Modelo de Vector de Corrección de Error (VEC) y Modelo de Vector Autorregresivo (VAR)

Transcripción

1 Modelo de Vecor de Corrección de Error (VEC) Modelo de Vecor Auorregresivo (VAR) Hemos esudiado las propiedades de los daos de series de iempo las relaciones de coinegración enre pares de series no esacionarias. En dichos ejemplos, se asumió que una de las variables es la dependiene (digamos raamos la relación enre ) que la ora es la variable independiene (digamos x ) x como un modelo de regresión. Sin embargo, a priori, a menos que no engamos buenas razones para ello, podemos asumir que x es la variable dependiene es la variable independiene. Denoemos x, a las dos variables los dos posibles modelos de regresión que las relacionan (13.1a) (13.1b) Despejando de (13.1a) por lo que la relación que se deeca con (13.1b) es Despejando de (13.1b) por lo que la relación que se deeca con (13.1a) es Por lo que en el sisema bivariado (dos series) expresado en (13.1a) (13.1b) sólo ha una única relación enre x, la cual se da en los casos en que Un poco de erminología: para (13.1a) decimos que normalizamos en igual a 1 en (13.1b) normalizamos en x al hacer el coeficiene de x igual a 1. al hacer el coeficiene de Es mejor escribir la relación como en (13.1a) o (13.1b) o es mejor reconocer que en muchas relaciones, las variables como x son simuláneamene deerminadas? El objeivo de ese capíulo es explorar la relación causal enre pares de variables de series de iempo. Para ello,

2 haremos exensivo nuesro esudio de los daos de series de iempo para omar en cuena sus propiedades dinámicas e ineracciones. En paricular, se desarrollarán los modelos de Vecor de Corrección de Error (VEC) Vecor Auorregresivo (VAR). Si las variables I(1) coinegran, se esimará un modelo VEC. Si las variables I(1) no coinegran, se esimará un modelo VAR. Eso no es más que una exensión a lo viso con modelos uniecuacionales del capíulo anerior. Algunos aspecos imporanes que recordar son: i) El análisis univariado examina daos de una serie de iempo. ii) El análisis bivariado examina daos de un par de series de iempo. iii) El érmino vecor indica que esamos considerando dos, res o más series de iempo. Vecor es una generalización de los casos univariado bivariado. Modelos VEC VAR Comencemos con dos variables de series de iempo x, faciliemos el análisis de la relación dinámica mediane el siguiene sisema de ecuaciones expresado en forma maricial: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ahora, el sisema de ecuaciones en forma desarrollada: (13.2) Las ecuaciones en (13.2) describen un sisema en el cual cada variable es una función de su propio rezago el rezago de la ora variable en el sisema. En ese caso, el sisema coniene dos variables x. En la primera ecuación es una función de su propio rezago 1 del rezago de la ora variable en el sisema x 1. En la segunda ecuación x es una función de su propio rezago x 1 del rezago de la ora variable en el sisema 1. Las dos ecuaciones consiuen un sisema conocido como vecor de auorregresión (VAR). En ese ejemplo, a parir de que el rezago máximo es de orden 1, se iene un VAR(1). Si x son variables esacionarias I(0), el sisema arriba indicado puede esimarse usando mínimos cuadrados para cada ecuación. Si x son no esacionarias I(1) no coinegradas, enonces se rabajará con las series en primeras diferencias, cómo se vio en el capíulo anerior. En ese caso, el modelo VAR es:

3 es decir (13.3) en forma maricial [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ahora son variables esacionarias, se esima cada ecuación del sisema (13.3) por MCO. Recapiulando: El modelo VAR es un marco general para describir la inerrelación dinámica enre variables esacionarias. Así, si x son variables esacionarias I(0), el sisema en (13.2) es el que aplica. En oro caso, si x son variables I(1) pero no coinegradas, se examina la inerrelación enre ellas empleando el marco general de VAR en primeras diferencias (13.3). Si x son variables I(1) coinegradas, enonces el sisema de ecuaciones se modifica de al manera que cape la relación de coinegración enre dichas variables I(1). Se debe hacer eso por dos razones: i) Como economisas, gusamos de reener emplear la información valiosa acerca de la relación de coinegración. ii) Como economerisas, gusamos de asegurar que se esé empleando la mejor écnica que ome en cuena las propiedades de los daos de series de iempo. La ecuación de coinegración es una forma de inroducir ineracciones simuláneas sin requerir que los daos sean esacionarios. Mediane la inroducción de esa relación de coinegración, se obiene el modelo VEC, que se desarrolla a coninuación: Consideremos dos variables ~ I(1) x ~ I(1) esán coinegradas mediane la ecuación x no esacionarias que son inegradas de orden 1, además (13.4) donde los residuales esimados son ales que

4 Podemos elegir normalizar en x. La normalización en o en x es casi siempre deerminada por la eoría económica; el puno críico es que siempre es posible enconrar a lo más una relación fundamenal enre las dos variables. El modelo VEC es una forma especial del modelo VAR para variables Así, el modelo VEC es que esán coinegradas. es decir (13.5a) expandiendo reordenando érminos (13.5b) Comparando (13.5b) con (13.2) se observa que el VEC es un VAR donde la variable, que es I(1), esá relacionada con las oras variables rezagadas ( 1 x 1 ) donde la variable x, que es I(1), esá ambién relacionada con las oras variables rezagadas ( 1 x 1 ). Noar, sin embargo, que las dos ecuaciones conienen la relación común de coinegración. Los coeficienes, son conocidos como coeficienes de corrección de error, nombrados así porque ellos muesran qué ano responden al error de coinegración. La idea de que el error conduce a una corrección proviene de las condiciones sobre, para asegurar esabilidad Para apreciar esa idea, consideremos un error posiivo que ocurrió debido a que Un coeficiene de corrección de error negaivo en la primera ecuación ( ) asegura que disminue, mienras que un coeficiene de corrección de error posiivo en la segunda ecuación ( ) asegura que aumena, corrigiéndose así el error. Si los coeficienes de corrección de error son menores que 1 en valor absoluo, se asegura que el sisema es no explosivo. Nóese que

5 el VEC es una generalización del modelo de corrección de error (uniecuacional) discuido en el Capíulo 12. En el modelo VEC (sisema de ecuaciones), ambos x son correcoras del error. El modelo de corrección de error se ha vuelo mu popular porque su inerpreación es inuiivamene araciva. Pensando en dos variables no esacionarias, por decir el consumo (denoado como ) el ingreso (denoado como x ) que esperamos se encuenren relacionadas (coinegradas). Ahora, pensando en un cambio en el ingreso,, digamos por un aumeno de sueldo. El consumo probablemene aumene, pero omará un iempo, mienras cambie el parón de consumo en respuesa a un cambio en el salario. El modelo VEC nos permie examinar qué ano el consumo cambiará en respuesa a un cambio en la variable explicaiva (la pare de coinegración ) como ambién de la velocidad de cambio (la pare del error de corrección ) donde es el error de coinegración). Un puno final por discuir: el rol de los érminos de inercepo. Hasa ahora, hemos viso el érmino de inercepo ano en la ecuación de coinegración ( ) como en el VEC ( ). Sin embargo, eso puede crear un problema. Para ver por qué, agrupemos odos los érminos de inercepo reescribamos (13.5b) como (13.5c) En forma maricial o [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] es decir o [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] donde [ ] es el vecor de coeficienes de corrección de error; expandiendo reordenando érminos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] agrupando a los vecores consanes

6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Si esimamos cada ecuación por mínimos cuadrados ordinarios, obenemos esimadores de los érminos compuesos ( ) ( ) no seremos capaces de disinguir los efecos por separado de,. En la siguiene sección, se discue un procedimieno sencillo de esimación de un VEC por mínimos cuadrados en dos eapas (MC2E) que nos permiirá resolver el problema de separar los efecos de,. Sin embargo, la lección aquí es evaluar ver dónde un érmino de inercepo es necesario. Esimación de un modelo VEC Ha muchos méodos economéricos para esimar un modelo de corrección de error. Un sisema de mínimos cuadrados no lineales es un méodo, pero el méodo más direco es el procedimieno de mínimos cuadrados en dos eapas (MC2E): Eapa 1, Emplear MCO para esimar la relación de coinegración para las variables no esacionarias. Generar los residuales rezagados (13.4) Eapa 2, Esimar por MCO las ecuaciones (13.5a) (13.6a) (13.6b) en forma maricial o [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] donde [ ] es el vecor de coeficienes de corrección de error.

7 Es imporane noar que odas las variables en (13.6) ( ) son esacionarias, es decir la serie de residuales debe ser esacionaria para que que esén coinegradas. Así, el análisis de regresión lineal esudiado en capíulos aneriores puede ser uilizado para probar la significancia de los parámeros. El diagnósico usual de las pruebas para los residuales debe ser aplicado. Es necesario ener cuidado sobre cómo combinar variables esacionarias no esacionarias en un modelo de regresión. La coinegración es sobre la relación enre variables. La ecuación de coinegración no coniene variables. El correspondiene modelo VEC, sin embargo, relaciona el cambio en una variable (es decir, las variables que son ) a oras variables (en ese caso, el error esimado o residuales de coinegración ); si así se requiere, pueden agregarse oras variables esacionarias. En oras palabras, no deben mezclarse variables esacionarias variables no esacionarias: una variable dependiene debe ser explicada por oras variables una variable dependiene debe ser explicada por oras variables. Ejemplo Dadas las series del PIB real (base 2000) rimesral de una economía pequeña (Ausralia) una economía grande (Esados Unidos de América) para el periodo muesral 1970:1 a 2000:4. Cada serie esá indizada de al forma que en ambas economías se muesre un valor de 100 en el año Esa información se encuenra en la base de daos gdp.da En Saa: use "C:\POE4\gdp.da", clear generae dae = q(1970q1) + _n-1 forma dae %q sse dae label var usa "real GDP USA" label var aus "real GDP Ausralia" sline usa aus, name(gdp, replace) label(30(10)110,angle(horizonal)) sline d.usa d.aus, name(dgdp, replace) graph combine gdp dgdp, saving("c:\poe4\series_gdp.gph",replace) q1 1980q1 1990q1 2000q1 dae 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 dae real GDP USA real GDP Ausralia real GDP USA, D real GDP Ausralia, D

8 Los gráficos sugieren que las series son no esacionarias en niveles, pero sí en primeras diferencias, parecen mosrar una endencia común, lo que es indicaivo de que puedan esar coinegradas. Prueba de esacionariedad de la serie del PIB de EEUU regress usa l.usa predic eha,residuals regress eha L(1/2).eha dfuller usa, regress rend lags(1)

9 Prueba de esacionariedad de la serie del PIB de Ausralia drop eha regress aus l.aus predic eha,residuals regress eha L.eha

10 dfuller aus, regress rend Por lo ano, las pruebas formales de raíces uniarias confirman que las series son no esacionarias. Regresión de coinegración prueba Engle-Granger. Series del PIB real de EEUU Ausralia Al planear una relación en el senido de que una economía pequeña responde a una economía grande esimar la relación de coinegración, omiiendo el inercepo, que no iene senido económico, se obiene

11 (13.7) donde denoa el PIB real de Ausralia denoa el PIB real de Esados Unidos. Nóese que se ha normalizado sobre porque iene mejor senido pensar que una economía pequeña responde a una economía grande. Los residuales que se derivan de la ecuación de coinegración son La auocorrelación de primer orden para la serie de es la serie sugiere que los residuales pueden ser esacionarios. una inspección visual de Residuals q1 1980q1 1990q1 2000q1 dae Se efecúa la prueba formal de raíz uniaria, cua ecuación esimada es (13.8) a parir de

12 En efeco, los residuales son esacionarios. A parir de que la relación de coinegración no coniene un inercepo, el valor críico para la prueba al 5% es -2.76, omado de la siguiene abla El valor calculado es menor que el valor críico de -2.76, por lo que se rechaza la hipóesis nula de no coinegración se conclue que las series del PIB real de EEUU del PIB real de Ausralia coinegran. Ese resulado implica que la acividad económica en la economía pequeña (Ausralia, ) esá vinculada a la acividad económica en la economía grande (Esados Unidos, ). Si se incremenara en una unidad, podría incremenarse en Pero la economía ausraliana no podría responder oalmene por esa canidad durane el rimesre. Para esar cieros de en cuáno la economía responderá durane el rimesre, se esima un modelo de corrección de error por mínimos cuadrados ordinarios. El modelo VEC esimado para { } es (13.9) en forma maricial o [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] ] donde [ ] [ ] es el vecor de coeficienes esimados de corrección de error.

13 En Saa use "C:\POE4\gdp.da", clear generae dae = q(1970q1) + _n-1 forma dae %q sse dae regress aus usa, noconsan predic eha, residuals corrgram eha, lags(5) sline eha dfuller eha, regress noconsan regress D.aus L.eha regress D.usa L.eha drop eha Los resulados muesran que ambos coeficienes de corrección de error ienen el signo apropiado. El coeficiene de corrección de error que iene signo negaivo en la primera ecuación (-0.099) indica que disminue (eso es, disminue o es negaivo) mienras que el coeficiene de corrección de error que iene signo posiivo en la segunda ecuación (0.030) indica que aumena (eso es, aumena o es posiivo) cuando ha un error posiivo de coinegración ( o ). Ese comporamieno (cambio negaivo en cambio posiive en ) corrige el error de coinegración. El coeficiene de corrección de error (-0.099) es significaivo al nivel de 5%; ese indica que el ajuse rimesral de esará desviado en cerca de un 10% de de su valor de coinegración. Esa es una asa de ajuse lena. Sin embargo, el coeficiene de corrección de error en la segunda ecuación (0.030) es no significaivo; eso sugiere que no reacciona al error de coinegración. Ese resulado es consisene con la premisa de que la economía pequeña reacciona con maor probabilidad a las condiciones económicas que prevalecen en la economía grande, pero no viceversa. Esimación de un modelo VAR El modelo VEC es un modelo dinámico mulivariado que incorpora una ecuación de coinegración. Ese es relevane cuando, para el caso bivariado, enemos dos variables, digamos, siendo ambas coinegradas. Ahora nos pregunamos: qué debemos hacer si esamos ineresados en las inerdependencias enre, pero esas variables no coinegran?. En ese caso, se esimará un modelo de vecores auorregresivos (VAR) como el que se muesra en (13.3). Como ejemplo, consideremos la gráfica siguiene, que muesra el logarimo del ingreso real disponible (denoado como ) el logarimo del gaso en consumo real personal (denoado como ) para la economía noreamericana durane el periodo del primer rimesre de 1960 al cuaro rimesre del 2009.

14 q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 dae log of real consumpion expendiure log of real disposable income Ambas series parecen ser no esacionarias, pero esán coinegradas? Los daos esán en el archivo fred.da En Saa use "C:\POE4\fred.da", clear generae dae = q(1960q1) + _n-1 forma dae %q sse dae sline c * Prueba ADF * Serie del Consumo regress c l.c predic eha,residuals regress eha L(1/3).eha dfuller c, regress lags(3) * Serie del Ingreso drop eha regress l. predic eha,residuals regress eha L.eha dfuller, regress * Prueba de coinegración drop eha regress c predic eha, residuals regress eha L.eha, noconsan regress eha L.eha L2.eha, noconsan regress eha L.eha L2.eha L3.eha, noconsan dfuller eha, regress noconsan lags(1) dfuller eha, regress noconsan lags(2)

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17 Las pruebas DFA de raíces uniarias para (para el caso de sólo un inercepo) dados los valores , respecivamene. Dado un valor críico de al nivel del 5% de significancia, podemos concluir que las series son no esacionarias. La prueba de coinegración para el caso normalizado sobre se muesra a coninuación:

18 (13.10) Se deja al lecor verificar si se obienen las mismas conclusiones al incluir érmino de endencia en las pruebas. En ese ejemplo, se consideró el Caso 2 que planea que la relación de coinegración conenga un érmino de inercepo. Nóese que un érmino de inercepo ha sido incluido para capurar el componene de logarimo del consumo que es independiene del ingreso disponible. (13.11a) (13.11b) Respuesas de impulso descomposición de varianza Funciones de respuesa de impulso El caso univariado El caso bivariado

19 (13.12) 1. Cuando, el efeco de un shock de amaño en es, el efeco en es. 2. Cuando, el efeco del shock en es el efeco en es 3. Cuando, el efeco del shock en es el efeco en es. Dos periodos después del shock, cuando, el efeco en es el efeco en es [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (E13.1)

20 (E13.3) ( ) ( ) (E13.4) (E13.7) (E13.8) (E13.9) (E13.10) (E13.12) (13A.1) [ ] [ ] [ ] [ ] (13A.2) [ ] [ ]