Matrices y Determinantes

Capítulo 1 Matrices y Determinantes 11 Matrices Generalidades Definición 11 Sea E un conjunto cualquiera, m, n N Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn con a ij E, i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n A los elementos a ij se les denomina elementos de la matriz Atendiendo a la disposición de los elementos en la matriz, diremos que la matriz está compuesta por m filas (de n elementos) y n columnas (de m elementos), siendo a ij el elemento de la fila i y la columna j de la matriz A la matriz cuyos elementos son a ij se denota por ((a ij )), o simplemente por A Al conjunto de las matrices de orden m n sobre E se denota por M m n (E) En el caso de que una matriz tenga igual número de filas que de columnas (m = n) se denomina matriz cuadrada de orden n, y el conjunto de dichas matrices se denota por M n (E) Si solamente tiene una fila (m = 1) se le denomina matriz fila, y si sólo tiene una columna (n = 1) se le denomina matriz columna Definición 12 Dos matrices A, B M m n (E) son iguales si tienen los mismos elementos ((a ij )) = ((b ij )) a ij = b ij i, j Definición 13 Sea A M m n (E) y k = min{m, n} Al conjunto formado por los elementos a ii con i = 1, 2,, k se le llama diagonal principal de la matriz A Y al conjunto {a ij / i + j = n + 1} se le llama diagonal no principal de la matriz A Definición 14 Sea A M m n (E) Decimos que A es triangular superior si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos Decimos que A es triangular inferior si los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos La matriz A es diagonal si es triangular superior e inferior 1

2 CAPÍTULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES Definición 15 A la matriz Θ M m n (E) cuyos elementos son nulos se le denomina matriz nula de orden m n A la matriz diagonal I n M n (E) cuyos elementos de la diagonal principal son unos se le denomina matriz identidad de orden n 12 Operaciones con matrices 121 Suma de matrices Definición 16 (Suma de matrices) Sean A, B M m n (K) con A = ((a ij )) y B = ((b ij )), definimos A + B = ((a ij + b ij )) M m n (K) Propiedades 1 Conmutativa: A + B = B + A, A, B M m n (K) 2 Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C, A, B, C M m n (K) 3 Existe elemento neutro Θ M m n (K) tal que Θ + A = A + Θ = A, A M m n (K) 4 A M m n (K), A = (( a ij )) M m n (K) tal que A + ( A) = ( A) + A = Θ Por tener estas propiedades (M m n (K),+) tiene estructura de grupo conmutativo 122 Producto por un escalar Definición 17 (Producto de una matriz por un escalar) Sea λ K y A = ((a ij )) M m n (K), definimos λa = ((λa ij )) M m n (K) Propiedades 1 (λ + µ)a = λa + µa, A M m n (K) 2 λ(a + B) = λa + λb, A, B M m n (K) 3 (λ µ)a = λ(µa) = µ(λa), A M m n (K) 4 1 A = A, A M m n (K) 123 Producto de matrices Definición 18 (Producto de matrices) A = ((a ij )) M m n (K), B = ((b jk )) M n l (K), definimos la matriz producto n AB = (( a ij b jk )) M m l (K) j=1 Propiedades Respetando los órdenes de las matrices para que se puedan multiplicar, se verifican las siguientes propiedades: 1 AB BA, en general

13 MATRIZ TRASPUESTA PROPIEDADES 3 2 AB = Θ/ A = Θ o B = Θ Y por tanto: AB = AC/ B = C 3 A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC 4 (AB)C = A(BC) 5 Si A M m n (K), AI n = I m A = A Teorema 11 El producto de matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales son, respectivamente, matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales 13 Matriz traspuesta Propiedades Definición 19 Sea A M m n (E) Denominamos matriz traspuesta de A a la matriz A t M n m (E) cuyas filas son las columnas de A y cuyas columnas son las filas de A Propiedades 1 (A t ) t = A, M m n (K) 2 (A + B) t = A t + B t, A, B M m n (K) 3 (λa) t = λa t, A, B M m n (K) 4 (A B) t = B t A t, A M m p (K), B M p n (K) Definición 110 Una matriz A cuadrada es simétrica si A t = A, y es antisimétrica si A t = A 14 Submatrices y bloques Definición 111 Dada una matriz A M m n (K), se llama submatriz de A de orden p q, a la matriz que resulta de eliminar m p filas y n q columnas de A Si los índices de filas y columnas que determinan la submatriz son consecutivos, entonces la submatriz se denomina bloque o caja Descomposición en bloques: Dada A M m n (K), consideremos una sucesión creciente de índices de filas y una sucesión creciente de índices de columnas 0 < m 1 < m 2 < < m p = m 0 < n 1 < n 2 < < n q = n Sea A ij el bloque de A que definen las filas comprendidas entre las m i 1 + 1 y la m i (ambas inclusive) y las columnas comprendidas entre las n j 1 + 1 y la n j (ambas inclusive) Se dice que A se descompone en bloques cuando se la expresa en función de los p q bloques A ij Estos forman p filas y q columnas y quedan situados como si se tratara de los elementos de una matriz A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A m1 A m2 A mn

4 CAPÍTULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES Se puede operar con los bloques como si fueran escalares, siempre que los órdenes sean adecuados Más concretamente: Multiplicación por bloques Sean A M m p (K) y B M p n (K) y sea C = AB Si A se descompone en los bloques determinados por los índices de filas 0 < m 1 < m 2 < < m α = m y de columnas 0 < p 1 < p 2 < < p γ = p y B se descompone en los bloques determinados por los índices de filas 0 < p 1 < p 2 < < p γ = p y de columnas 0 < n 1 < n 2 < < n β = n, entonces si C = [C ij ] C ij = γ A ih B hj h=1 15 Matriz inversa Definición 112 (Matriz inversa) Sea A M n (K) A es invertible si B M n (K), AB = BA = I n A la matriz B se le denota por A 1 y se denomina matriz inversa de A Es fácil demostrar que la inversa de una matriz invertible es única Teorema 12 Son ciertas las siguientes proposiciones: 1 Si A es invertible, A 1 también y (A 1 ) 1 = A 2 Si A, B M n (K) son invertibles, AB también y (AB) 1 = B 1 A 1 3 Si A es invertible, entonces A t también y (A t ) 1 = (A 1 ) t Teorema 13 Las matrices diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores son invertibles si y sólo si los elementos de la diagonal son distintos de cero Además las inversas de estas matrices siguen siendo diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores 151 Método de Gauss Jordan para el cálculo de la matriz inversa Consiste en someter a una matriz A invertible a transformaciones elementales por filas hasta conseguir transformarla en la matriz identidad El producto de las matrices asociadas a dichas transformaciones elementales por filas será la inversa de la matriz Para conseguir transformar la matriz A en la matriz identidad procedemos de la siguiente manera: 1 Ampliamos la matriz A con la matriz identidad: [A I n ] 2 Triangularizamos la matriz A superiormente; es decir, utilizando transformaciones elementales, conseguimos hacer ceros todos los elementos por debajo de la diagonal Además si A es invertible los elementos de la diagonal serán todos distintos de cero y por tanto podemos hacer unos todos los elementos de la diagonal Se obtendrá [L B] 3 Utilizando el mismo método pero desde abajo hacia arriba, podemos hacer cero los elementos que están por encima de la diagonal, obteniéndose [I n A 1 ]

16 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES MATRICES ASOCIADAS INVERSAS 5 16 Transformaciones elementales Matrices asociadas Inversas Definición 113 Sea A M m n (K) Se denominan transformaciones elementales por filas (análogamente por columnas) a las transformaciones efectuadas sobre los elementos de la matriz siguientes F ij (o C ij ) Intercambiar la fila i por la j (análog columnas) F i (α) (o C i (α)) con α 0 Multiplicar la fila i por α K (análog columnas) F ij (α) (o C ij (α)) Sumar a la fila i la fila j multiplicada por α K (análog columnas) Definición 114 Sea A M m n (K) Definimos matriz asociada a una transformación elemental por filas (por columnas), que la denotaremos igual que la transformación elemental, como la matriz cuadrada de orden m (de orden n si se trata por columnas) que resulta de someter a la matriz identidad de orden m (de orden n para columnas) a dicha transformación elemental por filas (por columnas) Teorema 14 Sea A M m n (K) Sea F M m (K) la matriz asociada a una transformación elemental por filas Sea A la matriz que resulta de someter a la matriz A a dicha transformación elemental Entonces se tiene que FA = A Sea B M m n (K) Sea C M n (K) la matriz asociada a una transformación elemental por columnas Sea B la matriz que resulta de someter a la matriz B a dicha transformación elemental Entonces se tiene que BC = B Teorema 15 Las matrices asociadas a transformaciones elementales son invertibles Además: F 1 ij = F ij, F 1 i (α) = F i (1/α) con α 0, F 1 (α) = F ij( α) C 1 ij = C ij, C 1 i (α) = C i (1/α) con α 0, C 1 (α) = C ij( α) ij ij 17 Determinantes: definición y propiedades Dada una matriz cuadrada A M n (K), pretendemos asignarle un escalar de K, que llamaremos determinante de A y representaremos por det(a) o A, para obtener información acerca de la matriz dada Entre otras cosas dicho número proporciona criterios de invertibilidad de A y resulta ser también igual al volumen de un paralelepípedo P en el espacio n-dimensional, donde las aristas de P vienen de las filas de A 171 Permutaciones (recordatorio) Dado un conjunto de N elementos que podemos suponer que es N = {1, 2,, n}, para permutar estos elementos, es decir para situarlos en distinto orden, bastará recurrir a un aplicación biyectiva σ : N N, que representaremos escribiendo debajo de cada i N su imagen σ(i), es decir 1 2 n σ(1) σ(2) σ(n) Estas biyecciones de N en N se llaman permutaciones de n elementos Con una de ellas, σ, los elementos de N, que inicialmente se suponen que están ordenados en el orden natural (1, 2,, n), se consideran ahora formando la nueva sucesión (σ(1), σ(2),, σ(n)) En total hay n! permutaciones de n elementos El conjunto de todas

6 CAPÍTULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES ellas se denota P n Se llaman trasposiciones a aquellas permutaciones en las que, salvo dos elementos de N, que vamos a llamar i y j, todos los demás permanecen fijos (es decir, coinciden con su imagen); los elementos que varían se transforman uno en el otro (es decir i en j y j en i) Se llama índice de una permutación y se denota por i(σ), al número de trasposiciones que presenta dicha permutación 172 Definición de determinante Definición 115 Dada A = ((a ij )) M n (K), se define el determinante de A como: A = ( 1) i(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) σ P n donde el sumatorio se extiende a las n! permutaciones de {1, 2,, n}, Por ejemplo, si n = 2, P 2 = {(12), (21)} y, por lo tanto A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Si n = 3, P 3 = {(123), (132), (213), (231), (312), (321)} y i(123) = 0, i(132) = 1, i(213) = 1, i(231) = 2, i(312) = 2, i(321) = 3, por tanto es decir A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 + ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1) 1 a 12 a 23 a 31 + +( 1) 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 expresión que se puede recordar más fácilmente con ayuda de la conocida regla de Sarrus Si se examina cualquiera de las expresiones obtenidas para el determinante de matrices de orden 2 ó 3, se verá que cada uno de los productos incluye un término de cada una de las filas de A y un término de cada una de las columnas En general, A es la suma de todos los productos posibles de n elementos de A, con los signos adecuados, y donde en cada producto hay exactamente un término de cada fila y exactamente uno de cada columna 173 Menor complementario y adjunto Definición 116 Dada una matriz A M n (K) se denomina menor complementario del elemento a pq y se denota M pq, al determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila p y la columna q de A Se llama adjunto del elemento a pq al número, que representaremos por A pq, definido por A pq = ( 1) p+q M pq Notemos que los signos de la definición de adjunto tienen una disposición de tablero de ajedrez: + + + + +

18 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES CÁLCULO DE LA INVERSA 7 Teorema 16 (Desarrollo de A por una fila o columna) Sea A M n (K), entonces el A se puede calcular desarrollándolo con respecto a cualquier fila o a cualquier columna,mediante n A = a ij A ij = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in, j=1 n A = a ij A ij = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj, i=1 i = 1,, n j = 1,, n 18 Propiedades de los determinantes Cálculo de la inversa Sea A M n (K) Entonces: 1 A = A t 2 Si todos los elementos de una fila (columna) de A son nulos, entonces A = 0 3 Si se permutan entre sí dos líneas (filas o columnas) de un determinante, éste cambia de signo 4 El determinante de una matriz con dos filas (columnas) iguales vale 0 5 Si se multiplican todos los elementos de una fila (columna) de A por un número λ, el determinante de la matriz B resultante, queda B = λ A 6 El determinante de una matriz con dos filas (columnas) proporcionales vale 0 7 Si cada elemento de una fila (columna), por ejemplo p, de la matriz A es de la forma a pq = a pq + a pq, entonces A = B + C, donde { bij = a ij, si i p, b pj = a pj c ij = a ij, si i p, c pj = a pj 8 Al sumar a una línea una combinación lineal de las restantes líneas paralelas el determinante de A no varía Esta propiedad se utiliza a menudo en la práctica para calcular el determinante de una matriz de una forma más simple Se toma un elemento de una línea distinto de cero como pivote y con él, utilizando la anterior propiedad, se hacen ceros el resto de elementos de dicha línea, con lo cual el determinante de orden n se reduce al cálculo de un determinante de orden n 1 9 Si una línea de la matriz A es combinación lineal de otras líneas paralelas a ella, el A = 0 (En consecuencia si A = 0 = las líneas de A son linealmente independientes) 10 El producto de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de otra fila (o columna) es nulo Teorema 17 Si A, B M n (K), entonces A B = A B Corolario 18 Si A es no singular, A 1 = 1 A = A 1

8 CAPÍTULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES 181 Cálculo de la inversa mediante determinantes Queremos calcular una fórmula explícita para la matriz inversa de A, supuesto que existe Definición 117 Dada una matriz llama adjunta de la matriz A A M n (K), a la matriz cuadrada de orden n, adj(a) = ((A ij )) se le Teorema 19 Sea A M n (K), entonces A es invertible si y sólo si, A = 0 En dicho caso es: A 1 = 1 A adj(at ) = 1 A (adj(a))t 19 Menores de una matriz Definición 118 Sea A M m n (K) Se llama menor de orden p de la matriz A al determinante de la matriz cuadrada obtenida por la intersección de p filas y p columnas de A Definición 119 Se llama orlar un menor de orden p a obtener un menor de orden p + 1 añadiéndole una fila y una columna al menor original Si en una matriz A, una fila p (columna) es combinación lineal de otras h filas (columnas), todos los menores de orden h + 1 que pueden formarse con la fila p y las h filas (columnas) consideradas son nulos, en virtud de la propiedad 9 de los determinantes El siguiente teorema es un recíproco de este resultado Teorema 110 Si un menor de orden h de una matriz A es distinto de cero, y todos los menores de orden h + 1, que pueden formarse orlando éste con la fila p de la matriz y cada una de las columnas que no figuran en el menor son nulos, entonces la fila p es combinación lineal de las filas de la matriz que figuran en el menor 191 Rango de una matriz Definición 120 Se llama rango por menores de A, y lo denotamos por r(a), al mayor orden de sus menores no nulos Es decir, r(a) = h si A tiene algún menor no nulo de orden h y todos los menores de orden h + 1 de A son nulos Si r(a) = h, un menor de orden h de A se denomina menor principal Proposición 11 Si A es una matriz cuadrada de orden n, r(a) = n A = 0 Como consecuencia del teorema (110) se verificará que si r(a) = h y M es un menor principal de A, entonces cualquier fila (columna) de A será combinación lineal de las filas (columnas ) de A que figuran en el menor Teorema 111 El rango de una matriz no varía si se añade o se suprime una fila (columna) combinación lineal de las demás 192 Cálculo del rango El método de los orlados consiste: 1 Se suprimen todas las líneas de la matriz A que sean combinación lineal de otras

19 MENORES DE UNA MATRIZ 9 2 Se busca en la matriz un menor de orden uno no nulo 3 Orlamos dicho menor con una fila determinada y con el resto de las columnas de la matriz A (a) Si todos los orlados son nulos, se suprime dicha fila y se repite la operación con otra fila determinada (b) Si algún orlado es no nulo se vuelve a repetir el proceso con dicho menor desde el punto (3) 4 Una vez agotadas todas las filas, el orden del último menor no nulo es el rango de la matriz A

10 CAPÍTULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES Ejercicios y problemas 11 Hallar la matriz X que cumple XA + B = C, siendo A = 0 2 0 3 0 3 0 1 2 B = ( 4 2 1 5 1 3 ) C = ( 1 3 5 2 4 6 ) 12 Calcular A y B sabiendo: A + B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A + A t = B B t = 13 Hallar todas las matrices de orden 3 que conmutan con la matriz diagonal D(α, β, γ), con α, β, γ escalares 14 a) Sea una matriz de orden m n, demostrar que A t A y AA t son matrices simétricas b) Hallar A t A y AA t en el caso A = ( 1 2 1 0 1 2 ) 15 Encontrar todas las matrices idempotentes (A 2 = A) de orden 2, con elementos en R Deducir que en una matriz idempotente de orden 2, distinta de I 2 las columnas y filas son proporcionales 16 Sea A = a 0 0 1 a 0 0 1 a, a 0 Calcular A m, m N 17 Calcular (I + A) 12, siendo A = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 18 Calcular la potencia n-ésima de las siguientes matrices: A = 1 1 n 1 n 1 n 0 1 0 0 0 0 1 1 1 B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C = ( a 1 0 a ) D = 1 1 1 0 1 1 0 0 1

19 MENORES DE UNA MATRIZ 11 19 Dada A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1, calcular A n 110 Sean A = (a ij ), B = (b ij ) matrices tridiagonales de orden n tales que a ij = 0 si i < j + r y b ij = 0 si i < j + s, donde r y s {0, 1,, n}, fijos Sea C = AB, C = (c ij ) a) Probar que c ij = 0, si i < j + r + s b) Probar que si A es una matriz triangular inferior de orden n con los elementos de la diagonal nulos entonces A n = Θ 111 Sea A = 0 2 1 0 0 1 a) Comprobar que A es nilpotente ( n/a n = Θ) b) Demostrar que I 3 + A + A 2 es la inversa de I 3 A 112 Hallar el rango de las siguientes matrices según los diferentes valores de los parámetros 1 λ 1 2 2 1 λ 5 1 10 6 1 λ 1 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ 1 1 p 1 0 3 p 1 p 2 1 2p 3 0 2a b 1 2 ab 1 2 b a 1 a a 2 1 1 1 1 b 1 1 a 1 0 113 Si D es una matriz diagonal de orden n, tal que los elementos de su diagonal son todos no nulos, demostrar que D es invertible Hallar D n, n N Demostrar que una matriz triangular es invertible si y sólo si sus elementos diagonales son todos no nulos 114 a) Demostrar que toda matriz cuadrada de orden n que verifica la ecuación: a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + + a n A n = Θ, a 0 0 es invertible Cuál es la inversa? ( ) a b b) Demostrar que toda matriz cuadrada de orden 2, A =, satisface la ecuación X 2 (a + c d d)x + (ad bc)i 2 = Θ c) Qué debe verificar la matriz del apdo anterior para ser invertible? d) Hallar la inversa

12 CAPÍTULO 1 MATRICES Y DETERMINANTES 115 Sea la matriz A = 0 2 2 2 0 1 2 2 0 0 Se pide: a) Calcular las potencias sucesivas de A b) Sea B = I + A, expresar B n en función de I, A, A 2 c) Demostrar que la inversa de B es I A + A 2 116 Calcular, si es posible, las inversas de las siguientes matrices: ( ) 2 1 1 2 0 0 2 1 0 1 2 1 1 0 1 1 4 2 2 1 1 1 117 Hallar la inversa de la matriz A = 2 1 1 4 2 0 3 1 1 y resolver, aplicando el resultado anterior, el sistema 2x + y + z = 7 4x + 2y = 1 3x y + z = 0 118 Resolver matricialmente, si es posible, el sistema 2x + y + z = 1 3x y + 4z = 0 x + y + z = 2 119 Dada una matriz A cuadrada de orden n qué relación existe entre det(a), det( A), det( 3A) y det(a 3 )? 120 Una matriz A se dice que es antisimétrica si A t = A, como en 0 p q p 0 r q r 0 Demostrar que det(a) = 0, comparándolo con det(a) y det( A) Por qué una matriz antisimétrica de orden 5 5 debe tener determinante cero pero una de orden 4 4 no? 121 Resolver 1 1 1 1 x 1 1 1 x 2 =0

19 MENORES DE UNA MATRIZ 13 122 Sin desarrollar, demostrar que: 1 1 1 a) a b c b + c a + c a + b = 0 b) a + b b + c a + c m + n n + l m + l x + y y + z x + z = 2 a b c m n l x y z 1 a 2 a 3 c) 1 b 2 b 3 1 c 2 c 3 = bc a a 2 ca b b 2 ab c c 2 1 6 9 d) 1 8 2 0 4 1 + 1 1 1 5 6 8 4 9 2 = 1 6 9 1 8 2 1 9 5 123 Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisimétrica (A = A t ) Probar que A = 0 124 Si B M n (R) Es λb 1 = λ n B 1? 125 Resolver x 3 3x 2 3x 1 x 2 x 2 + 2x 2x + 1 1 x 2x + 1 x + 2 1 =0 1 3 3 1 126 Demostrar que el determinante llamado de Vandermonde es igual a: 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) a 3 b 3 c 3 d 3 Como aplicación calcular 1 1 1 1 (a) 2 5 7 9 4 25 49 81 8 125 343 729 1 1 1 1 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 6 (b) (ln 2) 2 (ln 3) 2 (ln 4) 2 (ln 5) 2 (ln 6) 2 (ln 2) 3 (ln 3) 3 (ln 4) 3 (ln 5) 3 (ln 6) 3 (ln 2) 4 (ln 3) 4 (ln 4) 4 (ln 5) 4 (ln 6) 4 127 Calcular el valor de los siguientes determinantes de orden n: 0 1 1 1 1 x x x 1 0 1 1 x 1 x x a) 1 1 0 1 b) x x 1 x 1 1 1 1 x x x 1 c) 1 + x 1 y 1 1 + x 1 y 2 1 + x 1 y n 1 + x 2 y 1 1 + x 2 y 2 1 + x 2 y n 1 + x n y 1 1 + x n y 2 1 + x n y n d) 0 1 1 1 1 0 x x 1 x 0 x 1 x x 0