SISTEMAS DE ECUACIONES Nacho Jiménez
1. Ecuaciones con dos incógnitas. Soluciones. 1.1 Representación gráfica. Sistemas de ecuaciones. Sistemas equivalentes..1 Sistemas compatibles determinados. Sistemas incompatibles e indeterminados 3. Métodos de resolución de sistemas 3.1 Sustitución 3. Igualación 3.3 Reducción 3.4 Reglas prácticas 4. Resolución de problemas mediante sistemas
1. Ecuaciones con incógnitas. Soluciones (I) Ecuaciones lineales con dos incógnitas: Forma general: a x +b y = c incógnitas x -3 y = 3 coeficientes término independiente Solución es todo PAR de valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad x -3 y = 3 Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones x=6,y=3 es solución 6-3 3 = 3 x=3,y=1 es solución 3-3 1 = 3
1. Ecuaciones con incógnitas. Soluciones (II) Para obtener soluciones despejamos una incógnita y le damos valores a la otra. x = 3 +3 y y x -3 y = 3 x = 3 x = 3 +3 y +3 y 3 +3(-) = 3 +3 (-1) = 0-1,5 1,5 3 4,5 - -1 0 1 x=-1,5 y=- x=0 y=-1 x=1,5 y=0 x=3 y=1 x=4,5 y= Hemos obtenido cinco de las infinitas soluciones de la ecuación lineal.
1.1. Representación gráfica Si consideramos las soluciones como coordenadas de puntos en el plano y representamos los puntos tendremos una representación gráfica de TODAS las soluciones de la ecuación. x x=-1,5 y y=- x=0 y=-1 x=1,5 y=0 x=3 y=1 x=4,5 y= x=-1,5 1 x=0 y - -1 1 3 4 5 y=-1-1 - y=- Los puntos cuyas coordenadas son las soluciones de la ecuación se encuentran sobre la misma recta, de ahí el nombre de ecuaciones lineales. x
. Sistemas de ecuaciones Dos ecuaciones forman un sistema cuando pretendemos encontrar la solución común a ambas La solución de este sistema es: x=3 y=1 3-3 1=3 5 3+3 1=18 Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución (a) Sustituir una ecuación por la suma de las dos 7x+0y=1 7x=1 Operaciones que mantienen la equivalencia (b) Multiplicar una o ambas ecuaciones por un número no nulo 5 (-) 10x-15y=15-10x-6y=-36
.1. Sistemas compatibles determinados En general un sistema tiene una única solución, el punto donde se cortan las dos rectas. 6 5 y x= 3+3y x= 3+3y -1,5 0 1,5 3 4,5 y - -1 0 1 4 3 x=3 y=1 y= 18-5x 3 y= 18-5x 3 x 0 1 3 4 6 4,3,7 1-0,7 1 - -1 1 3 4 5-1 - x
.. Sistemas incompatibles e indeterminados Sistema incompatible: no tiene solución y su representación son dos rectas paralelas x-3y=1 y x-3y=1 1 - -1 1 3 4 5-1 - Al aplicarles cualquier método algebraico de resolución obtenemos 0x=k / 0y=k, con k no nulo x Sistema indeterminado: tiene infinitas soluciones y su representación son dos rectas coincidentes 1 y 4x-6y=6 - -1 1 3 4 5-1 - 4x-6y=6 Al aplicarles cualquier método algebraico de resolución obtenemos 0x=0 / 0y=0 x
3. Métodos de resolución de sistemas Vamos a retomar el sistema compatible de los ejemplos anteriores: La solución de este sistema es, como ya hemos visto, tanto gráficamente como sustituyendo,x=3, y=1 y x=3,y=1 3-3 1=3 5 3+3 1=18 x A continuación vamos a ver tres métodos algebraicos para resolver sistemas 1. Sustitución. Igualación 3. Reducción
3.1. Sustitución (1) Despejamos una incógnita de una ecuación Despejamos x de la 1ª ecuación por ser la incógnita con menor coeficiente 3y+3 5 +3y=18 (3) Resolvemos la ecuación de una incógnita resultante 5(3y+3)+ 3y= 18 15y+15+6y=36 1y=1 y=1 () SUSTITUIMOS la expresión en la otra ecuación x=3 (4) Sustituimos el valor de la incógnita en la expresión obtenida al principio y hallamos el otro valor y=1 3y+3 x= 3 1+3 x= =3
3.. Igualación (1) Despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones 3y+3 = 18-3y 5 (3) Resolvemos la ecuación de una incógnita resultante () IGUALAMOS ambas expresiones x=3 y=1 3y+3 18-3y x= x= 5 5(3y+3)=(18-3y) 15y+15=36-6y 1y=1 y=1 (4) Sustituimos el valor de la incógnita en alguna de las dos expresiones de (1) y obtenemos otro valor 18-3 1 x= =3 5
3.3. Reducción (I) x=3 (1) Si hay dos incógnitas con el mismo coeficiente y distinto signo, sumamos las ecuaciones, REDUCIENDO una incógnita () Sustituimos el valor de la incógnita en alguna de las dos ecuaciones y despejamos la otra 7x =1 x=3 + 5 3+3y=18 15+3y=18 3y=3 y=1 En el caso de que no haya dos incógnitas con el mismo coeficiente y distinto signo en el sistema, tenemos que multiplicar previamente las ecuaciones por números convenientes, como veremos a continuación
3.3. Reducción (II) x+5y=10 7x+10y=0 (1) Si en una incógnita los coeficientes son múltiplos el uno del otro multiplicamos la ecuación con el coeficiente más pequeño por el número adecuado para que se anulen al sumar ambas. x+5y=10 Multiplicamos por -, ya que el coeficiente de la y en la otra ecuación es 10. 7x+10y=0-4x 10y=-0 3x =0 + () Una vez conseguidos coeficientes iguales y de distinto signo, procedemos igual que en el ejemplo anterior (-)x+(-)5y=(-)10-4x 10y = -0 x=0 (3) Sustituimos el valor de la incógnita en alguna de las dos ecuaciones y despejamos la otra 7x+10y=0 7 0+10y=0 10y=0 y=
3.3. Reducción (III) x+6y=10 3x-4y= Si estamos en cualquier otro caso, multiplicamos ambas ecuaciones por sendos números de forma que en ambas quede como coeficiente (con signos alternos) el Mínimo Común Múltiplo de ambos coeficientes x+6y=10 3x-4y= mcm(6,4)=1 3 4x+1y=0 9x-1y=6 + 13x =6 x= x+6y=10 3x-4y= 3 mcm(,3)=6 (-) 6x+18y=30-6x+8y=-4 + 6y=6 y=1
3.4. Reglas prácticas Si una o las dos ecuaciones tienen un aspecto complicado, lo primero es operar hasta dejarlas de la forma ax+by=c (1) Si alguna incógnita tiene el coeficiente 1 o -1 en alguna ecuación, es conveniente usar SUSTITUCIÓN despejando esa incógnita. () Cuando una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro es conveniente usar el método de REDUCCIÓN (3) Podemos aplicar el método de REDUCCIÓN DOS VECES para despejar así una y otra incógnita. Esto es útil cuando los coeficientes de las incógnitas son números grandes, para evitar trabajar con fracciones.
4. Resolución de problemas mediante sistemas Suele ser más fácil resolver problemas haciendo uso de sistemas de ecuaciones que con una única ecuación con una incógnita, veamos los pasos básicos. (1) Identificar los elementos que intervienen y nombrar las incógnitas () Expresar mediante ecuaciones las relaciones existentes (3) Resolver el sistema resultante (4) Interpretar la solución ajustándola al enunciado
4. Problemas: Ejemplos (I) Hace cinco años un padre tenía el triple de la edad de su hijo, mientras que dentro de cinco años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo. Calcula la edad actual de ambos. (1) () Edad actual Hace 5 años Dentro de 5 años Padre x x-5 x+5 Hijo y y-5 y+5 Hace cinco años el padre tenía el triple de la edad de su hijo Dentro de cinco años el padre tendrá el doble que su hijo x-5=3(y-5) x+5=(y+5) (3) x-5=3(y-5) x+5=(y+5) Forma general x-3y=-10 x-y=5 Sust. x=-10+3y (-10+3y)-y=5 3y-y=5+10 y=15 x=-10+3 15 x=35 (4) Si el padre tiene 35 años y el hijo 15 años, hace cinco años el padre tenía 30, el triple que el hijo, 10, y dentro de cinco años el padre tendrá 40, el doble que su hijo, que tendrá 0.
4. Problemas: Ejemplos (II) Voy al banco a cambiar una cantidad de billetes de 5 en billetes de 0. Si al salir llevo 33 billetes menos de los que llevaba al entrar, cuántos billetes de 5 llevaba? (1) () Número de billetes Cantidad en euros Billetes 5 x 5x Billetes 0 y 0y Me cambian el dinero, es decir salgo con la misma cantidad Salgo con 33 billetes menos de los que llevaba al entrar 5x=0y y=x-33 (3) 5x=0y y=x-33 Sustitución y=x-33 5x=0(x-33) 5x-0x=-660-15x=-660 x=44 y=44-33 y=11 (4) Si hemos llegado con 44 billetes de 5, tendríamos 0, que serían 11 billetes de 0, lo que suponen 33 billetes menos.
4. Problemas: Ejemplos (III) En el IES González de Aguilar hay unos 40 estudiantes, algunos de los cuales viven en Villablanca y el resto en Ayamonte. Sabiendo que el 54% de los estudiantes de Villablanca y el 40% de los estudiantes de Ayamonte son chicas, lo que supone un total de 103 mujeres. Cuántos estudiantes son de Villablanca y cuántos de Ayamonte? (1) Villablanca Ayamonte Total Estudiantes x y 40 Chicas 0,54 x 0,40 y 103 () En total hay 40 estudiantes Hay 103 chicas entre Ayamonte y Villablanca x+y=40 0,54x+0,4y=103 (3) x+y=40 0,54x+0,4y=103 Sust. y=40-x 0,54x-0,4x=103-96 0,54x+0,4 (40-x)=103 0,14x=7 x=50 y=40-50 y=190 (4) El 54% de los 50 estudiantes de Villablanca son 7 chicas, y el 40% de los 190 de Ayamonte son 76 chicas, lo que supone un total de 7+76=103 chicas del total de 40 estudiantes (50+190)
A PRACTICAR! Ahora a estudiar y a hacer ejercicios y problemas!