GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Coordenadas cartesianas Sistema de ejes Cartesianos: Dicho nombre se debe a Descartes, el cual tuvo la idea de expresar un objeto geométrico como un punto o una recta, mediante una expresión algebraica; por ejemplo un par de números o una ecuación. Para ello se consideran dos rectas secantes, en la que tomaremos su punto de intersección como punto de inicio u origen, una unidad y un sentido. Cada punto de estas rectas se corresponde con un número real. A dichas rectas le llamaremos ejes de coordenadas y al punto en el que se intersectan origen de coordenadas y lo anotaremos con la letra O. Este punto se corresponde con el número 0 en ambos ejes. Por convención se nombra los ejes, ejes de las abscisas y eje de las ordenadas, y se simbolizan por e respectivamente. O En general trabajaremos con un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Esto es un sistema cartesiano en que los ejes son rectas perpendiculares. Convendremos que el eje se encuentra en posición horizontal y el eje en posición vertical. Si es un punto del plano y trazamos por él rectas paralelas a ambos ejes, estas cortaran al eje y al eje en dos puntos que se corresponden en los ejes con los números reales e, que llamaremos abscisa y ordenada respectivamente del punto. Decimos que los números e son las coordenadas del punto en el sistema de ejes cartesianos ortogonales que se ha definido. Para nombrar un punto por sus coordenadas utilizaremos un par ordenado, en el que la primera componente es la abscisa y la segunda la ordenada, diremos que las coordenadas del punto son. Cada punto del plano se puede expresar mediante un par ordenado de números reales y recíprocamente cada par de números reales, representa un único punto del plano. Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos que determinan un segmento paralelo a uno de los ejes coordenados: Ejemplo: Dados los puntos y Cuál es la distancia entre ellos? Ubica los puntos en un sistema de ejes coordenados y observa que el segmento que ellos determinan es paralelo al eje de las abscisas y por lo tanto su distancia será: o también se la puede calcular como. En este último caso observemos que la distancia nos queda negativa, lo cual es imposible, por ello para solucionar dicho inconveniente introduciremos el concepto de valor absoluto, y nos quedará. De la misma forma se puede razonar si el segmento que los puntos de determinan es paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto en este caso haremos la diferencia entre las ordenadas de dichos puntos. Concluimos entonces que: Distancia entre dos puntos que determinan un segmento paralelo a alguno de los ejes coordenados: Sí y tienen la misma ordenada, es decir entonces SÍ y tienen la misma abscisa, es decir entonces 0
Distancia entre dos puntos que determinan un segmento no paralelo a uno de los ejes coordenados: Ejemplo: Dados los puntos y Cuál es la distancia entre ellos? Representa dichos puntos en el sistema de ejes y observa que determinan un segmento no paralelo a los ejes coordenados. Para hallar la distancia entre ellos se considera el punto que resulta de la intersección de las rectas paralelas a los ejes que pasan respectivamente por y, formándose así el triángulo rectángulo en ; en el cual la distancia buscada es la longitud de su hipotenusa, la que se halla aplicando el Teorema de Pitágoras. En general: Dados los puntos y consideramos el punto como se muestra en la figura, de manera que el triángulo es rectángulo en y aplicamos Pitágoras: Y por propiedad del valor absoluto: Distancia entre dos puntos: Si y entonces Coordenadas del punto medio de un segmento Segmento paralelo a uno de los ejes coordenados: Sean los puntos y tal que Si es el punto medio del segmento entonces: Como las abscisas de los puntos y ambas son mayores que la abscisa de, las diferencias y son números positivos, entonces no sería necesario el valor absoluto Realizando operaciones y ordenando: Si operamos de la misma forma considerando ahora, llegaremos a que Segmento no paralelo a ninguno de los ejes coordenados: Dados los puntos y, tracemos las rectas paralelas al eje que pasan por, estas determinan con el eje los puntos respectivamente. Los puntos tienen ordenada 0, el punto tiene la misma abscisa que y el punto tiene la misma abscisa que y el punto la misma abscisa que.
Las rectas son paralelas; y secantes a ellas, entonces podemos aplicar el teorema de Thales y afirmar: Como es punto medio del segmento, entonces: Como entonces Como, entonces, por lo tanto y sustituyendo Además, como y, entonces y por ser, entonces, por lo que Sustituyendo obtenemos la igualdad: Razonando análogamente podemos deducir que: Finalmente llegamos a que: Coordenadas del punto medio de un segmento: Dados los puntos y, las coordenadas de, punto medio del segmento son ( ) Ecuaciones de la recta Ecuación de la recta paralela al eje de las ordenadas: Dada la recta paralela al eje que pasa por el punto, con números reales, se cumple que: * es una recta vertical * Todo punto que pertenece a la recta tiene abscisa * Todo punto de abscisa pertenece a la recta Por lo tanto su ecuación será : Ecuación de la recta paralela al eje Si la recta es paralela al eje su ecuación es de la forma En particular el eje tiene ecuación Ecuación de la recta paralela al eje de las ordenadas: Dada la recta paralela al eje que pasa por el punto, con números reales, se cumple que: * es una recta horizontal * Todo punto que pertenece a la recta tiene ordenada * Todo punto de ordenada pertenece a la recta Por lo tanto su ecuación será : Ecuación de la recta paralela al eje Si la recta es paralela al eje su ecuación es de la forma En particular el eje tiene ecuación
Ecuación de la recta: Analicemos el caso en que la recta no es paralela a los ejes. Sea la recta y como muestra la figura: que pasa por los puntos P B A K L Sea un punto genérico de de coordenadas, consideramos las rectas ambas paralelas al eje, aplicando el teorema de Thales tenemos: es decir: Observemos que,,, entonces podríamos poner: teniendo en cuenta que las coordenadas de son fijas, realizando operaciones y ordenando: ( Si le llamamos, tendremos que es lo que llamaremos ecuación general de la recta. Ecuación general de la recta: Toda recta tiene ecuación de la forma donde son números reales no simultáneamente nulos. Toda ecuación de la forma con números reales, no simultáneamente nulos, representa una recta A la ecuación la llamaremos ecuación general de la recta. Ecuación explícita de la recta: Consideremos una recta no paralela al eje, es decir y partiendo de la ecuación general, dividiremos ambos miembros de la igualdad entre Si le llamamos nos quedara la ecuación llamada ecuación explícita de la recta. Ecuación explícita de la recta Toda recta no paralela al eje Toda ecuación de la forma tiene ecuación de la forma representa una recta no paralela al eje Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Consideremos la recta que pasa por los puntos y. Sea un punto cualquiera de. Trazamos algunas rectas paralelas a los ejes determinando y (ver figura anterior) y aplicando el teorema de Thales expresión es la ecuación de la recta que pasa por los puntos y. Esta última
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Dados y con la ecuación de la recta es: Coeficiente angular de la recta: Consideremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos y, llamando al número obtenemos así en el segundo miembro de la ecuación, un término en x y otro independiente de x, entonces podemos escribir la ecuación de la recta en la forma, obteniendo formalmente la fórmula explícita de la recta. Definición: Dados dos puntos y con llamamos pendiente o coeficiente angular de la recta al número Observación: El cociente que definimos como coeficiente angular de la recta, es la tangente trigonométrica del ángulo, ángulo de inclinación de la recta. Dicho ángulo es el ángulo que forma la recta con el eje, tomado en sentido antihorario, tal que. O sea que. Ecuación de la recta conociendo su coeficiente angular y un punto de ella La recta de coeficiente angular que pasa por el punto tiene ecuación Posiciones relativas entre rectas en el plano: Dadas dos rectas en el plano, a las que llamaremos coplanares, pueden cumplir: a) Que sean la misma recta y decimos que son rectas coincidentes b) Que tengan un único punto en común y decimos que son rectas secantes c) Que no tengan puntos en común y las llamaremos paralelas no coincidentes, ya que las rectas coincidentes también son paralelas. Rectas coincidentes Dos rectas son coincidentes si sus ecuaciones son equivalentes Rectas Secantes Dos rectas y son secantes si al resolver un sistema con sus ecuaciones se obtiene un único valor de y un único valor de, coordenadas del único punto de intersección Rectas Paralelas, no coincidentes Dos rectas y de ecuaciones y con son rectas paralelas no coincidentes Condición de paralelismo entre rectas Dos rectas y no paralelas al eje : * son paralelas si sus coeficientes angulares son iguales * si sus coeficientes angulares son iguales, entonces son paralelas En definitiva: Condición de perpendicularidad entre rectas Dos rectas y no paralelas a los ejes coordenados: * son perpendiculares si sus coeficientes angulares son opuestos e inversos * si sus coeficientes angulares son opuestos e inversos, entonces son perpendiculares En definitiva