UNIDAD #1: CONJUNTOS NUMERICOS El concepto de conjunto es una de las ideas más útiles del álgebra ya que ayuda extender y a generalizar toda la aritmética, como veremos a través de la enseñanza de este útil concepto. 1.1 Conjuntos: Definición y anotaciones Definición: Se entiende por conjunto la reunión, agrupación o colección de objetos o entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sí, a los que se denomina elementos. Ejemplos: el conjunto de los 12 meses del año, el de los países pertenecientes a la ONU, el de los ríos de un país, el conjunto de los números enteros, entre otras. Anotaciones: Un conjunto usualmente se representa por cualquier letra mayúscula, la cual se igualará la lista de los elementos del conjunto, separados por comas, y encerradas entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de números naturales se puede representar como: N = {1, 2, 3, 4,...}. Aquí, los tres puntos significan que el conjunto tiene un número infinito de elementos, es decir que no se pueden contar. Hay otra anotación más formal para designar conjuntos, es a través de describirse una propiedad común a todos sus elementos, en la siguiente forma: A = {X X "tiene una propiedad común"} La cual se lee: A del conjunto de cosas X. tales que ( ) X. tiene la propiedad descrita. Por ejemplo, A = {X. X. "es un día de la semana"} si además de este método de representación, llamado descriptivo, queremos el anterior método, llamado del listado, para representar a A, tenemos: A = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}
Algunos ejemplos de conjuntos son: = Conjunto de los Números Naturales. = { 0, 1, 2, 3,... } El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios. = Conjunto de los Números Enteros. = {,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3,... } En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor de cero. Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a a cada punto que representa un numero natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. = conjunto de los números racionales. Un número racional es aquel que puede ser expresado como el cociente de dos números enteros, donde el denominador es diferente de cero. Ejemplos: -1/2, 5/4 = conjunto de los números irracionales. = { x / x no es racional} Un número irracional es cualquier número real que no es racional. Ejemplos = 5, 7, = conjunto de los números reales. = U U U La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo, simbólicamente escribimos: = { x / x ε Q v x ε I }. Ejemplo = -1/2, 5, 7, 5 En resumen, el siguiente diagrama ilustra los diferentes conjuntos numéricos que estaremos utilizando en este curso.
Clases de conjuntos: conjunto vació, conjunto unitario, conjunto disjunto, conjunto no disjunto, conjunto universal. 1.2 Igualdad de Conjuntos Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, aunque no estén dispuestos en el mismo orden. 1.3 Subconjuntos Dados dos conjuntos A y B dentro de un conjunto universal, decimos que B es subconjunto de A, o también que es parte de A, si todos los elementos de B son elementos de A, y se puede apreciar así 1.4 Operaciones con conjuntos ( Unión, intersección, complementación y diferenciación) Mientras que en la aritmética se realiza las operaciones de la suma, resta y multiplicación, en el caso de conjuntos se realiza operaciones de unión, intersección y diferenciación de conjuntos, con un comportamiento similar al de la aritmética, pero no se toma en cuenta estrictamente las operaciones de subconjunto o igualdad de conjuntos. La Unión de dos conjuntos A y B: es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A al conjunto B o ambos conjuntos. Se denota A U B. A = {10, 20, 30, 40, 60, 80, 100} B = {30, 50, 70, 80, 90} Entonces, A U B = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100} La Intersección de dos conjuntos A y B: es el conjunto formado por todos los elementos comunes del conjunto A y del conjunto B. Se denota A B = {,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...} = {0, 1, 2, 3,...} Entonces, = { }
La diferenciación de dos conjuntos A y B: es decir, la diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por elementos del conjunto A que no son elementos del conjunto B. Se denota A B. A = {m, x, z} B = {n, x, t, g, l, f} Entonces, A B = { } La complementación de del conjunto A y el conjunto universal U: es decir, el complemento del conjunto A, es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen al conjunto A. Se denota A B = { x, t, g } U = { n, x, t, g, l, f } Entonces, B = { U - B } = { } 1.5 Aplicaciones Prácticas. En una encuesta realizada para analizar la preferencia del público por los productos A, B y C, se obtuvo los siguientes resultados: 60 prefieren A; 59 prefieren B ; 50 prefieren C ; 38 prefieren A y B ; 25 prefieren B y C ; 22 prefieren A y C ; 10 prefieren A, B y C. Preguntas: a) Cuántas personas prefieren solo dos productos?, b) Cuántas personas prefieren los productos A y B pero no C? c) Cuántas personas prefieren los productos B y C pero no A?, d) Cuántas personas prefieren los productos A y C pero no B?, e) Si el numero total de encuestados es 100, Cuántas personas no prefieren ninguno de los productos? f) Cuantas personas prefieren sólo A, sólo B, ó sólo C Solución
ASIGNACIÓN # 1 : CONJUNTOS NUMÉRICOS. I- Sean los siguientes conjuntos: = { x / x no es racional} = U U U Verificar si es subconjunto o no es subconjunto ( ) N Z Z Z + I Q Q I Z R R Q II- Realice las siguientes operaciones de conjuntos y grafiqué: A = { a, c, d, e, f, h, l } B = { a, b, f, g, h, i, l } C = { a, d, f, g, j, l } U = { a, b, c, d, e, f, g,h, i, j,k, l, m, n } A U B = A C = A U B U C = A B C = A = C = A B = B C =
III- Resuelva los siguientes problemas de aplicación de conjuntos. El director de un Instituto ha reportado los siguientes datos estadísticos acerca de un grupo de 90 estudiantes de dicho instituto: 60 llevan matemática; 34 llevan Historia; 52 llevan música; 36 matemáticas y música; 21 Historia y matemática; 6 matemáticas, historia y música; y 6 sólo y exclusivamente música. Se quiere saber lo siguiente Cuántos alumnos llevan historia y música? En la confección de un libro, se ha detectado 120 libros con fallas, tales como: 1 fallas en el papel. 2 fallas de impresión 3 fallas de compaginación. Si se sabe que: 68 libros tienen la primera falla, al menos. 32 libros tienen la segunda falla, al menos. 40 libros la primera falla solamente. 5 libros tienen la primera y la segunda fallas, pero la tercera no. 17 libros tienen las fallas segunda y tercera, pero no la primera. 4 libros tienen las tres fallas. Se quiere saber lo siguiente: Cuántos libros tienen solo la tercera falla? Cuántos la tercera falla al menos?