El Proceso de Poisson en Confiabilidad Enrique Villa Diharce Verano de Probabilidad y Esadísica 9 CIMAT, Guanajuao, Go. 5 de Julio de 9.
Resumen: El objeo de esudio en confiabilidad son la fallas de componenes o sisemas, por esa razón una pare imporane de los esudios en confiabilidad, consise en modelar procesos de falla y esimar las canidades de inerés, como son principalmene: asas de falla, y iempo esperado de falla. En esa plaica se discue la modelación de procesos de fallas uilizando procesos de Poisson, ilusrando, como diferenes resricciones de los procesos de fallas pueden ser consideradas a ravés de diferenes ipos de procesos de Poisson. Se ilusran los modelos considerados, con ejemplos de daos de confiabilidad reales.
Conenido Sisemas y componenes no reparables Sisemas reparables Procesos de Poisson Homogéneo No homogéneo Inferencia
Calidad a ravés del iempo LSE iempo LIE. Confiabilidad: Probabilidad de esar denro de especificaciones
Modelos de confiabilidad Los iempos de vida de la unidades que fallan, ienen un parón aleaorio. Para modelar los iempos de vida o iempos a la falla uilizamos variables aleaorias no negaivas. Toda la información de una variable aleaoria se encuenra en su disribución. La maeria prima en los esudios de confiabilidad son los iempos de vida de las unidades esudiadas.
Funciones de confiabilidad: Función de disribución acumulada F P T Función de confiabilidad C P T > F Función de densidad de probabilidades f df / d Función de riesgo h f / C Función de riesgo acumulado H h u du También se cumple: C exp{ H }
Función de riesgo lim lim lim lim / / T T P T P T P T P T P T P C F F C d df C f h > + < > + < > + + δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ T T P h > + < δ δ Para dela pequeña:
Disribuciones más comunes en confiabilidad Disribución Exponencial λ λ λ λ λ exp exp exp h C F f Esa disribución modela adecuadamene el parón de falla de componenes que no envejecen, como por ejemplo algunos componenes elecrónicos.
Disribución Exponencial, / λ θ λ...4.6.8. Disribución...4.6.8. 3 4 5 3 4 5 Tiempo Tiempo 3 4 5 Densidad.6.8...4 Confiabilidad...4.6.8. 3 4 5 Tiempo Tiempo Riesgo
Disribuciones más comunes en confiabilidad Disribución Weibull Esa es una disribución muy flexible, que puede modelar parones de falla con función de riesgo consane, creciene o decreciene. El parámero de forma es y es el parámero de escala. / / / exp / exp ] / exp[ / / β β β β β η η β η η η η η β h C F f β η
Disribución Weibull...4.6.8..5..5..5 3. iempo..5..5..5 3. iempo dweibulliempo,, 3 4 5 6 pweibulliempo,,...4.6.8...5..5..5 3. iempo β, σ..5..5..5 3. iempo * iempo - pweibulliempo,,...4.6.8.
Disribuciones más comunes en confiabilidad Disribución Lognormal f / σ φ[ln μ / σ ] F Φ[ln μ / σ ] C Φ[ln μ / σ ] h f / C Esa disribución es muy flexible y frecuenemene compie con la disribución Weibull en la modelación de parones de falla.
Disribución Lognormal. 5,. 5 μ σ....3.4.5 Disribución...4.6.8. 3 4 5 3 4 5 Tiempo Tiempo 3 4 5 Densidad...4.6.8. Confiabilidad...4.6.8. 3 4 5 Tiempo Tiempo Riesgo
Componenes o sisemas noreparables: Son aquellos que al fallar se eliminan. Componenes o sisemas reparables: Tenemos ese ipo de componenes, cuando al fallar se reparan y vuelven a funcionar.
Proceso de Poisson Falla y se repara 3 4 5 6 7
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 N 3 4 5 6 7
Proceso de Poisson Un proceso esocásico { N, } es un proceso de coneo si N saisface. N.. N es enero. 3.Si s <, enonces N s N. 4. Para s <, [ N-Ns ] represena han ocurrido en el inervalo s, ]. el número de fallas que
Proceso de Poisson Tasa donde del proceso. W La asa inervalo de iempo s, ]. del proceso de coneo al iempo es : d d λ W E[ N ], d d E[ N ] denoa el número medio de fallas en el ROCOF Cuando los evenos de un proceso de coneo son fallas, la asa λ del proceso se llama asa de ocurrencia de fallas ROCOF.
Proceso de Poisson., lim 4.., lim que al función una Exise 3. independienes. incremenos iene proceso El... si, asa una iene que un PPH es }, { coneo de proceso El Δ + Δ Δ + Δ Δ Δ N P N P N N λ λ λ λ
Proceso de Poisson El proceso de coneo { N, } es un PPH que asa λ, si. N.. El proceso iene incremenos independienes. 3. Para cualesquier a < b, N a, b]iene disribución Poisson con media E N a, b] a b λd. iene una
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 N W 3 4 5 6 7
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 N W 3 4 5 6 7
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 W N 3 4 5 6 7
La función media es Λ a b λxdx Λ99 Λ5 Proceso de Poisson Ejemplo. Suponga que un proceso de Poisson iene función de inensidad. 5 a b λ..x El número de fallas N en el inervalo[5,] iene una disribucion Poisson con media 5.5 dx.x.89.5.. asi, la probabilidad de ener 3 o mas fallas en el inervalo[5,] es n exp-.. PN n.658. n 3 n 3 n dx.5.
Proceso de Poisson El proceso de coneo { N, } es un PPH que iene una asa λ, si. N.. El proceso iene incremenos independienes. 3. El número de evenos en cualquier inervalo de longiud iene disribución Poisson con media λ. Eso es, para odo s, >, P N + s N s n λ n n e λ, n,,,...
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 x x x 3 x 4 x 5 x 6 N x 7 3 4 5 6 7 Un proceso es un PPH con inensidad, si y solo si los iempos enre fallas son v.a.i.i disribuidas exponencialmene, con media θ / λ. λ
Proceso de Poisson Ejemplo. Se ienen los iempos en horas de operación de acciones de manenimieno no programado de un moor de diessel del submarino USS Grampus, Lee 98. 86 439 44 637 8498 9 795 435 58 33 4456 6 869 5 3399 473 37 398 457 63 94 575 3668 473 44 39 4899 663 933 378 4449 897 39 49 6975 9394 6 3877 4587 4 5676 7335 946 368 47 46 447 5755 858 987 68 48 57
Proceso de Poisson Num. de falla 3 4 5 4 6 8 4 TiempoHoras
Proceso de Poisson Tiempos en que falla y se repara el moor. Aquí se considera despreciable el iempo que arda la reparación. 86 439 44 637 8498 9 795 435 58 33 4456 6 869 5 3399 473 37 398 457 63 94 575 3668 473 44 39 4899 663 933 378 4449 897 39 49 6975 9394 6 3877 4587 4 5676 7335 946 368 47 46 447 5755 858 987 68 48 57
Proceso de Poisson Tiempos enre fallasy reparaciones del moor. 86 764 6 3 64 4 398 95 38 36 3 33 7 59 64 36 446 4 38 5 8 766 83 39 64 455 9 79 34 3 69 76 4 47 38 9 64 38 64 84 35 55 97 3 37 45 9 88 6 3 46
Proceso de Poisson Probabiliy Plo of xgrampus Exponenial - 95% CI Percen 99.9 99 9 8 7 6 5 4 3 Mean 74. N 55 AD.96 P-Value.87 5 3 xgrampus
Proceso de Poisson Ejemplo. Las fallas de un sisema reparable son modeladas por un proceso de Poisson con una asa de fallas λ / 5, 365, con el iempo medido en días. La compañía que posee esa máquina iene res opciones para el plan de manenimieno anual. Cual de las siguienes res opciones es mejor? Plan de Manenimieno : $, sin cargo por cada reparación. Plan de Manenimieno : $4, mas $, por cada reparación. Plan de Manenimieno 3: $,5 por cada reparación.
Ejemplo. Coso esperado: Proceso de Poisson EC c + ce{ N,365]} EC, + 7.3, EC 4, +, 7.3,3 EC +,5 7.3,95 Uilizando como crierio el coso esperado, el mejor plan de manenimieno es el úlimo.
PPNH Definiciones Cuando la función de inensidad es consane, enemos un proceso de Poisson homogeneo PPH. Tenemos un proceso de Poisson no homogeneo PPNH, cuando la función de inensidad no es consane.
PPNH Definiciones El PPNH es un modelo adecuado para un sisema reparable con reparación mínima, eso es, una reparación que consise en reemplazar o resaurar solo un número pequeño de componenes del sisema. Esa reparación dejará al sisema aproximadamene en el mismo esado envejecimieno que se enconraba anes de fallar. Dos funciones de inensidad de uso común en confiabilidad son: Loglineal: Poencia : λ exp β + β λ γβ β -
Procesos de Poisson no homogeneos. Tipo de reparación Reparación perfeca o reemplazo as good as new Reparación imperfeca reparación normal Reparación mínima as bad as old HPP Proceso de renovación Modelos de Reparación imperfeca NHPP
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 Reparación perfeca 3 4
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 Reparación mínima
Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 Reparación imperfeca 3 4
Inferencia: Esimacion y PH
Inferencia: Esimacion y PH Esquemas de observación: Esquema. Observamos el sisema en un inervalo de iempo, ] y ocurren fallas en los iempos,,, n. Esquema. Observamos el sisema hasa la n-ésima falla y regisramos los iempos,,, n. Esquema 3. No observamos las fallas y solo conocemos los números de fallas n, n,,n m en los inervalos ajenos a, b ], a, b ],,a m, b m ].
Inferencia: Esimacion y PH Esquema. fallas,...... fallas, falla, fallas, falla, fallas ], 3 n n δ δ δ δ δ + + + + + { } { } exp } ], { exp } ], { d d N P d N P ν ν ν
Inferencia: Esquema. Función de verosimiliud L { } { } n ν exp ν d i i Función logverosimiliud l n i log[ ν i ] ν d Esquema. Las funciones L y l igual que el Esquema, susiuyendo por n.
Inferencia: Esquema 3. m i b a b a i m i i n b a m i b a i i i i i i i i i d d n l n d d L log Función logverosimiliud exp Función de verosimiliud ν ν ν ν
Inferencia: Modelo Loglineal, esquema. Función de inensidad ν exp β + β Función logverosimiliud l nβ + β n i i exp β{exp β β }
Inferencia: Mariz de información observada I l / β β Mariz de varianzas y covarianzas Cov β, β I En paricular, el error esándar de ˆβ es se ˆ β { } n n ˆ + n ˆ β / i i β i i n /
Inferencia: Bondad de ajuse. Prueba de Laplace Hipóesis Nula a probar: El proceso de Poisson es Homogeneo, eso es, β. Esa prueba se basa en el esadísico U n / n i i / n / Bajo la hipóesis nula, esa esadísica iene una disribución aproximadamene normal.
Inferencia: Ejemplo. Fallas del moor del submaríno. Modelamos de los iempos de falla no programados, con un PPNH loglineal, con función de inensidad λ exp β + β Los esimadores de máxima verosimiliud de los parámeros, son los valores que maximizan la función logverosimiliud l 56β + 4673β exp β{exp57β β }
Inferencia: Ejemplo. Fallas del moor del submarino. Los esimadores son ˆ β 3.73, ˆ.57, ˆ β se β.47 Esos valores sugieren que el valor de ˆβ no es significaivo esadísicamene. Uilizando la prueba de homogeneidad de Laplace, enemos / U n n i i / n / 4673 56 57 / 57 56 /. El valor del esadísico de prueba es muy pequeño, por lo cual no podemos rechazar la hipóesis de función de inensidad consane para esos daos.
Crecimieno de la confiabilidad El objeivo de las pruebas de crecimieno de confiabilidad es mejorar la confiabilidad a ravés del iempo, inroduciendo cambios en el diseño del produco y en el proceso de manufacura. Diseño inicial Prueba de crecimieno Evaluación de confiabilidad Rediseño Análisis de ingeniería El ciclo del crecimieno de la confiabilidad
Crecimieno de la confiabilidad M F M MTTF objeivo M i MTTF en la i-ésima prueba M I MTTF en el ciclo inicial de prueba i El ciclo del crecimieno de la confiabilidad
λtasa de fallas Crecimieno de la confiabilidad λ λ ab b λ λ 3 λ 4 s s s3 s4 Modelo AMSAA de crecimieno de confiabilidad Army Maerial Sisems Analysys Aciviy, 984
Crecimieno de la confiabilidad < s < s <... < s k Sean los iempos de prueba acumulados en los que se hacen modificaciones al diseño. Suponemos que las asas de falla son consanes enre los cambios de diseño. El número de fallas durane el i-ésimo período de prueba, iene una función de probabilidad Poisson dada por P [ λ s s exp λi s n n i i i i i Ni n ] s
Crecimieno de la confiabilidad Si es el iempo de prueba acumulado y n es el número acumulado de fallas al iempo de pruebas, enonces < + + < + <... 3 s s s s s s s s s s λ λ λ λ λ λ λ n n n P n exp ] [ λ λ donde la asa de fallas acumulada es de la forma
Crecimieno de la confiabilidad En la pracica se aproxima el modelo por un PPNH con la función de inensidad de poencia, λ ab b
Los procesos de Poisson en confiabilidad son de gran uilidad para modelar procesos de fallas en: Sisemas reparables Manenimieno Crecimieno de la confiabilidad Confiabilidad de sofware
GRACIAS