Series de Tiempo Métodos Descriptivos

Transcripción

1 Series de Tiempo Méodos Descripivos Resumen El procedimieno de Méodos Descripivos crea varias ablas y gráficas para daos de series de iempo. Una serie de iempo consise en un conjuno daos numéricos secuenciales omados en inervalos de iempo igualmene espaciados, usualmene sobre un período de iempo o espacio. El procedimieno grafica los daos y muesra las auocorrelaciones, auocorrelaciones parciales y el periodograma de la muesra. Se realizan pruebas para deerminar si las observaciones podrían ser muesras de un proceso aleaorio o ruido blanco. Si se apora una segunda serie de iempo, ambién se calculan y se muesran las correlaciones cruzadas enre las dos series. SaFolio de Muesra: sdescribe.sgp Daos Muesrales: El archivo golden gae.sf6 coniene volúmenes del ráfico mensual del puene Golden Gae en San Francisco para un período de n = 68 meses desde enero de 968 hasa diciembre de 98. La abla de abajo muesra una lisa parcial de los daos de ese archivo: Monh Traffic / / / / / / / / / / / / / Los daos fueron obenidos de una publicación del Puene Golden Gae.

2 Capura de Daos El cuadro de diálogo de capura de daos requiere el nombre de la columna que coniene los daos de series de iempo: Daos: columna numérica que coniene n observaciones igualmene espaciadas. Inervalo de Muesreo: define el inervalo enre observaciones sucesivas. Por ejemplo, los daos del Puene Golden Gae fueron recabados una vez al mes, iniciando en enero de 968. Esacionalidad: la ampliud de la esacionalidad s, si la hay. Los daos son esacionales si exise un parón que se repie en un período de iempo fijo. Por ejemplo, los daos mensuales como el ráfico en el puene Golden Gae ienen una esacionalidad de s = 2. Los daos por hora que se repien odos los días ienen una esacionalidad de s = 24. Si no se inroduce nada, se asume que los daos no ienen esacionalidad (s = ). Ajuse por Jornadas Financieras: una variable numérica con n observaciones usadas para normalizar las observaciones originales ales como el número de días laborales en un mes. Las observaciones en la columna Daos serán divididas por esos valores anes de ser graficadas o analizadas. Selección: selecciona el subconjuno. 2

3 Resumen del Análisis El Resumen del Análisis muesra el número de observaciones en la serie de iempo y la ampliud de la esacionalidad: Méodos Descripivos - Traffic Daos/Variable: Traffic (Golden Gae Bridge Traffic Volume) Número de observaciones = 68 Indice Inicial = /68 Inervalo de Muesra =.0 mes(es) Longiud de la esacionalidad = 2 Noa: una canidad limiada de daos falanes esá permiida, siempre que no haya demasiados valores falanes junos. Los valores falanes son reemplazados por valores inerpolados de acuerdo con el méodo señalado en la sección Cálculos. Tabla de Daos La Tabla de Daos despliega la capura de daos: Tabla de Daos para Traffic Periodo Daos Ajusados / / / / / / / / / / / / Periodo: el índice de la muesra. Daos: la observación y. Ajusados: los daos ajusados y, si un ajuse ha sido especificado usando Opciones de Análisis. Opciones de Análisis Opciones de Análisis permie que los daos sean ransformados anes de que sean graficados o analizados: 3

4 Maemáica: ransforma los daos mediane la realización de la operación maemáica indicada. Con excepción de la ransformación de Box-Cox, las selecciones son auo explicaorias. La ransformación de Box-Cox es usada cuando es necesario que los daos sean más Gaussianos. Para una discusión deallada, ver la documenación para el procedimieno Transformaciones de Box-Cox. Esacional: ajuse esacional de daos usando el méodo indicado. Los ajuses esacionales esán diseñados para remover cualquier componene esacional de los daos. Los méodos usados son discuidos en la documenación para el procedimieno Descomposición Esacional. Tendencia: remueve una endencia ajusando y subsrayendo el ipo de endencia indicado. Los daos ransformados son los residuos de la línea de endencia. Las ecuaciones para cada ipo de endencia es discuida en la documenación para el procedimieno Predicción. Diferenciación: ransforma los daos al omar las diferencias no esacionales de orden d y/o las diferencias esacionales de orden D. La Diferenciación es usada algunas veces para esabilizar una serie de iempo no esacionaria que no iene una media consane. Una diferencia no esacional de orden d es creada al subsraer consecuivas observaciones d veces. Por ejemplo, la primera diferencia (d = ) es dada por: = y y y () Mienras que una segunda diferencia (d = 2) esá dada por: 4

5 ( y y ) ( y y ) = 2 y (2) Una diferencia esacional de orden (D = ) esá dada por: y = y y 3) s Una diferencia esacional de orden 2 (D = 2) esá dada por: ( y y ) ( y y ) (4) y = s s 2s Inflación: ajusa los daos por la inflación usando la asa de inflación especificada λ. Aplicada al inicio del período, el ajuse es: y = y ( 0 + ) ( + λ) (5) Donde 0 es el índice de la primera observación. Si se aplica a la miad del período, el ajuse es: y y = ( + λ 0.5) ) ( 0 + (6) Si más de una ransformación es requerida, ésas serán aplicadas en el siguiene orden:. Ajuse de días hábiles 2. ajuse por inflación 3. ajuse maemáico 4. ajuse esacional 5. ajuse de endencia 6. diferenciación Gráfica de Secuencia de Tiempo Horizonal La Gráfica de Secuencia de Tiempo Horizonal muesra los daos de la serie de iempo en orden secuencial: 5

6 Gráfica de Serie de Tiempo para Traffic 3 03 Traffic /68 /7 /74 /77 /80 /83 Los daos del ráfico conienen algunas caracerísicas muy ineresanes:. Una endencia general ascendene. 2. Una ciclicidad regular anual alrededor de la endencia, con un pico en el ráfico que ocurre en los meses de verano. 3. Dramáicos cambios a la línea de endencia ocurriendo a finales de 973, cuando el embargo al peróleo de Arabia convirió a la gasolina en un bien difícil de conseguir. Un suceso similar pero menos dramáico ocurrió durane 978. Opciones de Cuadro Punos: grafica símbolos de punos en cada observación. Líneas: coneca las observaciones con una línea. Gráfica de Secuencia de Tiempo Verical La Gráfica de Secuencia de Tiempo Verical muesra la serie de iempo dibujando líneas vericales desde una línea base para cada observación: 6

7 Gráfica de Serie de Tiempo para Traffic 3 03 Traffic /68 /7 /74 /77 /80 /83 Opciones de Cuadro Línea base: posición de la cual las líneas vericales son dibujadas. Auocorrelaciones Una herramiena imporane en la modelación de daos de series de iempo es la función de auocorrelación. La auocorrelación en el rezago k mide la fuerza de la correlación enre las observaciones durane k períodos de iempo. La auocorrelación muesral del rezago k se calcula de la siguiene manera: r k n k = = n ( y y)( y y) ( y y) = + k 2 (7) 7

8 El cuadro de Auocorrelaciones muesra las auocorrelaciones muesrales juno con los errores esándar de los rezagos grandes y los límies de probabilidad: Auocorrelaciones Esimadas para Traffic Límie en 95.0% Límie en 95.0% Reraso Auocorrelación Error Esd. Inferior Superior El error esándar para r k es calculado con el supueso de que las auocorrelaciones han desaparecido por el rezago k y son iguales a 0 en odos los rezagos mayores o iguales a k. El error esándar se calcula de la siguiene manera: k = + 2 se [ rk ] 2 r k (8) n i= Ese error esándar se usa para calcular 00(-α)% límies de probabilidad alrededor de cero, usando un valor críico de la disribución normal esándar: 0 z α / 2 k ± se[ r ] (9) Si α = 0.05, las auocorrelaciones muesrales que caen fuera de esos límies son esadísicamene significaivamene diferene de 0 en un nivel de significancia de 5%. El SaAdvisor señala ese ipo de auocorrelaciones con rojo. Para los daos del ráfico, noe que hay valores significaivos para los 3 primeros rezagos y ambién en la vecindad de s = 2 y 2s = 24. Los valores significaivos en los primeros 8

9 rezagos ocurren porque exisen observaciones cercanas en el iempo que esán correlacionadas. Los rezagos significaivos alrededor de 2 y 24 son causados por el fuere parón esacional. Cuadro de Opciones Número de rerasos: máximo rezago k para calcular la auocorrelación. Nivel de Confianza: valor de 00(-α)% usado para calcular los límies de probabilidad. Función de Auocorrelación La gráfica de Función de Auocorrelaion muesra las auocorrelacionadas muesrales y los límies de probabilidad: Auocorrelaciones Esimadas para Traffic Auocorrelaciones reraso 9

10 Las barras que se exienden más allá de los límies superior e inferior corresponden a auocorrelaciones esadísicamene significaivas. Auocorrelaciones Parciales Ora imporane herramiena en la modelación de daos de series de iempo es la función de aucorrelación parcial. Las auocorrelaciones parciales son usadas para ayudar a idenificar el orden adecuado del modelo auorregresivo para usar en la descripción de la serie de iempo observada. La auocorrelación parcial φˆ kk del rezago muesral k se calcula como se describe en la sección de Cálculos. El cuadro de Auocorrelaciones Parciales muesra las auocorrelaciones parciales muesrales juno con errores esándar de rezagos grandes y límies de probabilidad: Auocorrelaciones Parciales Esimadas para Traffic Parcial Límie en 95.0% Límie en 95.0% Reraso Auocorrelación Error Esd. Inferior Superior El error esándar para φˆ kk es calculado a parir de: se[ ˆ φ kk ] = (0) n 0

11 Ese error esándar se usa para calcular 00(-α)% límies de probabilidad alrededor de cero, usando un valor críico de la disribución normal esándar: ± z se[ ˆ φ ] () 0 α / 2 kk Si α = 0.05, cualquiera de las auocorrelaciones parciales muesrales que caen fuera de esos límies son esadísicamene significaivamene diferene de 0 a un nivel de significancia de 5%. El SaAdvisor señala cualquier auocorrelación parcial de ese ipo con rojo. Para los daos del ráfico, noe que exisen valores significaivos a lo largo de los primeros 3 rezagos. Eso implica que se necesiaría un modelo auorregresivo más complicado para describir los daos observados, lo cual no sería sorprendene dada su nauraleza (endencia) no esacionaria. Cuadro de Opciones Número de rerasos: máximo rezago k para calcular la auocorrelación parcial. Nivel de Confianza: valor de 00(-α)% usado para calcular los límies de probabilidad. Función de Auocorrelación Parcial La Función Parcial de Auocorrelación grafica las auocorrelaciones parciales muesrales y los límies de probabilidad:

12 Auocorrelaciones Parciales Esimadas para Traffic Auocorrelaciones Parciales reraso Las barras que se exienden más allá de los límies superior o inferior corresponden a auocorrelaciones parciales significaivas. Periodograma Las auocorrelaciones y auocorrelaciones parciales describen el comporamieno de los daos en el dominio del iempo, por ejemplo, al esimar esadísicos basados en un espacio del iempo enre observaciones. También es úil examinar los daos en el dominio de la frecuencia al considerar qué ana variabilidad exise en diferenes frecuencias. Se ha demosrado que cualquier serie de iempo discrea puede ser represenada como la suma de un conjuno de senos y cosenos en un conjuno de frecuencias llamadas frecuencias de Fourier. Un ípico componene iene la forma: a i ( 2πf ) b sin( 2πf ) cos + (2) i i i donde f i es la i-ésima frecuencia de Fourier. La i-ésima frecuencia de Fourier es i f i = (3) n Para i = 0,,, n/2 si n es par y i = 0,,, (n-)/2 si n es impar. El periodograma calcula la poencia de los daos en cada frecuencia de Fourier al calcular: n 2 2 ( f ) ( a b ) I i = i + i (4) 2 2

13 El cual se mide de acuerdo con una escala al que la suma de las ordenadas del periodograma a ravés de odas las frecuencias de Fourier excepo para i = 0, arroja la suma de las desviaciones cuadradas de la serie de iempo alrededor de su media, por ejemplo ( y i y) n i= frecuencia. 2. En efeco, el periodograma genera un análisis de varianza por El cuadro del periodograma muesra la siguiene abla: Periodograma para Traffic Suma Periodograma i Frecuencia Periodo Ordenada Acumulada Inegrado E E E La abla incluye: Frecuencia: la i-ésima frecuencia de Fourier f i = i/n. Periodo: el periodo asociado por la frecuencia de Fourier dado por / f i. Ese es el número de observaciones en un ciclo compleo en esa frecuencia. Ordenada: la ordenada del periodograma I(f i ). Suma Acumulada: la suma de las ordenadas del periodograma en odas las frecuencias hasa e incluyendo la i-ésima. Periodograma Inegrado: la suma acumulada dividida enre la suma las ordenadas del periodograma en odas las frecuencias de Fourier. Esa columna represena la proporción de la poencia en la serie de iempo en o debajo de la i-ésima frecuencia. Por ejemplo, la frecuencia 4a de Fourier corresponde a una oscilación con un periodo de 2 meses. Hay una ordenada muy grande en esa frecuencia porque los daos ienden a subir y caer sobre una base anual. Si se fuera a ajusar un modelo de regresión en esa frecuencia, omaría la forma: 3

14 2π 2π Y = c + a cos + bsin e (5) donde c es una consane y e es el érmino de error. Ajusando ese modelo usando el procedimieno Regresión Múliple arroja: ˆ Y 2π = cos sin 2 2π 2 (6) Un diagrama de punos de ése modelo se muesra abajo: Gráfico X-Y Múliple 3 Variables Regression Traffic /68 /7 /74 /77 /80 /83 Monh Noe qué ano de la variabilidad ha sido explicada por aquel simple componene. Cuadro de Opciones Remover media: verifica para susraer la media de la serie de iempo anes de calcular el periodograma. Si la media no es removida, la ordenada en i = 0 será probablemene muy grande. 4

15 Menguar: porcenaje de los daos en cada final de la serie de iempo en el cual un grabador de daos será aplicado anes de que el periodograma sea calculado. Siguiendo a Bloomfield (2000), STATGRAPHICS usa un ajusador de coseno que disminuye la imporancia de las observaciones cercanas a i = y i = n. Eso es úil para corregir el sesgo si las ordenadas del periodograma van a ser suavizadas para crear una esimación de la función de densidad especral subyacene. Gráfica de Periodograma La Gráfica de Periodograma muesra las ordenadas del periodograma: (X 000.0) 5 Periodograma para Traffic 4 Ordenada frecuencia Noe un pico enorme en la frecuencia /2 meses. Dos pequeñas elevaciones pueden ser observadas en el primer y segundo armónicos (2/2 y 3/2) porque la oscilación esacional no es puramene senoidal. Exise ambién alguna poencia en las frecuencias muy pequeñas, causado por las endencias y cambios repeninos en la serie de iempo del ráfico. Cuadro de Opciones 5

16 Remover media: verifica para subsraer la media de la serie de iempo anes de calcular el periodograma. Punos: si es verificado, serán mosrados símbolos de punos. Líneas: si es verificado, las ordenadas serán conecadas por una línea. Menguar: porcenaje de los daos en cada final de la serie de iempo en los cuales un ajusador de daos será aplicado anes de que el periodograma sea calculado. Periodograma Inegrado El Periodograma Inegrado muesra las sumas acumuladas de las ordenadas del periodograma divididas enre la suma de las ordenadas de odas las frecuencias de Fourier: Periodograma para Traffic 0.8 Ordenada frecuencia Se incluye una línea diagonal sobre la gráfica juno con bandas de Kolmogorov de 95% y 99%. Si la serie de iempo es puramene aleaoria, el periodograma inegrado debería caer denro de esas bandas el 95% y 99% del iempo. Para los daos del ráfico, es seguro concluir que los daos no forman una serie de iempo aleaoria. 6

17 Prueba para Aleaoriedad El cuadro de Pruebas para Aleaoriedad muesra los resulados de pruebas adicionales realizadas para deerminar si o no la serie de iempo es puramene aleaoria: Prueba de Aleaoriedad de Traffic () Corridas arriba o abajo de la mediana Mediana = Número de corridas arriba o abajo de la mediana = 32 Número esperado de corridas = 85.0 Esadísico z para muesras grandes = Valor-P = E-6 (2) Corridas arriba y abajo Número de corridas arriba y abajo = 47 Número esperado de corridas =.667 Esadísico z para muesras grandes =.8052 Valor-P = 0.0 (3) Prueba Box-Pierce Prueba basada en las primeras 24 auocorrelaciones Esadísico de prueba para muesras grandes = Valor-P = 0.0 Se realizan res pruebas:. Corridas arriba y debajo de la mediana: calcula el número de veces que la serie va arriba o debajo de su mediana. Ese número es comparado con el valor esperado para una serie de iempo aleaoria. Una serie con endencia como la de los daos del ráfico, es probable que muesre significaivamene menos corridas a las esperadas. Pequeños P-values (menos que 0.05 si se opera en un nivel de significancia de 5%) indican que la serie de iempo no es puramene aleaoria. 2. Corridas arriba y abajo: calcula el número de veces que la serie sube y baja. Ése número se compara con el valor esperado para una serie de iempo aleaoria. Una serie con fuere oscilación, al como los daos del ráfico, es muy probable de mosrar significaivamene menos corridas que las esperadas. Pequeños P-values indican que la serie de iempo no es puramene aleaoria. 3. Prueba de Box-Pierce: consruye una prueba esadísica basada en las primeras k auocorrelaciones muesrales al calcular: Q = n k 2 r i i= (7) Ése esadísico se compara con una disribución chi-cuadrada con k grados de liberad. Como con las oras dos pruebas, pequeños P-values indican que la serie de iempo no es puramene aleaoria. 7

18 Nuevamene, no hay alguna duda de que la serie de ráfico coniene una esrucura no aleaoria significaiva. Cuadro de Opciones Número de rerasos: número de rezagos k para incluir en la prueba de Box-Pierce. Correlaciones Cruzadas El cuadro de Correlaciones Cruzadas muesra correlaciones cruzadas enre la serie de iempo principal y la segunda serie especificada usando las Opciones de Cuadro. Las correlaciones cruzadas enre una serie de iempo Y en el iempo y una segunda serie de iempo X en el iempo -k se denoa como c xy (k). Un uso ípico de las correlaciones cruzadas es en la idenificación de indicadores principales o en una relación insumoproduco. Por ejemplo, Box, Jenkins y Reinsel (994) presenan daos de insumo y produco de un horno de gas en inervalos de 9 segundos los cuales se encuenran en el archivo furnace.sf6. Los daos consisen en:. Serie de produco Y: % Co2 en el gas obenido 2. Serie de insumo X: asa de gas inroducido en pies cúbicos por minuo La abla de correlaciones cruzadas se muesra abajo: Correlaciones Cruzadas Esimadas para Oupu con Inpu Reraso Correlación Cruzada

19 Algunas correlaciones negaivas grandes son noables, con un pico en k = 5. Eso sugiere que los incremenos en el insumo asa de gas usado causan decremenos en el % de Co2 en la asa de gas obenido con un pico alrededor de 45 segundos después. Cuadro de Opciones Segunda Serie de Tiempo: las observaciones para la serie de iempo X. Número de rezagos: máximo rezago k (posiivo y negaivo) en el cual se calculan las correlaciones cruzadas. Gráfica de Correlaciones Cruzadas La Gráfica de correlaciones cruzadas muesra las correlaciones cruzadas esimadas: Correlaciones Cruzadas Esimadas para Oupu con Inpu Correlaciones Cruzadas reraso 9

20 Noe las correlaciones negaivas grandes en los rezagos posiivos. Guardar Resulados Los siguienes resulados pueden ser guardados en la hoja de base de daos:. Daos las observaciones originales juno con cualquier valor inerpolado reemplazado para los daos falanes. 2. Daos Ajusados daos de la serie de iempo después que cualquier ajuse se haya hecho. 3. Eiqueas de periodo idenificación del iempo para cada observación. 4. Auocorrelaciones auocorrelaciones muesrales. 5. Auocorrelaciones parciales auocorrelaciones parciales muesrales. 6. Correlaciones cruzadas correlaciones cruzadas muesrales. 7. Ordenadas de Periodograma ordenadas del periodograma calculadas. 8. Frecuencias de Fourier Frecuencias de Fourier que corresponden a las ordenadas del periodograma. 20

21 Cálculos Daos Falanes Un limiado número de daos falanes esá permiido, mienras no haya muchos valores falanes que se encuenren cerca. Anes que los daos sean analizados, los valores falanes son reemplazados por valores inerpolados, los cuales son deerminados de acuerdo con la siguiene regla:. Si y, la observación en el iempo, fala, encuenre las dos observaciones en la misma esacionalidad que preceden el iempo (y -s y y -2s ) y las dos observaciones en la misma esacionalidad que vienen después del iempo (y +s y y +2s ). 2. Si ninguna de las cuaro observaciones fala, enonces el valor de reemplazo para y es: y 3y 2s + 2y s + 2y+ s 3y+ 2s = (8) 8 3. Si y +2s fala pero los oros res no, enonces el valor de reemplazo para y es: y y 2s + 3y s + y+ s = (9) 3 4. Si y +s esá falando pero los oros res no, enonces el valor de reemplazo para y es: y 3y 2s + 8y s + y+ s = (20) 6 5. Si y +s esá falando pero los oros res no, enonces el valor de reemplazo para y es: y 2s + 8y+ s 3y+ 2s y = (2) 6 6. Si y -2s esá falando pero los oros res no, enonces el valor de reemplazo para y es: y s + 3y+ s y+ s y = (22) 3 7. Si y +s y y +2s esán falando pero los oros dos no, enonces el valor de reemplazo para y es: 2

22 y = y 2 2 s + y s (23) 8. Si y -s y y +2s esán falando pero los oros dos no, enonces el valor de reemplazo para y es: y y 2s + 2y+ s = (24) 3 9. Si y -s y y +s esán falando pero los oros dos no, enonces el valor de reemplazo para y es: y y 2s + y+ 2s = (25) 2 0. Si y -2s y y +2s esán falando pero los oros dos no, enonces el valor de reemplazo para y es: y y s y+ s = + (26) 2. Si y -2s y y +s esán falando pero los oros dos no, enonces el valor de reemplazo para y es: y 2 2s y s y+ = + (27) 3 2. Si y -2s y y -s esán falando pero los oros dos no, enonces el valor de reemplazo para y es: y 2 y+ s y+ 2s = (28) Si más de 2 de las cuaro observaciones esán falando, un mensaje de error será mosrado y el análisis no será realizado. Los valores inerpolados esán diseñados para reproducir perfecamene una endencia cuadráica (si solamene una de las observaciones fala) o una endencia lineal (si falan dos observaciones), siempre que no haya ruido presene. 22

23 Auocorrelaciones Parciales r k = k ˆ ˆ rk = φk, jrk j φ kk j= para k > k ˆ φk, jrj j= (29) donde ˆ φ ˆ φ ˆ φ ˆ φ para j =, 2,, k- kj = k, j kk k, k j (30) Pruebas de Corridas Refiérase a la documenación para el procedimieno Cuadros de Rachas o Corridas. Correlaciones Cruzadas r xy cxy ( k) ( k) = (3) s s x y donde c c xy xy ( k) = ( x x)( y+ k y) para k = 0,, 2, (32) n n k = ( k) = ( y y)( x k x) para k = 0, -, -2, (33) n n n + k = x = x = (34) n n y = y = (35) n 23

24 s x = c xx (0) (36) s y = c yy (0) (37) 24