7. Momento angula 7. MMENT ANGUAR El concepto de momento angula es muy útil paa descibi movimientos en dos o tes dimensiones y otaciones. Consideemos el movimiento de un punto de masa m especto de. Este movimiento se puede pensa como la supeposición un movimiento adial con velocidad v y un movimiento de otación alededo de con velocidad v t. Desde este punto de vista la cantidad de movimiento p = m v es la suma de dos téminos: p = mv + mvt = p + pt (7.) la cantidad de movimiento aso- donde p = ˆ( ˆ p ) es la cantidad de movimiento adial y p t ciada con la otación alededo de (Fig. 7.). p p t m p Fig. 7.. El movimiento de un punto especto de se puede pensa como la supeposición de un movimiento adial y un movimiento de otación alededo de. Una foma páctica de sepaa las dos pates de p es intoduci la cantidad dado que depende solamente de p t poque = p (7.) = p = p t (7.3) a magnitud se llama momento angula y es el momento de la cantidad de movimiento; su valo depende de la elección de, en efecto el momento angula especto del punto que difiee de po un desplazamiento es = p (Fig. 7.). Cuando no haya iesgo de confusión daemos po sobeentendido el punto especto del cual se calcula. El oigen del témino momento poviene de que se denomina momento de un vecto A (aplicado en el punto P) especto de un oigen a la cantidad M A = P. 0
7. Momento angula Fig. 7.. El momento angula depende del punto especto del cual se lo calcula. Veamos dos ejemplos: Sea un cuepo de masa m que sigue una tayectoia cicula con velocidad angula ω alededo de un eje y sea un punto del eje (Fig. 7.3). Entonces v = ω = ω, luego p = mv = mω y el momento angula especto de es = p = m ( ω ) (7.4) Si A, B, C son tes vectoes cualesquiea A ( B C) = ( A C) B ( A B) C, luego Si coincide con el cento de gio = 0 y = m ω m ω (7.5) = w m ω (7.6) m v p Fig. 7.3. Momento angula de un cuepo que sigue una tayectoia cicula. Sea un objeto que se mueve con movimiento ectilíneo y un punto cualquiea (Fig. 7.4). uego = m v; peo = + y entonces = m v (7.7) 0
7. Momento angula p Fig. 7.4. Momento angula de un cuepo que se mueve con movimiento ectilíneo. Relaciones ente momento angula, cantidad de movimiento y enegía cinética Dado que el momento angula y la cantidad de movimiento adial son magnitudes útiles paa descibi movimientos conviene tene a mano expesiones que las vinculen con la enegía cinética. a enegía cinética se expesa como Patiendo de la definición de calculemos T = mv = p m (7.8) = = ( p) ( p) = p sen ϕ = p ( cos ϕ ) (7.9) donde ϕ es el ángulo ente y p. Peo pcosϕ = p = p de modo que = p p. Dividiendo po m esulta y entonces p p = (7.0) m m m p T = + m m (7.) Claamente el pime témino del miembo deecho es la pate de la enegía cinética debida a la otación alededo del punto especto del cual estamos calculando el momento angula y el segundo témino es la pate de T asociada con el movimiento adial. Vaiación del momento angula Difeenciando la definición de obtenemos d = d p+ dp = Fdt (7.) pues d p = vdt p = 0. uego d = F (7.3) dt 03
7. Momento angula Ahoa M F es el momento de F (calculado especto del punto desde donde tomamos el momento angula). uego d = M, M = F (7.4) dt Esta es la ecuación de movimiento del momento angula y expesa que la tasa de vaiación del momento angula es igual al momento aplicado. Fuezas centales y consevación del movimiento angula Sea un móvil sometido a la acción de una fueza cental. as fuezas centales son aquellas que están siempe diigidas hacia un punto fijo. Con muy buena apoximación las inteacciones gavitatoias ente el Sol y los planetas y ente los planetas y sus satélites son centales. as fuezas electostáticas ente cagas puntuales son centales. Po lo tanto el movimiento de cuepos sometidos a fuezas centales es un poblema muy impotante. Veamos sus popiedades. Si efeimos la posición al cento de la fueza, una fueza cental se expesa como F = Fˆ (aquí F puede se positiva o negativa) o sea que y F son siempe paalelas (Fig. 7.5). Si tomamos momentos especto del cento de fuezas, M = F = 0 y entonces de la (7.4) obtenemos d = M = 0 = cte. (7.5) dt uego en todo movimiento que se ealiza bajo la acción de una fueza cental se conseva el momento angula. Este hecho tiene vaias impotantes consecuencias que pasaemos a analiza. F m ' F' m Fig. 7.5. En un movimiento bajo la acción de una fueza cental se conseva el momento angula especto del cento de la fueza. El movimiento se ealiza en un plano En un instante dado y p definen un plano que pasa po el cento de fuezas y que es nomal a. En oto instante cualquiea y p definen también un plano que pasa po el cento. Su nomal está en la diección de = p y coincide con la anteio pues =. uego ambos planos pasan po y tienen la misma nomal, po consiguiente coinciden y el movimiento está contenido en ese plano, que se denomina plano de la óbita (Fig. 7.6). a atacción gavitatoia es una fueza cental (el peso está siempe diigido hacia el cento de la Tiea, po lo menos con buena apoximación). 04
7. Momento angula p Π m Fig. 7.6. a consevación del momento angula implica que el movimiento se ealiza en un plano. ey de las áeas (Segunda ey de Keple) Analicemos el movimiento en el plano de la óbita (Fig. 7.7). Po la consevación de El áea baida po el adio vecto que va de al móvil es da da dt = mvsenϕ = cte. (7.6) = v dt senϕ (Fig. 7.7), luego = vsenϕ = m = cte. (7.7) Esta es la célebe ley de las áeas o Segunda ey de Keple y establece que el adio vecto del cento de fuezas al móvil bae áeas iguales en tiempos iguales. Keple dedujo esta ley paa el movimiento de los planetas alededo del Sol, peo aquí vemos que el esultado es más geneal pues depende de la consevación del momento angula y po lo tanto vale paa todo movimiento egido po una fueza cental. v vdt ϕ Fig. 7.7. ey de las áeas: el adio vecto del cento de fuezas al móvil bae áeas iguales en tiempos iguales. a consevación de está elacionada con la simetía del campo de la fueza cental, que al depende solamente de la distancia al cento no establece ninguna diección pivilegiada en el espacio: el campo es invaiante ante cualquie otación alededo del cento. Este es un nuevo ejemplo de la elación ente simetías y leyes de consevación. Movimiento bajo la acción de una fueza cental Sea un cuepo de masa m sometido a una fueza cental. Tomamos el oigen de coodenadas en el cento de fueza, que suponemos fijo. Sea F () ˆ el campo de fueza, donde F depende 05
7. Momento angula sólo de la distancia ente el cuepo y. Si F () es positiva la fueza es epulsiva, si es negativa la fueza es atactiva. Un campo como el que suponemos es consevativo. En efecto (Fig. 7.8) d = dˆ + dθ ˆ θ y entonces Po lo tanto dw = F d = F()ˆ ( d ˆ + dθθ) ˆ = F() d (7.8) W = F d = F() d (7.9) no depende del camino seguido paa i de a. Podemos entonces defini una enegía potencial donde 0 es un nivel de efeencia y V 0 es una constante abitaia. V () = Fd () + V0 (7.0) 0 d dθ dθ d Fig. 7.8. Un campo de fueza cental es consevativo. Sepaación del movimiento de un cuepo sometido a una fueza cental Debido a la consevación de un cuepo sometido a una fueza cental se mueve en un plano. Descibiemos entonces el movimiento en el plano de la óbita. Tomamos como oigen el cento de la fueza y usamos coodenadas polaes, θ (Fig. 7.9). as componentes de la velocidad son v = v ˆ = vsen ϕ, v = v ˆ θ θ = vcosϕ (7.) v ϕ θ óbita Fig. 7.9. Geometía paa estudia el movimiento en el plano de la óbita. 06
7. Momento angula Po la consevación de tenemos que = mvθ = cte. (7.) de donde si conocemos podemos inmediatamente detemina v θ ( es una constante del movimiento, luego es un dato del poblema y lo podemos obtene de las condiciones iniciales). Si usamos ahoa la consevación de la enegía mecánica: E = T + V = cte. (7.3) podemos elaciona v con. En efecto de (7.3), usado (7.) y (7.0) esulta E = mv + + V () = cte. (7.4) m En esta expesión no figua θ. Sólo apaecen y v, además de la constante del movimiento. bsévese que la (7.4) es equivalente a la expesión de la enegía mecánica de un movimiento unidimensional paa el cual la enegía potencial es U () = + V () m (7.5) En consecuencia gacias a la consevación del momento angula el poblema ha quedado sepaado en dos pates: un movimiento de otación alededo del oigen con la velocidad vθ =, m = cte. (7.6) y que po lo tanto cumple la ley de las áeas, y un movimiento adial deteminado po la enegía potencial U(). El potencial centífugo a enegía potencial U() del poblema unidimensional (Fig. 7.0) es la suma de dos téminos. El pimeo es la enegía potencial V () del campo de fuezas centales. El segundo, / m, es la pate de la enegía cinética asociada con el movimiento de otación, que depende solamente de (que es un dato) y de la distancia al cento. Este témino equivale fomalmente a una enegía potencial epulsiva (pues cece a medida que disminuye) ya que la fueza dada po: d d m = = m3 mvθ (7.7) tiende a empuja el móvil lejos del oigen. Esta fueza no es ota que la fueza centífuga, que apaece al descibi el movimiento desde un sistema otante (no inecial). Esto es en efecto lo que estamos haciendo en el poblema unidimensional equivalente, pues estamos descibiendo el movimiento desde un sistema con oigen en y que sigue al móvil en su óbita mientas gia con velocidad angula ω = vθ / alededo del cento de fuezas. Po este motivo el témino / mse suele llama potencial centífugo. 07
7. Momento angula m U () E > 0 0 0 3 E < 0 U min V () Fig. 7.0. El movimiento adial es equivalente a un movimiento unidimensional egido po una enegía potencial dada po la suma de V() más el potencial centífugo, cuya magnitud está deteminada po el momento angula. El potencial centífugo depende de, el cuadado del módulo del momento angula. Paa un dado, cece y tiende al infinito cuando 0. Esto descibe el hecho que un móvil que posee un momento angula no nulo no puede pasa po el oigen. El movimiento adial El movimiento adial se obtiene esolviendo el poblema unidimensional descipto po donde E = mv + U() = cte. (7.8) U () = V () + m (7.9) uego paa analizalo podemos apovecha lo que desaollamos en el Capítulo 5 paa estudia movimientos unidimensionales y valenos de los diagamas de la enegía (Fig. 5.7). El tipo de movimiento depende de U() y del valo de E, que depende de las condiciones iniciales. Sea una fueza cental atactiva que se anula paa, de modo que eligiendo opotunamente V 0 podemos tene V() 0 paa. El diagama de la enegía se ve en la Fig. 7.0. Habá en geneal dos tipos de óbita: si E < 0 la óbita es limitada y : mientas gia alededo del cento de fuezas el móvil efectúa una oscilación adial ente los puntos de etono y (Fig. 7.), 08
7. Momento angula si E > 0 la óbita es ilimitada: el móvil llega del infinito, se aceca al oigen hasta la distancia mínima 0 (que depende de ) y vuelve al infinito donde v = v E/ m. Coesponde menciona dos casos límites: si E = Umin < 0 la óbita es cicula y toda la enegía cinética es de otación ya que v = 0, si E = 0 la óbita se extiende al infinito y el móvil llega al infinito con v = v = 0. Fig. 7.. Óbita limitada en un potencial V ()~ 0. 9. a integación comenzó en. En geneal las óbitas con E < 0 no son cuvas ceadas, es deci el móvil no vuelve a pasa po el mismo luga con igual velocidad en un tiempo finito. Sin embago paa algunas leyes de fuezas especiales la óbita puede se ceada (en paticula eso ocue si F ~ ). Si V() es epulsivo la óbita es siempe ilimitada. Movimiento planetaio Consideemos el movimiento de un planeta alededo del Sol, o de un satélite alededo de su pimaio. a fueza en este caso poviene de la inteacción gavitatoia. Como veemos en el Capítulo 9, dos cuepos de masas M y m se ataen con una fueza cental cuyo módulo vale F = G mm (7.30) donde G 667. 0 Nm/ kg es la constante univesal de la gavitación. Supongamos que M (masa del Sol) >> m (masa del planeta) 3. En este caso podemos imagina que el Sol está fijo y es el cento de la fueza que actúa sobe el planeta 4. a enegía potencial gavitatoia es V ()= G mm (7.3) donde hemos elegido V 0 de modo que V() 0 paa. Entonces U G mm ()= + m (7.3) 3 a masa del Sol es de.989 0 30 kg y la masa de la Tiea es de 5.974 0 4 kg, luego M/m = 3.39 0 5. 4 En el Capítulo 8 veemos las coecciones que se oiginan al toma en cuenta el movimiento del Sol. 09
7. Momento angula Óbita cicula Si el planeta se mueve en una óbita cicula v = 0, v atacción gavitatoia, po lo tanto θ = v y la fueza centípeta es la fueza de m v = G mm (7.33) Po ota pate es constante, luego π v = = cte. (7.34) T donde T es el peíodo de evolución. Reemplazando en (7.33) esulta De (7.35) obtenemos 4π T GM = (7.35) T 3 4 = π MG (7.36) Po lo tanto el cuadado del peíodo es popocional al cubo del adio de la óbita. Este esultado es la expesión de la Tecea ey de Keple paa óbitas ciculaes. Integación de la ecuación adial: la Pimea ey de Keple En geneal la óbita no es cicula. Paa detemina su foma patimos de la ecuación de la enegía paa el movimiento adial C E = mv +, C = GmM (7.37) m Ahoa v θ = ω y = m ω, de modo que d d d d v = θ dθ dt = dθ ω = dθ m (7.38) Sustituyendo en (7.37) obtenemos E = d C + m d = θ d m d + θ C (7.39) Si ahoa hacemos la sustitución z = / en (7.39) esulta E = dz m d θ + z Cz (7.40) que podemos escibi en la foma 0
7. Momento angula me mc dz + = 4 dθ mc + z (7.4) Hagamos ahoa el cambio a ecuación de la óbita queda entonces de la foma mc mc ζ = z = A me mc, = + (7.4) 4 dζ + ζ = A (7.43) dθ a solución de esta ecuación es ζ = Acos θ de donde obtenemos mc = Acosθ + (7.44) Esta es la ecuación pola de las cónicas. a podemos escibi de la foma equivalente q A =, q =, e = = + q E + e cosθ mc mc C (7.45) la cantidad e se denomina excenticidad y de acuedo con su valo se pueden da los casos que figuan en la Tabla 7.. as óbitas de los planetas son elipses (de semiejes mayo y meno a y b, espectivamente, siempe de muy baja excenticidad con la excepción de Mate y de Plutón) y el Sol ocupa uno de los focos ( F en la Fig. 7.). Este esultado es la Pimea ey de Keple. as distancias mínima p y máxima a del planeta al Sol se denominan peihelio y afelio y sus valoes son: p q q = = a( e), a = = a( + e) (7.46) + e e Tabla 7.. Tipos de óbitas Óbita Semiejes o distancia focal Enegía e = 0 cicula a = b = q E = C/q 0< e < elíptica a = q/( e), b = q/( e) / C/q < E < 0 e = paabólica f = q/ E = 0 e > hipebólica f = q/( + e) E > 0
7. Momento angula a b P F F A a( e) ae a(+e) Fig. 7.. Óbita elíptica. El sol ocupa el foco F. a figua coesponde a e = 05.. a Tecea ey de Keple El áea de la elipse es S = π ab. Po ota pate, po la segunda ey de Keple S = m T (7.47) uego m T = π a e (7.48) Peo e intoduciendo esta expesión en (7.48) obtenemos de modo que = m Cp = mca( e ) (7.49) T m = 4π C a, C = GmM (7.50) 3 T 4 = π GM a 3 (7.5) Este esultado es la Tecea ey de Keple: el cuadado del peíodo de la óbita es popocional al cubo del semieje mayo.
7. Momento angula Comentaios Hemos visto que la existencia de las constantes de movimiento y E simplifica el poblema del movimiento bajo la acción de una fueza cental. Esto se debe a que todo campo de fueza cental tiene simetía de otación y es consevativo. a consevación de tiene dos consecuencias. a pimea es que el movimiento tiene luga en un plano que pasa po el cento de la fueza y cuya oientación es otogonal a y po lo tanto está deteminado po las condiciones iniciales. Gacias a esto el poblema se educe al de un movimiento en dos dimensiones en el plano de la óbita. a segunda es que se cumple la ley de las áeas (7.7). Esto implica que la velocidad angula del móvil alededo del cento de fueza está dada po dθ =, = cte. (7.5) dt m donde depende de las condiciones iniciales. a consevación de la enegía mecánica junto con la consevación de implica que el movimiento adial cumple d dt m E U U V =± [ ( )], ( ) = ( ) + (7.53) m De esultas de esto el poblema de esolve las ecuaciones de Newton = V ()/ m, que son un sistema de tes ecuaciones del segundo oden en el tiempo, queda educido al de intega las dos ecuaciones del pime oden en el tiempo (7.5) y (7.53). Esto se puede loga en dos pasos. El pimeo consiste en esolve la (7.53), donde no figua θ. Paa esto la escibimos en la foma que se intega fomalmente paa obtene dt =± d (7.54) [ m E U ( )] t () = t0 ± 0 d [ m E U ( )] (7.55) Aquí se debe toma en cuenta que si al avanza el tiempo cece se debe toma el signo +, mientas que si decece se debe toma el signo. Así patiendo del instante inicial t 0 en el que el móvil está a la distancia 0 del cento, paa cada pa de valoes de E y se obtiene la función t (). Invitiendo esta función obtenemos t (). Conociendo t () podemos da el segundo paso que consiste en intega la (7.5) paa obtene θ() t = θ + t m( t ) 0 t0 dt (7.56) con lo que queda esuelto el poblema. Po lo tanto paa obtene la solución basta con calcula las dos cuadatuas (7.55) y (7.56). 3
7. Momento angula Como altenativa podemos obtene diectamente la elación ( θ ) que da la foma de la óbita. Paa esto basta dividi la (7.53) po la (7.5) paa elimina t. de donde esulta d m dθ =± [ m E U ( )] (7.57) θ() = θ ± d m [ ( )] m E U 0 0 (7.58) que finalmente nos da ( θ ) po invesión. Se puede obseva que la óbita es simética especto del punto donde d / dθ cambia de signo, esto es de los puntos donde alcanza un valo extemo. El punto de máximo acecamiento al cento se llama peiapsis (peihelio cuando el cento es el Sol, peigeo cuando es la Tiea) y el de máximo alejamiento (cuando hay uno a distancia finita) se llama apoapsis (afelio en el caso del Sol, apogeo paa la Tiea). Sin pejuicio de lo anteio se debe nota que solamente cuando V ()~ / se pueden obtene expesiones ceadas paa t () y ( θ ). En los demás casos el pogama esbozado anteiomente no se puede lleva a cabo po vía analítica. En la páctica si se quiee obtene la foma de óbitas como la que se muesta en la Fig. 7. lo más sencillo es intega numéicamente las ecuaciones de Newton en el plano de la óbita. 4