381 19. DISEÑO DE CONTROLADORES 19.1. INTRODUCCION Con los diagramas de Bode de la respuesta de un lazo abierto se pueden diseñar controladores con las especificaciones del margen de ganancia, el margen de fase; ajustar el ancho de banda y añadir filtros para rechazar perturbaciones Se utiliza la herramienta sisotool de Matlab que despliega, en una misma ventana, los gráficos correspondientes al lugar de las raíces y los diagramas de Bode para un sistema en lazo abierto. Mediante esta opción es posible diseñar un controlador que satisfaga los requerimientos especificados en la respuesta del lazo cerrado de control. 19.2. DESCRIPCION DEL SISTEMA Un proceso con una dinámica dada por la función de transferencia (19.1) se quiere controlar de tal manera que la respuesta del lazo cerrado de control satisfaga los requerimientos de diseño especificados a continuación 1.5 G ( s) = 2 (19.1) s + 14s + 40.02 Tiempo de Levantamiento: < 0.5 segundos Error en estado estacionario: < 5 % Sobrepaso: < 10 % Margen de ganancia: > 20 db Margen de fase: > 40 19.3 RESPUESTA DEL LAZO CERRADO DE CONTROL 1. A la derecha del editor de comandos de Matlab digite la palabra sisotool. Se desplegará una ventana como la que muestra la Figura 19.1. 2. Despliegue el menú File y seleccione la opción Import para introducir la función de transferencia correspondiente al proceso como se observa en la Figura 19.2. El sensor, el filtro y el controlador se han fijado como sistemas
382 de ganancia pura con valores de uno. Presione la tecla Enter para que se active el botón OK y a continuación presione este último botón Figura 19.1. Ventana Inicial de la herramienta SISO Design Tool Figura 19.2. Ventana de Importación de Datos del Sistema
383 3. Se desplegará una ventana como la que muestra la Figura 19.3. Se observa, en el cuadro C(s), la asignación de una ganancia de uno para el controlador y en los diagramas de fase se puede leer la leyenda que indica que los márgenes de ganancia y fase son infinitos y que el lazo es estable Figura 19.3. Diagramas de Bode y Lugar de las Raíces del lazo de control 4. Despliegue el menú Análysis de la ventana SISO Design Tool y seleccione la opción Other Loop Responses. Se desplegará una ventana como la que se observa en la Figura 19.4. 5. En la columna Closed-Loop mantenga verificada la opción r to y para obtener la respuesta en lazo cerrado ante un cambio paso unitario. Presione OK para desplegar la respuesta como se observa en la Figura 19.5. Para un controlador con acción proporcional de ganancia uno, se observa que la respuesta paso se estabiliza en, aproximadamente, 1.5 segundos, lo que podría ser demasiado lento para ciertas aplicaciones. Además, hay un error en estado estacionario 6. Despliegue el menú View y seleccione la opción Closed-Loop Poles para observar los polos de la función de transferencia en lazo cerrado de control para una ganancia de éste igual a uno
384 Figura 19.4. Selección de la Respuesta en lazo cerrado Figura 19.5. Respuesta paso unitario del lazo cerrado de control
385 19.4. DISEÑO DEL CONTROLADOR - EL DIAGRAMA DE BODE Ajuste de la ganancia del controlador 1. Acerque el puntero del Mouse sobre la gráfica de magnitud del diagrama de Bode. Observe que el puntero se transforma en una mano 2. Presione el botón izquierdo del Mouse y en forma sostenida desplácelo hacia arriba. Observe, en el cuadro C(s), el cambio en la ganancia del controlador y en los polos del lazo cerrado de control. Una forma mas sencilla de ajustar la ganancia es digitándola directamente sobre el cuadro C(s). Ajuste la ganancia con un valor de 38 3. Nuevamente, despliegue el menú View para observar los polos del lazo cerrado de control para una acción proporcional con ganancia de 38. La ventana SISO Design Tool se observará como lo muestra la Figura 19.6. Se observa un margen de fase de 119 y la leyenda de que el lazo es estable Figura 19.6. Diagramas de Bode con una ganancia de 38 en el controlador 4. Repita los pasos para desplegar la nueva respuesta paso unitario del lazo cerrado como se observa en la Figura 19.7. Se nota que el tiempo de levantamiento es menor que 0.5 segundos y que ha disminuido el error en
386 estado estacionario, pero debe diseñarse el controlador de una manera mas sofisticada para satisfacer todas las especificaciones, particularmente, el requerimiento del error en estado estacionario Figura 19.7. Respuesta paso con una ganancia de 38 en el controlador Adición de un integrador 5. Una manera de eliminar el error en estado estacionario es añadiendo un integrador. Para hacer esto, presione el botón derecho del Mouse sobre la gráfica del diagrama de Bode. Sobre el menú contextual desplegado seleccione la opción Add Pole/Zero y sobre el nuevo menú desplegado seleccione la opción Integrator. Observe la Figura 19.8 6. Reajuste la ganancia del controlador a un valor de 100. Los nuevos diagramas de Bode y el lugar de las raíces se observan en la Figura 19.9. El SISO Design Tool muestra una x roja en el origen del diagrama del lugar de las raíces
387 Figura 19.8. Adición de un integrador al controlador Figura 19.9 Diagramas para un PI con ganancia de 100
388 7. Nuevamente, despliegue la respuesta paso unitario del lazo cerrado de control y verifique su sobrepaso y el tiempo de levantamiento como se observa en la Figura 19.10 Figura 19.10. Respuesta paso unitario con control integrador La Figura 19.10 muestra que la respuesta paso unitario con un controlador integral con ganancia de 100 y tiempo integral de uno se caracteriza por: No hay error en estado estacionario porque la respuesta se estabiliza en el valor de uno y, por lo tanto, satisface el requerimiento de que el error estacionario sea menor que el 5 %. El tiempo de levantamiento es 0.405 segundos, lo que satisface el requerimiento de que sea menor que 0.5 segundos El sobrepaso máximo es 1.32 correspondiente a un 32 %, lo que no satisface el requerimiento de que sea menor que el 10 % Por lo tanto, no es suficiente el control introducido para satisfacer todos los requerimientos fijados en la respuesta del lazo cerrado de control
389 Adición de una red de adelanto Otros requerimientos fijados para el diseño del controlador es un margen de ganancia mayor o igual que 20 db y un margen de fase mayor o igual que 40. La Figura 19.9 muestra que para el control integrador introducido el margen de ganancia es de 11.4 db y el margen de fase es 37.7, los que no satisfacen los requerimientos anteriores. Esto hace que sea necesario lograr la disminución del tiempo de levantamiento y aumentar los márgenes de ganancia y de fase Una opción es aumentar la ganancia para aumentar la rapidez de la respuesta, pero el sistema es de una respuesta subamortiguada y un aumento en la ganancia disminuirá el margen de estabilidad de acuerdo a dicho aumento 8. Aumente la ganancia del controlador integral y observe el cambio en la respuesta con respecto a las consideraciones expresadas anteriormente. Asigne, sucesivamente, valores de 200 y 300 a la ganancia y observe los respectivos márgenes de ganancia y de fase Otra opción es la adición de una red de adelantos al controlador. Esto es mas fácil hacerlo desde el diagrama, haciendo un aumento con respecto al eje x. 9. Primero, seleccione la opción Zoom In-X que aparece en el menú contextual desplegado al presionar el botón derecho del Mouse sobre el gráfico de magnitud del diagrama de Bode. La Figura 19.11 muestra este proceso 10. Entonces, seleccione una región sobre el gráfico de magnitud del diagrama de Bode presionando el botón izquierdo del Mouse y desplazándolo en forma sostenida desde la frecuencia de 1 radian/segundo hasta 50 radianes/segundo. 11. Para la adición de una red de adelantos, seleccione la opción Add y a continuación Lead sobre el menú contextual desplegado al presionar el botón derecho del Mouse sobre el gráfico de magnitudes del diagrama de Bode. Observe que el puntero del Mouse cambia a una x. 12. Localice el puntero del Mouse sobre el gráfico de magnitudes del diagrama de Bode ligeramente a la derecha del polo más a la derecha y presione el botón izquierdo del Mouse. La Figura 19.12 muestra el adelanto añadido como una x de color anaranjado como puede verse la ventana SISO Design Tool y la Figura 19.13 muestra la respuesta paso unitario del lazo cerrado de control
390 Figura 19.11. Aumento de una sección del gráfico Figura 19.12. Adición de una red de adelanto
391 Figura 19.13. Respuesta con una red de adelanto La respuesta paso muestra el que el tiempo de levantamiento es ahora, aproximadamente, 0.367 segundos y que la amplitud del sobrepaso máximo es 1.28, correspondiente a un 27.5 %. Aunque el tiempo de levantamiento satisface el requerimiento fijado, el sobrepaso máximo es, todavía, demasiado grande y los márgenes de estabilidad no son aceptables, de tal manera que debemos sintonizar los parámetros de la red de adelantos Desplazamiento de los polos y ceros Para mejorar la rapidez de la respuesta, desplace el cero de la red de adelanto más cerca al polo que se encuentra más a la izquierda 13. Acerque el puntero del Mouse al cero y presione el botón izquierdo. En forma sostenida desplace el puntero hasta posicionar al cero muy cerca del polo de menor valor. 14. Ahora trate de desplazar el polo de la red de adelanto hacia la derecha. Observe el aumento en el margen de ganancia con el desplazamiento del polo. La Figura 19.14 muestra los cambios introducidos en los polos y ceros
392 como también en la ganancia introducida en el cuadro C(s), lo que constituye el diseño final del controlador que satisface los requerimientos fijados Figura 19.14. Diseño final del controlador 15. También se puede utilizar la ganancia para aumentar el margen de ganancia. Acerque el puntero del Mouse al gráfico de magnitudes del diagrama de Bode, presione el botón izquierdo y en forma sostenido arrástrelo hacia arriba para observar el aumento en la ganancia y en el margen de ganancia 16. La respuesta paso del lazo cerrado de control se observa en la Figura 19.15. Se resalta el cumplimiento de los requerimientos con respecto al tiempo de levantamiento, el sobrepaso máximo y el error en estado estacionario Los valores finales para el diseño del controlador son los siguientes: Polos: 0 y -27.8 Ceros: - 4.3 Ganancia: 84
393 Figura 19.15. Respuesta final del lazo cerrado de control La respuesta se caracteriza con las siguientes especificaciones, todas ellas ajustadas a los requerimientos fijados Tiempo de levantamiento 0.401 segundos < 0.5 segundos Error en estado estacionario 0 (Valor Final = 1) Sobrepaso máximo 4.55 % < 10 % Margen de ganancia 21.9 db > 20 db Margen de fase 65.3 > 40 19.5. CASOS DE ESTUDIO 1. Los elementos de un lazo de control por retroalimentación negativa presentan las siguientes funciones de transferencia Controlador: Proceso: C ( s) = G ( s) = K s s + + 0.1 0.5 10 s( s + 1)
394 Sensor/Transmisor: H ( s) = 1 Filtro: F ( s) = 1 Dibuje los diagramas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto y determine el valor de la ganancia K tal que el margen de fase sea 50?. Cuál es el margen de ganancia de este sistema con esta ganancia K? 2. Para un sistema con función de transferencia dada por G ( s) = K s(0.1s + 1)( s + 1) Diseñe un controlador por adelanto, Gc(s) tal que el margen de fase sea de 45 el margen de ganancia no sea menor que 8 db y el error en estado estable sea menor que el 5 %. Represente las curvas de respuesta a un escalón unitario. Asuma que sensor y filtro son de ganancia pura con un valor de uno 3. Para un sistema con función de transferencia dada por s + 0.1 G ( s) = s 2 + 1 Diseñe un controlador, Gc(s) tal que el margen de fase sea de 50 el margen de ganancia no sea menor que 10 db y el error en estado estable sea menor que el 5 %. Represente las curvas de respuesta a un escalón unitario. Asuma que sensor y filtro son de ganancia pura con un valor de uno Dibuje el diagrama de Nyquist del sistema controlado y analice con él la estabilidad del sistema