6 EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES

6 EL LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 El perímetro de un rectángulo viene dado por la epresión: y (: largo; y: ancho). Calcula el perímetro de cualquier rectángulo; el que tú elijas. Respuesta abierta, por ejemplo, el perímetro de la tabla de una mesa de 1, metros de largo y 90 centímetros de ancho: El perímetro de la mesa mide 4, metros. P y 1, 0,9,4 1,8 4, m 6. Epresa en lenguaje algebraico. a) El número natural anterior al número n. b) El doble de un número. c) El tercio de un número. d) El cuadrado de un número menos el mismo número. a) n 1 b) n c) 3 d) y y 6.3 Lee correctamente las siguientes epresiones algebraicas y escribe las frases correspondientes. a) a c) a y e) ( y) b) y d) (a y) f) (p) 3 a) Diferencia de dos números b) Doble de un número c) Diferencia de los cuadrados de dos números d) Cuadrado de la diferencia de dos números e) Cuadrado de la suma de dos números f) Cubo del doble de un número 6.4 Escribe la epresión algebraica de las siguientes frases. a) La diferencia de a y b. b) La diferencia del doble de a y del doble de b. c) El doble de la suma de a y b. a) a b b) a b c) (a b) 6.5 Calcula el valor numérico de 5a b. a) Para a 1 y b. b) Para a 4 y b 10. a) 5 1 5 4 9 b) 5 4 10 80 100 180 6.6 Indica cuál de los números siguientes es el valor numérico de la epresión 3 5, para 1. a) 10 b) 10 c) 9 d) 7 Para 1, el valor numérico es: (1) 3 (1) 5 1 3 5 9 6.7 Opera las siguientes epresiones algebraicas: a) a 3a b) 4b 3 b 3 c) 4 3 a) a 3a 4a b) 4b 3 b 3 b 3 c) 4 3 84

6.8 Eplica por qué cada una de estas epresiones no se puede reducir. a) y y b) a b c) 5p 3 5q 3 a) Porque la letra y tiene distintos eponentes. b) Porque son distintas letras. c) Porque las letras son distintas. 6.9 Una tarifa de tais viene dada por esta fórmula y 1,95 0,75, siendo los kilómetros recorridos e y el coste del servicio. a) Qué significa 1,95 y 0,75 en la fórmula? b) Halla el coste de un recorrido de 5 kilómetros. a) 1,95 euros es el coste de la bajada de bandera, y 0,75 euros, el coste por kilómetro recorrido. b) y 1,95 0,75 5 5,70 6.10 Una empresa de alquiler de coches cobra 97 euros por día y 0,13 euros por kilómetro recorrido. Epresa mediante una fórmula el coste del alquiler c de un día, llamando a los kilómetros recorridos. c 97,00 0,13 6.11 Halla el valor numérico de los dos miembros de la igualdad. 3 5 para 1 Teniendo en cuenta el resultado puedes afirmar que es una identidad? 3 1 3 1 5 5 1 5 No es una identidad porque no se verifica para todos los valores de ; por ejemplo, para 1 no se verifica. 6.1 Razona si las siguientes igualdades son o no identidades. a) 1 3 9 c) 3 6 15 5 b) 4 5 3 7 d) y z ( y z) a) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene 9, que es idéntico al segundo miembro. b) Es una identidad, porque al operar el primer miembro se obtiene 7, que es idéntico al segundo miembro. c) No es una identidad, pues al reducir el primer miembro se obtiene 3 9, que no es idéntico al segundo. d) Es una identidad, pues al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro se obtiene una epresión idéntica a la del primer miembro. 6.13 Copia las siguientes epresiones y rellena con el signo igual () o distinto (), según corresponda. a) 1 10 d) 8 5 40 b) 5 1 1 e) 0 4 3 c) 8 6 18 5 1 f) 5 16 a) 1 10 d) 8 5 40 b) 5 1 1 e) 0 4 3 c) 8 6 18 5 1 f) 5 16 6.14 Encuentra la condición que debe cumplir la letra para que se verifiquen cada una de las siguientes ecuaciones. a) 8 d) 4 10 b) a 6 e) 4r 0 c) 5 3 f) 14 y 4 a) 6 b) a 8 c) d) 4 e) r 5 f) y 10 85

6.15 Las siguientes ecuaciones son equivalentes? a) 4 8 b) 4 5 c) 4 8 d) 8 4 Son equivalentes las ecuaciones a, c y d porque tienen la misma solución, 4. La b no es equivalente a las anteriores porque tiene distinta solución: 1 6.16 Escribe tres ecuaciones que sean equivalentes entre sí. Respuesta abierta, por ejemplo: 4 8 5 6 Las tres ecuaciones son equivalentes porque tienen la misma solución,. 6.17 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 7 7 1 c) 4 6 50 6 b) 5 1 5 5 d) 17 3 5 3 Como son ecuaciones sencillas, se puede calcular mentalmente el valor de la incógnita: a) 1 b) 13 c) 38 d) 1 6.18 Aplica la regla de la suma para hallar el valor de. a) 7 6 8 5 b) 6 4 9 8 c) 3 4 7 5 1 a) 7 6 8 5 Se resta 5: 6 8 Se resta : 6 8 Se suma 6: 14 b) 6 4 9 8 Se resta : 5 4 17 Se resta : 5 4 15 Se resta: 15 c) 3 4 7 5 1 Se resta 4: 3 7 1 Se suma: 3 8 Se suma 8: 11 6.19 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3 4 b) 5 0 4 a) 3 4 b) 5 0 4 Se multiplica por 4: 3 96 Se multiplica por : 5 4 40 4 Se divide entre 3: 3 Se resta 4: 5 40 Se divide entre 5: 8 6.0 Halla el valor de. a) 3 4 4 b) 5 7 5 3 3 a) 3 4 4 b) 5 7 5 3 3 Se suma : 4 4 4 Se multiplica por 3: 5 1 75 Se suma 4: 4 8 Se resta : 3 1 75 Se divide entre 4: 7 Se resta 1: 3 54 Se divide entre 3: 18 86

6.1 Resuelve esta ecuación. Se suprimen paréntesis: Se opera para reducir términos: Se suma 8: Se resta 8: Se divide entre 6: 3( 6) 5( ) 10 4(6 ) 3 18 10 5 10 4 8 8 14 8 6 8 14 6 4 7 6. Resuelve esta ecuación. 10 55 10 95 10 Se multiplica por : 10 55 0 95 10 Se opera 0 10: 10 55 30 95 Se resta 30: 0 55 95 Se suma 55: 0 40 Se divide entre 0: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 6.3 El doble de mi edad más 15 es la edad de mi padre que tiene 39 años. Cuántos años tengo? Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Cuántos años tengo? El doble de mi edad El doble de mi edad más 15 15 Es igual a la edad de mi padre: 39 años 15 39 Ecuación: 15 39 15 15 39 15 4 1 Tengo 1 años. 6.4 En una clase de 7 alumnos hay 5 chicas más que chicos. Cuántos chicos y cuántas chicas hay? Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Número de chicos Hay 5 chicas más que chicos 5 El total de alumnos es 7 5 39 Ecuación: 5 7 5 7 5 5 7 5 11 Hay 11 chicos y 16 chicas. 87

6.5 Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina. Cuántos años tiene cada uno? Edad de Cristina ahora Interpretación del enunciado Daniel tiene ahora 8 años más que Cristina 8 Dentro de 4 años la edad de Cristina será 4 Lenguaje algebraico Dentro de 4 años la edad de Daniel será 8 4 Dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina 8 4 ( 4) Ecuación: 8 4 ( 4) 1 8 1 1 8 1 4 4 4 4 4 4 4 8 4 8 1 Dentro de 4 años, Cristina tendrá 8 años, y Daniel, 16, que es el doble de 8. CÁLCULO MENTAL 6.6 Determina cuáles de las siguientes epresiones son igualdades. a) 3 5 e) 7 1 0 6 b) 1 6 8 13 c) 3 1 3 f) 1 4 4 d) 6 3 6 3 8 g) (1 5) 3 5 7 a) 3 5 e) 7 1 0 6 b) 1 6 8 13 c) 3 1 3 f) 1 4 4 d) 6 3 6 3 8 g) (1 5) 3 5 7 6.7 Encuentra el valor que tiene que tomar cada letra para que se verifiquen las siguientes igualdades. a) y 8 c) t 5 35 e) + 3 b) 6 d) z 10 5 f) p 15 5 a) y 6 c) t 40 e) 1 b) 4 d) z 15 f) p 0 6.8 Resuelve estas ecuaciones. a) c 6 1 c) t 3 e) 1 4 b) q 100 400 d) y 7 3 f) 15 d 1 a) c 5 c) t = 1 e) 3 b) q 500 d) y 4 f) d 3 88

6.9 Halla el valor de la incógnita en cada ecuación. a) 4 = 0 c) 9z 45 e) 4p 44 g) 75 5 i) 5a 45 b) 16 = 4y d) 100 10 f) 0 10t h) 9q 90 j) 4 0 a) 5 c) z 5 e) p 11 g) 3 i) a 9 b) y 4 d) 10 f) t h) q 10 j) 5 6.30 Calcula el valor de la incógnita para el cual se verifica la igualdad. a) 6y 1 c) 7 y e) 9 11 g) p 4 i) 5 3 3 t m b) 10 d) 5 3 5 f) r m 3 h) 1 1 j) z 1 3 a) y = c) y 14 e) 99 g) p 8 i) 5 b) t = 30 d) m 5 f) r 3 h) m 1 j) z EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Letras y números 6.31 La superficie de un rectángulo es 4. La de otro rectángulo es 5 3. Cómo epresarías la superficie de un rectángulo cualquiera? Largo ancho y 6.3 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes epresiones. a) El cubo de un número. b) El cuadrado de un número más el doble del mismo. c) Un número más el tercio del mismo. d) Un número par. e) Dos números enteros consecutivos. a) 3 b) a a c) b 1 b d) n e) n, n 1 3 6.33 Escribe con letras, números, y el signo igual (), las siguientes frases. a) El doble de un número más 3 es igual a 13. b) La mitad de un número es igual a 9. c) El cuadrado de un número es igual a 16. a) 3 13 b) z 9 c) t 16 6.34 Escribe las siguientes operaciones en lenguaje ordinario. a) y 3 c) 10 t e) 3y b) d) 3 f) a a) Un número más 3. b) Un número menos. c) 10 menos un número. d) Triple de un número. e) Triple de un número menos. f) Cuadrado de un número. 89

6.35 Calcula los valores numéricos de las epresiones siguientes para 1 y para. a) 6 c) 4(1 ) b) 3( 1) d) 3 1 a) 6 1 4 6 () 14 b) 3 (1 1) 0 3 ( 1) 9 c) 4 (1 1 ) 0 4 [1 () ] 1 d) 1 3 1 1 5 3 () 1 8 6.36 Halla el valor de y en las siguientes igualdades para el valor de indicado. a) y 0,5 para 5 b) y 1,75 para 6 a) y 0,5 5 10,5 b) y 1,75 6 10,5 6.37 Cuál de estas epresiones es una identidad? a) 4 0 b) y 1 c) 3 6 3( ) La epresión c es una identidad porque, al aplicar la propiedad distributiva en el segundo miembro, el resultado es idéntico al primer miembro: 3( ) 3 6. 6.38 Para el valor de indicado, comprueba si se cumple o no la igualdad. a) 4 4 4 para 5 b) 0 para 11 c) 4 0 para 4 d) 1 5 para 1 a) 4 4 4 4 4 5 4 Sí se cumple la igualdad. b) 0 0 No se cumple la igualdad. c) 4 0 4 4 0 Sí se cumple la igualdad. d) 1 5 6 1 No se cumple la igualdad. 6.39 Escribe en lenguaje algebraico. a) La edad de Carmen dentro de 6 años, si ahora tiene años. b) La edad de Alberto hace 5 años, si ahora tiene años. a) 6 b) 5 6.40 Epresa en lenguaje ordinario. a) 3 b) (b ) c) z d) e) a 3b f) y a) Tercio de un número. b) Cuadrado de la suma de un número y. c) Producto de dos números. d) Diferencia del cuadrado de un número y del doble del mismo. e) Diferencia del doble de un número y del triple de otro número f) Diferencia del cuadrado de dos números. 90

6.41 Escribe con letras y números y utilizando el signo (). a) El doble de un número más 5 es igual a 7. b) Un número sumado a 6 es igual a 33. c) Un número más el doble del mismo es igual a 39. a) 5 7 b) y 6 33 c) z z 39 Soluciones de una ecuación 6.4 Comprueba si el número asignado a es la solución de la ecuación. a) 10 16 3 d) 10( ) 1 b) 10 50 5 e) 6 31 5 3 c) 5 10 7 4 a) 16 16 Sí es la solución. d) 0 1 No es la solución. b) 50 50 Sí es la solución. e) 16 16 Sí es la solución. c) 30 30 Sí es la solución. 6.43 Averigua para cada par de ecuaciones si son equivalentes. a) 6 16 b) 5y 10 30 5y 40 c) 9 6 6 3 3 3 3 7 0 a) Son equivalentes porque tienen la misma solución, 11. b) No son equivalentes porque tienen distinta solución, y 4 e y 8. c) Son equivalentes porque tienen la misma solución, 9. Resolución de ecuaciones 6.44 Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) 5 11 c) 3 14 e) 3 1 b) 5 d) 1 f) 5 a) 5 11 d) 1 Se resta 5: 6 Se resta 1: 3 b) 5 e) 3 1 Se resta : 3 Se suma : 3 1 Se suma 1: 4 c) 3 14 f) 5 Se suma 3: 17 Se suma : 5 Se resta 5: 3 6.45 Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) 4 8 b) 5 c) 4 d) 3 18 7 5 15 a) 4 8 c) 4 7 Se divide por 4: Se multiplica por 7: 8 Se divide por : 14 b) 5 d) 3 18 5 15 Se multiplica por 1: 5 Se multiplica por 15: 9 18 Se divide por 9: 91

6.46 Resuelve estas ecuaciones. a) 5 30 0 d) 55 b) 3 5 4 e) 5 3 7 4 c) 6 7 0 f) 3 15 0 10 a) 5 30 0 5 30 30 30 6 d) 5 5 10 b) 3 5 4 3 5 5 4 5 3 9 3 e) 5 3 7 4 4 5 4 3 4 7 4 5 1 8 5 1 1 8 1 5 40 8 c) 6 7 0 6 7 6 0 6 7 14 3 f) 15 0 1 0 3 10 10 15 0 1 0 3 150 0 3 150 150 150 3 150 50 6.47 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5( ) 3( 6) 10 4(6 ) c) 3( 3) 5( 1) 6 b) 4( ) 1 5( 1) 3 d) 3(5 9) 3( 7) 11( ) 7 a) 5( ) 3( 6) 10 4(6 ) c) 3( 3) 5( 1) 6 10 5 3 18 10 4 8 3 9 5 5 6 8 14 8 3 9 5 8 8 14 8 8 3 9 5 6 8 14 4 9 5 6 8 8 14 8 4 9 9 5 9 6 4 6 6 4 4 7 1 b) 4( ) 1 5( 1) 3 d) 3(5 9) 3( 7) 11( ) 7 4 8 1 5 5 3 15 7 3 1 11 7 4 7 5 1 48 11 15 4 7 5 1 48 48 11 15 48 7 5 1 11 63 7 7 5 7 1 11 11 63 11 1 63 6 9

6.48 Resuelve. a) 3 4 c) 1 8 4 b) 3 5 d) 1 3 4 3 3 a) 3 4 ( 3) 4 () 3 8 3 3 8 3 5 b) 3 5 3 3 3 3 ( 5) 3 3 3 15 3 3 3 15 3 3 15 3 3 15 3 1 6 c) 1 8 4 4 1 8 (4) 4 1 3 1 1 3 1 31 d) 1 3 4 3 4 3 4 (4 ) 3 4 8 4 3 8 8 4 3 3 8 3 5 4 8 5 4 4 8 4 5 4 5 4 5 5 4 5 93

6.49 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 1 4 1 6 3 4 b) 5 3 4 7 0 6 c) 3 1 ( 3) 7 d) 10 95 10 55 e) 5 7 4 3 9 5 3 4 a) 1 4 1 6 3 4 m.c.m.(6, 3, 4) 1 1 1 4 6 3 ( 1) 4( 4) 4 3 4 16 7 14 7 14 14 7 14 41 41 41 1 1 4 d) 10 95 10 55 0 (95 ) 10 55 0 95 10 55 1 95 10 55 1 95 10 10 55 10 11 95 55 11 95 95 55 95 11 40 4 0 11 b) 5 3 4 7 0 6 m.c.m. (, 3, 4) 1 1 5 3 4 6 7 0 1 4 3 5 1 7 0 8 15 84 0 10 69 0 10 69 69 69 10 69 6 9 10 c) 3 1 ( 3) 7 6 3 6 7 e) 5 7 4 3 9 5 3 4 m.c.m.(, 3, 4) 1 1 5 7 1 4 1 3 9 1 5 3 4 6(5 7) 4( 4) 3(3 9) 60 30 4 8 16 9 7 60 58 9 87 58 9 9 87 9 13 58 87 13 58 58 87 58 13 9 9 13 1 3 4 1 14 16 9 14 16 9 9 14 9 16 5 5 1 6 94

PROBLEMAS PARA APLICAR 6.50 Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple que Alicia. Si entre los tres gastan 7 euros, cuánto ha gastado cada uno? Gasto de Alicia: Gasto de Juan: Gasto de Ana: 3 Gasto total: 3 7 Ecuación: 3 7 6 7 1 4, 3 36 Alicia gasta 1 euros; Juan, 4, y Ana, 36. 6.51 Las medidas de la figura vienen dadas en centímetros. El perímetro mide 36 centímetros. Calcula los lados de la figura. Ancho Ancho: Largo: 5 Perímetro: ( 5) 36 Ecuación: ( 5) 36 4 10 36 6 10 36 6 10 10 36 10 6 6 6 6 6 6 Doble del ancho + 5 4,33 5 4,33 5 13,66 El ancho mide 4,33 centímetros, y el largo, 13,66. 6.5 Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 10 euros en premios, de modo que a cada uno le correspondan 10 euros más que al que se quede en posición inmediata inferior. Cuántos euros recibe cada uno? Número de euros para el que queda en 5.ª posición: Número de euros para el queda en 4.ª posición: 10 Número de euros para el que queda en 3.ª posición: 10 10 Número de euros para el que queda en.ª posición: 10 10 10 Número de euros para el que queda en 1.ª posición: 10 10 10 10 El reparto total es: ( 10) ( 10 10) ( 10 10 10) ( 10 10 10 10) 10 Ecuación: ( 10) ( 10 10) ( 10 10 10) ( 10 10 10 10) 10 10 0 30 40 10 5 100 10 5 100 100 10 100 5 110 El 5.º recibe euros; el 4.º, 3; el 3.º, 4; el.º, 5, y el 1.º, 6. 95

6.53 La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años menos que ella. Si entre las tres suman 37 años. Cuántos años tiene Patricia? Edad de Patricia: Edad de la hermana mayor: 6 Edad de la hermana menor: 8 Entre las tres suman: 6 8 37 Ecuación: 6 8 37 3 37 3 37 3 39 13 Patricia tiene 13 años. 6.54 El perímetro de un triángulo isósceles mide 0 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno de los lados iguales. Cuánto mide cada lado? Longitud de uno de los dos lados iguales: Longitud del lado desigual: Perímetro: 0 Ecuación: 0 40 5 40 8 4 Los lados iguales miden 8 centímetros cada uno, y el otro lado, 4 centímetros. 6.55 La diferencia de dos números es 10, siendo el menor la seta parte del mayor. Cuál es el valor de cada uno? Número mayor: Número menor: 6 Diferencia: 6 10 Ecuación: 10 6 6 60 5 60 1 6 El número mayor es 1, y el menor,. 96

6.56 El transporte de un tipo de libros se realiza en cajas de igual largo que ancho y de 30 centímetros de altura. Para reforzar las aristas de cada caja se aplica cinta adhesiva. Para una caja se necesitan 400 centímetros de cinta. Cuánto miden las aristas de una caja? Altura: 30 Cuatro aristas (en altura): 10 Una arista a lo largo o a lo ancho: Ocho aristas a lo largo o a lo ancho: 8 Longitud de cinta: 10 8 400 Ecuación: 10 8 400 10 8 10 400 10 8 80 35 Las aristas de una caja miden 35, 35 y 30 centímetros. 6.57 El doble de las horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir. Qué hora es? Horas transcurridas: Horas que quedan por transcurrir: Doble de las horas transcurridas: 4 Cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir: 4 (4 ) Ecuación: 4 (4 ) 96 4 4 96 4 4 6 96 16 Son las 16.00. 6.58 La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números. Un número: Siguiente: 1 Siguiente: Ecuación: 1 ( ) 1 3 3 4 1 3 3 5 3 3 5 3 5 3 3 5 3 = 1 3 4 Los números son:, 3 y 4. 97

6.59 El perímetro de esta pieza mide 38 centímetros. Calcula el valor de los lados desconocidos. + 4 9 5 Ecuación: 9 4 4 5 4 38 4 6 38 4 6 6 38 6 4 1 3 3 6 cm 4 3 4 10 cm Los lados desconocidos miden 6 y 10 centímetros. 6.60 De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 0 metros. Halla la longitud de una pieza de tela. Longitud de la pieza de tela: Ecuación: 5 1 0 0 m.c.m.(, 5, 10) 10 10 10 10 5 10 1 10 0 0 10 5 00 10 8 00 00 100 La longitud de una pieza de tela es de 100 metros. 6.61 Un segmento que mide centímetros se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 centímetros más que la otra. Cuánto mide cada trozo? Longitud de una parte: Longitud de la otra parte: Ecuación: ( ) 6 6 8 8 8 14 14 8 Una parte mide 14 centímetros, y la otra, 8. 98

6.6 Tres personas se reparten 3 000 euros. Una recibe 65 euros más que otra, y esta 00 euros más que una tercera. Qué dinero recibe cada una? Dinero recibido por la tercera persona: Ecuación: ( 00) [( 00) 65] 3 000 00 00 65 3 000 3 465 3 000 3 465 465 3 000 465 3 535 845 00 1 045 00 65 1 110 Las tres personas reciben 845 euros, 1 045 y 1 110. 6.63 Una barra mide 74 centímetros y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 veces mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color. Longitud pintada de blanco: Longitud pintada de azul: Ecuación: 74 14 74 7 74 7 74 8 74 9,5 74 74 9,5 64,75 cm La parte pintada de blanco mide 9,5 centímetros, y la pintada de azul, 64,75. 6.64 El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y éste, tiene 4 años menos que su padre. Cuántos años tiene cada uno? Edad del hijo: Edad del padre: 3 Ecuación: 3 4 4 3 4 4 4 3 4 3 4 1 3 36 David tiene 1 años, y su padre, 36. 6.65 En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay de cada color. Número de bolas blancas: Número de bolas rojas: 14 Número de bolas azules: 6 Ecuación: ( 14) ( 6) 98 14 6 98 3 8 98 3 8 8 98 8 3 90 30 + 14 = 30 + 14 = 44 rojas Hay 30 bolas blancas, 44 rojas y 4 azules. 6 30 6 4 azules 99

REFUERZO Letras y números 6.66 Escribe en lenguaje matemático las siguientes frases. a) Dos números pares consecutivos. b) La edad dentro de 10 años de una persona que tiene ahora años. c) La edad hace 1 año de un niño que ahora tiene y años. d) La mitad de un número es igual a 9. e) El perímetro de un cuadrado. a) n, n + b) 10 c) y 1 d) 9 e) 4 (, lado) 6.67 Escribe en lenguaje ordinario frases que correspondan a las siguientes epresiones matemáticas. a) 1 d) b) 3 e) (a b) c) 1 f) a b a) Un número más 1 d) Cuadrado de un número b) Triple de un número e) Cuadrado de la suma de dos números c) Un número menos 1 f) Suma de los cuadrados de dos números 6.68 t Halla el valor numérico de la epresión algebraica t 6 para los valores de 4. a) t 1 c) t 10 b) t 1 d) t 0 t 1 a) t 6 1 6 7 t 1 b) t 6 (1) 6 6 1 1 7 c) t 6 t 10 6 5 19 d) t 6 t (0) 6 10 40 6 10 56 6.69 Comprueba si se verifican las siguientes ecuaciones para el valor que se indica. a) 5 4 para 1 b) 4 5 10 para a) 3 4 No se cumple. b) 6 0 No se cumple. 6.70 Qué valor hay que asignar a para que se verifique la ecuación? 1 1 1 Resolución de ecuaciones 6.71 100 Aplica la regla de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a) 0 3 c) 1 1 b) 5 1 d) 3 15 a) 0 3 c) 1 1 0 0 3 0 1 1 1 1 1 b) 5 1 d) 3 15 5 5 1 5 3 15 17 3 15 3 15 15 15 1

6.7 Aplica la regla del producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) 3 33 b) 1 7 3 c) 57 3 d) 4 3 5 a) 3 33 b) 1 7 c) 57 3 d) 4 3 5 3 3 3 7 1 3 3 7 3 7 57 3 3 3 3 4 3 3 5 11 1 19 4 6 5 5 4 5 6 5 0 6 0 6 0 0 3 1 0 6.73 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3 5 3 b) 9 8 10 7 15 5 a) 3 5 3 3 3 5 3 3 5 3 5 5 3 3 5 3 5 5 5 5 b) 9 8 10 7 15 5 19 8 1 15 19 8 1 1 15 1 7 8 15 7 8 8 15 8 7 7 1 6.74 Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro más 1. Cuántos discos tiene cada uno? Número de discos de Alejandro: Número de discos de Irene: 73 Ecuación: 73 1 73 1 73 3 1 73 1 3 1 1 7 3 4 73 73 4 49 discos Alejandro tiene 4 discos, e Irene, 49. 101

6.75 La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. Qué edad tiene cada uno? Edad de Fátima: Edad de Pablo: Ecuación: 15 3 15 5 10 Fátima tiene 5 años, y Pablo, 10. 6.76 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5[( 4) 6] 4( 6) b) ( 3) 6(5 ) 3 4 c) 3 8 5 5 ( 6) 7 a) 5[( 4) 6] 4( 6) 5[ 4 6] 4 4 5[ ] 4 4 5 10 4 4 5 10 4 4 4 4 10 4 10 10 4 10 14 b) ( 3) 6(5 ) 3 4 6 30 6 3 4 4 4 3 4 4 4 4 3 4 4 4 3 8 7 8 7 8 7 7 4 c) 3 8 5 5 ( 6) 7 3 1 7 3 5 1 3 5 5 1 5 3 3 1 3 3 3 1 3 3 9 3 6.77 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 4 ( 1) 3 b) 6 5 a) 4 ( 1) 3 m.c.m.(, 3) 6 6 b) 5 () 6 () ( 5) 6 4 6 ( 1) 6 3 6 10 4 1( 1) 3 6 10 8 1 1 3 4 6 10 4 1 3 4 6 6 10 6 4 1 3 3 3 4 16 7 1 0 4 7 1 1 0 1 7 1 7 1 = 7 7 1 7 10

AMPLIACIÓN 6.78 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 1 4 3 1 b) 3 3 5 4 8 10 5 4 1 a) 1 4 3 1 b) 3 5 4 8 1 3 0 5 4 1 m.c.m.(, 5, 4) 0 m.c.m.(8, 10, 4) 40 0 1 0 4 0 3 0 1 40 3 40 5 4 8 1 3 0 40 5 4 40 1 10 ( 1) 4 ( 4) 5 ( 3) 0 5 ( 3) 4 ( 3) 10 ( 5) 40 10 10 4 16 5 15 0 5 15 4 1 10 50 40 9 11 0 7 10 90 9 11 11 0 11 7 10 90 9 9 7 9 90 1 7 90 9 90 90 117 9 11 7 9 9 9 13 6.79 Si tenemos 800 euros en billetes de 500 euros y de 100 euros, de manera que el número de estos es el doble que el de los primeros. Cuántos billetes se tienen de cada clase? Número de billetes de 500 euros: Número de billetes de 100 euros: Ecuación: 500 () 100 800 500 00 800 700 800 7 00 70 0 800 7 00 4 4 8 Tenemos 4 billetes de 500 euros y 8 billetes de 100. 6.80 Hace 1 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre tenía 7 años cuando nació el hijo. Cuáles son las edades actuales de ambos? Edad actual del hijo: Edad actual de la madre: 7 Edad del hijo hace 1 años: 1 Edad de la madre hace 1 años: 7 1 Ecuación: 7 1 4 ( 1) 15 4 48 15 4 48 15 3 48 15 48 3 63 3 1 Edad actual del hijo: 1 años. Edad actual de la madre: 1 7 48 años. La edad actual de la madre es de 48 años, y la del hijo, de 1. 103

6.81 6.8 Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra de las unidades es 7. En qué año nació el autor de El Quijote? El siglo XVI comprende los años 1500 a 1599, ambos inclusive. El año es: 15d7, donde d es la cifra de las decenas. Ecuación: 1 5 d 7 17 13 d 17 13 d 13 17 13 d 4 La cifra de las decenas es 4, luego el año en que nació Cervantes fue el 1547. Con los baldosines cuadrados que tengo puedo formar un cuadrado y sobran 3. Si formo otro de 1 baldosín más por lado, faltan 46. Cuántos baldosines tengo? Lado del cuadrado: Con los baldosines se puede formar un cuadrado y sobran 3: 3 Si el lado es 1, faltan 46 para completar un cuadrado: ( 1) 46 Ecuación: 3 ( 1) 46 3 1 46 3 45 3 45 3 45 45 45 68 34 3 34 3 1 179 Tengo 1 179 baldosines. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 6.83 El almacén En un almacén hay cajas marrones, amarillas y blancas, correspondiendo cada color a un tamaño determinado. Se almacenan apilando una caja encima de otra. Una pila formada por 3 cajas marrones alcanza la misma altura que una de amarillas, y una pila de 4 cajas marrones y amarillas tiene la misma altura que una de 4 amarillas y una blanca. Si las cajas blancas tienen 50 centímetros de altura, qué altura tienen las demás? altura 3 cajas marrones altura cajas amarillas altura de caja marrón 3 altura cajas amarillas 50 cm altura caja blanca Ecuación: 4 3 6 50 7 6 50 7 6 50 50 cm La altura de la caja marrón es de 50 cm La altura de la caja amarilla es de 75 cm 104

6.84 Visita al museo La comisión de actividades etraescolares de un colegio está estudiando las empresas que ofrecen autocares. La empresa Viajes Escolares, S.A., envía la siguiente respuesta comercial. Autocares: de 40 y de 50 plazas N. o total de autocares: 1 N. o total de plazas: 970 Averigua el número de autocares de cada tipo del que dispone la empresa coches de 50 plazas y 1 coches de 40 plazas 50 40 (1 ) 970 50 840 40 970 10 130 1 30 13 10 13 coches de 50 plazas y 8 coches de 40 plazas AUTOEVALUACIÓN 6.A1 Escribe en lenguaje algebraico estas frases. a) El triple de un número más la mitad del mismo. b) Un número menos 10 es igual al triple de dicho número. a) 3 b) 10 3 6.A Calcula el valor numérico de la siguiente epresión para 3. 1 6 5 4 Para 3: 1 6 5 1 (3) 6 (3) 5 1 3 1 5 4 3 5 6 4 4 4 6.A3 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la suma. a) 5 16 4 b) 1 6 5 11 a) 5 16 4 b) 1 6 5 11 16 1 6 11 5 11 11 16 16 16 6 5 14 6 6 5 6 11 6.A4 Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto. a) 4 48 b) 5 1 c) 7 a) 4 48 b) 1 c) 5 7 4 4 8 5 5 1 7 7 4 4 5 7 1 60 14 (1) () (1) 14 14 105

6.A5 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 6( 1) 4( ) b) 5( 3) 3(3 6) c) 9( 1) 3(5 3) 18 a) 6( 1) 4( ) b) 5( 3) 3(3 6) c) 9( 1) 3(5 3) 18 6 6 4 8 10 15 9 18 18 9 15 9 18 6 6 4 4 8 4 10 15 9 9 18 9 3 18 6 8 15 18 6 6 6 8 6 15 15 18 15 14 3 7 6.A6 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 1 3 10 b) 1 3 4 c) 5 3 4 7 0 6 3 a) 1 1 0 3 10 1 10 10 1 0 10 3 0 10 0 3 + 0 0 100 3 10 0 3 b) 1 3 4 3 4 1 4 4 4 4 3 4 4 3 4 1 1 1 c) 5 3 4 7 0 6 m.c.m.(3, 4, 6) 1 1 1 5 3 4 1 1 7 1 0 6 4 15 84 0 8 15 84 0 8 69 0 10 69 0 10 69 69 0 69 10 69 1 0 1 0 69 1 0 6 9 10 6.A7 Halla el valor de para el cual se cumple la ecuación. 3 1 7 3 6 1 8 m.c.m.(1, 6, 8) 4 4 3 1 7 4 3 6 4 1 8 (3 7) 4( 3) 3( 1) 6 14 8 1 3 3 6-14 5 9 6 14 5 5 9 5 14 9 14 14 9 14 5 6.A8 El padre de Claudia tiene 37 años. Esta edad es 4 años más que el triple de la edad de Claudia. Calcula la edad de Claudia. Edad de Claudia: Edad del padre: 3 4 37 Ecuación: 3 4 37 3 4 4 37 4 3 33 11 La edad de Claudia es 11 años. 106

6.A9 Para vallar un campo rectangular se han necesitado 850 metros de valla. El largo del campo es el doble del ancho más 5 metros. Calcula el largo y el ancho del campo. Ancho: Largo: 5 Ecuación: ( 5) 850 4 10 850 6 10 850 6 10 10 850 10 6 840 6 84 0 6 6 6.A10 140 Ancho: 140 metros Largo: 140 5 85 metros El ancho mide 140 metros, y el largo, 85. En un centro escolar se ha preparado una sala de proyección de cine, con varios bancos dispuestos uno detrás de otro. Si se colocan 10 alumnos en cada banco, quedan sin sitio 11 alumnos. Y si se colocan 11 alumnos en cada banco, quedan 7 plazas disponibles. Cuántos alumnos hay en el grupo? Número de bancos: Número de alumnos con 10 en cada banco: 10 + 11 Número de alumnos con 11 en cada banco: 11 7 Ecuación: 10 11 11 7 10 11 10 11 7 10 11 7 11 7 7 7 18 Número de bancos: 18 Número de alumnos: 10 11 10 18 11 191 alumnos En el grupo hay 191 alumnos. MURAL DE MATEMÁTICAS Jugando con las matemáticas LA BOTELLA CON TAPÓN El precio de una botella y su tapón es de 1,50 euros. Si la botella cuesta 1 euro más que el tapón, sabrías decir el precio de cada cosa? Precio del tapón: Precio de la botella: 1 Ecuación: 1 1,50 1 1,50 1 1 1,50 1 0, 50 0,5 La botella cuesta 1,5 euros, y el tapón, 0,5. 107