ANÁLISIS DE VARIABLE REAL

ANÁLISIS DE VARIABLE REAL Víctor Manuel Sánchez de los Reyes Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

Índice Los números reales, sucesiones y series 7 Los números naturales Inducción 7 2 Los números enteros y racionales 0 3 Sucesiones y series 2 4 Los números reales 5 4 Expresión decimal de los números racionales 5 42 Los números irracionales 6 43 Ordenación Intervalos 7 44 Supremo e ínfimo 8 45 Construcciones con números reales 9 46 El teorema de Bolzano-Weierstrass 23 47 Subsucesiones 23 48 Límites superior e inferior 24 49 La propiedad de Cauchy 25 5 Series convergentes 29 5 Comparación de series de términos positivos 29 52 Series alternadas 30 53 Convergencia absoluta 30 54 Criterios de convergencia 3 55 Producto de series 33 3

2 Funciones, límites y continuidad 39 2 Funciones reales de variable real 39 22 Límites 42 23 Continuidad 46 3 Derivación 5 3 Definiciones 5 32 Técnicas para el cálculo de derivadas 53 33 Propiedades de las funciones derivables 56 33 Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos locales 56 332 El teorema del valor medio 57 333 Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor 60 334 Análisis local de una función derivable 62 4 Integración 67 4 Cálculo de primitivas 67 42 La integral de Riemann 70 43 El teorema fundamental del Cálculo 74 44 Integrales impropias 76 45 Aplicaciones de la integral 79 45 Longitud de la gráfica de una función 79 452 Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolución 79 453 Las funciones trigonométricas 80 454 Las funciones logarítmica y exponencial 8 5 Sucesiones y series de funciones 83 5 Convergencia puntual 83 52 Convergencia uniforme 84 4

53 Propiedades de la función límite 87 53 Continuidad 87 532 Integración 88 533 Derivación 88 54 Series de potencias 90 Bibliografía 95 5

Tema Los números reales, sucesiones y series Los números naturales Inducción Definición Los números naturales son los números, 2, 3, y N designa a la colección de todos ellos Los axiomas de Peano constituyen una caracterización de N: En N hay un elemento distinguido, 2 Para cada n N está definido en N de manera única el siguiente de n, n +, que verifica n + 3 n + = m + implica que n = m 4 (Principio de inducción matemática) Si un subconjunto A de N verifica que A y, si k A, resulta también que k + A, entonces A = N Definición 2 Para definir la suma en N se procede así: se fija un elemento arbitrario n N y se trata de definir n + m cuando m recorre N Para ello se define n + = n + y n + m + = (n + m) + De forma análoga, las relaciones n = n y n m + = n m + n sirven para definir el producto Por otra parte, n > m significa que n = m+d para algún d N, y en estas circunstancias d se designa n m, y se llama diferencia de n a m El principio de inducción nos sirve para establecer que una determinada propiedad P (n) es verdadera para todo n N, de la forma siguiente: Comprobamos que P () es verdadera 7

2 Probamos que si P (k) es verdadera, entonces P (k + ) es verdadera En general, fijado n 0 N, podemos establecer que una propiedad P (n) es verdadera para cada n n 0 cuando se cumple: P (n 0 ) es verdadera 2 Si P (k) es verdadera (k n 0 ), entonces P (k + ) es verdadera O bien: P (n 0 ) es verdadera 2 Si P (i) es verdadera para cada i tal que n 0 i k, entonces P (k + ) es verdadera Definición 3 Dado n N se define el factorial de n como n! = n(n )(n 2) 2 Definición 4 Dados n N y k N {0} con k n se define el número combinatorio ( n k) como ( ) con la convención 0! = n k = n! k!(n k)! Los números combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobación es inmediata a partir de la definición anterior: ( ) ( n k = n 2 ( n+ k n k) ) ( = n ( k ) + n k) con 0 < k n A partir de la propiedad anterior se demuestra por inducción la fórmula de Newton: Teorema 5 Dado n N se tiene que (a + b) n = n Ejercicios k=0 ( n ) k a n k b k Calcula la suma de: a) Los n primeros números naturales b) Los n primeros números impares 8

c) Los n primeros cubos d) Los n primeros cuadrados e) Las potencias con exponente p N de los n primeros números naturales f ) Las potencias con exponente p N de los n primeros números impares 2 Prueba por inducción las siguientes igualdades y desigualdades, siendo en todos los casos n N: a) sen x nx (n+)x (sen x + sen 2x + + sen nx) = sen sen 2 2 2 b) sen x 2 [ + 2(cos x + cos 2x + + cos nx)] = sen ( n + 2) x c) sen x nx (cos x + cos 2x + + cos nx) = sen 2 2 [ d) sen x 2 sen x + sen ( ) ( + 2 2 x + + sen n + 2 e) + n 2 + 2 + 3 + + 2 n n + f ) ( + a) n + an, siendo a > g) 2 2n > n 2 (n+)x cos 2 ) x ] = sen 2 (n+)x 2 h) 2 4 2n > 2n + 3 2n i) ( ) n k x k ( ) n k+ x k+ + +( ) n k( n n) x n 0, siendo 0 x y k = 0,,, n j ) n( + x) n = ( ( n ) + n ( 2) 2x + + n n) nx n k) n(n )( + x) n 2 = ( ( n 2) 2 + n ( 3) 3 2x + + n n) n(n )x n 2, siendo n 2 n l) k2 k = 2 + (n )2 n+ k= m) 2 n (n + )! n) 2 + 2 3 + + n(n+) = ñ) 3 + 5 + + 4n 2 = 3 Demuestra que x n = n n+ n 2n+ [( + 5 5 2 4 Prueba que para todo n N: ) n ( a) 2 2n + 5n es múltiplo de 9 b) 5 n es múltiplo de 4 c) 7 n 6n es múltiplo de 36 d) n 5 n es múltiplo de 5 e) n+2 + 2 2n+ es múltiplo de 33 f ) 2 2n+ + es múltiplo de 3 ) n ] 5 N para todo n N 2 9

g) 4 n+ + 5 2n es múltiplo de 2 h) 0 6n+2 + 0 3n+ + es múltiplo de 5 Demuestra que cualquier número de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas de 3 y 5 botellas 2 Los números enteros y racionales Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los números enteros apoyándose en el ya conocido N Al par ordenado (a, b) de números naturales se asocia el entero positivo a b si a > b, 0 si a = b y el entero negativo (b a) si a < b Se observa así que a pares distintos puede asociarse el mismo número entero n Precisamente, se establece que la colección de tales pares constituye la identidad de n Definición 2 Las definiciones de suma, producto y ordenación en Z son las siguientes: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 2 (a, b) (c, d) = (ac + bd, bc + ad) 3 (a, b) > (c, d) significa que a + d > b + c Observación 22 Estas definiciones coinciden con las de N cuando se trata de enteros positivos y son independientes de la elección del par ordenado que representa a cada número A cada par ordenado (a, b) con b 0 de números enteros se asocia la fracción a b Definición 23 La suma y el producto de fracciones se define mediante y a b + c d = ad + bc bd a c b d = ac bd La fracción a se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de b fracciones positivas Que dos fracciones a y a son equivalentes significa que ab = a b La b b colección de todas las fracciones que son equivalentes entre sí se llama número racional, y el conjunto de todos ellos se designa por Q 0

Observación 24 En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la sustitución de un término por una fracción equivalente produce un resultado equivalente Por esta razón, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de números racionales Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son también, el número correspondiente se llama positivo, y la colección de todos ellos se designa por Q + Que x Q + se denota también x > 0 Por otra parte, si una fracción a es tal que existe un entero n que verifica a = bn, b entonces cualquier fracción a equivalente a a verifica también que b b a = b n En estas circunstancias el número racional correspondiente se identifica con n, y de esta forma se puede considerar que Z Q También resulta que las definiciones que se han establecido en Q coinciden con las de Z cuando se refieren a los elementos de Q que se identifican con los enteros Las propiedades de la suma, el producto y la ordenación en Q son las siguientes: Propiedad asociativa de la suma: (x + y) + z = x + (y + z) 2 Propiedad conmutativa de la suma: x + y = y + x 3 x + 0 = x y x + ( x) = 0 ( x se llama opuesto de x, y está definido por a b representa a x El número x + ( y) se designa también x y y es el único z que verifica x = y + z) 4 Propiedad asociativa del producto: (xy)z = x(yz) 5 Propiedad conmutativa del producto: xy = yx si a b 6 x = x y xx = si x 0 (x se llama inverso de x, y está definido por b a si a b representa a x El número xy con y 0 se designa también x : y y es el único z tal que x = yz) 7 Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz 8 Cada x Q verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y x > 0 (el valor absoluto de x, x, se define así: 0 = 0, y si x 0, x es el único número positivo del conjunto {x, x}) 9 Si x, y > 0, entonces x + y > 0 0 Si x, y > 0, entoces xy > 0 (Consecuencia de 8) Dados x, y Q, se verifica una y solo una de las relaciones x > y, x = y y x < y (x > y (o y < x) significa x y > 0)

2 (Consecuencia de 9) Propiedad transitiva del orden: si x > y e y > z, entonces x > z 3 Si x > y, entonces x + z > y + z 4 (Consecuencia de 0) Si x > y y z > 0, entonces xz > yz El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: x + y x + y 2 xy = x y 3 (Consecuencia de ) x + y x y Finalmente, se verifica también la llamada propiedad arquimediana: dados x > 0 y n N, existe m N tal que mx > n Definición 25 Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si se puede establecer entre ellos una biyección Los conjuntos que tienen el mismo cardinal que N se llaman numerables Ejemplo 26 Q es numerable En efecto, basta con ordenar Q de la siguiente forma: 0,,, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2 3, 2 3, 3 2, 3 2, 4, 4, Ejercicios Establece una biyección entre N y el conjunto A = {x Q : 2 < x < 3} 2 Demuestra que no existe x Q tal que x 2 = 2 3 Sean x, y Q + tales que x + y Q Prueba que x, y Q 4 Averigua si log 4 5 Q 3 Sucesiones y series Hay muchos procesos que llevan a asociar a cada n N un determinado número x n y se obtiene así un objeto x, x 2, x 3,, x n, llamado sucesión 2

La mayor parte de las veces una sucesión se determina mediante una fórmula para obtener x n a partir de n Por ejemplo: x n = ( n + n) Otras veces se indica qué número es x y qué fórmula permite obtener cada uno de los demás a partir del anterior Por ( x n + 2 x n ) En general se llama sucesión recurrente a aquella ejemplo: x = 2, x n+ = 2 en la que, a partir de alguno de sus términos, todos se obtienen mediante una fórmula (de recurrencia) que los relaciona con uno o varios términos precedentes Es necesario entonces indicar explícitamente los primeros términos y utilizar la fórmula a partir del siguiente No es necesario enumerar los términos de una sucesión a partir de Puede hacerse a partir de n 0 N, a partir de 0, etc Definición 3 Se dice que una sucesión x n es creciente (estrictamente creciente) si x n x n+ (x n < x n+ ) para todo n N y que es decreciente (estrictamente decreciente) si x n x n+ (x n > x n+ ) para todo n N Todos estos tipos de sucesiones se denominan sucesiones monótonas Definición 32 Una sucesión x n está acotada superiormente (inferiormente) si existe un número A tal que x n A (x n A) para todo n N Se dice entonces que A es una cota superior (inferior) de la sucesión Si x n está acotada superior e inferiormente se dice que está acotada La observación de una sucesión creciente y acotada superiormente nos sugiere que existe un número x al cual los términos de la sucesión se acercan cada vez más, llegando a estar tan próximos a él como se pueda desear Definición 33 Se dice que el número x es el límite de la sucesión x n o que x n converge a x y se expresa mediante lím x n = x si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal n que para todo n N con n n 0 se tiene que x n x < ɛ Se dice entonces que x n es convergente Las sucesiones que no son convergentes se denominan divergentes Definición 34 Se dice que la sucesión x n tiene límite + y se expresa mediante lím x n = + si para todo A > 0 existe n 0 N tal que para todo n N con n n 0 se n tiene que x n > A Análogamente se define que la sucesión x n tiene límite Definición 35 Dada la sucesión a n, se dice que s es la suma de la serie a n si la sucesión de sumas parciales s k = k con k N, converge a s Se dice entonces que dicha serie es convergente Si la sucesión de sumas parciales es divergente, se dice que la serie es divergente 3 a n

Ejercicios Demuestra que x n = + + + + es decreciente y que todos los términos n n+ n+2 n+n de la sucesión son menores que 2 2 Se considera la sucesión x n dada por x = y x n+ = 3 x n + 4 Demuestra que x n < 6 para todo n N y que x n es creciente 3 Sea la sucesión x n dada por x = 3 2 y x n+ = 2 x n Demuestra que x n 2 para todo n N y que x n es decreciente 4 Determina el límite de cada una de las sucesiones siguientes: a) x n = n+00 n 2 + b) x n = 2n+ 3n+500 c) x n = + 2 + 3 + + n d) x n = 2n2 +5n 3n 3 +2n+ e) x n = n3 n 2 00n 2 +25 f ) x n = 3n3 +00 2n 3 00 5 Estudia la convergencia de: a), 0,, 0,, 0, b) x n = [ + ( ) n ] 2 n + [ + ( ) n+ ] n 2 6 Demuestra que las siguientes sucesiones son monótonas, acotadas y no tienen límite racional: ( a) x = 2, x n+ = x 2 n + 2 x n ) b) x n = 0! +! + 2! + + n! 7 Estudia la convergencia de: a) b) ( ) n n c) La serie geométrica at n d) e) n=0 n 3 n+ 2 n 3 4 n n=0 4

8 Demuestra que, dado k N, todas las sumas parciales de la serie menores que k!k 9 Demuestra que todas las sumas parciales de la serie 0 Dada la sucesión x n = n + n+ + n+2 n=k+ son menores que 2 n 2 son n! + +, calcula los cuatro primeros términos n+n de una serie cuyas primeras sumas parciales sean los cuatro primeros términos de x n 4 Los números reales 4 Expresión decimal de los números racionales Nos vamos a referir solamente a fracciones p tales que 0 < p < q ya que cualquier otra q fracción es la suma de un entero y una fracción de ese tipo El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a p q p q = 0p q 0 = = 0a + 0r q 0 2 = 0a + (a + r q ) se puede describir así: 0 (a 2 + r 2q ) = 0a a 2 + 0r 2 0 3 = 0a q a 2 + = 0a a 2 a 3 + r 3 q 0 3 = 0 2 (a 3 + r 3q ) 0 3 Los restos sucesivos r n son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q primeras divisiones, y a partir de ahí el proceso es periódico Los cocientes a n son enteros no negativos menores que 0 Observación 4 La aplicación de este proceso a dos fracciones equivalentes produce la misma sucesión de cocientes Esto significa que tal sucesión viene determinada unívocamente por un número racional Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina una representación periódica 0a a 2 a r a r+ a r+2 a r+s a r+s+ en la que a partir de alguna posición un bloque de cifras (período) empieza a repetirse, es decir, a r+s+ = a r+, etc 5

Dicha representación infinita la interpretamos como la serie a n 0 n cuya suma parcial n-ésima es 0a a 2 a n Ya que p q = 0a a 2 a n + r n q 0 n y 0 r n < q para cada n N resulta 0 p q 0a a 2 a n < 0 n y esto prueba que la suma de la serie es p cuya representación decimal es la de partida q salvo que ésta tuviera período 9 De aquí se deduce que dos números racionales distintos no pueden tener la misma representación decimal Definición 42 El mayor entero menor o igual que x Q se denomina parte entera de x, y se designa por [x] Observación 43 Dado x Q, x [x] es un número racional no negativo y menor que 42 Los números irracionales Definición 44 Las expresiones decimales no periódicas las denominaremos números irracionales Ejemplos 45 Consideremos la sucesión x n del primer apartado del Ejercicio 6 de la sección anterior con límite irracional x Ya que x 2 n converge a 2, se tiene que x 2 = 2 debido a que x 2 n x 2 = x n + x x n x < 4 x n x Por tanto, x = 2 Usando que x n 2 = x2 n 2 x n + 2 < 2 n para todo n 3 podemos aproximar 2 con tantas cifras decimales exactas como se quiera 2 Al límite irracional x de la sucesión x n del segundo apartado del Ejercicio 6 de la sección anterior se le designa por e Usando el Ejercicio 8 de la sección anterior podemos aproximar e con tantas cifras decimales exactas como queramos 3 La relación entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro es un número irracional 3,4592 que se designa por π Definición 46 Los números racionales y los irracionales constituyen el conjunto R de los números reales 6

43 Ordenación Intervalos La ordenación de R se establece en los siguientes términos: Definición 47 x > y (o y < x) significa que [x] > [y], o bien [x] = [y] y en la primera posición en la que difieren las cifras de las partes decimales es mayor la cifra correspondiente a x Que x es positivo significa que x > 0, y R + designa al conjunto de los números reales positivos La relación x y (o y x) significa que x > y o bien x = y Observación 48 Sea x R con parte decimal 0a a 2 a 3 Las sumas parciales de la serie [x] + a n 0 n constituyen la sucesión creciente de números racionales x n = [x] + 0a a 2 a 3 a n la cual está acotada inferiormente por [x] y superiormente por x, y además converge a x, es decir, x es la suma de dicha serie Definición 49 Dados a, b R con a < b se definen los intervalos acotados de extremos a y b de la siguiente forma: (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b] = {x R : a x b} (a, b] = {x R : a < x b} [a, b) = {x R : a x < b} El primero se denomina intervalo abierto, y el segundo, cerrado El número positivo b a se denomina longitud de cada uno de ellos Definición 40 Dado a R se definen los intervalos no acotados de la siguiente forma: (a, + ) = {x R : x > a} [a, + ) = {x R : x a} (, a) = {x R : x < a} (, a] = {x R : x a} (, + ) = R Dado n Z, consideremos el intervalo [n, n + ) Los diez intervalos disjuntos de la forma [n + k 0, n + (k + )0 ) con 0 k 9 se denominan intervalos de la primera generación Pertenecer al mismo intervalo de la primera generación significa tener igual la primera cifra decimal además de la parte entera Cada uno de los intervalos de la primera generación lo dividimos en diez intervalos de la segunda generación (los números del mismo intervalo coinciden en las dos primeras cifras decimales) y así sucesivamente Cualquier número de [n, n+) está determinado si se conocen los intervalos de las sucesivas generaciones a los que pertenece, pues ello equivale a conocer todas las cifras decimales del mismo Observación 4 No puede suceder que los intervalos de las sucesivas generaciones a los que un determinado número pertenece tengan el mismo extremo derecho desde uno de ellos en adelante, pues entonces tal número tiene período 9 7

Definición 42 Dados A, B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal de B es mayor que el de A si existe una aplicación inyectiva de A en B y no existe una biyección de A en B Ejemplo 43 El cardinal de cualquier intervalo de números reales es mayor que el de N En efecto, sean (a, b) R, a k la primera cifra decimal de a menor que la correspondiente de b y a i la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9 Definimos una aplicación inyectiva f de N en (a, b) mediante con n N f(n) = [a] + 0a a 2 a i + (a i + )0 i + 0 i + 0 i 2 + + 0 i n Y cualquier aplicación inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta considerar un número de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f(n) para todo n N 44 Supremo e ínfimo Definición 44 Sea A R, A Un número mayor (menor) o igual que cada elemento de A se llama cota superior (inferior) de A Cuando A tiene cota superior (inferior) se dice que está acotado superiormente (inferiormente) Cuando suceden ambas cosas se dice que está acotado Si A está acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento máximo (mínimo) que se designa máx A (mín A) y que es mayor (menor) o igual que todos los demás Observación 45 No todos los conjuntos acotados tienen máximo y mínimo Por ejemplo, (0, ) Definición 46 Sea A R, A Se definen el supremo y el ínfimo de A mediante sup A = mín{c R : x C x A} e ínf A = máx{c R : x c x A} Observación 47 El intervalo [ínf A, sup A] contiene a A y cualquier intervalo cerrado contenido en éste y distinto de él no contiene a A Teorema 48 (Teorema del supremo (ínfimo)) Sea A R, A y acotado superiormente (inferiormente) Entonces existe sup A (ínf A) 8

Demostración Sea s el mínimo entero cota superior de A Si s A, entonces s = sup A En otro caso, [s, s) A Los demás elementos de A carecen de interés en orden a obtener el supremo Consideramos la descomposición de [s, s) en los diez intervalos de la primera generación y elegimos de ellos el situado más a la derecha entre los que tienen elementos de A Dividimos éste en los diez intervalos de la segunda generación y elegimos otra vez el situado más a la derecha entre los que tienen elementos de A Así continuamos indefinidamente Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando, o bien definen un número que pertenece a todos y es claramente sup A, o bien desde uno en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es sup A La prueba para ínf A se hace con un procedimiento análogo Observación 49 Los términos supremo e ínfimo se usan también para referirse a conjuntos A no acotados superiormente (sup A = + ) o inferiormente (ínf A = ) Observación 420 El supremo y el ínfimo de una sucesión se designan sup x n e ínf x n n N n N y son, respectivamente, el supremo y el ínfimo del conjunto constituido por los números que son algunos de sus términos Observación 42 El supremo de una sucesión creciente es su límite, al igual que el ínfimo de una decreciente 45 Construcciones con números reales Definición 422 Dados x, y R con partes enteras a 0 y b 0 y partes decimales 0a a 2 y 0b b 2 respectivamente, se define la suma x+y como el límite de la sucesión creciente y acotada superiormente (por ejemplo, por a 0 +b 0 +2) a 0 +b 0 +0a a 2 a n +0b b 2 b n Si x + y = 0, o bien y = x, se dice que y es el opuesto de x (y x el opuesto de y) La suma x + ( y) se expresa también de la forma x y Definición 423 El valor absoluto de x R, x, se define así: 0 = 0, y si x 0, x es el único número positivo del conjunto {x, x} Observación 424 Puesto que ( x) = x, resulta que x = x Por otra parte, la relación x < ɛ es equivalente a x < ɛ y x < ɛ, y lo mismo puede decirse de la relación x ɛ Proposición 425 (Desigualdad triangular) Si x, y R, entonces x + y x + y 2 Si x, y R, entonces x + y x y 3 Toda sucesión convergente está acotada 9

4 Si lím n x n = x y lím n y n = y, entonces lím n (x n + y n ) = x + y y lím n ( x n ) = x Demostración Basta usar la observación anterior y considerar los cuatro casos posibles, es decir, x, y 0, y < 0 x, x < 0 y y x, y < 0 2 Sustituyendo en la desigualdad triangular x por x y y después y por y se obtiene dicha desigualdad 3 Basta usar la desigualdad triangular 4 Idem Definición 426 Dados x, y R con partes enteras a 0 y b 0 y partes decimales 0a a 2 y 0b b 2 respectivamente, se define el producto xy como el límite de la sucesión a 0 b 0 + a 0 0b b 2 b n + b 0 0a a 2 a n + 0a a 2 a n 0b b 2 b n Obsérvese que los tres últimos sumandos constituyen sucesiones monótonas y acotadas, luego convergentes Proposición 427 Si x, y R, entonces xy = x y 2 Si lím n x n = x y lím n y n = y, entonces lím n (x n y n ) = xy 3 Para cada x R con x 0 existe su inverso x que verifica xx = 4 Si lím n x n = x 0 y x n 0 para todo N, entonces lím n x n = x 5 Si lím n x n = x, lím n y n = y y x n y n para todo n N, entonces x y 6 (Método del sandwich para calcular el límite de una sucesión x n ) Si y n x n z n para todo n N y lím y n = lím z n = x, entonces lím x n = x En particular, si n n n y x n z para todo n N y lím x n = x, entonces y x z n Demostración Trivial 2 Basta usar que x n y n xy = x n y n xy n + xy n xy, la desigualdad triangular y que toda sucesión convergente está acotada 20

3 Si a 0 y 0a a 2 son las partes entera y decimal de x, existen δ Q + y n 0 N tales que a 0 + 0a a 2 a n > δ si n n 0 La sucesión de números racionales (a 0 + 0a a 2 a n ) con n n 0 es monótona y acotada luego convergente a y Ya que las sucesiones x n = a 0 + 0a a 2 a n e y n = x n con n n 0 convergen a x e y respectivamente, la sucesión x n y n converge a xy, pero como x n y n = para todo n n 0 se tiene que xy =, es decir, y es el inverso de x 4 Esto se prueba usando que x n > x a partir de cierto término lo cual se tiene en 2 virtud de que x y x y con x, y R 5 Por reducción al absurdo 6 Basta usar 5 Observación 428 Si lím x n = x y lím y n = y y x n < y n para todo n N, entonces n n no necesariamente x < y Considérese por ejemplo x n = e y n n = 2 n Definición 429 Las potencias con exponente entero de x R se definen así: x 0 =, x n+ = x n x con n 0, y x n = (x ) n con n N Proposición 430 Si x R y n, m Z, entonces x n+m = x n x m y (x n ) m = x nm 2 Si x, y > 0 y n N, entonces x > y si y solo si x n > y n 3 Si lím n x n = x, entonces lím n x m n = x m con m N 4 Dados n N, n 2, y a > 0 existe un único x > 0 tal que x n = a, el cual se designa n a y se llama raíz n-ésima de a Demostración Trivial 2 Basta usar que x n y n = (x y)(x n + x n 2 y + + y n ) 3 Se obtiene aplicando reiteradamente que el límite de un producto de sucesiones convergentes es el producto de sus límites 2

4 Sea A = {x R + : x n a} ya que lím = 0 También A está acotado n n superiormente por si a o por a si a > con lo que existe sup A = x Supongamos que x n < a y sea { 0 < δ < mín, (a x n ) (( ) n x n + Usando la fórmula de Newton se tiene que (( ) n (x + δ) n < x n + δ x n + ( ) n x n 2 + + 2 ( ) n x n 2 + + 2 ( )) } n n ( )) n < a n lo cual contradice que sup A = x Consideremos ahora cualquier sucesión x m estrictamente creciente de números positivos y que converja a x Para cada m N se tiene que x m < x y existe algún elemento de A entre x m y x con lo que x m A y, por tanto, x n = lím m xn m a, es decir, x n = a La unicidad es consecuencia de la descomposición en factores de x n y n anterior Definición 43 Las potencias con exponente racional de a > 0 se definen así: a m n = n am y a m n = (a ) m n con m, n N Si a >, las potencias crecen al hacerlo el exponente y lím a n = + y lím a n = 0 Y si a <, las potencias decrecen al crecer el exponente n n y lím a n = 0 y lím a n = + Si x tiene parte entera a 0 y parte decimal 0a a 2, se n n define a x como el límite de la sucesión monótona y acotada a a 0+0a a 2 a n Si a x = y, a x se le llama logaritmo en base a de y, log a y De las construcciones hechas se llega a la siguiente caracterización axiomática de R: R es un conjunto en el que se han definido la suma y el producto de dos elementos, verificando dichas operaciones las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de la suma respecto del producto Existen elementos neutros (0 para la suma y para el producto), para cada x R existe x tal que x + ( x) = 0 (opuesto) y para cada x 0 existe x tal que xx = (inverso) 2 Cada x R verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y x > 0 Y si x, y > 0, entonces x + y, xy > 0 3 (Propiedad del supremo) Si A R, A y está acotado, entonces existe sup A La propiedad arquimediana es una consecuencia de estos axiomas: Proposición 432 (Propiedad arquimediana) Dados x, y R con x > 0, existe n N tal que nx > y 22

Demostración Sea A = {nx : n N} Si nx y para todo n N, A estaría acotado y existiría sup A Por tanto, existiría n 0 N tal que sup A x < n 0 x lo cual es una contradicción 46 El teorema de Bolzano-Weierstrass Dos sucesiones a n y b n creciente y decreciente respectivamente y tales que a n < b n para todo n N definen la sucesión de intervalos [a n, b n ] cada uno de los cuales contiene al siguiente por lo que se llaman intervalos encajados Ambas sucesiones son convergentes a a y b respectivamente por ser monótonas y acotadas, verificándose a b y siendo a = b si lím n (b n a n ) = 0 La intersección de dichos intervalos es [a, b] Teorema 433 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Sea A R infinito y acotado Existe x R y una sucesión x n cuyos términos pertenecen a A y son distintos dos a dos tales que lím n x n = x Demostración Por ser acotado, A [a, b ] Sea c = a +b Alguno de los intervalos 2 [a, c ] y [c, b ] debe contener infinitos elementos de A Lo designamos [a 2, b 2 ] Y así sucesivamente Existe un único x R que pertenece a todos los intervalos encajados [a n, b n ] pues lím (b n a n ) = 0 Eligiendo en cada intervalo [a n, b n ] un elemento x n de A distintos n dos a dos obtenemos una sucesión con la propiedad requerida Al número x del teorema anterior se le llama punto de acumulación de A lo cual se define de la siguiente forma: x R es punto de acumulación de A R si para cada intervalo abierto al que pertenece x también pertenece algún elemento de A distinto de x 47 Subsucesiones Definición 434 Dada una sucesión estrictamente creciente j(n) de números naturales, la sucesión y n = x j(n) se llama subsucesión de x n Observación 435 Si lím n x n = x [, + ], cualquiera de sus subsucesiones tiene el mismo límite Proposición 436 Para cada sucesión acotada x n existe alguna subsucesión convergente Demostración Sea A = {x n : n N} Si A es finito, entonces algún elemento de A se repite infinitas veces como término y, si se suprimen los demás, la subsucesión resultante es constante Si A es infinito, considerando la construcción hecha en la demostración del 23

teorema de Bolzano-Weierstrass, elegimos y = x, y 2 = x j(2) siendo j(2) > y tal que y 2 [a 2, b 2 ], y 3 = x j(3) siendo j(3) > j(2) y tal que y 3 [a 3, b 3 ], etc La subsucesión y n converge a x 48 Límites superior e inferior Definición 437 Dada una sucesión x n se definen sus límites superior e inferior de la siguiente forma: lím sup x n = lím sup x n m n m y lím inf x n = lím ínf x n m n m ( Observación ) 438 ( Los ) límites superior e inferior de x n están bien definidos pues sup x n e ínf x n son sucesiones decreciente y creciente respectivamente n m n m m N m N Proposición 439 lím inf x n lím sup x n y si hay igualdad, entonces lím n x n = lím sup x n = lím inf x n 2 lím inf x n = lím sup( x n ) 3 Si x j(n) es una subsucesión de x n, entonces lím inf x n lím inf x j(n) lím sup x j(n) lím sup x n 4 Si A es el conjunto de números que son el límite de alguna subsucesión de x n, entonces lím sup x n = sup A y lím inf x n = ínf A 5 Si x n y n con n N, entonces lím sup x n lím sup y n y lím inf x n lím inf y n 6 lím sup(x n + y n ) lím sup x n + lím sup y n y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge 7 lím inf(x n + y n ) lím inf x n + lím inf y n y resulta la igualdad si alguna de las dos sucesiones converge 8 Si lím n x n = x > 0, entonces lím sup(x n y n ) = x lím sup y n Demostración Trivial 24

2 Idem 3 Para demostrar la primera desigualdad siendo x n acotada basta razonar por reducción al absurdo y considerar ɛ < lím inf x n lím inf x j(n) El caso no acotado es trivial La tercera desigualdad se obtiene de forma análoga 4 Es consecuencia de que hay subsucesiones de x n que convergen a lím sup x n y subsucesiones que convergen a lím inf x n 5 Obvio 6 La desigualdad se tiene gracias a que x n + y n sup x n + sup y n para todo m N n m n m y todo n m Sea ahora lím x n = x y lím sup y n = y Si y no es finito se obtiene n con facilidad la igualdad En caso contrario, dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que x n + y n < x + y + ɛ si n n 0 y existen infinitos términos de la sucesión x n + y n en el intervalo (x + y ɛ, x + y + ɛ) lo cual prueba la igualdad 7 Es suficiente utilizar el apartado anterior y que lím inf z n = lím sup( z n ) para toda sucesión z n 8 Supongamos que lím sup y n es finito pues en caso contrario la demostración se obtiene sin dificultad Ya que x 0, una subsucesión y j(n) de y n es convergente si y solo si es convergente x j(n) y j(n) Resulta entonces { } lím sup(x n y n ) = sup lím (x j(n)y j(n) ) { n } = sup x lím y j(n) n { = x sup = x lím sup y n lím n y j(n) donde el supremo está tomado sobre todas las subsucesiones convergentes de y n } 49 La propiedad de Cauchy Definición 440 Una sucesión x n tiene la propiedad de Cauchy si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que para todos n, m n 0 se tiene que x n x m < ɛ Proposición 44 Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de Cauchy 25

2 Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy están acotadas 3 Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy son convergentes Demostración Sea x n una sucesión convergente a x Basta con usar que x n x m = x n x + x x m y la desigualdad triangular 2 Sea x n una sucesión con la propiedad de Cauchy Existe n 0 N tal que para todos n, m n 0 se tiene que x n x m < Si n n 0, entonces x n x n x n0 + x n0 < + x n0 con lo que x n máx{ x, x 2,, x n0, + x n0 } para todo n N 3 Sea x n una sucesión con la propiedad de Cauchy, luego acotada, con lo que sus límites superior e inferior son finitos Supongamos que lím inf x n < lím sup x n y sea ɛ = 3 (lím sup x n lím inf x n ) Para cada n 0 N existen n, m n 0 tales que x n < lím inf x n + ɛ y x m > lím sup x n ɛ por lo que x m x n > ɛ lo cual es contradictorio con que x n tenga la propiedad de Cauchy Ejercicios Sea x = 3,4205205205 Determina la representación decimal de x [ x] 2 Si A R, A designa al conjunto cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A Demuestra que ínf A + sup( A) = 0 siendo A acotado 3 Dada una sucesión x n, prueba que y que sup x n = lím máx(x, x 2,, x n ) n N n ínf x n = lím mín(x, x 2,, x n ) n N n 4 Sean A, B R con A, B tales que x y para todo x A e y B Prueba que existen sup A e ínf B y que sup A ínf B 5 Determina si los siguientes subconjuntos de R están acotados superior o inferiormente y, en caso afirmativo, calcula supremo e/o ínfimo: 26

a) A = {x R : (x 3)(2 x) < 4x 2 + 2x + } b) B = { n + : n, m N} m { } c) C = : n, m N 2 n 2 + (2m ) 2 6 Dados A, B R, se define el conjunto C = {a + b : a A, b B} Prueba que si A y B están acotados, entonces C también está acotado y expresa sup C e ínf C en términos de sup A y sup B y de ínf A e ínf B respectivamente 7 Prueba que dada una sucesión x m de números positivos tal que lím x m = x se tiene m que lím n xm = n x con n N m 8 Prueba que si x 0, entonces lím n x n = x si y solo si lím n x nx = 9 Pueden ser 0 infinitos términos de una sucesión que converge a un número distinto de 0? 0 Calcula los límites superior e inferior de las siguientes sucesiones: a) x n = ( + n) sen nπ + ( ) 2 n cos nπ 2 b) 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4,, k, 2 k,, k k, k+, c) x n = cos n 2nπ 3 d) x n = n + 2 ( )n n Sea x n una sucesión de números positivos tal que x n+m x n + x m para todo n, m N Prueba que la sucesión xn es convergente n 2 Sean x n una sucesión acotada e y n = x +x 2 + +x n Prueba que lím sup y n n lím sup x n y que lím inf x n lím inf y n 3 Dado a > 0, demuestra los siguientes resultados: a) lím n x n = 0 si y solo si lím n a xn = b) Si lím n x n = x, entonces lím n a xn = a x c) lím n x n = si y solo si lím n log a x n = 0, siendo x n > 0 para todo n N d) Si lím x n n n N = x, entonces lím n log a x n e) Si lím x n = x y lím y n = y, entonces lím n n todo n N 27 = log a x, siendo x n, x > 0 para todo n x n y n = x y, siendo x n, x > 0 para

4 Sea x n una sucesión de términos no nulos con lím x n = ± Demuestra que n ( lím + ) xn = e n x n 5 Calcula el límite de las siguientes sucesiones: a) x n = n a siendo a > 0 b) x n = a n siendo a > 0 c) x n = 0n n! d) x n = n n e) x n = p n + p n con p N f ) x n = n 2 + n n g) x n = n( n n + n n) h) x n = n( n e ) i) x = 3, x n+ = + xn j ) x >, x n+ = 2 x n k) x =, x n+ = 2 + x n l) x n = ( n ( ) 2n 3n2 m) x n = 3 5 2n 3 n) x n = ( n + sen n) n+3) n+2 ñ) x n = ( cos n) n o) x n = ( cos n) n 2 p) x n = log(+ n) a siendo a, b 0 sen b n q) x n = en! [en!] a 6 Demuestra que si a n es una sucesión de términos positivos tal que lím n+ n a n = λ, entonces lím n a n = λ Como aplicación calcula los límites de las sucesiones n siguientes: a) x n = n n! b) x n = n + 2 + 3 + + n 7 (Criterio de Stolz) Demuestra que si b n es una sucesión de términos positivos tal que la sucesión b + b 2 + + b n no está acotada y a n es cualquier sucesión tal que a lím n a n bn = λ, entonces lím +a 2 + +a n n b +b 2 + +b n = λ Como aplicación calcula los límites de las sucesiones siguientes: 28

a) x n = log n n b) x n = + 2 + 3 + + n n 5 Series convergentes Proposición 5 Si la serie a n es convergente, entonces lím n a n = 0 Demostración Ya que la sucesión de sumas parciales verifica la propiedad de Cauchy, j dado ɛ > 0, existe k 0 N tal que si i, j k 0, con i < j, entonces a n < ɛ Tomando j = i + se tiene el resultado n=i+ 5 Comparación de series de términos positivos Proposición 52 Si 0 < a n b n para todo n N y b n es convergente, entonces a n es también convergente Demostración La sucesión de sumas parciales de a n es creciente y acotada superiormente Proposición 53 Sean a n y b n dos series de términos positivos a Si lím n n bn = λ > 0, entonces ambas series tienen el mismo carácter, es decir, o ambas son convergentes o ambas son divergentes a 2 Si lím n n bn Demostración = 0 y b n es convergente, entonces a n es también convergente Existe n 0 N tal que λ 2 b n < a n < 3λ 2 b n para todo n n 0 La Proposición 52 nos da el resultado 2 Existe n 0 N tal que a n < b n para todo n n 0 La Proposición 52 nos da el resultado 29

52 Series alternadas Definición 54 Si a n es una sucesión de números positivos, a las series ( ) n a n y ( ) n a n se les llama series alternadas Proposición 55 Si a n es una sucesión decreciente de números positivos y convergente a 0, entonces las series alternadas ( ) n a n y ( ) n a n son convergentes Demostración Vamos a considerar la segunda serie alternada Un razonamiento análogo puede hacerse con la primera Basta observar que las subsucesiones s 2k y s 2k, con k N, son decreciente y creciente, respectivamente, y que s 2k > s 2k para todo k N, con lo que la sucesión de intervalos encajados [s 2k, s 2k ] tiene como intersección de todos ellos un único número s (por converger a cero la longitud de los mismos) que es la suma de la serie 53 Convergencia absoluta Definición 56 Se dice que la serie a n es absolutamente convergente si la serie a n es convergente Observación 57 Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente porque en virtud de la desigualdad triangular tiene la propiedad de Cauchy Definición 58 Si j : N N es una biyección, se dice que la serie a j(n) es una reordenación de la serie a n Teorema 59 Si la serie a n es absolutamente convergente y tiene suma s, cualquier reordenación suya a j(n) tiene también suma s Demostración Sean s k y s k las respectivas sucesiones de sumas parciales de a n y a j(n) Ya que la serie a n tiene la propiedad de Cauchy, dado ɛ > 0 existe k 0 N tal que si i, j k 0, con i < j, entonces j n=i+ a n < ɛ Consideramos los subíndices j(), j(2),, j(k ) hasta que entre ellos estén, 2,, k 0 Si k > k, entonces se tiene s k s k < ɛ 30

Definición 50 Se dice que la serie a n es condicionalmente convergente si converge pero la serie a n diverge Teorema 5 (Riemann) Si la serie a n es condicionalmente convergente, entonces para todo α R existe una reordenación suya a j(n) cuya suma es α Demostración Sean p n y q n las series de los términos positivos y negativos de a n, respectivamente Ya que la serie a n es condicionalmente convergente, ambas son divergentes Dado α 0 (la demostración para α < 0 es análoga) tomamos n como el primer natural tal que n p n > α Entonces n p n α p n Ahora tomamos m como el primer natural tal que n p n + m q n < α Por tanto, α n p n m indefinidamente con este procedimiento obtenemos una reordenación de a n cuya serie converge a α ya que lím n a n = 0 p,, p n, q,, q m, p n +,, p n2, q n q m Continuando 54 Criterios de convergencia Proposición 52 (Criterio de la raíz) Si lím sup n a n <, entonces a n es absolutamente convergente 2 Si lím sup n a n >, entonces a n es divergente Demostración Sea lím sup n a n < t < Existe n 0 N tal que n a n < t si n n 0 con lo que a n < t n Aplicando la Proposición 52 se obtiene el resultado 2 Si lím sup n a n >, hay infinitos términos de la sucesión a n mayores que por lo que a n no converge a 0 3

Proposición 53 (Criterio del cociente) Si lím sup a n+ a n <, entonces 2 Si lím inf a n+ a n >, entonces Demostración a n es absolutamente convergente a n es divergente Sea lím sup a n+ a n < t < Existe n 0 N tal que a n+ < t a n si n n 0 con lo que a n0 +n < t n a n0 para todo n N Aplicando la Proposición 52 se obtiene el resultado 2 Si lím inf a n+ a n >, existe n 0 N tal que a n+ > a n si n n 0 por lo que a n no converge a 0 Proposición 54 (Criterio de Raabe) ( ) Si lím inf n a n+ a n >, entonces a n es absolutamente convergente ( ) 2 Si lím sup n a n+ a n <, entonces a n es divergente Demostración ( Sea lím inf n a n+ a n ) > t > Existe n 0 N tal que n a n n a n+ > t a n para n n 0 Considerando las desigualdades anteriores para n = n 0, n 0 +,, n 0 + m y sumando primeros miembros por un lado y segundos por el otro se obtiene fácilmente que a n0 + + a n0 +2 + + a n0 +m < n 0 a t n 0 para todo m N con lo que la sucesión de sumas parciales de la serie a n0 +n está acotada obteniéndose el resultado 2 Existe n 0 N tal que (n ) a n < n a n+ si n n 0 Aplicando sucesivamente esta desigualdad se obtiene que a n0 +n+ > (n 0 ) a n0 n 0 para todo n N lo cual +n nos da el resultado en virtud de la Proposición 52 32

Proposición 55 (Criterio de Dirichlet) Si a n es una sucesión decreciente de números positivos convergente a 0 y la sucesión de sumas parciales de la serie b n está acotada, entonces la serie a n b n es convergente k Demostración Sea C > 0 tal que b n C para todo k N Dados i, j N con i < j se tiene que j n=i+ a n b n = a i+ i b n + j n=i+ (a n a n+ ) n b m + a j m= j b n 2Ca i+ Ya que la sucesión a n converge a 0, la sucesión de sumas parciales de la serie a n b n tiene la propiedad de Cauchy Proposición 56 (Criterio de Abel) Si la serie a n es convergente y la sucesión b n es monótona y acotada (luego convergente a b), entonces la serie a n b n es convergente Demostración Supongamos que b n es decreciente, luego la sucesión c n = b n b es decreciente y convergente a 0 Se tiene que a n b n = (a n c n + ba n ) con lo que aplicando el criterio de Dirichlet se obtiene el resultado El otro caso es análogo 55 Producto de series Definición 57 Dadas dos series a n y b n se define su producto como la serie n=0 n=0 c n donde c n = n a k b n k n=0 k=0 Proposición 58 Si a n es absolutamente convergente y tiene suma s, y b n es n=0 convergente y tiene suma r, entonces la serie producto c n tiene suma sr Demostración Sean s k, r k y t k las sucesiones de sumas parciales de a n, n=0 n=0 n=0 b n y n=0 c n n=0 respectivamente Se tiene que t k = s k r + k a i (r k i r) para todo k N por lo que basta i=0 33

comprobar que el sumatorio anterior converge a 0 Dado ɛ > 0 existe k 0 N tal que r k r < ɛ si k k 0 Si k > k 0, k a i (r k i r) = i=0 k k 0 i=0 a i (r k i r) + k i=k k 0 + a i (r k i r) El segundo sumatorio es la suma de k 0 sucesiones que convergen a 0 y el valor absoluto del primero es menor que ɛ a n Por tanto, para todo ɛ > 0 n=0 k k k 0 lím sup a i (r k i r) lím sup a i (r k i r) ɛ a n i=0 i=0 n=0 Ejercicios Calcula la suma de cada una de las series siguientes: a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) n=0 2 n 3 n n(n+) na n siendo 0 < a < n=2 n=3 (n+) n+n n+ 2 n (+2 n )(+2 n ) n 2 +5n+7 (n+2)! 4n (n+2)(n ) 2 3n 2 +8n+6 (n+2)! n n!(n+2) n 2 3 n 2 (Criterio de condensación de Cauchy) Demuestra que si a n es una sucesión decreciente a 0, entonces las series a n y 2 n a 2 n tienen el mismo carácter 34

3 Prueba que si la serie a n es convergente y la sucesión a n es decreciente, entonces lím na n = 0 n 4 Estudia la convergencia de: a) La serie armónica b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) k) n=2 n+00 n(log n) p n n+ n 2 n 3 + a n n a siendo a > 0 (n+) n n n 2 n! a n n! n n siendo a > 0 3 (2n ) 2 4 (2n) n! a(a+)(a+2) (a+n ) n p siendo a > 2 l) log 2 + log 3 + + 2 2 n m) n) ñ) o) p) q) cos n n log ( ) + n n 3 +cos 2 n n n ( n n ) n n=3 n=2 n log log n tag ( 2n+ 4 π) log n log n+ n + 35

r) s) n=2 sen n log n sen (n2 +) 2 π n 3 5 Reordena la serie 6 Demuestra que ( ) n n ( ) n n para que sea divergente = log 2 7 Dada una serie convergente a n de términos no negativos, prueba que converge si p > Da un contraejemplo para p = Es también convergente 2 2 an a n+? 8 Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las series siguientes: a) b) c) d) e) a n n! n!a n sen n n 2 ( n n+) n 2 2 (+ 2 + 3 + + n) 9 Sea A = {n k : k N} la colección de números naturales que no tienen la cifra 0 en su representación decimal Prueba que n k converge y tiene suma menor que 90 0 Si Si k= a n diverge, demuestra que na n también diverge a n converge absolutamente, prueba que las series siguientes también: a) b) c) a 2 n a n +a n si a n para todo n N a 2 n +a 2 n 36 an n p

2 Estudia la convergencia de: a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) k) l) m) n) ñ) o) p) q) r) n 2 + n! cos n ( a + b n) con 0 < a < π 2 n 2 + na n con a 0 3 n n 2 + ( n+ ) n 3 n an+b con an + b 0 para todo n N n(n+)(n+2) +sen 2 an n 2 sen n n n+ n n n(n+) n 2 +2n ( n) n+ n 3 cos /n ( a ) n n n! n=2 n=2 n(+/2+ +/n) +/2+ +/n n 3 log n (log n) 2n log n+ n e n 2 + 37

s) t) u) v) w) x) y) z) n=2 (log n) p a n n ( ) n +/2+ +/n ( ) n (n+) n! (n 2 +)a n (n+)! ( e /n2 e /(n2 +) ( ) n+ n n 2 + (n!) 2 a 2n (2n)! ) 38

Tema 2 Funciones, límites y continuidad 2 Funciones reales de variable real Definición 2 Una función f definida en A R y que toma valores en B R, f : A B, es una regla que asocia unívocamente a cada x A un numero real f(x) B que se llama imagen de x A A se le llama dominio de f y se denota por dom(f) Se llama rango o recorrido de f al conjunto rang(f) = f(a) = {y B : x A tal que f(x) = y} Finalmente, se llama gráfica de f al subconjunto del producto cartesiano A B formado por los pares (x, f(x)) con x A Ejemplos 22 Los términos de una sucesión a n pueden interpretarse como las imágenes de los números naturales mediante una función f cuyo dominio es N, es decir, f(n) = a n para cada n N 2 La función f definida en A R tal que f(x) = x para cada x A se llama identidad de A Se tiene que dom(f) = rang(f) = A 3 Una función tal que todas las imágenes son el mismo número se llama función constante Definición 23 Se dice que una función f : A B es inyectiva si para cualesquiera x, y A con x y, entonces f(x) f(y) Y se dice que es sobreyectiva si f(a) = B Si f es inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva Definición 24 Dada una función biyectiva f : A B, se define su función inversa f : B A de la siguiente forma: f (y) = x siendo f(x) = y 39

Observación 25 Si una función f es biyectiva, claramente su inversa también lo es y la inversa de f es f Observación 26 Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes Observación 27 Si la función f : A B es inyectiva y no biyectiva, la función f : A f(a) es biyectiva Definición 28 A dos funciones f : A B y g : B C se asocia una nueva función g f : A C llamada la composición de f con g, y que está definida mediante (g f)(x) = g(f(x)) para cada x A De forma análoga se define una cadena f n f n f 2 f de n funciones Como caso particular se tienen las iteraciones f n de una función f : A A consistentes en componer f consigo misma n veces Definición 29 La función f : A B está acotada superiormente si existe C R tal que f(x) C para todo x A Y está acotada inferiormente si existe c R tal que f(x) c para todo x A Si f está acotada superior e inferiormente se dice que está acotada Si existe x 0 A tal que f(x) f(x 0 ) para todo x A se dice que f tiene en x 0 un máximo absoluto y que f(x 0 ) es el máximo de f Análogamente se define mínimo absoluto Definición 20 La función f : A B tiene en x 0 A un máximo (mínimo) relativo o local si existe δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ) (f(x) f(x 0 )) para cualquier x (x 0 δ, x 0 + δ) A Las operaciones aritméticas con funciones que tienen el mismo dominio se definen para cada x del mismo a través de la correspondiente operación aritmética con las imágenes de x Definición 2 La función f : A B es cóncava si f(λx + ( λ)x 2 ) λf(x ) + ( λ)f(x 2 ) para cualesquiera x, x 2 A y λ [0, ] Y es convexa si se tiene la desigualdad contraria Definición 22 Una función f se llama periódica si existe T > 0 tal que f(x + T ) = f(x) para cada x y el menor T con esta propiedad se llama periodo 40

Definición 23 La función f : A B es creciente (estrictamente creciente) si f(x ) f(x 2 ) (f(x ) < f(x 2 )) siempre que x < x 2 Y es decreciente (estrictamente decreciente) si f(x ) f(x 2 ) (f(x ) > f(x 2 )) siempre que x < x 2 Todas estos tipos de funciones se denominan funciones monótonas Ejercicios Construye una función cuyo dominio sea [0, ] y cuyo recorrido sea [, 2] 2 Cuántas funciones se pueden definir con dominio {, 2, 3} y recorrido {4, 5}? 3 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones definidas en A, indicando en cada caso el recorrido: a) f(x) = x, A = [, ] b) f(x) = x [x], A = [ 2, 3] 4 Sean f : R R una función y A, B R Estudia si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas: a) f(a B) = f(a) f(b) b) f(a B) = f(a) f(b) c) f(a \ B) = f(a) \ f(b) d) f (A B) = f (A) f (B) e) f (A B) = f (A) f (B) f ) f (A \ B) = f (A) \ f (B) 5 Calcula f(a) y f (B) en los siguientes casos: a) f(x) = 3x 5, A = [, 2] y B = [0, + ) b) f(x) = x 2, A = ( 2, 3] y B = ( 4, ) 6 Estudia si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas: a) f(x) = x x b) f(x) = x 2 + 2 c) f(x) = x x 2 + 7 Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = x 2 b) f(x) = x 2 4

c) f(x) = x + x 2 d) f(x) = x x 2 e) f(x) = x 2 + x 2 f ) f(x) = g) f(x) = x 2 x (x )(x 2) (x 3)(x 4) h) f(x) = arc sen(x ) i) f(x) = log x2 5x+6 x 2 +4x+6 j ) f(x) = log 5x x2 4 8 Determina f f, f g, g f y g g en cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = x 2 y g(x) = x { si x 0 b) f(x) = si x < 0 y g(x) = x { { 0 si x 0 0 si x 0 c) f(x) = x si x > 0 y g(x) = x 2 si x > 0 9 Sea f(x) = x Calcula f 2 (x) y f 3 (x) 0 Sea f(x) = x +x 2 Calcula f n (x) Halla el intervalo máximo en el que está definida la función f(x) = log log log log x 2 Calcula la función inversa de f(x) = x x 2 con x (0, ) 3 Es posible construir una función definida en el intervalo [0, ] que sea acotada y no tenga máximo ni mínimo absolutos? 22 Límites Definición 22 Supongamos que f es una función definida en un intervalo I y que c es un número interior a I, o bien un extremo de I, o bien + si I no está acotado por la derecha, o bien si I no está acotado por la izquierda Se dice que L es el límite de f cuando x tiende a c, lím x c f(x) = L, si cada sucesión de números del dominio de f, distintos de c, cuyo límite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene límite L Si c es interior a I o un extremo de I, se dice que L es el límite lateral por la derecha de f cuando x tiende a c, lím f(x) = L, si cada sucesión de números del x c + 42

dominio de f, mayores que c, cuyo límite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene límite L Análogamente, se dice que L es el límite lateral por la izquierda de f cuando x tiende a c, lím f(x) = L, si cada sucesión de números del dominio de x c f, menores que c, cuyo límite es c se transforma mediante f en una sucesión que tiene límite L Observación 222 Solamente cuando los dos límites laterales existen y son iguales resulta que f tiene límite en c Basándose en las propiedades conocidas para límites de sucesiones se obtienen los dos siguientes resultados: Proposición 223 Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I tales que lím f(x) = L R y lím g(x) = x c x c L R Entonces: lím x c (f + g)(x) = L + L 2 lím(fg)(x) = LL x c ) f 3 lím (x) = L si L 0 L x c ( g Observación 224 Los casos no contemplados en el resultado anterior se estudian sin dificultad salvo L = + y L = para la suma, L = 0 y L = ± para el producto y L = L = 0 y L = ± y L = ± para el cociente, llamados indeterminaciones Proposición 225 Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I Si existe δ > 0 tal que se verifica f(x) g(x) para todo x (c δ, c + δ) y ambas funciones tienen límite en c, entonces lím f(x) lím g(x) x c x c 2 (Método del sandwich) Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo I Si existe δ > 0 tal que f(x) g(x) h(x) para todo x (c δ, c + δ) y además lím f(x) = lím h(x) = L, entonces lím g(x) = L x c x c x c Teorema 226 El número L es el límite de f(x) cuando x tiende al número c si y solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada ɛ > 0 existe algún δ > 0 tal que f(x) L < ɛ cuando 0 < x c < δ Demostración Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesión x n de números distintos de c que converge a c existe n 0 N tal que 0 < x n c < δ si n n 0 con lo que f(x n ) converge a L Recíprocamente, dado ɛ > 0 basta razonar por reducción al absurdo considerando δ = para todo n N n 43

Teorema 227 El número L es el límite de f(x) cuando x tiende a + ( ) si y solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada ɛ > 0 existe algún A > 0 tal que f(x) L < ɛ cuando x > A (x < A) Demostración Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesión x n convergente a + ( ) existe n 0 N tal que x n > A (x n < A) si n n 0 con lo que f(x n ) converge a L Recíprocamente, dado ɛ > 0 basta razonar por reducción al absurdo considerando A = n para todo n N Análogamente se demuestran los dos siguientes resultados: Teorema 228 El límite de f(x) cuando x tiende al número c es + ( ) si y solo si para cada M > 0 existe algún δ > 0 tal que f(x) > M (f(x) < M) cuando 0 < x c < δ Teorema 229 El límite de f(x) cuando x tiende a + ( ) es + ( ) si y solo si para cada M > 0 existe algún A > 0 tal que f(x) > M (f(x) < M) cuando x > A (x < A) Definición 220 Una función f tiene la propiedad de Cauchy en c si para cada ɛ > 0 existe algún δ > 0 tal que f(x) f(y) < ɛ cuando 0 < x c < δ y 0 < y c < δ Teorema 22 Una función f tiene límite finito cuando x tiende a un número c si y solo si f tiene la propiedad de Cauchy en c Demostración Supongamos en primer lugar que f tiene la propiedad de Cauchy en c y sea x n una sucesión de números distintos de c que converge a c La sucesión f(x n ) tiene la propiedad de Cauchy luego converge a un número L Si x n tiene las mismas características que x n, entonces f(x n) también converge a L porque en otro caso la sucesión x, x, x 2, x 2, x 3, x 3, que tiene las mismas características que x n y x n se transformaría mediante f en una sucesión con la propiedad de Cauchy que no puede ser convergente, lo cual es absurdo Para el recíproco basta usar la caracterización ɛ-δ del límite y la desigualdad triangular Proposición 222 Para toda función monótona f existen los límites laterales en cualquier punto Demostración Supongamos que f, definida en el intervalo I, es creciente (el caso decreciente es análogo) y que c es un número interior a I (si c es un extremo la demostración es análoga) Se tiene que lím x c f(x) = sup x<c f(x) y lím x c + f(x) = ínf x>c f(x) Veamos 44

la primera igualdad pues la otra se obtiene análogamente Ese supremo es un número porque el conjunto correspondiente está acotado superiormente por f(c) Dado ɛ > 0 existe x 0 < c tal que sup f(x) ɛ < f(x 0 ) Basta tomar δ = c x 0 x<c Ejercicios Prueba que la función sen no tiene límite en 0 y, en cambio, la función x sen x x tiene sí lo 2 Sea la función f definida en (0, ] por 2n(n + ) ( ) [ x n+ si x f(x) = 2n(n + ) ( ) [ x si x n para todo n N Tiene f límite en 0? 3 Calcula los siguientes límites: a) lím x x n+ (n+)x+n (x ) 2 con n N b) lím con n N \ {} (x c) 2 x c x n c n nc n (x c) c) lím x + d) lím x + e) lím x 4 f ) lím x 8 g) lím x c h) lím x 3 i) lím x 2 j ) lím k) lím x 8 x+ x+ x x+ x+ 3 x+ 4 x 2x+ +2x 3 x 2 x 3 2 3 x x c+ x c x 2 c 2 x+3 2 x+ x 2 9 3 x 6+2 x 3 +8 4 x 2 x 6 x 4 9+2x 5 3 x 2 l) lím ( 3 x 2 x 3 x m) lím log(+x) x 0 x n) lím x 7 x+2 3 x+20 4 x+9 2 ) 45, 2n+ n+ 2n(n+) 2n+ 2n(n+), n ] ]

ñ) lím x 0 o) lím x + π x cotag πx 2 ( 2x 2 +3 2x 2 +5) 8x2 +3 e p) lím x +sen x x 0 log(+x) 4 Siendo n, m N y a, b > 0 calcula los siguientes límites: n a) lím +ax x 0 x n b) lím +ax m +bx x 0 x c) lím x n x m x n d) lím +ax m +bx x 0 x n e) lím +ax+bx 2 x 0 x 23 Continuidad Definición 23 La función f es continua en un punto c en el que está definida si f(c) = lím f(x) En caso contrario se dice que f es discontinua en c Cuando el x c límite existe y es finito pero distinto de f(c) se dice que la discontinuidad es evitable pues basta cambiar la definición de f en c poniendo f(c) igual a dicho límite para que la discontinuidad desaparezca La función f es continua por la derecha en un punto c en el que está definida si f(c) = lím f(x) Análogamente se define la continuidad por la izquierda x c + Una función que es continua en cada punto del intervalo en el que está definida se denomina función continua Observación 232 Si una función monótona f está definida a ambos lados de c, decir que f no es continua en c equivale a decir que lím f(x) lím f(x) El número x c + x c lím f(x) lím f(x) + x c se llama salto de f en c x c Basándose en las propiedades conocidas para límites de sucesiones se obtiene que la suma, el producto y el cociente de dos funciones continuas en c también lo es (si el denominador no se anula en c) Además, si f es continua en c y g es continua en f(c), entonces g f es continua en c Definición 233 La función f es uniformemente continua si para cada ɛ > 0 existe algún δ > 0 tal que f(x) f(y) < ɛ si x y < δ 46

Observación 234 Si una función es uniformemente continua, entonces es continua Proposición 235 Cualquier sucesión convergente se transforma mediante una función uniformemente continua en una sucesión convergente Demostración Es suficiente ver que las funciones uniformemente continuas conservan la propiedad de Cauchy para sucesiones Teorema 236 Si la función f es continua en [a, b], entonces es uniformemente continua Demostración Supongamos que f no es uniformemente continua Entonces existe ɛ > 0 tal que para todo n N existen x n e y n en el dominio de f tales que x n y n < n y f(x n ) f(y n ) ɛ Existe una subsucesión x j(n) convergente a un punto x [a, b] La subsucesión y j(n) también converge a x pero f(x j(n) ) y f(y j(n) ) no pueden tener el mismo límite, lo cual es contradictorio con que f sea continua en x Proposición 237 La función f es uniformemente continua en (a, b) si y solo si es continua y tiene límite finito en a y en b 2 Si f : [a, + ) R es continua y tiene límite finito en +, entonces es uniformemente continua Demostración Si f tiene límite finito en a y en b, basta con extender con continuidad la definición de f a [a, b], dándole en a y en b como valor los respectivos límites, y aplicar el teorema anterior Si f es uniformemente continua en (a, b) y x n converge a a, entonces f(x n ) es convergente Lo mismo le sucede a cualquier otra sucesión x n convergente a a Las dos sucesiones f(x n ) y f(x n) tienen el mismo límite (en caso contrario basta considerar la sucesión x, x, x 2, x 2, x 3, x 3, ) con lo que lím f(x) existe y es finito x a + Análogamente se prueba el resultado para b 2 Sean L = lím f(x) y ɛ > 0 Existe A > a tal que f(x) L < ɛ si x A, con lo x + 4 que si x, y A, entonces f(x) f(y) < ɛ En [a, A] f es uniformemente continua, 2 existiendo δ > 0 tal que si x y < δ, entonces f(x) f(y) < ɛ Si x y < δ, 2 x [a, A] e y > A, basta usar la desigualdad triangular a través de f(a) 47

Teorema 238 (Teorema de los valores intermedios) Sea f una funcion continua cuyo dominio es un intervalo I y sean a, b I tales que f(a) f(b) Si u es un número intermedio entre f(a) y f(b), existe c (a, b) tal que f(c) = u Demostración Dividimos [a, b] en dos intervalos cuyo extremo común es el punto medio Si la imagen de este punto es u, ya se ha encontrado el c buscado Si no, para alguno de los dos intervalos, que designamos [a, b ], sucede que u es intermedio entre f(a ) y f(b ) Continuando el proceso se obtienen dos sucesiones monótonas a n y b n convergentes ambas a un número c [a, b] Ya que f es continua en c, las dos sucesiones f(a n ) y f(b n ) convergen a f(c) y, por otra parte, al ser u intermedio entre f(a n ) y f(b n ) para cada n N, se tiene que f(c) = u con lo que, además, c a, b Corolario 239 (Teorema de Bolzano) Sea f una funcion continua cuyo dominio es un intervalo I y sean a, b I tales que f(a) f(b) < 0 Entonces existe c (a, b) tal que f(c) = 0 Corolario 230 Una función monótona definida en un intervalo es continua si y solo si el recorrido es también un intervalo Corolario 23 Una función monótona definida en un intervalo y cuyo recorrido es también un intervalo, si además tiene inversa, verifica que ella y su inversa son continuas Teorema 232 (Weierstrass) Dada una función f continua y definida en [a, b], existen c, c 2 [a, b] tales que f(c ) = sup f(x) y f(c 2 ) = ínf f(x) x [a,b] x [a,b] Demostración Veamos primero que sup f(x) R En caso contrario se puede elegir una x [a,b] sucesión x n tal que f(x n ) > n para todo n N Dicha sucesión posee una subsucesión x j(n) convergente a un número x [a, b] en el que f es continua, con lo que f(x j(n) ) debe converger a f(x) lo cual es absurdo De forma análoga se prueba que ínf f(x) R x [a,b] Ahora, para cada n N existe x n [a, b] tal que f(x n ) > sup f(x) De nuevo, n x [a,b] existe una subsucesión x j(n) convergente a un número c [a, b] Se tiene que f(c ) no puede ser ni menor ni mayor que sup f(x) Análogamente se encuentra c 2 x [a,b] Ejercicios Comprueba que la función sen x es continua 2 Estudia la continuidad de las funciones siguientes: a) f(x) = x 48

{ x 2 4 si x 2 b) f(x) = x 2 A si x = 2 c) f(x) = x [ x] { x si x Q d) f(x) = x si x Q { x 2 si 0 x e) f(x) = 2 x si < x 2 f ) f(x) = x + x 2x { 0 si x (R \ Q) [0, ] g) f(x) = si x = p Q [0, ], irreducible, q > 0 q q 3 Da un ejemplo de una función f definida en R que no sea continua en ningún punto pero que f sea continua 4 Sean f(x) = x+ x 2 y g(x) = g f { x si x < 0 x 2 si x 0 Estudia la continuidad de f, g, f g y 5 Sea f(x) = λx 2 2λ+ f sea continua con x [0, ] Calcula el conjunto de valores λ que hacen que 6 Sean f, g : R R funciones continuas tales que f(r) = g(r) para todo r Q Es cierto que f(x) = g(x) para todo x R? 7 Da un ejemplo de una función definida en R: a) Discontinua en n b) Discontinua en 0 y en n para todo n N y continua en los demás puntos para todo n N y continua en los demás puntos 8 Estudia la continuidad uniforme de las funciones siguientes: a) f(x) = x 3 si x [, A] y si x b) f(x) = sen π x c) f(x) = sen x 2 d) f(x) = x e) f(x) = x 2 f ) f(x) = x sen x si x > 0 si x (0, ) 9 Demuestra las afirmaciones siguientes: a) Existe x R tal que sen x = x b) La ecuación x2 x = tiene al menos una solución en (0, ] 49

c) La ecuación x sen x = π posee al menos dos soluciones en [0, π] 4 d) Existe x R tal que x 79 + 63 +x 2 +sen 2 x = 9 0 Sea f : R R una función continua tal que lím f(x) = + y lím f(x) = x + x Prueba que para todo y R existe x R tal que f(x) = y Sea f : [a, b] [a, b] una función continua Prueba que f tiene al menos un punto fijo, es decir, un punto x [a, b] tal que f(x) = x 2 Sea f : [0, 2] R una función continua tal que f(0) = f(2) Demuestra que existen x, y [0, 2] tales que x y = y f(x) = f(y) 3 Para cada una de las funciones f siguientes encontrar m Z tal que f tenga algún cero en el intervalo [m, m + ]: a) f(x) = x 3 x + 5 b) f(x) = x 4 + 4x 3 2x + 2 c) f(x) = 4x 2 5x + d) f(x) = x 5 + 5x 4 + 2x + 4 Sea f : [a, b] Q una función continua Qué puede decirse de ella? 5 Sea f : [a, b] R una función tal que f(x) f(y) (x y) 2 para todos x, y [a, b] Está f acotada? 6 Sean f : [a, b] R una función continua y x n una sucesión contenida en [a, b] Demuestra que la serie n (f(x n+ ) f(x n )) es convergente 7 Sea f : [0, ] R una función continua tal que f(0) = f() Prueba que existe x [ 0, 2] tal que f(x) = f ( x + 2) 8 Sea f : R R una función continua tal que lím f(x) = lím f(x) = 0 x x + Demuestra que f está acotada y que alcanza un máximo o un mínimo Da un ejemplo que indique que no necesariamente se tienen por qué alcanzar tanto un máximo como un mínimo 50

Tema 3 Derivación 3 Definiciones Definición 3 Dada una función f definida en un intervalo I y un punto c I, definimos la función tasa de variación mediante con h 0 tal que c + h I, o bien τ(h) = f(c + h) f(c) h τ(x) = f(x) f(c) x c con x c y x I Observación 32 La tasa de variación de f en c mide la inclinación de la recta que pasa por los puntos de la gráfica de f (c, f(c)) y (c + h, f(c + h)) Definición 33 Dada una función f definida en un intervalo I y un punto c I, definimos la derivada de f en c como el límite finito f (c) = lím h 0 f(c + h) f(c) h f(x) f(c) = lím x c x c Cuando existe este límite finito, decimos que f es derivable en c Observación 34 La derivada de f en c mide la inclinación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f(c)) Proposición 35 Sean f una función definida en un intervalo I y c I Si f es derivable en c, entonces es continua en c 5

Demostración El resultado se deduce de que ( ) f(x) f(c) f(x) f(c) lím(f(x) f(c)) = lím (x c) = lím lím x c x c x c x c x c (x c) = f (c) 0 = 0 x c Observación 36 La función f(x) = x es continua en 0 pero no derivable Definición 37 Una función f que tiene derivada en cada uno de los puntos de su dominio se llama función derivable, y en tal caso f es la función con el mismo dominio que asigna a cada x de él la derivada de f en x A f se le llama la función derivada (primera) de f Definición 38 Dada una función f definida en un intervalo I y un punto c I, definimos la derivada lateral por la derecha de f en c como el límite finito f +(c) = lím h 0 + f(c + h) f(c) h f(x) f(c) = lím x c + x c Análogamente se define la derivada lateral por la izquierda de f en c, f (c) Observación 39 Si c es uno de los extremos de I solo tiene sentido una de las dos derivadas laterales Observación 30 La derivabilidad de f en c equivale a que las dos derivadas laterales de f en c existan y sean iguales Ejercicios Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición: a) f(x) = x b) f(x) = sen x c) f(x) = log x d) f(x) = x n con n N e) f(x) = x 2 Estudia para cada una de las funciones siguientes si existe la derivada en 0 y, en caso negativo, si existen derivadas laterales en 0: { x sen si x 0 a) f(x) = x 0 si x = 0 { x b) f(x) = 2 sen si x 0 x 0 si x = 0 52

c) f(x) = x x 3 Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones definidas en [0, ]: a) f verifica que f(x) f(y) (x y) 2 para todos x, y [0, ] { x 2 si x Q b) f(x) = 0 si x Q { 0 si x Q c) f(x) = si x = p Q, irreducible, q > 0 q q 4 Sea f una función derivable en c tal que f(c) = 0 Prueba que f es derivable en c si y solo si f (c) = 0 5 Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x en el punto correspondiente a x = 2 6 Sea f una función definida en el intervalo abierto I y derivable en a I f(a+h) f(a h) a) Prueba que el límite lím existe y coincide con f (a) h 0 2h b) Da un ejemplo de una función f para la cual exista ese límite pero que no sea derivable en a 32 Técnicas para el cálculo de derivadas Proposición 32 Sea f una función definida en un intervalo I, monótona y continua tal que f (c) 0 y existe f Entonces f es derivable en f(c) y (f ) (f(c)) = f (c) Demostración Sea y n una sucesión arbitraria de numeros distintos de f(c) y convergente a f(c) Se trata de comprobar si converge la sucesión f (y n ) f (f(c)) y n f(c) Si designamos f (y n ) por x n, la sucesión anterior se puede expresar así: x n c f(x n ) f(c) Cada término de la sucesión x n es distinto de c y, por ser f continua, la sucesión x n converge a c, con lo que f f(x n ) f(c) (c) = lím n x n c obteniéndose el resultado 53

Ejemplo 322 Sea f(x) = sen x, x ( π 2, π 2 ) Entonces con x (, ) (arc sen x) = cos arc sen x = x 2 Proposición 323 Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I y derivables en c I, y λ R Entonces: f + g es derivable en c y (f + g) (c) = f (c) + g (c) 2 fg es derivable en c y (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c) 3 La función constante λ tiene derivada 0 en cada punto 4 λf es derivable en c y (λf) (c) = λf (c) ( ) 5 Si g(x) 0 para todo x I, es derivable en c y g g (c) = g (c) g(c) 2 ( ) 6 Si g(x) 0 para todo x I, f es derivable en c y f g g (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g(c) 2 Demostración Es evidente que 2 Usando que (fg)(c + h) (fg)(c) lím h 0 h (f + g)(c + h) (f + g)(c) lím h 0 h lím h 0 = ( f(c + h) f(c) y que g es continua en c se obtiene el resultado 3 Trivial 4 Basta usar 2 y 3 5 Se tiene que lím h 0 g(c+h) g(c) h h ( = lím h 0 g(c)g(c + h) 54 = f (c) + g (c) ) ( g(c + h) + lím f(c) h 0 ) g(c + h) g(c) h ) g(c + h) g(c) = g (c) h g(c) 2

6 Basta usar 2 y 5 Proposición 324 (Regla de la cadena) Si f es derivable en c y g es derivable en f(c), entonces g f es derivable en c y (g f) (c) = g (f(c))f (c) Demostración Supongamos en primer lugar que f(x) f(c) si 0 < x c < δ para cierto δ > 0 Entonces ( ) g(f(x)) g(f(c)) g(f(x)) g(f(c)) f(x) f(c) lím = lím x c x c x c f(x) f(c) x c Ya que f es continua en c se obtiene el resultado Si para todo δ > 0 existe x (c δ, c + δ) \ {c} tal que f(x) = f(c), entonces existe una sucesión x n de números distintos de c que converge a c tal que f(x n ) = f(c) para todo n N De aquí resulta que f (c) = 0 Basta ahora demostrar que (g f) (c) = 0 Sea x n una sucesión de números distintos de c convergente a c Si f(x n ) = f(c) para algún n N, el cociente g(f(x n )) g(f(c)) x n c se anula En caso contrario, utilizando de nuevo la descomposición anterior, dicho cociente converge a g (f(c))f (c) = 0 Ejercicios Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = cos x b) f(x) = tag x c) f(x) = log x d) f(x) = e x e) f(x) = arc cos x f ) f(x) = arc tag x g) f(x) = x r con r R h) f(x) = (cos x) /x { sen i) f(x) = 2 x cos si x 0 x 0 si x = 0 { x j ) f(x) = 2 sen si x 0 x 2 0 si x = 0 55

k) f(x) = 3 + 3 + 3 x l) f(x) = x 2 3x + 2 m) f(x) = sen cos 2 x 2 Estudia la derivabilidad de las funciones siguientes: a) f(x) = π 2 x 2 sen 2 x b) f(x) = arc sen cos x c) f(x) = (x )(x 2) 2 d) f(x) = cos x e) f(x) = sen x 3 Calcula derivadas o derivadas laterales para las siguientes funciones: { x cos π si x 0 a) f(x) = x 0 si x = 0 { x si x 0 b) f(x) = +e /x 0 si x = 0 c) f(x) = arc sen 2x x 2 + 4 Calcula λ y µ para que sea derivable la función f(x) = { 6 x+2 si x [0, ] λx 2 + µ si x (, 2] 33 Propiedades de las funciones derivables 33 Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos locales Definición 33 Si la función f es continua en c por la derecha, se dice que f es creciente (decreciente) en c por la derecha si existe δ > 0 tal que f(x) > f(c) (f(x) < f(c)) cuando c < x < c + δ Análogamente, si f es continua en c por la izquierda, se dice que f es creciente (decreciente) en c por la izquierda si existe δ > 0 tal que f(x) < f(c) (f(x) > f(c)) cuando c δ < x < c Si f es continua en c, se dice que f es creciente (decreciente) en c si crece (decrece) a ambos lados de c Proposición 332 Si existe f +(c) > 0, entonces f es creciente en c por la derecha 56

2 Si existe f +(c) < 0, entonces f es decreciente en c por la derecha 3 Si existe f (c) > 0, entonces f es creciente en c por la izquierda 4 Si existe f (c) < 0, entonces f es decreciente en c por la izquierda Demostración Basta probar el primer apartado pues el resto se demuestran análogamente Dado 0 < λ < f +(c), existe δ > 0 tal que f(x) f(c) > λ si c < x < c + δ, con lo que se x c obtiene el resultado Observación 333 Derivada positiva (negativa) es condición suficiente para crecimiento (decrecimiento) pero no necesaria Basta considerar la función f(x) = x 3 que es creciente y f (0) = 0 Definición 334 Dada una función f continua en c, se dice que f tiene en c un máximo (mínimo) local si existe δ > 0 tal que f(x) f(c) (f(x) f(c)) si x c < δ Al conjunto de máximos y mínimos locales de f se les llama extremos locales de f Como consecuencia de la proposición anterior se obtiene claramente que: Proposición 335 Si f tiene en c un extremo local y f es derivable en c, entonces f (c) = 0 332 El teorema del valor medio Teorema 336 (Rolle) Sea f una función derivable en un intervalo acotado (a, b) y continua en sus extremos Si f(a) = f(b), entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0 Demostración Ya que f es una función continua en [a, b], existen c, c 2 [a, b] tales que f(c ) = sup f(x) y f(c 2 ) = ínf f(x) x [a,b] x [a,b] Si c y c 2 son los extremos del intervalo, entonces f es constante y f (c) = 0 para todo c (a, b) En otro caso, c o c 2 pertenece a (a, b) y entonces el máximo o mínimo absoluto es también un extremo local, por lo que al existir la derivada en él ésta tiene que ser 0 Observación 337 Geométricamente el teorema de Rolle nos dice que en algún punto (c, f(c)) de la gráfica de f, siendo c intermedio entre a y b, la tangente es horizontal y paralela, por tanto, al segmento que une los extremos de la gráfica El siguiente resultado constituye una generalización del teorema de Rolle 57

Teorema 338 (Valor medio) Sea f una función derivable en un intervalo acotado (a, b) y continua en sus extremos Existe c (a, b) tal que f(b) f(a) = f (c)(b a) Demostración Basta aplicar el teorema de Rolle a la función Φ(x) = (f(b) f(a))x (b a)f(x) Observación 339 Geométricamente el teorema del valor medio dice que en algún punto (c, f(c)) de la gráfica de f, siendo c intermedio entre a y b, la tangente es paralela al segmento que une los extremos de la misma Y el siguiente resultado generaliza el teorema del valor medio Teorema 330 (Cauchy) Sean f y g funciones derivables en un intervalo acotado (a, b) y continuas en los extremos Existe c (a, b) tal que g (c)(f(b) f(a)) = f (c)(g(b) g(a)) Demostración Basta aplicar el teorema de Rolle a la función Φ(x) = (f(b) f(a))g(x) (g(b) g(a))f(x) Veamos ahora algunas aplicaciones de estos teoremas Proposición 33 Si la función f tiene derivada positiva (negativa) en cada punto de un intervalo I, entonces f es estrictamente creciente (decreciente) en I Demostración Basta con probar la primera parte pues la otra se demuestra análogamente Sean x, y I tales que x < y Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x, y] se obtiene algún c (x, y) tal que f(y) f(x) = f (c)(y x), deduciéndose el resultado Proposición 332 Si la función f es derivable en un intervalo I y f (x) M para todo x I, entonces f es uniformemente continua Demostración Dados x, y I, aplicando el teorema del valor medio se obtiene algún c intermedio entre x e y tal que f(x) f(y) = f (c) x y M x y, deduciéndose el resultado 58

Proposición 333 Sea una función f derivable en algún intervalo (a, a+δ) ((a δ, a)) y continua en a Si existe lím f (x) ( lím f (x)), entonces también existe f +(a) (f (a)) x a + x a y son iguales Demostración En el primer caso basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo [a, x] para cada x (a, a + δ) ya que si x a +, entonces c a + también El otro caso es análogo Observación 334 La existencia de f +(a) no garantiza la de lím f (x) Basta considerar la función f(x) = 2 sen si x > 0 { x a + x x 0 si x = 0 y a = 0 En el resultado siguiente a [, + ] Teorema 335 (L Hôpital) Sean f y g dos funciones que verifican las condiciones siguientes: lím x a f(x) = lím x a g(x) = 0, +, 2 En las proximidades de a son derivables, y g y g no se anulan f 3 lím (x) x a g (x) = λ [, + ] f(x) Entonces lím = λ x a g(x) Demostración Supongamos en primer lugar que el límite común de la condición es 0 y que a R La condición 2 se verifica en alguno de los intervalos (a δ, a) o (a, a + δ), o en ambos Por la condición, si definimos f(a) = g(a) = 0, entonces f y g son continuas en a Suponemos que f y g están definidas en [a, a + δ), y para (a δ, a] se haría un razonamiento análogo Fijado x (a, a + δ), utilizando el teorema de Cauchy en el intervalo [a, x] se obtiene c (a, x) tal que g (c)(f(x) f(a)) = f (c)(g(x) g(a)) es decir, f(x) g(x) = f (c) g (c) Cuando x a +, también c a +, con lo que se tiene el resultado Estudiemos ahora el caso a = +, y el problema es análogo si a = 59

Las funciones f y g verifican la condición 2 en (A, + ) para cierto A > 0 Hacemos el cambio de variable x = y consideramos las funciones F (t) = f ( ) ( t t y G(t) = g ) t, las cuales se encuentran en la situación del caso anterior para a = 0, obteniéndose el resultado Supongamos ahora que el límite común de la condición es + (el caso se prueba análogamente) y que a R De la misma forma que antes el caso infinito se reduce al caso finito mediante un cambio de variable El problema fundamental ahora es que no podemos definir f y g en a de manera que sean continuas, y por ello deberemos aplicar el teorema de Cauchy en intervalos a la derecha o a la izquierda de a y un poco separados de a Haremos un razonamiento para la parte derecha de a, y para la parte izquierda se procedería análogamente Suponemos que la condición 2 se verifica en el intervalo (a, b] Si x (a, a + δ) siendo δ suficientemente pequeño, se verifica la identidad siguiente: f(x) g(x) f(x) f(b) g(b) g(x) = g(x) g(b) f(b) f(x) ya que los denominadores que aparecen son distintos de 0 por la condición Aplicando el teorema de Cauchy al intervalo [x, b] se obtiene c (x, b) tal que f(x) f(b) g(x) g(b) = f (c) g (c) por lo que la referida identidad se puede también escribir así: f(x) g(x) = f (c) g (c) h(x) en donde h(x) es el segundo factor del segundo miembro de ella Ya que lím h(x) =, x a + tomando b para que f (c) esté suficientemente cerca de λ, se obtiene el resultado g (c) 333 Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor Definición 336 Sea f una función derivable en todos los puntos de un intervalo I Si f es derivable en c I, es decir, si existe y es finito lím x c f (x) f (c), x c éste se designa f (c) y se llama la derivada segunda de f en c Análogamente se define la derivada n-ésima de f en c, f (n) (c) 60

Teorema 337 (generalizado de Cauchy) Sean f y g funciones derivables con continuidad hasta el orden n en [a, b] y tales que f (n) (x) y g (n) (x) existen para todo x (a, b) Entonces existe c (a, b) tal que g (n) (c) ( f(b) n k=0 ) f (k) (a) (b a) k = f (n) (c) k! ( g(b) n Demostración Basta aplicar el teorema de Cauchy a las funciones k=0 ) g (k) (a) (b a) k k! y F (x) = G(x) = n k=0 n k=0 f (k) (x) (b x) k k! g (k) (x) (b x) k k! Teorema 338 (Taylor) Sea f una función derivable con continuidad hasta el orden n en [a, b] y tal que f (n) (x) existe para todo x (a, b) Entonces existe c (a, b) tal que f(b) n k=0 f (k) (a) k! (b a) k = f (n) (c) (b a) n n! Demostración Basta aplicar el teorema generalizado de Cauchy a f y g(x) = (x a) n Teorema 339 (Taylor-Young) Sea f una función derivable hasta el orden n en [a, b] y tal que f (n) (c) existe para cierto c [a, b] Entonces el polinomio de Taylor de f de orden n centrado en c, es decir, P n,f,c (x) = n k=0 f (k) (c) (x c) k k! es el único polinomio P (x) de grado menor o igual que n tal que f(x) P (x) lím = 0 x c (x c) n Demostración Por inducción se prueba que el polinomio de Taylor de f de orden n centrado en c verifica que el límite del enunciado es nulo Basta emplear el teorema de L Hôpital y utilizar que P n+,f,c = P n,f,c Para ver la unicidad, supongamos que P y Q son dos polinomios de grado menor o igual que n que verifican que el límite del enunciado es nulo Entonces P (x) Q(x) = a 0 + a (x c) + + a n (x c) n 6

Ya que se tiene que P (x) Q(x) f(x) Q(x) f(x) P (x) lím = lím lím = 0 x c (x c) n x c (x c) n x c (x c) n ( ) P (x) Q(x) a 0 = lím(p (x) Q(x)) = lím (x c) n = 0 x c x c (x c) n Pero entonces a = lím x c P (x) Q(x) x c Reiterando este proceso se obtiene que P = Q ( ) P (x) Q(x) = lím (x c) n = 0 x c (x c) n Definición 3320 Dadas dos funciones f y g definidas en un intervalo I y c I, se dice que f(x) = o(g(x)) cuando x c si f(x) lím x c g(x) = 0 334 Análisis local de una función derivable Definición 332 Se dice que la función f es cóncava en a si existe δ > 0 tal que f(x) < f(a) + f (a)(x a) si 0 < x a < δ Análogamente, se dice que la función f es convexa en a si existe δ > 0 tal que f(x) > f(a) + f (a)(x a) si 0 < x a < δ Y f tiene en a un punto de inflexión si existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ, la diferencia f(x) [f(a) + f (a)(x a)] es positiva para x > a y negativa para x < a o viceversa Observación 3322 Concavidad de f en a significa que en las proximidades de a la gráfica de f está por debajo de la tangente en (a, f(a)), convexidad significa que está por encima y punto de inflexión significa que la tangente atraviesa a la gráfica Proposición 3323 Sea f una función con derivada de orden n en un intervalo I en cuyo interior está a y tal que f (n) es continua en a, f (n) (a) 0 y Entonces: f (a) = f (a) = = f (n ) (a) = 0 Si n es par y f (n) (a) > 0, entonces f es convexa en a, y si además f (a) = 0, entonces f tiene en a un mínimo local 62

2 Si n es par y f (n) (a) < 0, entonces f es cóncava en a, y si además f (a) = 0, entonces f tiene en a un máximo local 3 Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexión Demostración Aplicando el teorema de Taylor al intervalo de extremos a y x siendo x cualquier punto de I, se obtiene que para algún c intermedio entre a y x f(x) [f(a) + f (a)(x a)] = f (n) (c) (x a) n n! Ya que f (n) es continua en a, existe δ > 0 tal que f (n) es positiva en (a δ, a + δ) si en a lo es o negativa en dicho intervalo si en a lo es Se presentan, pues, cuatro posibilidades al analizar si f (n) (c) (x a) n n! es positivo o negativo cuando x (a δ, a + δ) dependiendo de la paridad de n y del signo de f (n) (a) Todas ellas se estudian sin dificultad obteniéndose el resultado Ejercicios Sea f una función derivable para x > A tal que lím x + f (x) existe y es finito Calcula: a) lím (f(x + 2) f(x)) x + f(2x) f(x) b) lím x + x 2 Sea f una función definida y continua en [0, + ) tal que f(0) = 0, f es derivable en (0, + ) y f es creciente Sea g(x) = f(x) definida en (0, + ) Prueba que g es x creciente 3 Demuestra que el polinomio c 0 +c x+c 2 x 2 + +c n x n tiene algún cero en el intervalo (0, ) si c 0 + 2 c + 3 c 2 + + n+ c n = 0 4 Calcula los límites siguientes usando el teorema de L Hôpital: log(+ax) a) lím x 0 log(+bx) b) lím x 0 n +ax m +bx con a, b > 0 con a, b > 0 x c) lím n con n N x + e x d) lím x + ( (x 2 + x) log ( + x ) x ) 63

( e) lím ) cotag x x 0 x 2 x πx tag f ) lím(2 x) 2 x g) lím x 0 (log cotag x) tag x h) lím x x x ( i) lím cotag x x 0 x) ( j ) lím e cos x sen x ) x 0 k) lím x 0 ( x e ) x ( x log x x l) lím ) x(e m) lím x +) 2(e x ) x 0 x 3 5 Prueba que si existe f (x), entonces f(x + h) + f(x h) 2f(x) lím h 0 h 2 Puede existir este límite y que no exista f (x)? = f (x) 6 Demuestra que f (x) = 0 para cada x de un intervalo I si y solo si f es constante en I 7 Prueba las desigualdades siguientes: a) x + e x para todo x R b) log(x + ) < x para todo x > 0 c) a < log b < b con 0 < a < b b a a 8 Escribe el polinomio x 4 + x 3 3x 2 + 4x 4 como una suma de potencias de x, y el polinomio x 4 x 3 + 43x 2 60x + 4 como una suma de potencias de x 3 9 Demuestra que: a) e x = k=0 b) log( + x) = c) sen x = x k k! para todo x R k= d) cos x = k=0 k= k xk ( ) k para todo x (0, ] ( ) k x 2k (2k )! para todo x R ( ) k x 2k (2k)! para todo x R 64

e) x < ( + x) log( + x) < x + x2 2 0 Prueba las desigualdades siguientes: para todo x > 0 a) x2 cos x para todo x R 2 b) 2n 2n+ k+ xk ( ) log(x + ) ( ) k= k k= k+ xk k para todo x > 0 Comprueba que el error cometido al sustituir sen(e x ) por x + 2 x2 es menor que 3 0 3 si x 0 2 Prueba que el error cometido al sustituir cos 2 3x por 9x 2 + 27x 4 es menor que 4 0 5 si x 0 3 Se supone que f(a) = g(a) y que f (x) < g (x) para todo x [a, b] Demuestra que f(x) < g(x) para todo x [a, b] 4 Sea f continua en [a, b] y con derivada segunda en (a, b) Se supone que en el segmento que une los extremos de la gráfica de f hay algún otro punto de ella Demuestra que existe c (a, b) tal que f (c) = 0 5 Sea f continua en [a, b] En (a, b) hay n + puntos en los cuales f toma el mismo valor Demuestra que si f tiene derivada n-ésima en (a, b), entonces existe c (a, b) tal que f (n) (c) = 0 6 Calcula los límites siguientes usando el teorema de Taylor-Young: (sen x x)2 36 x6 x 0 x 8 a) lím arc tag x sen x b) lím x 0 tag x arc sen x c) lím x x+log x 2x x 2 sen d) lím x x cos x x 0 x 2 sen 2 x 7 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: a) f(x) = 2x x 2 + b) f(x) = cos x x c) f(x) = x 2 e x 8 Dada la función f(x) = { x 4 sen 2 x si x 0 0 si x = 0 demuestra que tiene en 0 un mínimo local, que f (0) = f (0) = 0 y que no existe f (0) 65

9 Prueba que la función f(x) = ax x3 x 2 + es creciente en R si y solo si a 9 8 20 Determina el rectángulo inscrito en la elipse ( x a) 2 + ( y b ) 2 = con lados paralelos a los ejes y que tenga área máxima 2 Determina el paralelepípedo de base cuadrada inscrito en una semiesfera de radio que tiene volumen máximo 22 Representa gráficamente las funciones siguientes: a) f(x) = x 3 5x 2 + 5x b) f(x) = x3 (x+) 2 c) f(x) = (x ) 3 x 2 d) f(x) = xe /x e) f(x) = 4 x2 log x f ) f(x) = log x Recuerda que si lím f(x) = ± o lím f(x) = ±, se dice que la recta x = c es x c + x c una asíntota vertical de la gráfica de f, si lím f(x) = L o lím f(x) = L, se x + x dice que la recta y = L es una asíntota horizontal y la recta y = λx+µ con λ 0 es una asíntota oblicua si (f(x) λx µ) = 0 o lím (f(x) λx µ) = 0 lím x + x 66

Tema 4 Integración 4 Cálculo de primitivas Definición 4 Se dice que la función derivable F es una primitiva de la función f si F = f, utilizándose la notación f(x) dx = F (x) Es trivial probar el resultado siguiente: Proposición 42 La condición necesaria y suficiente para que dos funciones derivables sean primitivas de la misma función es que su diferencia sea constante Observación 43 Si conocemos una primitiva F de f, todas las demás se obtienen sumando a F un número real arbitrario De la derivada de un producto de dos funciones se obtiene fácilmente la regla siguiente: Proposición 44 Dadas dos funciones derivables f y g se tiene que f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx La regla de la cadena es otra herramienta para el cálculo de primitivas Si queremos hallar una primitiva de f(x), es útil a veces hacer un cambio de variable x = ϕ(t) de tal manera que ϕ y ϕ sean derivables Si podemos encontrar una primitiva G(t) del producto g(t) = f(ϕ(t))ϕ (t), entonces la función F (x) = G(ϕ (x)) es una primitiva de f(x) Ejercicios Calcula las primitivas siguientes: 67

a) x + x+ dx b) +sen x dx c) tag 2 x dx d) x x 2 dx 2 Calcula las primitivas siguientes utilizando la regla del producto: a) x 2 e x dx b) x cos x dx c) arc tag x dx d) log x dx e) arc sen x dx f ) e x cos x dx g) log 3 x dx h) log log x x dx i) x log 2 x dx j ) x arc sen x x 2 k) sen 2 x dx dx 3 Calcula las primitivas de funciones racionales siguientes: a) 2x 2 +7x x 3 +x 2 x dx b) x+4 x 2 + dx c) x 2 +x+2 x 4 +2x 2 + dx d) 2x 2 +x+ (x+3)(x ) 2 e) dx x 4 + f ) 2x dx (x 2 +2) 2 dx 4 Calcula las primitivas siguientes mediante cambio de variable: a) x 2 dx b) x 2 + dx c) x x + dx d) e x +2e x e 2x + dx e) sen x sen x+cos x dx f ) sen 3 x cos 4 x dx 68

g) +cos 2 x cos x(+sen 2 x) dx h) sen 2 x cos 2 x dx i) 4 x + x dx j ) cos x dx 5 Calcula las primitivas siguientes: a) 2 sen x 2+cos x dx b) +sen 2 x dx c) r cos x 2r cos x+r 2 d) + x+ dx e) 4 x + 2 x + dx f ) x x dx dx g) cos 2x sen 2 x dx h) i) ( ) 2 x + x dx sen 3x cos x dx j ) 2+ x+ (x+) 2 x+ dx k) 2x x 2 dx l) x x 2 dx m) sen 3 x cos x dx n) a 2 e x +b 2 e x dx ñ) x 5 x 3 dx o) x(x 7 +) dx p) cos x log( + cos x) dx q) x 2 3x+3 x 2 3x+2 dx r) 3x+5 (x 2 2x+2) 2 dx s) x dx x 2 t) x+ x+3 x dx u) 2+3 tag x dx v) x 2 3x 2 x+ dx 69

42 La integral de Riemann Sea f : [a, b] R acotada, es decir, f(x) M para todo x [a, b] A continuación vamos a describir un proceso (integración) que asocia a f un determinado número (integral) que, cuando f es continua y positiva en [a, b], es el área del recinto plano determinado sobre [a, b] por la gráfica de f y las rectas x = a y x = b Definición 42 Dados x < x 2 < < x r números de (a, b), se dice que P = {a = x 0, x, x 2,, x r, b = x r } es una partición del intervalo [a, b] La norma de P se define como P = máx i r {x i x i } La colección de todas las particiones de [a, b] se designa por P y A cada P P asociamos las sumas r S(f, P ) = (x k x k ) sup f(x) x [x k,x k ] s(f, P ) = k= r k= σ(f, P ) = donde t k [x k, x k ] para todo k r Proposición 422 (x k x k ) ínf x [x k,x k ] f(x) r (x k x k )f(t k ) k= Para toda P P se tiene que M(b a) s(f, P ) σ(f, P ) S(f, P ) M(b a) 2 Para todas P, P P se tiene que s(f, P ) S(f, P ) 3 Se tiene que Demostración M(b a) sup s(f, P ) ínf S(f, P ) M(b a) P P P P Trivial 70

2 El resultado se debe a que s(f, P ) s(f, P P ) S(f, P P ) S(f, P ) donde P P se obtiene añadiendo a P los elementos de P que no le pertenecen 3 Basta usar los apartados ya probados Definición 423 Las integrales superior e inferior de f en [a, b] se definen, respectivamente, mediante y b a b a f(x) dx = f(x) dx = b a b a f = ínf P P S(f, P ) f = sup P P s(f, P ) Cuando son iguales se dice que f es integrable (Riemann), el valor común se designa b f(x) dx = b f y se denomina integral (Riemann) de f en [a, b] a a Proposición 424 Una función f definida en [a, b] y acotada es integrable si y solo si para todo ɛ > 0 existe P P tal que S(f, P ) s(f, P ) < ɛ Demostración Supongamos que f es integrable Dado ɛ > 0 existe P P tal que S(f, P ) < b f + ɛ Análogamente existe P P tal que s(f, P ) > b f ɛ Sea a 2 a 2 P = P P Entonces b con lo que S(f, P ) s(f, P ) < ɛ a f ɛ b 2 < s(f, P ) S(f, P ) < f + ɛ 2 Recíprocamente, dado ɛ > 0 existe P P tal que S(f, P ) s(f, P ) < ɛ, con lo que b a f b a f < ɛ a para todo ɛ > 0 y, por tanto, b f = b a a f Corolario 425 Si f : [a, b] R es continua, entonces es integrable Demostración Ya que f es uniformemente continua en [a, b], dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ɛ si x y < δ Basta entonces elegir P P tal que P < δ para b a obtener el resultado 7

Observación 426 Si f : [a, b] R es continua y P n es una sucesión de particiones de [a, b] tal que lím P n = 0, entonces lím (S(f, P n ) s(f, P n )) = 0 y, puesto que n n s(f, P n ) b f S(f, P a n) para todo n N, resulta también que la sucesiones S(f, P n ) y s(f, P n ) (y cualquier σ(f, P n )) convergen a la integral Veamos ahora las propiedades de las funciones integrables: Proposición 427 Sean f y g funciones integrables en [a, b] y λ R Entonces se verifica: f + g es integrable en [a, b] y b a (f + g) = b a f + b a g 2 λf es integrable en [a, b] y b a (λf) = λ b a f 3 Si c (a, b), entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b] y b a f = c a f + b c f 4 Si f g, entonces b f b g a a 5 f es integrable en [a, b] y b f b a f a Demostración Sea ɛ > 0 Ya que f y g son integrables existen particiones P, P P tales que S(f, P ) s(f, P ) < ɛ 2 y S(g, P ) s(g, P ) < ɛ 2 Tomando P = P P se tiene que S(f + g, P ) s(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) s(f, P ) s(g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) s(f, P ) s(g, P ) < ɛ con lo que f + g es integrable La igualdad integral se obtiene tomando ínfimos y supremos respectivamente en P en las desigualdades S(f +g, P ) S(f, P )+S(g, P ) y s(f + g, P ) s(f, P ) + s(g, P ) 2 La demostración de esta propiedad es similar a la de la anterior 3 La primera parte es trivial y la segunda se deduce de la primera propiedad pues f coincide salvo en c con la suma de sus restricciones a [a, c] y [c, b] 4 Basta con tomar ínfimos en P en la desigualdad S(f, P ) S(g, P ) 5 La primera parte se debe a que f es la composición de la función integrable f con la función continua valor absoluto (ver Ejercicio 2) Utilizando los apartados 2 y 4 se tiene que b f = b ( f) b f y b f b f con lo que se obtiene la a a a a a segunda parte 72

Proposición 428 Si f : [a, b] R es continua, entonces b f = (b a)f(x) para a algún x [a, b] Demostración Ya que (b a) mín x [a,b] f(x) b a f (b a) máx x [a,b] f(x) se tiene que b f = (b a)µ para algún mín f(x) µ máx f(x) El teorema de los a x [a,b] x [a,b] valores intermedios hace el resto Definición 429 Sea f : [a, b] R integrable A la función { F (t) = t a se le llama integral indefinida de f en [a, b] 0 si t = a f(x) dx si a < t b Proposición 420 La integral indefinida de f es una función continua Demostración Ya que M(t a) F (t) M(t a) se tiene que lím t a F (t) = 0 con lo que F es continua en t = a Y dado el intervalo (a, x] contenido en el intervalo de definición de F, si a < u < v x, entonces v v F (v) F (u) = f f M(v u) con lo que F es uniformemente continua en (a, x] u u Ejercicios Demuestra que una función monótona definida en [a, b] es integrable 2 Demuestra que la composición de una función integrable y una continua es integrable 3 Demuestra que una función acotada cuyo conjunto de puntos de discontinuidad es finito es integrable 73

4 Prueba que la función definida en [0, ] por { 0 si x Q f(x) = si x = p Q, irreducible, q > 0 q q es integrable y calcula su integral 5 Demuestra que la composición de dos funciones integrables puede ser no integrable 6 Demuestra que el producto de dos funciones integrables es integrable 7 Demuestra que si a n es una serie convergente de elementos de [0, ] y f es una función integrable en [0, ], entonces la serie an 0 f es absolutamente convergente 8 Sea f una función integrable en [a, b] no negativa Prueba que si f es continua en c y f(c) > 0, entonces b a f > 0 43 El teorema fundamental del Cálculo Teorema 43 (Teorema fundamental del Cálculo) Sea f una función acotada e integrable definida en [a, b] y sea F la integral indefinida de f, es decir, { 0 si t = a F (t) = f(x) dx si a < t b t a Entonces, F es una función continua y, si f es continua en c [a, b], F es derivable en c y F (c) = f(c) Demostración La continuidad se prueba de forma análoga al caso continuo pero usando una cota de f Supongamos ahora que f es continua en c [a, b] Estudiemos F +(c) La otra derivada lateral se estudia análogamente Dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que f(x) f(c) < ɛ si x c < δ Entonces, si 0 < h < δ, se tiene que F (c + h) F (c) h f(c) = lo cual completa la demostración c+h c (f(x) f(c)) dx h c+h c f(x) f(c) dx h Corolario 432 (Regla de Barrow) Sea f una función continua definida en [a, b] y sea F una primitiva de f Entonces b a f(x) dx = F (b) F (a) 74 < ɛ

Demostración Ya que, por el teorema fundamental del Cálculo, la integral indefinida de f es otra primitiva de f, se tiene que ambas difieren en una constante λ = F (a) con lo que se tiene el resultado Ejercicios Demuestra que si f tiene derivada continua de orden n en [a, b], entonces f(b) n k=0 f (k) (a) b (b a) k = k! a f (n) (x) (n )! (b x)n dx 2 Calcula las integrales siguientes como el límite de una suma y halla los límites siguientes mediante la evaluación de una integral por la regla de Barrow: a) 0 ax dx; lím n( n a ) con a > 0 n b) 2 log x dx; lím n c) 0 xp dx; lím d) 2 e) 0 f ) 0 dx x ; lím n dx ; lím x 2 + n dx ; lím x 2 + n ( + n n p +2 p + +n p ) ( + 2 n con p N n p+ ( + + + n+ n+2 n+n) [ ( n n g) 0 x dx; lím + n h) 0 x2 dx; lím ) ( + n n) + + + n 2 + 2 n 2 +2 2 n n k= 2 +k 2 2+ 3+ + n n n n n k= n 2 k 2 n 2 n 2 +n 2 )] 3 Sea f una función continua Prueba que las funciones siguientes son derivables y calcula sus derivadas: a) F (t) = f(x) dx t b) F (t) = t 2 f(x) dx 0 4 Calcula las integrales siguientes: a) 2π 0 máx{sen x, cos x} dx b) π/2 0 c) 2 0 cos 3 x sen 3 x +sen 2 x x 2 (x 2 +) 3/2 dx dx d) 3 x(x )(x + )(x 2) dx 3 75

5 Sean f una función continua en R y u y v dos funciones derivables en R Se define la función g en R como g(x) = v(x) u(x) f(t) dt Demuestra que g es derivable en R y que g (x) = f(v(x))v (x) f(u(x))u (x) 6 Calcula la derivada de las funciones siguientes: a) f(x) = x 0 b) f(x) = x 2 x e t t 4 +t 2 +2 dt dt t 2 + 7 Calcula los límites siguientes: x 2 0 sen t dt a) lím x 0 b) lím x + x 3 ( x 0 et2 dt) 2 x 0 e2t2 dt 8 Calcula el área de la región acotada por la curva y = x 3 x y su tangente en el punto de abcisa x = 9 Halla el área de la región limitada por la parábola y = x 2 2x + 3, su tangente en el punto (2, 5) y el eje OY 0 La corona circular centrada en el origen y de radio interior 2 y radio exterior 6 se corta con la parábola x = y 2 Calcula el área de cada una de las dos regiones que se forman Halla λ para que la curva y = λ cos x divida en dos partes de igual área la región acotada por el eje OX, la recta x = π y la curva y = sen x 2 44 Integrales impropias Ahora vamos a extender la definición de integral a intervalos no cerrados o no acotados para funciones no necesariamente acotadas Las integrales de esta naturaleza se suelen denominar integrales impropias La función f objeto de nuestro estudio será localmente integrable en el intervalo I en el que esté definida, es decir, integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en I 76

Definición 44 Si I = [a, b) siendo b R {+ }, la integral de f en I de define como b a f = lím t b en el supuesto de que este límite exista (finito o infinito) y se dice que f es integrable en I si dicho límite es finito Si I = (a, b] siendo a R { }, definimos análogamente b a + f = lím t a + t a b t f f Si I = (a, b) (acotado o no por ambos lados), se dice que f es integrable si existe c I tal que f es integrable en (a, c] y en [c, b), y la integral de f en I se define mediante b a + f = c a + f + Observación 442 De las propiedades de la integral se deduce fácilmente que si existe algún c con esta propiedad, entonces cualquier punto de (a, b) también la tiene, y la definición de la integral es independiente del c que se elija b c f Veamos ahora algunos criterios de comparación Nos referiremos a un intervalo [a, b) y de forma análoga se puede hacer para (a, b] El primero de ellos se obtiene fácilmente: Proposición 443 Sean f y g definidas en [a, b) tales que 0 f(x) g(x) para cada x de algún intervalo [c, b) con c [a, b) Entonces, si g es integrable, f también lo es, y si f tiene integral infinita, g también De este resultado se deducen los dos siguientes: Proposición 444 Sean f y g definidas en [a, b) tales que f(x) 0, g(x) > 0 y λ f(x) g(x) µ para cada x de algún intervalo [c, b) con c [a, b) y λ, µ > 0 Entonces f es integrable si y solo si g también lo es Observación 445 La tercera de las anteriores condiciones se cumple si f(x) lím x b g(x) = L > 0 77

Proposición 446 Sean f y g definidas en [a, b) tales que f(x) 0 y g(x) > 0 para cada x de algún intervalo [c, b) con c [a, b), y además f(x) lím x b g(x) = 0 Entonces, si g es integrable, f también lo es, y si f tiene integral infinita, g también Ejercicios Calcula las integrales impropias siguientes: a) 0 + log x dx b) + 0 e x dx c) + 0 x n e x dx con n N d) + 0 dx x 2 + e) + 0 e x dx 2 Prueba que: a) + 0 2xe x2 dx = b) + arc tag x x 2 dx = π 4 + log 2 c) 0 + x 2 e /x dx = e d) 0 + x 2 log x dx = 9 3 Determina para cada una de las integrales impropias siguientes si es finita o no, y calcúlala cuando sea finita: a) 2 + dx x log x b) 0 + x log x dx c) + 2 d) + log x x dx dx x 2 e) 2 + dx x f ) + 2 dx x log 2 x g) + 0 + dx x(x+4) h) + i) + 2 x dx x 4 + dx x 2 +x 2 78

j ) π/2 0 k) + 0 l) + m) dx cos x dx x 2 + x dx x(x 2 +) +x x dx 4 Sean f y g dos funciones definidas en (a, b) tales que las dos integrales impropias b f y b g son finitas Muestra con un ejemplo que, en general, la integral impropia a a fg no tiene por qué ser finita b a 45 Aplicaciones de la integral 45 Longitud de la gráfica de una función Definición 45 Dada una función continua f definida en [a, b] con derivada continua se define la longitud de su gráfica como L = b a (f (x)) 2 + dx Observación 452 La justificación de la definición anterior es la siguiente: Al elegir P = {a = x 0, x, x 2,, x r, b = x r } P queda determinada una poligonal inscrita en la curva y la suma de las longitudes de los segmentos que la constituyen es r (f(xk ) f(x k )) 2 + (x k x k ) 2 k= la cual, aplicando el teorema del valor medio en cada intervalo [x k, x k ], se transforma en cierta σ( (f ) 2 +, P ) 452 Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolución Definición 453 Sea f una función continua definida en [a, b] con valores no negativos y derivada continua Mediante la rotación de la gráfica de f en torno del segmento de extremos a y b se genera un cuerpo cuyo volumen V y superficie lateral S se definen del siguiente modo: y S = b a V = b a π(f(x)) 2 dx 2πf(x) (f (x)) 2 + dx 79

Observación 454 La justificación de la definición anterior es análoga a la de la longitud de la gráfica de una función 453 Las funciones trigonométricas Definición 455 El número π se define como π = 2 x2 dx Para x [, ], el área A(x) del sector limitado por la circunferencia unidad (de centro el origen y radio ), el eje OX y el segmento que une el origen con el punto (x, x 2 ) es la siguiente: A(x) = x x 2 2 + x t2 dt Definición 456 Si x [0, π], entonces cos x es el único número de [, ] tal que A(cos x) = x 2 y sen x = cos 2 x Observación 457 La existencia de cos x viene dada por el teorema de los valores intermedios ya que A es una función continua y A( ) = π y A() = 0 2 Es claro que si x [π, 2π], entonces sen x = sen(2π x) y cos x = cos(2π x), y si x = 2πk+x para algún k Z y algún x [0, 2π], entonces sen x = sen x y cos x = cos x Las derivadas de las funciones sen y cos se obtienen fácilmente: Proposición 458 Si 0 < x < π, entonces (cos x) = sen x y (sen x) = cos x Observación 459 Es fácil demostrar que las derivadas anteriores se tienen para todo x que no sea múltiplo de π, y para estos últimos basta aplicar la Proposición 333 Las demás funciones trigonométricas (tag, sec, cosec y cotag ) se definen de la manera habitual Restringiendo la función sen a [ π 2, π 2 ] para tener inyectividad se obtiene su función inversa arc sen con dominio [, ] Análogas funciones se obtienen restringiendo la función cos a [0, π] y la función tag a ( π 2, π 2 ) En este último caso el dominio de la función arc tag es todo R 80

454 Las funciones logarítmica y exponencial Definición 450 Si x > 0, entonces se define log x = x t dt Proposición 45 Si x, y > 0, entonces log xy = log x + log y Demostración Dado y > 0, consideramos la función f(x) = log xy Ya que f = log, se tiene que log xy = log x + c para cierta constante c Tomando x = se obtiene que c = log y lo cual completa la demostración ya que y era arbitrario Fácilmente se obtienen los siguientes corolarios: Corolario 452 Si n N y x > 0, entonces log x n = n log x Corolario 453 Si x, y > 0, entonces log x y = log x log y La función log es creciente y no está acotada ni superior ni inferiormente (basta considerar log 2 n y log 2 n ) Al ser continua, R es el dominio de log Definición 454 La función exponencial exp se define como log Ya que log x se define solo para x > 0, se tiene que exp x > 0 para todo x R Además, es fácil obtener que exp = exp y que exp(x+y) = exp x exp y para cualesquiera x, y R Definición 455 Se definen e = exp, e x = exp x y a x = e x log a con x R y a > 0 Es fácil comprobar que (a x ) y = a xy 2 a = a 3 a x+y = a x a y 4 log a x = log x log a donde log a x es la función inversa de a x Ejercicios Calcula la longitud de las gráficas de las funciones siguientes: 8

a) f(x) = 2x con x [, 3] b) f(x) = e x con x [, 2] c) f(x) = log cos x con x [ 0, π 4 ] 2 Halla la longitud de las siguientes curvas: a) Una circunferencia de radio r b) El arco de la parábola de ecuación y = x 2 comprendido entre los puntos (0, 0) y (, ) c) El arco de la cicloide parametrizado por c(t) = (r(t sen t), r( cos t)) con t [0, 2π] d) El arco de la curva y 2 = x 3 determinado por la recta x = 4 3 e) El arco de la curva x = 4 y2 log y entre los puntos de ordenadas y 2 2 f ) La astroide x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 con a > 0 3 Calcula el volumen y la superficie de una esfera de radio r 4 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la rotación en torno al eje OX de las gráficas de las funciones siguientes: a) f(x) = sen x con x [0, π] b) f(x) = e x con x [0, a] c) f(x) = x x 2 con x [0, ] d) f(x) = a cosh x a con x [ c, c] y a, c > 0 5 Calcula el volumen del cuerpo engendrado por la rotación en torno al eje OX de la curva a 2 y 2 = ax 3 x 4 con a > 0 6 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la rotación en torno al eje OY de la figura limitada por la curva y = sen x, con 0 x π, el eje OY y la recta y = 2 7 Calcula el área de la superficie engendrada al girar en torno al eje OX las gráficas de las funciones siguientes: a) f(x) = tag x con x [ 0, π 4 ] b) f(x) = x2 2 con x [, 2] 8 Halla el área del elipsoide formado al girar alrededor del eje OX la elipse x2 a 2 + y2 b 2 = con a > b > 0 9 Calcula el área de la superficie generada al girar alrededor del eje OX la porción de la parábola y 2 = x + 4 determinada por la recta x = 2 82

Tema 5 Sucesiones y series de funciones 5 Convergencia puntual Definición 5 Cuando a cada n N se asocia una función f n y todas ellas tienen el mismo dominio, que suele ser un intervalo I, tenemos una sucesión de funciones definida en I que notaremos por f n o f n (x) Si P = {x I : f n (x) es una sucesión convergente}, se dice que la sucesión f n converge en P De forma natural definimos en P la función f como f(x) = lím n f n (x) denominada límite puntual de f n en P, diciéndose que f n converge a f en P La serie de funciones f n (x) se define como la sucesión de funciones sumas parciales cuyo límite puntual se denomina suma de la serie Ejercicios Estudia la convergencia puntual de las sucesiones de funciones siguientes: a) f n (x) = x n con x 0 nx si 0 x /n b) f n (x) = 2 nx si /n < x 2/n 0 si 2/n < x 2 Estudia la convergencia puntual de las series de funciones siguientes: a) ( n x n+ x) con x 0 b) n=2 n=0 x con x [0, ] (x+) n 83

52 Convergencia uniforme Definición 52 La sucesión de funciones f n converge uniformemente a f en P si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que f n (x) f(x) < ɛ para todo n n 0 y todo x P Observación 522 Conviene observar que en la definición anterior y a diferencia de la convergencia puntual, n 0 no depende del x P que elijamos Definición 523 La sucesión de funciones f n tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que f n (x) f m (x) < ɛ para cualesquiera n, m n 0 y todo x P Observación 524 Es evidente que la propiedad de Cauchy uniforme es equivalente a la convergencia uniforme La existencia de la función límite f está garantizada ya que para cada x P la sucesión numérica f n (x) converge por tener la propiedad de Cauchy y su límite es f(x) Es trivial probar que Proposición 525 La sucesión de los términos de una serie de funciones uniformemente convergente converge uniformemente a la función 0 Veamos ahora algunos criterios de convergencia uniforme: Proposición 526 (Criterio de Dini) Sea f n una sucesión de funciones continuas que converge en cada punto de [a, b] a una función continua f Si f n (x) f n+ (x), o bien f n+ (x) f n (x), para todo x [a, b] y todo n N, entonces la convergencia de f n a f es uniforme Demostración Supongamos que f n (x) f n+ (x) para todo x [a, b] y todo n N En el otro caso el razonamiento es análogo Para cada x [a, b] existe n 0 (x) N tal que 0 f(x) f n (x) < ɛ si n n 0 (x) Al ser continua en x la función f f n0 (x) existe un intervalo abierto I x de centro x tal que 0 f(t) f n0 (x)(t) < ɛ si t I x [a, b] La colección de intervalos abiertos {I x : x [a, b]} cubre a [a, b] pero basta para ello una subcolección finita {I x, I x2,, I xh } Tomando n 0 = máx{n 0 (x ), n 0 (x 2 ),, n 0 (x h )} se obtiene el resultado pues fijado t [a, b] y n n 0, existe j h tal que t I xj con lo que 0 f(t) f n (t) f(t) f n0 (x j )(t) < ɛ 84

Proposición 527 (Criterio de Weierstrass) Sean f n una sucesión de funciones definidas en P y µ n una sucesión de números positivos que verifica que f n (x) µ n para todo x P y la serie µ n es convergente Entonces las series f n y f n convergen uniformemente en P Demostración Ya que para todo x P se tiene que f n (x) µ n, hay convergencia absoluta en cada punto de P La propiedad de Cauchy de µ n y la desigualdad triangular nos dan la propiedad de Cauchy uniforme para f n y f n Proposición 528 (Criterio de Dirichlet) Sean f n y g n dos sucesiones de funciones definidas en P tales que para cada x P, f n (x) es una sucesión de números positivos decreciente a 0 siendo uniforme la convergencia de f n a 0 en P y existe C R tal que g (x) + g 2 (x) + + g n (x) C para todo n N y todo x P Entonces la serie f n g n converge uniformemente en P Demostración Probemos que se cumple la propiedad de Cauchy uniforme en P Designamos G n a la suma g + g 2 + + g n Dados < q p se tiene que f q g q + + f p g p = f q (G q G q ) + + f p (G p G p ) = f q G q + (f q f q+ )G q + + (f p f p )G p + f p G p 2Cf q La convergencia uniforme de f n a 0 en P nos da el resultado Proposición 529 (Criterio de Abel) Sean la sucesión de funciones f n tal que f n (x) decrece para cada x P y existe C R tal que f n (x) C para todo n N y todo x P, y la serie de funciones g n convergente uniformemente en P Entonces la serie f n g n converge uniformemente en P Demostración Procediendo de la misma forma que en la demostración del criterio de 85

Dirichlet y siendo G la suma de la serie g n tenemos que f q g q + + f p g p = f q G q + (f q f q+ )G q + + (f p f p )G p + f p G p p = f q (G q G) + (f k f k+ )(G k G) + f p (G p G) k=q p f q G q G + (f k f k+ ) G k G + f p G p G La convergencia uniforme de G n a G y la acotación de las f n por C nos dan el resultado k=q Ejercicios Estudia la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes: a) f n (x) = nx( x) n b) f n (x) = x n c) f n (x) = sen x n d) f n (x) = x n e x/n con x 0 { 0 si 0 x < + e) f n (x) = n 2 si x + x n + n { x f ) f n (x) = n + si 0 x n 2 3 si x > n 2 { nx si 0 x g) f n (x) = n si x > nx n 2n h) f n (x) = 2 x (n 2 x 2 +) log(n+) n 2 x si 0 x 2n i) f n (x) = n ( 2 x) si < x < n 2n n 0 si x n j ) f n (x) = log(n3 x 2 +) n 2 con x [0, ] 2 Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes: a) b) x n con x [0, ) n=0 sen 2 nx n 2 3 Prueba que si f n converge uniformemente a f y g n converge uniformemente a g, el producto f n g n puede no converger uniformemente a fg 86

4 Demuestra que una sucesión de funciones acotadas puede converger a una función no acotada Y si la convergencia es uniforme? 5 Existe una sucesión de funciones discontinuas que converja uniformemente a una función continua? 53 Propiedades de la función límite 53 Continuidad Teorema 53 Sean f n una sucesión de funciones que converge uniformemente en P a una función f y x 0 un punto de acumulación de P tal que cada f n tiene límite finito λ n en x 0 Entonces: lím lím f n (x) = lím lím f n (x) n x x 0 x x0 n Demostración Hay que probar que lím λ n = lím f(x) n x x0 Ya que λ p λ q λ p f p (x) + f p (x) f q (x) + f q (x) λ q para cualesquiera p, q N y x P, se tiene que λ n tiene la propiedad de Cauchy y converge a λ R Y como f(x) λ f(x) f n (x) + f n (x) λ n + λ n λ para cualesquiera n N y x P, se tiene que como queríamos probar λ = lím x x0 f(x) Suponiendo en el teorema anterior que x 0 P se obtienen las consecuencias siguientes: Corolario 532 Si f n es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una función f, entonces f es continua Corolario 533 Si f n es una serie de funciones continuas que converge uniformemente a una función f, entonces f es continua 87

532 Integración Teorema 534 Sea f n una sucesión de funciones integrables en [a, b] que converge uniformemente a f Entonces f es también integrable y b a f(x) dx = lím n b a f n (x) dx Demostración Designemos λ n = b f a n(x) dx Ya que λ p λ q b a f p (x) f q (x) dx para cualesquiera p, q N, se tiene que λ n tiene la propiedad de Cauchy (por tener f n la propiedad de Cauchy uniforme) y converge a λ R Ahora, para todo n N y toda P P se tiene que S(f, P ) λ S(f, P ) S(f n, P ) + S(f n, P ) λ n + λ n λ teniéndose la misma desigualdad para las sumas inferiores, con lo que queda probado el resultado 533 Derivación Teorema 535 Sea f n una sucesión de funciones derivables en [a, b] tal que f n (t) converge para algún t [a, b] y f n converge uniformemente en [a, b] Entonces f n converge uniformemente en [a, b] a una función derivable f y para todo x [a, b] f (x) = lím n f n(x) Demostración Dados p, q N y x [a, b], aplicando el teorema del valor medio se tiene que f p (x) f q (x) x t f p(c) f q(c) + f p (t) f q (t) (b a) f p(c) f q(c) + f p (t) f q (t) para algún c intermedio entre x y t, con lo que f n tiene la propiedad de Cauchy uniforme en [a, b] (por tenerla f n y por tener f n (t) la propiedad de Cauchy) y converge uniformemente en este intervalo a una función f Ahora debemos comprobar que para todo x 0 [a, b] se tiene que lím f f(x) f(x 0 ) n(x 0 ) = lím n x x0 x x 0 88

o equivalentemente que lím lím f n (x) f n (x 0 ) n x x 0 x x 0 = lím x x0 Para ello basta comprobar que la sucesión de funciones ϕ n (x) = f n(x) f n (x 0 ) x x 0 f n (x) f n (x 0 ) lím n x x 0 converge uniformemente en P = [a, b] \ {x 0 } En efecto, dados p, q N y aplicando el teorema del valor medio a la función f p f q en el intervalo de extremos x y x 0, obtenemos algún c intermedio tal que ϕ p (x) ϕ q (x) = f p(c) f q(c) con lo que ϕ n tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P al tenerla f n en [a, b] Ejercicios Estudia la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes: a) f n (x) = n x con x 0 { nx si 0 x < b) f n (x) = n 0 si x n c) f n (x) = x2n +x 2n d) f n (x) = xn x n + e) f n (x) = nx 2 + f ) f n (x) = con x [0, ] nx (+x log n)(+nx 2 log n) con x [0, ] 2 Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes: a) b) c) sen x (+sen x) n x 2 (x 2 +) n x ((n )x+)(nx+) con x [0, π] 3 Demuestra que la serie con x 0 n x2n ( ) 2n su suma Prueba que f (x) = ( ) n x 2n = n=0 si 0 x < y demuestra que f() = π 4 89 converge uniformemente en [0, ], y sea f(x) x 2 + para cada x [0, ) Calcula f(x)

4 Prueba que la sucesión f n (x) = n arc tag xn converge uniformemente en R a una función f derivable para x =, pero f () lím n f n() 5 Sea f(x) = arc tag x con x R Se puede asegurar que f es derivable y que n 2 f se obtiene derivando término a término esta serie? 6 Una sucesión de funciones uniformemente continuas converge uniformemente a una función f Puede ser f no uniformemente continua? 7 Demuestra que la función f(x) = sen nx n 3 con x R tiene derivada continua 8 Dada la sucesión de funciones f n (x) = 2nx+sen6 nx, estudia convergencia puntual y n π uniforme y calcula lím f n 0 n(x) dx 9 Da un ejemplo de una sucesión de funciones integrables en un intervalo tal que su límite puntual no sea integrable 0 Dada la sucesión de funciones f n (x) = x n x 2n : a) Estudia su convergencia puntual y uniforme en [0, ] y en [ 0, 2] b) Estudia si la serie f n (x) converge puntualmente a una función f en [0, ] En caso afirmativo calcula f y estudia si dicha convergencia es uniforme c) Estudia la derivabilidad de f en [0, ) y si f (x) = f n(x) 54 Series de potencias Definición 54 Una serie de potencias centrada en a R es una serie de funciones del tipo a n (x a) n n=0 donde a los números a n se les llama coeficientes de la serie Observación 542 El tratamiento de una serie de potencias es independiente del valor de a con lo que consideraremos a = 0 Proposición 543 Dada la serie de potencias a n x n, sea α = lím sup n a n y ρ = α (llamado radio de convergencia) si α > 0 Entonces la serie converge absolutamente para todo x R si α = 0, converge absolutamente para x ( ρ, ρ) y diverge fuera de [ ρ, ρ] si α > 0, y converge solo para x = 0 si α = + En los dos primeros casos ( ρ, ρ) 90 n=0

o R se llama intervalo de convergencia de la serie, y ésta converge uniformemente en cada intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia Demostración Para la primera parte basta usar el criterio de la raíz Y la segunda parte se obtiene aplicando el criterio de Weierstrass a los intervalos de la forma [ t, t] contenidos en el intervalo de convergencia En cuanto a los extremos del intervalo de convergencia se tiene el siguiente resultado para el extremo derecho (para el izquierdo se tiene uno análogo): Proposición 544 Si la serie de potencias n=0 a n x n tiene intervalo de convergencia ( ρ, ρ) y converge en ρ, entonces converge uniformemente en [0, ρ], definiendo en dicho intervalo una función suma continua Demostración Basta reescribir la serie de la forma y aplicar el criterio de Abel ( x a n ρ n ρ n=0 ) n Una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia Estudiemos las propiedades de dicha función: Proposición 545 Sean I el intervalo de convergencia de la serie de potencias a n x n y f(x) su suma Entonces f es una función derivable (y por tanto continua) y f es la suma de la serie de las derivadas, es decir, con x I f (x) = na n x n n=0 Demostración Usando el apartado 8 de la Proposición 439 se obtiene que la serie de las derivadas tiene le mismo intervalo de convergencia que la serie de potencias original Aplicando el Teorema 535 se obtiene el resultado Derivando sucesivamente se obtiene que f (r) (x) = n(n )(n 2) (n r + )a n x n r n=r 9

con r N y x I, con lo que f (r) (0) = r!a r y ya que f(0) = a 0 se tiene que f(x) = n=0 f (n) (0) x n n! para todo x I Y si f es la suma de una serie de potencias de x a se obtiene que f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n n! Acabamos de comprobar que las funciones que se obtienen como sumas de series de potencias tienen infinitas derivadas en su intervalo de convergencia Y si f tiene infinitas derivadas en un intervalo I de centro a, existe una serie de potencias de x a que converja en algún intervalo J I de centro a y cuya suma coincida con f en J? Cuando la respuesta es afirmativa, se dice que f es desarrollable en serie de potencias de x a y la serie correspondiente se llama desarrollo de Taylor o serie de Taylor en torno de a para la función f Si tal serie existe, no puede ser otra que f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n n! Teorema 546 Si una función f tiene derivadas de cualquier orden en el intervalo acotado (a δ, a + δ) y f (n) (x) M para cada n N y cada x de dicho intervalo, entonces f (k) (a) f(x) = (x a) k k! si x a < δ k=0 Demostración Dado x (a δ, a+δ), aplicando el teorema de Taylor al intervalo cerrado y acotado de extremos x y a, se tiene que n lím n f(x) f (k) (a) (x a) k = lím f (n) (c n ) k! n (x a) n Mδ n lím = 0 n! n n! k=0 con c n intermedio entre x y a para cada n N Ejercicios Determina el intervalo de convergencia de cada una de las series de potencias siguientes y, en su caso, analiza si hay convergencia en sus extremos: 92

a) b) c) d) e) f ) 2 n n xn n!x n n=0 ( + 2 + + n) x n (log n)x n n=2 (+ n) n n! x n 3 5 (2n ) 2 4 6 (2n+2) xn 2 Se considera la serie de potencias n=0 ( ) n x 2n 4 n (n!) 2 Demuestra que su radio de convergencia es Si se denota por f a la función suma de esta serie, prueba que, para cada x R, xf (x) + f (x) + xf(x) = 0 3 Suma las series: a) b) c) n 2 +n+ n! n(n+)2 n 3n 2 +4n+5 3 n 4 Calcula la derivada décima de la función f(x) = x 6 e x en x = 0 5 Dada una serie de potencias a n x n tal que existen números reales α y β de modo n=0 que a n + αa n + βa n 2 = 0 para cada n 2: a) Demuestra que esta serie tiene radio de convergencia no nulo b) Demuestra que si x es un número real en el que la serie es convergente, la suma de la serie, S(x), verifica que ( + αx + βx 2 )S(x) = a 0 + (αa 0 + a )x 6 Demuestra que ( ) n+ n = log 2 7 Desarrolla en serie de potencias de x las siguientes funciones: +x a) f(x) = log x b) f(x) = 2x x 4 + c) f(x) = arc tag x2 +x 2 93

d) f(x) = x 2 (x )(2 x) 2 e) f(x) = log( x) x 8 Estudia si f(x) = { sen x x si x 0 si x = 0 es desarrollable en serie de potencias de x 9 Determina la solución de la ecuación diferencial f (x) + xf (x) + f(x) = 0 en forma de serie de potencias, sujeta a las condiciones iniciales f(0) = 0 y f (0) = 0 Determina los radios de convergencia y las funciones suma de las siguientes series de potencias: a) b) c) d) e) f ) n=2 x 2n 2n x 2n 2n ( ) n x n n(n ) ( ) n 2nx 2n+ (2n+)! ( ) n x n 2 n (n+) (n 3 + )x n 94

Bibliografía [GST] F Galindo, J Sanz y LA Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en una Variable Real, Thomson (2003) [GR] M de Guzmán y B Rubio, Problemas, Conceptos y Métodos del Análisis Matemático, volumen, números reales, sucesiones y series, Pirámide (99) [GR2] M de Guzmán y B Rubio, Problemas, Conceptos y Métodos del Análisis Matemático, volumen 2, funciones, integrales, derivadas, Pirámide (992) [GR3] M de Guzmán y B Rubio, Problemas, Conceptos y Métodos del Análisis Matemático, volumen 3, sucesiones y series de funciones, números complejos, DERI- VE, aplicaciones, Pirámide (993) 95