Simplificación de radicales

Simplificación de radicales

Raiz Cuadrada El opuesto de cuadrar es tomar la raiz cuadrada de un número. Un número b es una raiz cuadrada de otro número a, si b 2 = a. 9 porque 2 9 64 8 porque 8 2 64 Martin-Gay, Developmental Mathematics 2

Raiz Cuadrada Principal La raiz cuadrada principal (positiva) se denota a La raiz cuadrada negativa se denota a 9 es la raiz cuadrada negativa de 9 Martin-Gay, Developmental Mathematics

Raiz Cuadrada Principal NOTA: 9 NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que a existe en los reales si a > 0. Martin-Gay, Developmental Mathematics 4

Ejemplos 49 7 25 16 5 4 4 2 0. 25 0. 5 Martin-Gay, Developmental Mathematics 5

Cuadrados perfectos La raiz cuadrada de un radicando que es un cuadrado perfecto se simplifica a un número racional (números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros.). Los primeros11cuadrados perfectos 0,1, 4, 9,16, 25, 6, 49, 64, 81 son : y sus raíces cuadradas son : 0 0, 1 1, 4 2, 9 16 4, 25 5, 6 6, 49 7, 64 8, 81 9 Martin-Gay, Developmental Mathematics 6

Cuadrados perfectos Raíces cuadradas de radicandos que NO son cuadrados perfectos ( 2, 7, 10, etc ) son números irracionales. Podemos conseguir una aproximación decimal a éstos radicales, si el ejercicio lo pide. Su valor exacta solo se puede representar en forma de radical. Martin-Gay, Developmental Mathematics 7

Raíces cúbicas La raiz cúbica de un número real a es a b si y solo si b Nota: Para las raíces cúbicas, NO se restringe el valor del radicando a valores positivos. porque = 27 27 a 64 4 porque (-4) = -64 125 5 porque (-5) = -125 Martin-Gay, Developmental Mathematics 8

Raiz enésima En general,podemos determinar otras raíces. La raiz enésima se define como: n a b, si y solo si b n a Si el índice, n, es par, la raiz NO es un número real cuando a es negativa. Si el índice, n, es impar, la raiz es SIEMPRE un número real no importa el signo de a. Martin-Gay, Developmental Mathematics 9

Raiz enésima - ejemplos 5 2 2 porque (-2) 5 = -2 4 256 4 porque (4) 4 = 256 6 729 porque () 6 = 729 2 2 5 24 porque ( 2 )5 = 2 24 Martin-Gay, Developmental Mathematics 10

Ejercicios: Simplificar las siguientes expresiones: 4 81 1000.01 8 1 4 9 Martin-Gay, Developmental Mathematics 11

Propiedad #1: Si n a R n b R y entonces, n a b n n a b Martin-Gay, Developmental Mathematics 12

Ejemplos: a) 16 25 16 25 4 5 b) 8 1000 8 1000 2 10 1 5 c) 2 16 16 2 8 1 1 2 d) 81 4 16 4 4 81 16 2 Martin-Gay, Developmental Mathematics 1

Simplificación de radicales Al simplificar radicales pueden surgir varias situaciones: Raíces racionales Ráices irracionales Raíces de números compuestos que tienen algún factor con una raiz perfecta 121 = 11 2 8 = 2 2 0.125 = 0.5 10 27 = 5 2 = 2 4 90 = 2 10 Martin-Gay, Developmental Mathematics 14

Propiedad #2: Si n a R y b R n entonces, n a b n a n b Martin-Gay, Developmental Mathematics 15

Cuadrados perfectos Cubos perfectos 1 2 = 1 11 2 = 121 1 = 1 2 2 = 4 12 2 = 144 2 = 8 2 = 9 1 2 = 169 = 27 4 2 = 16 14 2 = 196 4 = 64 5 2 = 25 15 2 = 225 5 = 125 6 2 = 6 16 2 = 256 6 = 216 7 2 = 49 17 2 = 289 7 4 8 2 = 64 18 2 = 24 8 512 9 2 = 81 19 2 = 61 9 729 10 2 = 100 20 2 = 400 10 1000 Martin-Gay, Developmental Mathematics 16

Simplificación de radicales Si un número compuesto NO es un cuadrado perfecto pero tiene un factor que es cuadrado perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede simplificar usando la propiedad anterior. Ejemplo: Simplificar 27 Solución: Como 27 = 9 podemos decir que 27 = 9 y por la propiedad anterior 27 = 9 = 9 = Martin-Gay, Developmental Mathematics 17

Simplificación de radicales Ejemplo: Simplificar 90 Solución: Como 90 = 9 10 podemos decir que 90 = 9 10 y por la propiedad anterior = 9 10 = 9 10 = 10 Ejemplo: Simplificar 200 Solución: Como 200 = 100 2 podemos decir que 200 = 100 2 y por la propiedad anterior 200 = 100 2 = 100 2 = 10 2 Martin-Gay, Developmental Mathematics 18

Simplificación de radicales Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si un número compuesto tiene un factor exponencial, con potencia igual al índice del radical entonces su raiz enésima se puede simplificar usando la propiedad #1 anterior. Ejemplo: Simplificar 250 Solución: Como 250 = 125 2 y 125 = 5, entonces 250 = 125 2 = 5 2 = 5 2 = 5 2 Martin-Gay, Developmental Mathematics 19

Simplificación de radicales Ejemplo: Simplificar 2 Solución: Como 2 = 8 4 y 8 = 2, entonces 2 = 8 4 = 2 4 = 2 4 = 2 4 Ejemplo: Simplificar 75 Solución: Como 75 = 125 y 125 = 5, entonces 75 = 125 = 5 = 5 = 5 Martin-Gay, Developmental Mathematics 20

Práctica ( a) 40 4 10 2 10 b (c) 5 16 15 5 16 5 4 No tiene un factor cuadrado perfecto, por lo tanto no simplifica más-. ( d) 16 82 8 2 ( e) 64 64 4 2 2 Martin-Gay, Developmental Mathematics 21

Práctica Expresar cada radical en su forma más simple. Martin-Gay, Developmental Mathematics 22