CAPÍTULO II 7 RELACIÓN ENTRE PUNTOS DE UNA RECTA Y NÚMEROS REALES Longitud de un segmento Admitiremos las siguientes proposiciones: a) Dado un segmento cualquiera AB de una recta, y dado otro segmento u al que llamamos segmento patrón o unidad de longitud, se puede medir el segmento AB con la unidad u obteniendo un número positivo llamado longitud de AB, o distancia de A a B, o cantidad de longitud de AB. b) Dos figuras son congruentes cuando pueden llegar a coincidir transportando una sobre la otra mediante un movimiento. Dos segmentos congruentes tienen igual longitud. En particular, la longitud de AB es igual a la de BA. c) Llamamos suma de dos segmentos AB y CD al segmento AD que se obtiene colocándo los uno a continuación de otro, de for ma que no se superpongan. La longitud de AD es la suma de las longitudes de AB y de CD. Inversamente, la longitud de AB es la de AD menos la de CD. Recta orientada o recta con sentido Admitiremos que: a) Se puede definir un sentido en una recta como sentido positivo: de forma que dados dos puntos de ella A y B se puedo decir siempre si A precede a B o si B precede a A (en el dibujo, A precede a B).
8 b) Un segmento como AB, en que su origen A precede a su ex tremo B, se considerará segmento positivo, mientras que el segmento BA se considerará negativo. Longitud algebraica de un segmento Dado un segmento AB en una recta orientada, llamamos longitud algebraica de AB, a la distancia AB, afectada del signo + ó - según AB sea positivo o negativo; la representaremos por AB Corolario: AB = - AB Corolario: distancia AB = I AB I Teorema I I-1 (Teorema de Chasles): En una recta orientada, AB + BC + CA = 0 cualesquiera de la recta, siendo A, B y C puntos Demostración: AB + BC = AC (Compruébese tanto si C está entre A y B, como si C está en la prolongación de AB, como si C está en la prolongación de BA). Como: AC = - CA Resulta: AB + BC = - CA Abscisa de un punto Dado un punto O fijo en una recta orientada, al que llamamos origen de abscisas, se llama abscisa de un punto A a la longitud algebraica OA. La abscisa puede ser positiva, negativa y nula (la del mismo punto O). Teorema II-2 La longitud algebraica de un segmento es la abscisa del extremo menos la abscisa del origen de dicho segmento. Dem: Sea un segmento AB. En virtud del teorema de Chasles OA + AB = OB ; AB = OB - OA Corolario: La abscisa del punto medio de un segmento es la semisuma de las abscisas de los extremos.
9 Si M es punto medio de AB AM = MB o sea OM - OA = OB - OM ; OM = OA + OB 2 Magnitud Cantidad Magnitud es la propiedad común a todos los elementos de un conjunto, que hace que puedan ser medidos tomando una unidad del mismo conjunto. Así, el conjunto de todos los segmentos, tiene la magnitud que llamamos longitud. En general, para que un conjunto tenga magnitud, o sea medible, es preciso que entre sus elementos se pueda definir la igualdad y la suma, tal como hemos hecho con los segmentos. Los segmentos de rectas orientadas tienen la magnitud longitud algebraica. Al resultado de una medida, se le llama en general cantidad. En nuestro caso, de segmentos, le podemos llamar también longitud o longitud algebraica igual que a la magnitud. Una magnitud cuyas cantidades son siempre positivas, se llama magnitud escalar. En caso contrario (es el caso de la longitud algebraica) se llama magnitud vectorial.
EJERCICIOS CAPÍTULO II Ejercicios resueltos II -1. A, B y C son tres puntos de un eje. C está entre A y B. La distancia de C a A es 6 veces la distancia de C a B. Encontrar una fórmula que exprese la abscisa de C, X C, en función de X A y X B. Resolución: x C x A = 6 (x B x C ) x despejando x = A + 6x B C 7 II -2. Si P, A, B y C son cuatro puntos de u na recta orientada, demostrar que: (PA) 2 2 BC + (PB) CA + (PC) 2 AB + BC x CA x AB = 0 Resolución: Tomamos P como origen, sin perder generalidad, porque las distancias entre puntos no dependen del origen. Sea a la abscisa de A, b y c las de B y C. PA = a BC = c - b etc; substituyendo en el primer miembro de la igualdad propuesta: a 2 (c - b) + b 2 (a - c) + c 2 (b - a) + (c - b) (a - c) (b - a) efectuando las operaciones indicadas, se obtiene el valor 0. Ejercicios propuestos II -3. Resuelva el Problema I I -1 si la distancia de C a A es m veces la de C a B. X mx A + B ( R : xc = ) 1 + m II -4. Idem si el punto C es exterior a AB. ( R : x c X mx A B = 1 m
11 II -5. A, B, C y D son puntos de un eje, tales que AB = -8; BC = 16; CD = -7 Calcular las abscisas de B, C y D si se toma A como origen. (R.: X A = 0; X B = -8; X C = 8; X D = 1). II -6. En el ejercicio anterior, cuáles serían las abscisas si se cambia el sentido del eje, conservando el origen en A? (R.: x A = 0; x B = 8; x C = -8; x D = -1).