2 La esfea paa puntos fuea de ella se compota como si fuea como una caga puntual ubicada en el cento. Solución b) Tenemos que paa enconta el campo eléctico paa puntos que se encuentan dento de la esfea colocamos una supeficie gaussiana esféica dento de ella con un adio < a como se muesta en la fig. Aplicando Gauss tenemos # E " ds = # EdS cos0 = E # ds = E4$ 2 = q % & 0 q es la caga enceada po la supeficie Gaussiana. q " = # V " = q V V " = q 4 3 $a 3 4 3 $ 3 = q 3 a 3 E4" 2 = q 3 E = kq # 0 a 3 a ˆ 3 Repesenta el campo eléctico en un gáfico E vs. 37

Poblema 10 Se tiene un cilindo infinito no conducto de adio a y densidad de caga volumética unifome. Enconta el campo eléctico E a) dento del cilindo b) fuea del cilindo. a Solución a) Tenemos que paa enconta el campo eléctico paa puntos que se encuentan dento del cilindo, colocamos una supeficie gaussiana cilíndica dento de él con un adio < a como se muesta en la fig. Aplicando Gauss tenemos # E " ds = q $ % 0 donde q es la caga enceada po la supeficie Gaussiana. q " = # V " V " = $ 2 L Po lo tanto E 2 "ds 2 E 3 "ds 3 E 1 " d 6 70 8 # S 1 + E 2 " ds 6 70 8 # 2 + # E 3 " ds 3 = $%2 L & 0 E = " 2# 0 " E 1 ds 1 cos0 12 3 = E 1 " ds 1 = E 1 2#L = $#2 L 1 % 0 E = ˆ 2" 0 38

Solución b) Tenemos que paa enconta el campo eléctico paa puntos que se encuentan fuea del cilindo colocamos una supeficie gaussiana cilíndica fuea de él con un adio > a como se muesta en la fig. Aplicando Gauss tenemos " E ds = q siendo # 0 q = "V V = #a 2 L E = "a2 2# 0 E 2 "d S 2 E 3 "ds 3 E 1 " d 6 70 8 # S 1 + E 2 " ds 6 70 8 # 2 + # E 3 " ds 3 = $%a2 L " E 1 ds 1 cos0 = E 1 2#L = $#a2 L % 0 & 0 E = a 2 2" 0 ˆ Poblema 11 Calcula el campo eléctico poducido po un plano infinito delgado no conducto que tiene una densidad supeficial unifome. Solución Dibujamos las líneas de campo eléctico poducidas po el plano infinito delgado, paa enconta la supeficie gaussiana más apopiada paa aplica la ley de Gauss. 39

Po las caacteísticas que pesentan esas líneas una supeficie gaussiana páctica puede se la indicada en la fig. Aplicando Gauss tenemos " E ds = q donde q es la caga enceada po la supeficie gaussiana y # 0 coesponde a la pate de la lámina inteceptada po el cilindo auxilia. E 1 " da # 1 + E 2 " da # 2 + # E 3 " da 3 = $A % 0 " E 1 da 1 cos0 + " E 2 da 2 cos0 + " E 3 da 3 cos90 = #A $ 0 E 1 = E 2 = E 2" EdA = 2E " da = 2EA = #A $ 0 A 1 = A 2 = A E = " 2# 0 E = ± " ˆ j 2# 0 Poponga otas supeficies gaussianas paa utiliza en el desaollo de este poblema. Analice ventajas y desventajas de cada una de ellas. 40

Expesiones útiles al usa la Ley de Gauss Bibliogafía ecomendada Halliday D. y Resnick R. - Física Pate II Tiple P. A. Física Tomo II Seway R. A. y Beichne R. J. Física Tomo II Wilson J. D. Física Hewitt P. G. Conceptos de Física Máximo A. y Alvaenga B. Física Geneal. Tippens P. E. Física. Conceptos y Aplicaciones 41