TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas PÁGINA 156 Actividades 1. Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de la ecuación x 4y 8 x f) y 1 4 Sustituimos estos valores en la ecuación: 4 1 4 8 9 4 4 8 9 1 8 CIERTÍSIMOOOOO!!!!! Luego si es solución. Tareas 11-0-01: todos los ejercicios que faltan del 1 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación x y 4 Tenemos las soluciones siguientes: x y 1 pues 1 4 x y pues 4 x y 6 pues 6 4 x 1 y pues 1 4 x. 5 y 0. 5 pues. 5 0. 5 4. 0 x y 7 pues 7 4 Etcétera... nos podemos morir sin haber terminado de dar parejas de valores cuya suma sea 4. Por eso, decimos que las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Tareas 11-0-01: Copia y completa en tu cuaderno la tabla, con soluciones de la ecuación x y 1. Si x 0 tenemos que hallar y : 0 y 1 0 y 1 y 1 Si y 9 tenemos que hallar x : x 9 1 x 1 9 x x 1 x 0 5-1 - y 9 0 18 Tareas 11-0-01: todos los ejercicios que faltan del 1
4 Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones: a) x 5 y x y 5 d) x y x 5 1 5x y x 1 5x 5y x 5x 5y x x 5y Tareas 11-0-01: todos los ejercicios que faltan del 4. Página 157 Actividades 5 Completa la tabla para cada ecuación y representa la recta correspondiente. b) x y Vamos a despejar la "y" en función de la " x" : x y y x De esta forma al dar valores a la x y sustituirlas en la expresión anterior, nos salen los valores correspondientes de y. Tenemos la tabla x -6-4 - 0 4 6... y -4 - - -1 0 1 Vamos a completarla, es decir, rellenar los valores de y. x 6 y 6 8 4 x 4 y 4 6 x y 4 x 0 y 0 1 x y 0 0 x 4 y 4 1 x 6 y 6 4 La representación gráfica quedaría como Pero en realidad, para representar cualquier recta nos basta con conocer dos puntos nada mas. Por lo tanto, a partir de ahora, para representar rectas sólo daremos tablas con dos valores. Tareas 1-0-01: todos los ejercicios que faltan del 5. 6 Representa gráficamente:
f) x y 0 Despejamos la "y" en función de la "x": x y y x Tabla de valores x - y -. 0. x y 7.. x y 4 1 0. 0, Vamos a pintar los puntos A,. y B, 0. para luego unirlos mediante una recta: Tareas 1-0-01: todos los ejercicios que faltan del 6 7. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está asociado a la representación gráfica de dos rectas en el plano, que pueden ocupar las siguientes posiciones relativas: Rectas paralelas: no tendrían ningún punto en común, por lo que el sistema no tendría solución. Diremos que es un sistema incompatible. y 16 14 1 10 8 6 4-5 -4 - - -1-1 4 5 x -4-6 -8-10 -1-14 -16-18 Rectas coincidentes: tendrían infinitos puntos en común, por lo que el sistema tendría infinitas soluciones. Diremos que es un sistema compatible indeterminado.
y 14 1 10 8 6 4-5 -4 - - -1 1 4 5 - -4-6 -8-10 -1-14 x Rectas que se cortan en un punto: por lo que el sistema tendría una única solución. Diremos que el sistema es compatible determinado. y 0 10-5 -4 - - -1 1 4 5-10 x -0 Tareas 1-0-01: todos los ejercicios de la página 158 7. Métodos para la resolución de sistemas lineales 7..1 Método de sustitución Página 159 Actividades Tareas 19-0-01: todas las actividades de esa página 7.. Método de igualación Tareas 0-0-01: todas las actividades de esa página. 7.. Método de reducción Tareas 1-0-01: todas las actividades de esa página. 7.4 Resolución de problemas con ayuda de los sistemas de ecuaciones Página 16 Actividades 1. En una clase hay 9 alumnos y alumnas, pero el número de chicas supera en tres al número de chicos. Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase? CHICOS x CHICAS y CHICOS CHICAS 9 x y 9 CHICAS CHICOS y x 4
Tenemos el siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x y 9 y x Utilizaremos el método de reducción para resolverlo x y 9 x y b) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita: 0x y y y 16 d) Sustituimos este valor y 16 en cualesquiera de las ecuaciones iniciales: x 16 9 x 9 16 1 x 1 y 16 Respuesta a la pregunta: hay 1 chicos y 16 chicas. Tareas 0-04-01: Página 16 Actividades 4 En la frutería, un cliente ha pagado.90 euros por un kilo de naranjas dos de manzanas. Otro cliente ha pedido tres kilos de naranjas y uno de manzanas, y ha pagado 5.70 euros. Cuánto cuesta un kilo de manzanas y un kilo de naranjas? 1 x naranjas x manzanas.90 x y. 9 x naranjas 1 x manzanas 5.70 x y 5. 7 Llamamos x precio de un kilo de naranjas y precio de un kilo de manzanas Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x y. 9 x y 5. 7 Vamos a resolverlo por el método de igualación. a) Despejamos x en ambas ecuaciones. x. 9 y x 5. 7 y x. 9 y x 5. 7 y b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.. 9 y 5. 7 y c) Resolvemos la ecuación en y.. 9 y 5. 7 y 11. 7 6y 5. 7 y 11. 7 5. 7 y 6y 6 5y y 6 5 1. Lo hacemos con números decimales pues sabemos que se trata de un precio en euros. d) Sustituimos el valor y 1. en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar x. 5
x. 9 1.. 9. 4 1. 5 x 1. 5 y 1. Respuesta a la pregunta: un kilo de naranjas vale 1.50 euros y un kilo de manzanas vale 1.0 euros. Tareas 0-04-01: 6 Qué cantidad de oro, a 8 euros/gramo, y de plata, a 1.7 euros/gramo, se necesitan para obtener 1 kg de aleación que resulte a 4. euros/gramo? cantidad (g) precio (euros/g) coste (euros) oro x 8 8x plata y 1.7 1.7y aleación 1000 4. 40 Recordamos que 1kg 1000 g. Sacamos el siguiente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 1000 8x 1. 7y 40 Aplicamos el método de sustitución a) Despejamos x en la primera ecuación. x 1000 y b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 81000 y 1. 7y 40 c) Resolvemos la ecuación de primer grado en y obtenida. 8000 8y 1. 7y 40 8y 1. 7y 40 8000 6. y 780 y 780 6. 600. 0 d) Sustituimos el valor de y 600 en la expresión obtenida al despejar x, y calculamos. x 1000 600 400 x 400 y 600 Respuesta a la pregunta: necesitamos 400 gramos de oro y 600 gramos de plata. Tareas 0-04-01: 5 1. Resuelve gráficamente. a) x y 1 x y 5 EJERCICIOS FINALES DEL TEMA Cada una de las ecuaciones lineales del sistema se representa como una recta. Para representar una recta me hacen falta dos puntos de la misma. Vamos a construir para cada una de ellas una tabla de dos valores. a.1) recta de ecuación x y 1 Despejamos "y" en función de "x": y 1 x Tabla de valores x 4 y -1 - Se completa según las operaciones siguientes: si x y 1 1 6
si x 4 y 1 4 La recta pasará por los puntos A,1 B 4, a.) recta de ecuación x y 5 Despejamos "y" en función de "x": x 5 y y x 5 Tabla de valores x 1 y 4 Se completa según las operaciones siguientes: si x 1 y 1 5 6 si x y 5 8 4 La recta pasará por los puntos C 1, B, 4 La representación gráfica sería: Las rectas se cortan en un punto 1,, entonces la solución del sistema es x 1 y Tareas 04-04-01: todos los ejercicios que faltan del 1. Observa el gráfico y contesta. 7
a) Escribe un sistema cuya solución sea x y 4 El sistema será x y x y 10 pues ese punto se encuentra sobre estas dos rectas. Tareas 04-04-01: todos los ejercicios que faltan del Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada. d) 4x y 5x y 5 d.a) Despejamos y en la primera ecuación. 4x y y 4x d.b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 5x 4x 5 d.c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, x. La resolvemos. 5x 8x 6 5 Calculamos el m. c. m.1, 15x 8x 6 15 Como todos los denominadores son iguales los puede eliminar. 15x 8x 6 15 15x 8x 6 15 7x 15 6 7x 1 x 1 7 d.d) Sustituimos el valor de x en la expresión obtenida al despejar y, y calculamos: y 4 1 15 5 x y 5 Tareas 04-04-01: todos los ejercicios que faltan del 4 Resuelve por igualación. d) 5x y 1 7x y 0 d.a) Despejamos la y en las dos ecuaciones. y 1 5x y 7x y 1 5x y 7x d.b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para y: 1 5x 7x d.c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, y. La resolvemos. 1 5x 7x 15x 14x 14x 15x 8
x d.d) Sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar y, para calcularla. y 7 1 7 x y 7 Tareas 08-05-01: todos los ejercicios que faltan del 4. 5 Resuelve por reducción. d) x y 5 x 5y 9 d.a) Elegimos la x. Multiplicamos la primera ecuación por y la segunda ecuación. x y 5 x 5y 9 6x 9y 15 6x 10y 18 d.b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, y: 0x y y d.d) Sustituimos el valor y en cualquiera de las ecuaciones iniciales. x 5 x 9 5 x 5 9 x 4 x y Tareas 08-04-01: todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas 08-04-01: 6 Tienen que resolverse empleando al menos dos veces cada método!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 9 La suma de dos números es 57, y su diferencia es 9. Cuáles son esos números? Planteamiento Sean x e y los números buscados. suma de dos números es 57 x y 57 su diferencia es 9 x y 9 Resolución Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 57 x y 9 Vamos a resolverlo por el sistema de sustitución. a) Despejamos la x en la primera ecuación. x y 57 x 57 y b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. 57 y y 9 c) Ya tenemos una ecuación con una sóla incógnita. La resolvemos. 57 9 y y 48 y 9
y 48 4 d) Sustituimos el valor de y 4 en la expresión obtenida al despejar x. x 57 4 x y 4 Solución del problema. Los números son y 4. Tareas 09-04-01: 10,11 1 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino. Sabiendo que en la subida ha tardado minutos más que en la bajada y que la duración total del paseo ha sido de 87 minutos, Cuánto ha tardado en bajar? Y en subir? Planteamiento Sean x los minutos que tardamos en bajar y los minutos que tardamos en subir en la subida ha tardado minutos más que en la bajada x y la duración total del paseo ha sido de 87 minutos x y 87 Resolución Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y x y 87 Aplicamos el método de igualación. a) Despejamos la x en las dos ecuaciones. x y x y x y 87 x 87 y b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. y 87 y c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos. y y 87 y 64 y 64 d) Sustituimos el valor y en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar x, y calculamos. x 87 55 x 55 y Solución del problema. Tardó 55 minutos en subir y bajó en minutos. Tareas 09-04-01: 1,14,15 16 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70 euros el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 euros, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6600 euros. Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados? Planteamiento Llamamos x al número de juegos no rebajados vendidos y al número de juegos rebajados vendidos 10
pone a la venta 100 juegos x y 100 La recaudación total ha sido de 6600 euros(a 70 euros el juego y rebaja a 50 euros) 70x 50y 6600 Resolución del problema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 100 70x 50y 6600 Aplicamos el método de reducción. a) Elegimos una incógnita en las dos ecuaciones, la y. Multiplicamos la primera ecuación por 50 y la segunda por 1. 50x y 100 50x 50y 5000 Nos queda el sistema 50x 50y 5000 70x 50y 6600 b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, x: 0x 0y 1600 c) Resolvemos la ecuación obtenida. x 1600 80 0 d) Sustituimos el valor x 80 en cualquiera de las ecuaciones iniciales. 80 y 100 y 100 80 0 x 80 y 0 Solución del problema Vendió 80 juegos no rebajados y 0 rebajados. Tareas 10-04-01: 17,18,19 0 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el doble. Cuál es la edad de cada una? hoy dentro de diez años Cristina x x10 María y y10 Planteamiento del problema Cristina tiene el triple de edad que su prima María x y dentro de diez años solo tendrá el doble x 10 y 10 Resolución del sistema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y x 10 y 10 Aplicamos el método de sustitución. a) Despejamos la x en la primera ecuación. b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación. y 10 y 10 c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos. y 10 y 0 y y 0 10 y 10 11
d) Sustituimos el valor y 10 en la expresión obtenida al despejar x, y calculalmos. x 10 0 x 0 y 10 Solución del problema Cristina tiene 0 años y María 10 años. Tareas 10-04-01: 1 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 4 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. Planteamiento del problema Diferencia entre los lados x y 8 Perímetro x y x y 4 Resolución del problema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 8 x y 4 Como en la segunda ecuación todos son pares, podemos dividirla entre dos, quedando. x y 8 x y 1 Aplicamos el método de reducción. b) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la x: x 0y 9 c) Resolvemos la ecuación obtenida. x 9 De nuevo aplicamos b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la y: 0x y 1 c) Resolvemos la ecuación obtenida. y 1 1 x 9 y 1 Solución del problema La base mide 9 14. 5 cm y la altura mide 1 6. 5 cm. 1
4 Un concurso de televisión está dotado de un premio de 000 euros para repartir entre dos concursantes, A y B. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el concursante A ha superado cinco pruebas, y el B, siete. Cuánto corresponde a cada uno? Planteamiento del problema Llamamos x la cantidad que se lleva el concursante A y la cantidad que se lleva el concursante B premio de 000 euros para repartir entre dos concursantes, A y B x y 000 reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas:a ha superado cinco pruebas, y el B, siete 5 x y 7 Resolución del sistema Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 000 x 5 y 7 Aplicamos el método de igualación. a) Despejamos la incógnita x en las dos ecuaciones. x 000 y x 5y 7 b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x. 000 y 5y 7 c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, la y. 7000 y 5y 1000 7y 5y 1000 5y 7y 1000 1y y 1000 1750 1 d) Sustituimos el valor y 1750 en cualesquiera de las expresiones obtenidas al despejar x, y calculamos x. x 000 1750 150 x 150 y 1750 Solución del problema A se lleva 150 euros y B se lleva 1750 euros. 1