Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.. Dados los vectores a = (3, ), b = (4, 6) c = (0, ) calcula las componentes del vector a+ ½ b 3c, su magnitud dirección.. Calcula la magnitud dirección de los vectores 3 u + v v 5u 3 si u = ( 5, ) v = ( 3, ) 4. 3. Halla las componentes de un vector v que tenga la magnitud v la dirección θ indicadas: a) v π =3, θ = 6 ; b) v π =6, θ = 3. 4. Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A(, 0), B(, 3) C(3, -). 5. Halla el valor de x para que el vector u = ( /3, x) sea unitario. 6. Sean u = i 3 j v = i + j. Halla un versor en la dirección de a) u 3v ; b) u 8v 3 + 7. Dados los vectores u = (3, -) v = (-, ) a) halla el módulo de los vectores u, v u + v b) enuncia la desigualdad triangular verifícala con los vectores dados 8. Calcula la tensión de las cuerdas AB BC, sabiendo que el cuerpo está en equilibrio.
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk 9. En cada caso obtiene, si es posible, el vector x como combinación lineal de los vectores v u. Observa en el archivo COMBINACION LINEAL.GGB cómo se obtienen gráficamente los vectores constituentes. 0. Sean u = (0, ) v = (, -). Expresa los vectores a = (3, ) b = (-, ) como combinación lineal de u v.. Halla a.b sabiendo que a = (, -), que el módulo de b es 4 que el ángulo entre ellos es de 60º.. Dados los puntos A(, ), B(6,3), C(7, ) D(3, -) demuestra que el polígono ABCD es un rectángulo calcular su perímetro. 3. Dados los vectores u = (3, -) v = (-, ) halla: a) v.u, b) cos <v,u>. 4. Halla (3) vectores ortogonales al (-3, ) tales que a) su primera componente sea, b) su segunda componente sea 4, c) sea un vector unitario. 5. Dados los vectores v = (3, -4) u = (6, k) halla el valor de k para que a) sean paralelos, b) sean perpendiculares. 6. Halla las componentes de un vector sabiendo que forma un ángulo de 45º con a = (-, -) que es perpendicular a b = (3, 0) 7. Sean los puntos A(,5), B(-,4) C(3,-7) a) halla analíticamente grafica la proección del vector AB en la dirección de AC b) halla el área del triángulo ABC c) expresa, si es posible, el vector AC como combinación lineal de los vectores AB BC 8. Sean u = i + 5 j v = αi j. Halla α tal que a)los vectores sean ortogonales; π b) los vectores sean paralelos; c) el ángulo entre los vectores sea 3 9. Sean u v vectores de R que forman un ángulo de 45º entre ellos. Si el u = cuál debe ser la longitud de v para que sea perpendicular a u - v? 0. Sean los vectores a = (3, ) b = (, 3). Halla la proección de b en la dirección de a en la dirección ortogonal a a (proecciones ortogonales). Comprueba que la suma de estas proecciones es el vector b.. a) Halla el valor de m para que los puntos A(, ), B(-4, ) C(m, 3) estén alineados. 5 b) Calcula ( u 3v ).(3u + v) sabiendo que u es unitario, v = u. v =. Halla gráficamente la magnitud la dirección de la proección del vector AB en la dirección del vector AC, siendo A(-, 3), B(, ) C(5, 4). Calcula analíticamente
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk las componentes de dicha proección. 3. Sean a b vectores no nulos no paralelos de dos dimensiones. Probar que cualquier vector v de R se puede escribir como combinación lineal de a b en forma única. Decimos que a b son una de R 4. a)representa en R 3 los puntos P(0,0,); R(3,,3); S(,0,) b) Si desde el punto P(,5,) se trazan rectas perpendiculares a los planos coordenados, da las coordenadas del punto de intersección de cada recta con el plano coordenado. c) da las coordenadas de los vértices del paralelepípedo rectángulo limitado por los planos coordenados los planos x =, = 3, z = 5. Halla además las longitudes de sus lados. 5. Halla la distancia entre los puntos P Q siendo a) P(3,-4,7) Q(3,-4,9) b) P(-,,4) Q(-,,5) 6. Demuestra la fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento en relación a las coordenadas de los puntos extremos de dicho segmento. Usala luego para determinar el punto medio del segmento AB donde A(,,3) B(3,,) 7. a) Halla los valores de k tales que el punto (k,k,) diste de (0,0,) en 5. b) Determina los puntos del eje Y que equidistan de P(3,,0) Q(,-,). 8. Sean u=5 ǐ+ ǩ, v=3 ǐ ǰ w= 4 ǐ+ ǰ+ ǩ. Halla la proección del vector u en la dirección del vector x= v w. 9. Sean u = i j + k v = i j + k. Comprueba que el vector uχ v es ortogonal a u a v calcula el área del paralelogramo determinado por u v. 30. Calcula el área del triángulo de vértices A(,,3), B(0,,) C(,,). Ídem para el determinado por i + j ; j + k i + k 3. a) Halla dos vectores unitarios ortogonales a u = i + j k a v = 3 i j + 4k b)encuentra todos los vectores de longitud perpendiculares al plano determinado por u = i j + k v = 3i + j + k 3. Demuestra que el producto vectorial es nulo si solo si los vectores operandos son paralelos. 33. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores v = 3 i + k w = 7 j + 3k u = i 34. Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PQ, PRPS, si P(,,), Q(-3,,4), R(-,,) S(-3,-,5) 35. Averigua los valores de α para los cuales los vectores siguientes son coplanares: a) u = i + α j + k, v = i + j k w = i + j + k b) u = α i + k, v = i + j w = i + j + αk 36. Sean a, b c vectores no nulos no coplanares de tres dimensiones. Probar que cualquier vector v de R 3 se puede escribir como combinación lineal de a, b c en forma única. Decimos que a, b c son una de R 3 j,
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk 37. Halla la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas simétricas, si es posible, de la recta que: a) pasa por A(4,6,-7) es paralela a u = 5 i + 9 j + 4k b) pasa por los puntos R(,,) S(3,5,-) c) pasa por B(3,-5,6) es paralela al eje X d) pasa por C(4,3,-) es perpendicular al plano YZ 38. Halla la ecuación del plano que: a) pasa por el punto (5,,3) es perpendicular a n = i 3 j + 4k b) contiene a los puntos (3,5,) ; (,3,) (-,,4) c) pasa por el punto (,3,-5) es paralelo al plano x + - 4z = d) pasa por el punto (3,6,) es perpendicular al eje Y e) contiene a las rectas R: P=(,-,5)+t(,,-3) S: P = (3,4,)+t(-,-,6) x + z 5 = = f) contiene a la recta R: P=(,-,5)+t(,,-3) a la recta S: 6 g) pasa por el origen contiene a la recta S del punto anterior h) pasa por (8,-,3) es perpendicular a la recta R del punto f) i) pasa por los puntos (,-,) (3,,) es paralelo al eje Y j) contiene a (3,4,-5) es paralelo a los vectores (3,,-) (,-,) 39. Halla la ecuación cartesiana del plano que pasa por (,,-3) es paralelo al plano dado por la ecuación 3x + 3z = 4. Cuál es la distancia entre los dos planos? 40. Halla el ángulo formado por los planos x + =, x + z = 4. Halla la ecuación del plano paralelo al dado por x-+z+4=0 sabiendo que el punto (3,,-) equidista de ambos. 4. Indica cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano 3x + 4z = x z + = = a) z x = = b) c) x = t, = 4 + t, z = -5t 43. Demuestra que la intersección de los planos 5x-3+z=5; x--z-=0 está situada en el plano 4x-3+7z-7=0 44. Dados P(-,,3), Q(,-,) R(,,-) halla: a) la recta que contiene al lado QR del triángulo PQR b) la longitud de la mediana correspondiente al lado PR c) la recta que contiene a la altura correspondiente al lado PQ d) la ecuación de la mediatriz correspondiente al lado PR 45. Para qué valores de A D la recta x=3+4t, =-4t, z=-3+t está situada en el plano Ax + - 4z = D? 46. Halla una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta del espacio. (Sug: expresa el seno de un ángulo en función del módulo del producto cruz entre vectores). Utiliza la fórmula para a)calcular la distancia entre P(,3,6) la recta que pasa por los puntos Q(-,7,0) R(3,5,-)
Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk b)calcular la distancia entre el punto P(3,7,9) la recta a lo largo del vector v = i 3 j + k, que pasa por el origen. 47. Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por T(3,--4), está contenida en el x z + = = plano x-+z-3=0 es perpendicular a la recta L: 3 4 48. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto Q(,,-3) es paralelo a la recta L del ejercicio anterior a la recta -x + 4z + = 0-3x + 5z 6 = 0 49. Sean los vectores del espacio u = α i + k v = reales dados j + β k donde α, β son números a) halla la ecuación del plano determinado por los vectores u,v (es decir el plano determinado por el origen de coordenadas los extremos de dichos vectores) b) sea w = su + rv donde s r son escalares. Prueba que para cualquier elección de s r el extremo de w está en el plano determinado por u,v 50. Halla las ecuaciones canónicas de la recta que pasa por el punto M(,-4,-) por el punto medio del segmento de recta: 3x + 4 + 5z 6 = 0 3x - 3 - z 5 = 0 contenido entre los planos: 5x + 3-4z + = 0 5x + 3-4z 4 = 0 5. Sean los puntos A(,-,3), B (,0,-4) C(5,,-3). Halla la ecuación vectorial de la recta que divide a BC en dos partes iguales pasa por el punto A. 5. Halla la ecuación del plano л que pasa por P (,5,-) es perpendicular a los dos planos siguientes π :x + z=9 π : x+ 3 5z= 3 Halla la distancia del punto A al plano л 53. Halla la posición relativa de las rectas R S dadas por: a) R : x= +3 = z 4 b) R : x = = z+ S : x+ z=; x+3 z=3 S : x z=4 ; x 3z= c) R : x 5t ; =+3t ; z= 5+t S : x= ; = ; z=t d) R : x = = z S : x 4 4 = 4 = z 5 54. Obtén el valor de a para que se corten las rectas R : x= = z a S : 4x 3 7=0; z= halla las coordenadas del punto de intersección.
Álgebra Geometría Analítica 55. Sean los puntos A(,-,3), B (,0,-4) C(5,,-3) Prof. Gisela Saslavsk a) Halla las ecuaciones vectorial, cartesianas paramétricas simétricas si es posible, de la recta que divide BC en dos partes iguales pasa por el punto A. b) Halla la ecuación del plano que pasa por P (,5,-) es perpendicular a los dos planos siguientes π : x + z 9 = 0 π : x + 3 5z + 3 = 0 56. a) Halla el valor, o los valores, de k para que los vectores V =, k,0); V = (,,); V = (0,, ) sean base de R 3. ( 3 b) Halla el área del paralelogramo determinado por V 3 V x 4 z 57. a) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta L : = = es 3 5 perpendicular al plano π : x + + z = 7 b) Calcula la distancia del punto P (,,8 ) al plano. 58. Sean A, B C vectores no nulos de 3 R. Decide si las siguientes proposiciones son V o F justifica. a) A ( B C )=( A B) C c) A B = A. B ( A. B ) b) A. B<0 el ángulo entre los vectores es obtuso. d) A B= A C B= C