GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN

GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo, que tiene la misma X x x un punto cualquiera de la recta, tal y como se aprecia P v X r O Como se ve, los puntos P y X de la recta determinan dos vectores, P y X, que son sus vectores de posición. Dado que el vector v y el vector PX tienen la misma dirección se cumple que PX = λ v, y, aplicando la suma de vectores: X = P+ λ v () A esta ecuación se le llama ecuación vectorial y el vector v = ( v, v ) director de la recta...- Ecuaciones paramétricas Si en la ecuación () se sustituyen los vectores por sus coordenadas respectivas: ( xy, ) ( ab, ) λ ( v, v) ( a λ v, b λ v) = + = + + x= a+ λ v con λ () y= b+ λ v A las ecuaciones () se les llaman ecuaciones paramétricas de la recta..3.- Ecuación continua Despejando λ en la expresión (), es el vector

x a λ= v, igualando ambas expresiones se tiene y b λ= v ecuación de la recta en forma continua. x a y b = (3), que es la v v.4.- Ecuación general Haciendo operaciones en la expresión (3), se obtiene la expresión de la recta en forma general o implícita: Ax + By + C = (4) En esta expresión el vector de componentes ( B, A) directores de la recta., y su opuesto, son vectores El vector de componentes ( A, B ), que es perpendicular a la recta, tal y como se muestra en la figura siguiente, se llama vector normal. v = ( A, B) r v = ( B, A).5.- Ecuación de la recta punto-pendiente Si en la ecuación continua de la recta, expresión (3), se multiplican ambos miembros por v, la expresión que se obtiene: v y b= ( x a) (5) v v se denota ecuación punto-pendiente. Al cociente v se representa por m. se le llama pendiente de la recta y

Se define la pendiente de una recta como el ángulo α que forma la recta con el semieje positivo de abcisas, OX +, y que mide la inclinación de la recta tal y como se muestra en el dibujo siguiente: v Por tanto: tan α= m =, y la ecuación (5) se escribirá: v y b= m( x a) (6).6.- Posición relativa de dos rectas en el plano Dadas dos rectas r: Ax+ By+ C = y r': A' x+ B' y+ C' =, para saber la posición relativa de ambas se analizará el siguiente sistema: Ax + By + C = Ax ' + By ' + C' = Al resolverlo se plantean los siguientes casos: - Solución única, es decir las rectas son secantes. - No existe solución, es decir las rectas son paralelas, y por tanto sus pendientes y vectores directores son iguales, m= m' y A = B C A' B' C' - Existen infinitas soluciones, es decir las rectas son coincidentes, eso es: A B C m= m' y = =. A' B' C'.7.- Ángulo de dos rectas. Condición de rectas perpendiculares Dadas dos rectas r: Ax+ By+ C = y r': A' x+ B' y+ C' =, se define el ángulo que forman ambas rectas como el menor ángulo que forman sus vectores directores, tal y como se muestra en la figura siguiente: 3

Para obtener dicho ángulo se utilizará la siguiente expresión: ( cos uv, ) = u v. u v Por tanto, si las rectas son perpendiculares, r s, como el ángulo que forman π ambos vectores es radianes, y, su coseno es sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene u v = AA' + BB' =. Condición que en función de las pendientes de las rectas es: m' =. m.8.- Distancia entre dos puntos Dados dos puntos A( x, y ) y (, ) Gráficamente: B x y se define la distancia: d A B AB x x y y (, ) = = ( ) + ( ) 4

.- ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO Sea P( abc,, ) un punto de la recta r, v = ( v, v, v3) misma dirección que r, y, sea (,, ) un vector, no nulo, que tiene la X x x x 3 un punto cualquiera de la recta, la ecuación vectorial de la recta en el espacio es: X = P+ λ v. Sustituyendo las coordenadas correspondientes y despejando λ en la expresión anterior x a λ= v y b x a y b z c λ =, igualando las expresiones se obtiene = =, que es la v v v v3 z c λ= v3 ecuación de la recta en forma continua en el espacio. El vector director v = ( v, v, v3) puede expresarse también v = ( cos α,cos β,cosγ), donde αβ, y γ son los ángulos que la recta forma con los semiejes + + OX, OY y OZ + respectivamente. 3.- ECUACIÓN DEL PLANO 3 3 dos vectores independientes paralelos al plano, tal y como se muestra en la figura siguiente: Sea P( abc,, ) un punto del plano π y sean v = ( v, v, v ) y w= ( w, w, w ) P P w v X X O 5

Dado un punto X ( xyz,, ) del plano y llamando al vector OX = X, la ecuación vectorial del plano es: X = P+λ v+μw, λ, μ Sustituyendo las coordenadas de los vectores se deducen las ecuaciones paramétricas del plano: x = a+λ v +μw y = b +λ v +μ w z = c +λ v +μ w 3 3 (7) Para cada valor de los parámetros se obtiene un punto del plano y viceversa, cada punto del plano tiene asociado un único valor de cada parámetro. Teniendo en cuenta esto último, si X es un punto del plano el sistema que constituyen las ecuaciones (7) tiene solución única es decir el rango de la matriz ampliada asociada a dicho sistema tiene que ser dos. Utilizando el teorema de Rouché, esto implica que: v w x a v w y b = v w z c 3 3 Desarrollando este determinante se obtiene la siguiente ecuación implícita del plano: en la cual al vector v = ( A, B, C) vector perpendicular a él. Ax + By + Cz + D = se le denomina vector característico del plano y es un 4.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dadas dos rectas en el espacio de ecuaciones paramétricas: x = a+λ v x= a' +μt r y = b+λv y s y = b' +μt z c v = +λ z = c' +μt 3 3 expresadas gráficamente como se aprecia en el siguiente dibujo 6

para estudiar su posición relativa se analizará, utilizando el teorema de Rouché, la compatibilidad o incompatibilidad del sistema que forman. Así, si v t v t a' a M = v t y ( M / N) = v t b' b v 3 t 3 v3 t3 c' c Los posibles casos de resolución del sistema se recogen en la siguiente tabla: rang(m) rang(m/n) Sistema Posición relativa 3 Incompatible Se cruzan Compatible determinado Se cortan en un punto Incompatible Son paralelas Compatible indeterminado Coinciden 7

5.- POSICIÓN RELATIVA DE UN PLANO Y UNA RECTA Dado el plano de ecuación π : Ax + By + Cz + D = y la recta muestra el siguiente dibujo, x = a+λv r y = b+λv z = c +λ v 3, como para determinar la posición relativa utilizando el teorema de Rouché se escribe la recta como intersección de dos planos, esto es: Ax ' + By ' + Cz ' + D' = r A" x+ B" y+ C" z+ D" = Con lo que hay que analizar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema en donde las matrices son las siguientes: A A' A" A A' A" D M = B B' B" y ( M / N) = B B' B" D' C C' C" C C' C" D" Los posibles casos de resolución del sistema se recogen en la siguiente tabla: 8

rang(m) rang(m/n) Sistema Posición relativa 3 3 Compatible determinado Se cortan en un punto 3 Incompatible Son paralelos Compatible indeterminado El plano contiene a la recta 6.- EJEMPLOS.- Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P, y P,. ( ) ( ) Se calcula primeramente un vector director de la recta, por ejemplo: PP = ( +, ) = ( 3,), y se considera un punto cualquiera de la recta, P. Las ecuaciones paramétricas son: x = + 3λ. y =.- Calcular la ecuación explícita de la recta cuya ordenada en el origen vale 3 y que determina un segmento de longitud al cortar el eje de abcisas. Cual es la pendiente de dicha recta? Hay que calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( ) x y 3 3 = 3x= y 6x+ y 3=. 3 P,3 y P,. La pendiente de dicha recta es: 3 m = = 6. 3.- Dada la recta de ecuación x y+ 3 = a) Calcular la recta paralela a la dada y que pase por el punto P (, ). b) Calcular la recta perpendicular a la dada y que pase por el punto P (,). 9

La pendiente de la recta dada es m=. a) Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, luego: ( ) y = x+ x y+ 4= b) Las rectas perpendiculares verifican m' =. Por lo que la recta dada es: m y = ( x) x+ y = 4.- Calcular el ángulo que forman las rectas de ecuaciones: r: x y = y s: x=. Los vectores directores de las rectas dadas son: v = (,) y u = (,) Aplicando la fórmula: ( u v ( )( ) cos cos uv, ) u v () + () i () respectivamente.,, α= = = = =. Por lo que π α= arccos = 4 radianes. 5.- Determinar la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r:x+ 3y = y s: 3x+ y 5 =. b) r: x+ y = y s:x y =. a) En este caso las pendientes de las rectas son: m r m s =, es decir, las rectas son perpendiculares. m r 3 = y ms =, que verifican 3 b) En este caso, como no hay ninguna proporcionalidad entre los coeficientes las rectas se cortan en un punto, y, para determinarlo se resuelve el sistema: x+ y =,x= y x+ x = 3x= x= y= x y = 3 3 el punto de corte es P,. 3 3 6.- Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P (,,) siendo su vector director v = (,, ) planos (forma implícita).. Expresar dicha recta como intersección de dos

x = λ Las ecuaciones paramétricas son: y =. Eliminando el parámetro λ, z = + λ λ= x z z x= x+ z 3= λ=. Luego, la ecuación implícita de la recta dada x+ z 3= es. y = 7.- a) Calcular la ecuación implícita del plano que pasa por el punto (,, ) paralelo a los vectores v = (,, ) y w= (,, ). P y es b) Utilizando las ecuaciones paramétricas del plano anterior, estudiar si el punto Q,3, pertenece a dicho plano. ( ) a) Para calcular la ecuación del plano, expresada en forma implícita, se resuelve el x + siguiente determinante y = x y+ z+ = z + x = +λ+μ b) Las ecuaciones paramétricas del plano son y = λ, y para saber si el punto z = +λ μ = +λ+μ Q pertenece al plano se estudiará si el siguiente sistema de ecuaciones 3 = λ = +λ μ 3 es compatible determinado o no. La solución de este sistema es λ = y μ=, por lo que se deduce que el punto está en el plano. 8.- Determinar la posición relativa de la recta y el plano de ecuaciones respectivas: x y+ z = r: y π : x+ 3y 4z+ 5=. x+ y 3z+ 4= Para ello se analizará la compatibilidad o incompatibilidad del sistema siguiente:

x y+ z = x+ y 3z+ 4= ( M/N) = 3 4 estudiando el rango de esta x+ 3y 4z+ 5= 3 4 5 L L L3 L L3 L matriz. 3 4 4 5 6 4 5 6 3 4 5 4 5 6 De esta última matriz se deduce que el rang(m) = = rang(m/n) por lo que la recta está contenida en el plano. 7.- EJERCICIOS PROPUESTOS.- Dada la ecuación de la recta r:x 3y+ 4= expresarla en forma paramétrica y punto-pendiente..- Dados los puntos A(, ) y B(, b ), calcular el valor de b para que la recta que pasa por dichos puntos tenga de pendiente. 3.- Calcular la recta que pasando por el punto A(,) sea: a) Paralela al eje de ordenadas, b) perpendicular al eje de ordenada, c) paralela a la recta de ecuación r: x+ y+ = 4.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas en función del parámetro m r: x y+ 4= s: mx+ 8y 4=. 5.- Hallar la ecuación en forma implícita de la recta que pasa por el punto (,, 4 ) y forma con el sentido positivo de los ejes coordenados ángulos de 3º, 6º, y 9º respectivamente. 6.- Hallar la ecuación del plano que contiene al punto ( 4,, ) y es perpendicular a la x z recta r: = y =. 3 7.- Calcular la posición relativa de las rectas de ecuación: 3 : x y + z y : x y z + r = = s = =. 8.- Calcular la posición relativa del plano y recta de ecuaciones respectivas: x y z r: = = y π: x y+ z = 3

8.- SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS x =λ.- Las ecuaciones paramétricas: 4+ λ. Para obtener un punto de la recta, se y = 3 λ= P,, y el vector director de la recta es: toma por ejemplo ( ) v =, = ( 3, ) m=. 3 3 Por lo que la ecuación punto-pendiente es: y = ( x ). 3.- Un vector director de la recta es: AB = (, b ) recta: b m= = b= 3., por lo que la pendiente de dicha 3.- a) x = ; b) y = ; c) Una recta paralela a la dada tendrá de ecuación x y c pedida: x+ y =. + + =, y sustituyendo el punto dado ( ) ( ) + + c= c=, luego la recta 4.- Se trata de estudiar la compatibilidad o incompatibilidad del sistema siguiente: x y+ 4=. Analizando el rango de 4, matriz de coeficientes y mx + 8y 4= m 8 4 ampliada, se tiene: si m 4 rang ( M ) rang ( M N ) = = las rectas se cortan en un punto, si m rang ( M ) rang ( M N ) = 4 = = las rectas son paralelas. 5.- x y z 4 x y z 4 = = = =. cos3º cos6º cos9º 3 x 3 y La ecuación implícita de la recta es : = z = 4 ( ) 6.- Vector director del plano v = (,, 3) π :x+ y 3z+ D=, y como ( ) ( ) que el plano pedido es: π :x+ y 3z 6=., luego la ecuación del plano: P π 4 + 3 + D= D= 6, por lo 3

7.- Un punto de la recta r es P(,-,), y un punto del recta s es Q(3,,-), por lo que el PQ =,,. Hay que analizar el rango de las siguientes matrices: vector ( ) M = y ( M / N) =. Puesto que el rang(m)==rang(m/n), las rectas en el espacio se cortan. 8.- Primeramente se escribe la recta como intersección de dos planos, es decir: x y = r 3y z+ = siguiente sistema: esto es:, y ahora se estudia la compatibilidad o incompatibilidad del x y = 3y z+ = analizando el rango de la matriz que constituye, x y + z = - - - L3 L L 3 L 3 - - 3 - - 3 3 - -. De donde se - 4 5 3 3 deduce que como rang(m)=3=rang(m/n) el sistema es compatible determinado y la recta y plano dados se cortan en un punto. 4