Dr. Luca Tessieri PROBLEMAS DE MECÁNICA ESTADÍSTICA

Dr. Luca Tessieri PROBLEMAS DE MECÁNICA ESTADÍSTICA

Indice 1 TERMODINÁMICA 1 1.1 Problema............................. 1 1.2 Problema............................. 2 1.3 Problema............................. 2 1.4 Problema............................. 2 1.5 Problema............................. 3 1.6 Problema............................. 4 1.7 Problema............................. 6 1.8 Problema............................. 7 1.9 Problema............................. 7 1.10 Problema............................. 8 2 TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES 9 2.1 Problema............................. 9 2.2 Problema............................. 9 2.3 Problema............................. 9 2.4 Problema............................. 10 2.5 Problema............................. 10 2.6 Problema............................. 11 2.7 Problema............................. 11 2.8 Problema............................. 12 2.9 Problema............................. 13 3 MECÁNICA ESTADÍSTICA CLÁSICA 14 3.1 Problema............................. 14 3.2 Problema............................. 14 3.3 Problema............................. 15 3.4 Problema............................. 15 3.5 Problema............................. 16 3.6 Problema............................. 16 3.7 Problema............................. 17 3.8 Problema............................. 17 3.9 Problema............................. 18 3.10 Problema............................. 18 3.11 Problema............................. 19

4 MECÁNICA ESTADÍSTICA CUÁNTICA: GASES IDEA- LES 20 4.1 Problema............................. 20 4.2 Problema............................. 20 4.3 Problema............................. 21 4.4 Problema............................. 21 4.5 Problema............................. 22 4.6 Problema............................. 22 4.7 Problema............................. 22 4.8 Problema............................. 23 4.9 Problema............................. 23 4.10 Problema............................. 23 4.11 Problema............................. 24 4.12 Problema............................. 24 4.13 Problema............................. 24 4.14 Problema............................. 25 4.15 Problema............................. 25 4.16 Problema............................. 25 5 TRANSICIONES DE FASE 27 5.1 Problema............................. 27 5.2 Problema............................. 27 5.3 Problema............................. 27 5.4 Problema............................. 28 5.5 Problema............................. 28 5.6 Problema............................. 29 5.7 Problema............................. 29 6 FLUCTUACIONES Y ACERCAMIENTO AL EQUILIBRIO 31 6.1 Problema............................. 31 6.2 Problema............................. 31 6.3 Problema............................. 32 6.4 Problema............................. 32

PROBLEMAS DE MECÁNICA ESTADÍSTICA Dr. Luca Tessieri Instituto de Física y Matemáticas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Versión del 3 de mayo de 2006 El siguiente texto reune problemas de termodinámica y mecánica estadística que se han utilizado en los cursos de posgrado de Física estadística impartidos en el IFM en los últimos años. La dificultad de los ejercicios es proporcional al conocimiento de la materia que un estudiante debería haber adquirido al término del curso (constituyen una excepción algunos problemas de la sección 2 que involucran la ecuación del transporte de Boltzmann, que por lo general no se incluye en el programa del curso de Física estadística ). Los ejercicios pueden también considerarse representativos del tipo de problemas que el estudiante debe poder solucionar en los exámenes generales al final de la maestría. Aun si no hay diferencias muy marcadas en el grado de dificultad de los problemas, el nivel de los ejercicios presenta variaciones: algunos son de tipo más estandár y se han incluido para que el estudiante pueda verificar su comprensión de los conceptos fundamentales; otros problemas, más retadores, requieren mayor aplicación y habilidad de parte del estudiante. La solución de los ejercicios requiere el estudio previo de los conceptos teóricos, cuya comprensión cabal, por otro lado, se alcanza sólo con la aplicación en los problemas. Los textos de referencia principales para el estudio de la parte teórica son 1. E. Fermi, Thermodynamics, Dover Publications, New York (1956) 2. K. Huang, Statistical Mechanics, 2 a ed., Wiley, New York (1987)

3. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Statistical Physics, 2 a ed., Pergamon Press, Oxford (1969) 4. J. M. Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Clarendon Press, Oxford (1992) 5. S. Chandrasekhar, Stochastic Problems in Physics and Astronomy, Rev. Mod. Phys., 15, pág. 1 (1943) 6. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, 2 a ed., Springer Verlag, Berlin (1985) 7. N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland, Amsterdam (1981)

1 TERMODINÁMICA 1.1 Problema Un recipiente cilíndrico, cerrado con un pistón móvil, contiene n = 0.2 moles de aire que se hallan inicialmente en un estado de equilibrio A con presión P A = 1.01 10 5 Pa y temperatura T A = 17 o C. Con una expansión isotérmica P Figura 1: Ciclo ABCDA A B D C V reversible se lleva el aire a un estado B con volumen V B = 3/2V A. Luego se expande el gas adiabática y reversiblemente hasta el estado C con temperatura T C = 0 o C. Sucesivamente se comprime el gas con una transformación reversible a presión constante hasta que el aire se encuentra en el estado D con volumen igual al volumen inicial. Para cerrar el ciclo, se bloquea el pistón de manera que el volumen no cambie y se calienta el gas poniéndolo en contacto con una fuente a temperatura T A hasta que el gas vuelve a su estado inicial A (véase figura 1). 1. Determine el calor que el gas intercambia, el trabajo que realiza y la variación de su energía interna en las cuatro transformaciones que forman el ciclo ABCDA. 2. Determine la variación de entropía del aire y del medio ambiente en cada transformación del ciclo. Considere el aire como un gas ideal diatómico y use el valor R = 8.31 JK 1 mol 1 para la constante de los gases ideales. 1

1.2 Problema Un mol de gas ideal monoatómico se halla en un recipiente cerrado por un pistón móvil. Inicialmente el gas se halla en un estado caracterizado por una presión P A, volumen V A y temperatura T A = 27 o C. Se calienta lentamente el gas usando una energía total de 8.31 Watt horas y en el mismo tiempo se deja que el gas se expanda a presión constante. Al término de este proceso el gas se halla en un estado con presión P B = P A, volumen V B y temperatura T B. Calcule 1. la temperatura final T B ; 2. la razón V B /V A. 1.3 Problema Un gas obedece a la ecuación de estado P(V b) = nrt y su energía interna resulta igual a U = nc V T. En las ecuaciones precedentes, n representa el número de moles del gas; R, c V y b son constantes. Determine 1. la razón γ = c P /c V ; 2. la ecuación de las adiabáticas reversibles; 3. la expresión de la entropía en función de T y V ; 4. la eficiencia η de una máquina de Carnot que trabaje entre dos fuentes a temperaturas T 1 y T 2 (con T 1 < T 2 ) y que use el gas especificado como sustancia de trabajo. 1.4 Problema Un recipiente con paredes externas térmicamente aislantes se divide en dos partes por medio de una pared separadora. La parte izquierda del recipiente contiene una masa m = 2 g de hielo a temperatura T 0 = 0 o C; la parte derecha contiene n = 1 mol de un gas ideal diatómico a temperatura inicial T 1 = 67 o C. La pared separadora es permeable al calor, por lo que el gas puede ceder calor a la parte izquierda del recipiente. 2

Elija la respuesta correcta a las siguientes preguntas. Use los siguientes valores númericos para las constantes físicas: λ f = 80 cal/g calor latente de fusión del hielo R = 1.987 cal K 1 mol 1 constante de los gases ideales 1. Cuál es la temperatura T 2 del gas en el momento en el que el hielo acaba de derretirse completamente? A 31 o C B 35 o C C 43 o C D 26 o C E 42 o C 2. Cuál es la temperatura final T 3 de agua y gas cuando el sistema alcanza el equilibrio térmico? A 17 o C B 34 o C C 9 o C D 25 o C E 28 o C 3. Cuál es el tiempo τ necesario para que el hielo se derrita completamente si el calor que el gas cede en un tiempo infinitesimal dt es proporcional a dt y a la diferencia entre la temperatura del gas y la de la mezcla de hielo y agua, con constante de proporcionalidad k = 5 10 2 cal/k mol? A 42 s B 65 s C 320 s D 15 s E 120 s 1.5 Problema Una cierta cantidad de gas ideal monoatómico efectúa una transformación cíclica reversible. El gas se halla inicialmente en el estado A con temperatura T A = 400 K y volumen V A. Una expansión adiabática lleva el gas en el estado B, con V B = V A /x donde la razón de compresión vale x = 0.729. Con una transformación isobárica el gas llega al estado C con T C = xt A ; el ciclo se concluye con una compresión adiabática a la que sigue una transformación isocórica. Elija la respuesta correcta a las siguientes preguntas. 1. Cuál es la temperatura T B del gas en el estado B? A 454 K B 286 K C 324 K D 383 K E 245 K 2. Cuál es la temperatura T D del gas en el estado D? A 359.2 K B 461.4 K C 276.1 K D 195.0 K E 335.6 K 3. Cuál es el rendimiento η del ciclo? A 0.35 B 0.16 C 0.72 D 0.44 E 0.05 3

1.6 Problema Un mol de gas ideal diatómico efectúa el ciclo ABCA representado en figura 2 y formado por una expansión adiabática AB, una compresión isobárica BC y una transformación isocórica CA. Todas las transformaciones del ciclo son reversibles. En el estado A la presión y el volumen del gas son, respectivamente, P A = 1 bar y V A = 2 10 2 m 3 ; en el estado B el volumen es V B = 5 10 2 m 3. Elija la respuesta correcta a las siguientes preguntas ta- P A Figura 2: Ciclo ABCA C B V chando la casilla correspondiente. Use el valor R = 8.31 J K 1 mol 1 para la constante universal de los gases. 4

1. Cuál es el trabajo que el gas realiza en la adiabática AB? A 2400 J B 1500 J C 1130 J D 1500 J E 1670 J 2. Cuál es el trabajo que el gas realiza en la isobárica BC? A 840 J B 910 J C 760 J D 1030 J E 630 J 3. Cuál es el trabajo que el gas realiza en la isocórica CA? A 110 J B 15 J C 15 J D 0 J E 610 J 4. Cuánto vale el calor Q 1 que el gas cede en un ciclo? A 303 J B 4205 J C 1650 J D 3820 J E 2890 J 5. Cuánto vale el calor Q 2 que el gas absorbe en un ciclo? A 3600 J B 7050 J C 5140 J D 1050 J E 2445 J 6. Cuál es la variación de la entropía del gas en la adiabática AB? A 1.05 J/K B 0 J/K C 1.05 J/K D 2.30 J/K E 1.74 J/K 7. Cuál es la variación de la entropía del gas en la isobárica BC? A 0 J/K B 26.36 J/K C 42.88 J/K D 17.37 J/K E 35.16 J/K 8. Cuál es la variación total de la entropía del gas en un ciclo? A 0.15 J/K B 15.03 J/K C 0 J/K D 0.45 J/K E 18.24 J/K Considere ahora un ciclo parecido al precedente, con A, B y C estados de equilibrio pero con la diferencia que la isobárica BC no es reversible. En este caso 9. Cuál es la variación de la entropía del gas en la isobárica BC? A S BC > 17.37 J/K B S BC = 17.37 J/K C S BC > 26.36 J/K D S BC = 26.36 J/K E S BC > 35.16 J/K 5

10. Cuál es la variación total de la entropía del gas en un ciclo? A S > 0.15 J/K B S > 15.03 J/K C S = 0 J/K D S < 0 J/K E S > 0 J/K 1.7 Problema Una máquina térmica que usa un gas ideal monoatómico como sustancia de trabajo efectúa el ciclo reversible ABCDA formado por dos transformaciones isotérmicas a las temperaturas de T 1 = 300 K y T 2 = 400 K separadas por dos isocóricas con V 1 = 5 litros y V 2 = 10 litros (véase figura3). Elija la respuesta P Figura 3: Ciclo ABCDA A D B C V V V 1 2 correcta a las siguientes preguntas tachando la casilla correspondiente. Use el valor R = 8.314 J K 1 mol 1 para la constante universal de los gases. 1. Cuál es el rendimiento de la máquina? A 0.531 B 0.400 C 0.162 D 0.851 E 0.015 2. Cuál es el número de moles de gas si el trabajo que la máquina realiza en 10 ciclos es W = 11530 J? A 3.5 B 2 C 1 D 4 E 3.8 6

1.8 Problema Por medio de una transformación adiabática irreversible, n = 2 moles de un gas ideal monoatómico pasan de un estado de equilibrio inicial A, con P A = 8 atm y V A = 10 litros, a un estado de equilibrio final B con P B = 4 atm y T B = 440 K. Elija la respuesta correcta a las siguientes preguntas tachando la casilla correspondiente. Use el valor R = 8.314 J K 1 mol 1 para la constante universal de los gases y considere que 1 litro-atm = 101.3 J. 1. Cuál es el trabajo que realiza el gas en la transformación? A 578 J B 230 J C 860 J D 152 J E 1182 J 2. Cuál es la variación de entropía del gas en la transformación? A 7.14 J/K B 5.13 J/K C 21.05 J/K D 3.60 J/K E 9.34 J/K 1.9 Problema Una máquina térmica que usa un gas ideal diatómico como sustancia de trabajo efectúa el ciclo reversible ABCA representado en la figura 4 en el plano T P. Se sabe que P 1 = 4 atm, P 2 = 2 atm; T 1 = 300 K, T 2 = P Figura 4: Ciclo ABCA P 1 A B P 2 C T 1 2 T T 400 K. Elija la respuesta correcta a la siguiente pregunta tachando la casilla correspondiente. 7

1. Cuál es el rendimiento de la máquina? A 0.740 B 0.049 C 0.270 D 0.905 E 0.060 1.10 Problema Una máquina térmica efectúa el ciclo reversible ABCDEFGH representado en figura 5. Los valores de las temperaturas señaladas en el eje de ordenadas T T 4 Figura 5: Ciclo ABCDEFGH A B T 3 C D T 2 F E T 1 H G S 1 2 3 S S S son: T 1 = 250 K, T 2 = 300 K, T 3 = 350 K y T 4 = 400 K. Los valores de la entropía marcados sobre el eje de abscisas son S 1 = 30 J/K; S 2 = 40 J/K y S 3 = 45 J/K. Elija la respuesta correcta a las siguientes preguntas tachando la casilla correspondiente. 1. Cuál es calor que la máquina absorbe en un ciclo? A 3450 J B 5750 J C 2650 J D 3950 J E 1250 J 2. Cuál es el rendimiento de la máquina? A 0.45 B 0.20 C 0.68 D 0.90 E 0.30 8

2 TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES 2.1 Problema Calcule la fracción f de moléculas de hidrógeno al nivel del mar y a temperatura T = 300 K que tienen suficiente energía cinética para salirse del campo gravitatorio de la tierra. Exprese el resultado análitico en términos de la función erfc(x) = 2 e t2 dt π y estime númericamente f. Use los siguientes datos númericos: masa de la tierra: M = 6 10 24 kg, radio de la tierra: R = 6.4 10 6 m, constante gravitatoria: G = 6.67 10 11 N m 2 kg 2, constante de los gases: R = 8.31 J K 1 mol 1. x 2.2 Problema Considere el funcional H[f] = d 3 pf(p,t) log f(p,t) definido en el espacio de las funciones f(p,t) que satisfacen las condiciones d 3 pf(p,t) = n d 3 pf(p,t) p2 2m = ε. Determine la función f 0 (p,t) que minimiza H[f] y compruebe que f 0 (p,t) coincide con la distribución de Maxwell-Boltzmann si se identifica el parámetro n con la densidad espacial de moléculas y el parámetro ε con la densidad de energía térmica ε = 3 2 nkt. 2.3 Problema Estime el orden de magnitud del camino libre medio λ y del tiempo medio de vuelo libre τ en los casos que se enuncian a continuación. Use las fórmulas λ = 1 nσ tot y τ = 9 1 nσ tot v 0

donde v 0 = 2kT/m, n es la densidad de partículas y σ tot es la sección de dispersión total. 1. Moléculas de H 2 en un gas de hidrógeno en condiciones normales (P = 1 atm y T = 0 o C). Para el diámetro de las moléculas de hidrógeno use el valor d = 2.9 Å. 2. Protones en un plasma (gas de átomos de hidrógeno totalmente ionizados) con T = 3 10 5 K, n = 10 15 protones/cm 3 y σ = πr 2 con r = e 2 /kt. 3. Protones en la corona solar que es un plasma con T = 10 6 K y n = 10 6 protones/cm 3. 2.4 Problema Un recipiente contiene un gas a temperatura T al equilibrio térmico. La densidad espacial del gas es uniforme y toma el valor n. Determine: 1. el número total de moléculas que chocan contra una pared del recipiente por unidad de tiempo y área; 2. la fracción de moléculas que chocan contra la pared (por unidad de tiempo y área) con energía cinética E c superior al valor medio E c ; 3. la fracción de moléculas que chocan contra la pared (por unidad de tiempo y área) con energía cinética superior a tres veces el valor medio E c > 3 E c. 2.5 Problema Un recipiente contiene vapor de sodio a la temperatura T = 200 o C. Calcule el ensanchamiento Doppler λ de la línea de absorpción del sodio a λ 0 = 5896 Å debido a la agitación térmica de los átomos. Use los siguientes datos númericos: constante de los gases R = 8.31 JK 1 mol 1 ; peso atómico del sodio M = 23 g mol 1. 10

2.6 Problema Un recipiente contiene un gas ideal formado por moléculas de masa m. El gas se halla al equilibrio térmico a temperatura T y el número de moléculas por unidad de volumen es n. En una pared del recipiente se abre un pequeño hoyo de área S. Calcule el número de moléculas que, saliendo del hoyo, chocan en la unidad de tiempo contra un disco de radio R situado a distancia L de la abertura. El plano del disco es paralelo al plano del hoyo y los centros del disco y del hoyo se hallan sobre una línea recta normal al plano de la abertura. Considere las moléculas como no sujetas a la fuerza de gravedad. S L R 2.7 Problema Considere los electrones de conducción en un metal como un gas diluido en equilibrio térmico con la red de iones fijos. Suponga que en ausencia de campos electromagnéticos externos la función de distribución electrónica sea de la forma de Maxwell-Boltzmann, esto es, ( m f (0) (v) = n 2πkT ) ) 3/2 exp ( mv2 2kT donde la densidad espacial n y la temperatura T son constantes. Se enciende un débil campo eléctrico uniforme E; esto hace que el gas de electrones evolucione hacia un nuevo estado de equilibrio con función de distribución f. Suponga que sea posible describir correctamente el efecto de las colisiones de los electrones entre sí y con los iones de la red por medio de un término 11

colisional de la forma ( ) f = f f(0) t τ col donde τ es un tiempo característico del orden del tiempo medio de vuelo libre. Calcule: 1. la nueva función de distribución f al primer orden; 2. la conductividad eléctrica σ, definida por la relación donde e es la carga del electrón. j = ne v = σe 2.8 Problema Un recipiente contiene un gas con densidad espacial n(r,t) no uniforme. La temperatura del gas T es uniforme y constante y se pueden despreciar las fuerzas externas que actúan sobre la moléculas del gas. Por lo tanto, en aproximación de orden cero, la distribución de las moléculas es una distribución de Maxwell-Boltzmann local, esto es, ( m f (0) (r,v,t) = n(r,t) 2πkT ) ) 3/2 exp ( mv2. 2kT 1. Usando la ecuación del transporte de Boltzmann, calcule la correción del primer orden g(r,v,t) de la función de distribución. 2. Usando el resultado precedente, calcule la velocidad media v y muestre que la no uniformidad de la densidad da origen a una corriente de masa j = ρ v (con ρ = mn) igual a j = c n donde c es una constante. 3. Usando la expresión precedente para la corriente j y la ecuación de continuidad, compruebe que la evolución de la densidad obedece a la ecuación de difusión n t = κ 2 n donde κ es una constante. 12

2.9 Problema Un gas ideal, formado por N moléculas idénticas de masa m, se halla en un recipiente cilíndrico de volumen V y radio R que rota alrededor de su eje con velocidad angular ω constante. El gas se halla en condiciones de equilibrio térmico a la temperatura T. Calcule, despreciando el efecto de la fuerza de gravedad, como varía la densidad ρ(r) de moléculas en función de la distancia r del eje del cilindro. 13

3 MECÁNICA ESTADÍSTICA CLÁSICA 3.1 Problema Considere un sistema aislado, formado por N partículas confinadas en un volumen V. Sea H = H(p 1,...,p 3N ;q 1,...,q 3N ) la hamiltoniana del sistema. La energía del sistema, determinada con una incertidumbre, resulta igual a E (con E). Se definen las funciones Γ(E) = 1 h 3N Σ(E) = 1 h 3N E<H(p,q)<E+ H(p,q)<E d 3N p d 3N q, d 3N p d 3N q, ω(e) = Σ(E) E. Demuestre que las siguientes tres definiciones de entropía son equivalentes en el límite termodinámico (esto es, cuando N 1) 3.2 Problema S 1 = k log Γ(E), S 2 = k log Σ(E), S 3 = k log ω(e). Considere un sistema aislado, formado por N partículas distinguibles y sin mutua interacción. Cada una de las partículas puede hallarse sólo en dos estados: uno con energía ε y otro con energía ε; la energía total del sistema es constante e igual a E. Determine 1. la entropía S del sistema en función de la energía E y del número de partículas N; 2. la temperatura T del sistema; 3. los números N y N + de partículas en los estados de energía más baja y más alta en función de la temperatura. (Pista: evalúe el número Γ de estados microscópicos que corresponden a una configuración macroscópica con N + partículas en el estado de energía ε y N partículas en el estado de energía ε. Luego use la relación S = k log Γ para determinar la entropía. Use la aproximación de Stirling log n! n log n n válida por n 1, considerando tanto N cuanto N + y N como grandes números.) 14

3.3 Problema Considere un gas ideal a la temperatura T = 300 K. Elija la respuesta correcta a las siguientes preguntas, usando los siguientes valores númericos para las constantes físicas: k = 8.617 10 5 ev/k constante de Boltzmann m p = 938 MeV/c 2 masa del protón m n 1.00 m p masa del neutrón c = 3 10 8 m/s velocidad de la luz. 1. Cuál es la energía cinética translatoria de una molécula? A 0.345 ev B 0.0245 ev C 5.274 ev D 0.0388 ev E 27.09 ev 2. Cuál es la velocidad cuadrática media v 2 de una molécula si el gas es hidrógeno? (gas diatómico, número nucleones por átomo: 1) A 689 m/s B 0.54 m/s C 1930 m/s D 1060 m/s E 96 m/s 3. Cuál es la velocidad cuadrática media v 2 de una molécula si el gas es oxígeno? (gas diatómico, número nucleones por átomo: 16) A 482 m/s B 2300 m/s C 195 m/s D 860 m/s E 325 m/s 4. Cuál es la velocidad cuadrática media v 2 de una molécula si el gas es vapor de mercurio? (gas monoatómico, número nucleones por átomo: 201) A 87 m/s B 342 m/s C 483 m/s D 75 m/s E 192 m/s 3.4 Problema Considere un gas ideal ultrarelativista con hamiltoniana N H = p i c i=1 donde c es la velocidad de la luz. El gas se halla en equilibrio con un baño térmico a la temperatura T. 15

1. Demuestre que la función de partición canónica para este sistema es Q N (V,T) = 1 8πV N! ( kt hc ) 3 N 2. Usando el resultado precedente, estudie la termodinámica del gas: específicamente, compruebe que resulta 3.5 Problema PV = U 3, U = 3NkT, γ = c P c V = 4 3 Determine la densidad de estados ω(e) de un sistema con función de partición canónica del tipo Q(β) = A β N donde A es una constante que no depende de la temperatura y β = 1/kT. Use el resultado obtenido para determinar la densidad de estados en los casos de 1. un gas ideal no relativista con función de partición. Q N (T) = 1 N! [ V h 3 (2πmkT)3/2 ] N ; 2. un gas ideal ultrarelativista con función de partición 3.6 Problema Q N (T) = 1 8πV N! ( kt hc ) 3 N Considere un sistema clásico de N moléculas diatómicas heteronucleares en equilibrio con un baño térmico a temperatura T. Se pueden despreciar las interacciones entre las moléculas del gas; la hamiltoniana de una molécula individual es H(p 1,p 2,r 1,r 2 ) = p2 1 2m 1 + p2 2 2m 2 + ε r 12 r 0 16.

donde p i y r i representan momento y posición del átomo de tipo i (con i = 1, 2), r 12 = r 1 r 2 es la distancia relativa entre los dos átomos de la molécula y ε y r 0 son constantes positivas. Determine la energía libre de Helmholtz del sistema y el calor específico a volumen constante. 3.7 Problema Considere un sistema formado por un conjunto de N osciladores cuárticos clásicos, distinguibles y sin interacciones recíprocas. La hamiltoniana del genérico oscilador i-ésimo es H = p2 2m + α2 q 4 donde m es la masa del oscilador y α 2 una constante positiva. El sistema de osciladores está en equilibrio térmico con un baño a temperatura T. Determine 1. la energía media U = H del sistema; 2. la energía libre F del sistema; 3. la entropía S del sistema. Considere como conocido el valor Γ (1/4). 3.8 Problema Considere un gas ideal de N moléculas diátomicas heteronucleares confinadas en un volumen V. El gas se halla en equilibrio con un baño térmico a temperatura T. Cada molécula puede representarse como un rotor rígido con hamiltoniana H = 1 ( ) p 2 2m x + p 2 y + p 2 p 2 z + θ 2I + p 2 φ 2I sin 2 θ donde m e I son la masa y el momento de inercia de la molécula. Usando la mecánica estadística clásica, 1. calcule la función de partición Q N (V,T) del gas; 2. calcule la ecuación de estado del gas usando la relación P = ( F/ V ) T ; 3. calcule la energía U del gas y su capacidad térmica a volumen constante C V. 17

3.9 Problema Muestre que las fluctuaciones de la energía en el colectivo (o ensemble) canónico son iguales a (H H ) 2 = kt 2 C V, donde C V es la capacidad térmica del sistema. Muestre análogamente que resulta [ ( ) ] (H H ) 3 = k 2 T 4 CV + 2T 3 C V. T Por último compruebe que, para un gas ideal formado por N moléculas monoatómicas, las ecuaciones precedentes toman la forma 3.10 Problema (H H ) 2 H 2 = 2 3N y (H H )3 H 3 = 8 9N 2. La probabilidad que un elemento del colectivo (o ensemble) gran canónico tenga N partículas es P(N) = zn Q N (V,T) Q(z,V,T) con Q(z,V,T) = N z N Q N (V,T). Considere el caso en el que el sistema de interés es un gas ideal clásico (formado por partículas idénticas). 1. Demuestre que en este caso la distribución de probabilidad P(N) es poissoniana P(N) = N N e N. N! 2. Use la distribución poissoniana P(N) para calcular las fluctuaciones relativas del número de partículas N 2 N 2 N 2 y compruebe que el resultado que se obtiene coincide con el que se deriva aplicando la fórmula general al caso de un gas ideal. ( N) 2 kt N = N 2 V 2 ( P/ v) T 18 V

[Pista para el punto 1): Calcule la función de partición canónica Q N para un gas ideal y exprese el resultado en términos de la longitud de onda térmica de De Broglie λ. Use el resultado obtenido para determinar la función de partición gran canónica Q. Una vez obtenida Q, calcule el valor medio N del número de partículas y exprese la probabilidad P(N) en función de N.] 3.11 Problema Un gas ideal -con potencial químico µ(p,t)- se halla en un recipiente cuyas paredes presentan N 0 sitios adsorbentes (cada sitio puede adsorber una molécula de gas). Suponiendo que una molécula adsorbida tiene una energía ε 0, determine la razón de recubrimiento θ, esto es, la razón entre el número de moléculas adsorbidas y el número de sitios adsorbentes. Exprese luego θ en función de la presión P del gas sirviéndose de la expresión para el potencial químico µ(p,t) de un gas ideal. [Sugerencia: Sea N el número de moléculas adsorbidas. La energía del sistema formado por estas moléculas es E = Nε 0. El número de configuraciones correspondientes a este valor de la energía es W E = N 0! N!(N 0 N)! Por lo tanto la función de partición canónica del gas de moléculas adsorbidas es N 0! Q N = N!(N 0 N)! exp(βε 0N). Use este resultado para calcular la función de partición gran canónica de las moléculas adsorbidas y solucionar completamente el problema.] 19

4 MECÁNICA ESTADÍSTICA CUÁNTICA: GASES IDEALES 4.1 Problema Considere una partícula libre de masa m que se halla en una caja de volumen V (con V ). Sea Ĥ = ˆp2 /2m el hamiltoniano de la partícula. 1. Calcule los elementos de matriz r e βĥ r. del operador e βĥ en representación de las coordenadas. 2. Usando el resultado precedente, calcule la función de partición canónica Q = Tr e βĥ. 3. Escriba la expresión de los elementos de matriz r ˆρ r del operador estadístico ˆρ = e βĥ/q. 4.2 Problema Considere un gas ideal de moléculas diátomicas heteronucleares en equilibrio térmico con un baño a temperatura T. Las moléculas pueden representarse como rotores rígidos con hamiltoniana H = p2 2m + p2 θ 2I + p 2 φ 2I sin 2 θ donde m e I son la masa y el momento de inercia de la molécula. 1. Calcule la energía promedia del gas a temperaturas suficientemente elevadas para que se pueda aplicar la mecánica estadística clásica. 2. Considere ahora la contribución de los grados de libertad rotatorios al calor específico desde un punto de vista cuántico. En mecánica cuántica, un rotor tiene niveles de energía E j = h2 j(j + 1) 2I 20

con j = 0, 1, 2,... La degeneración del nivel j-ésimo es igual a 2j + 1. Usando estos datos, calcule la energía rotatoria media U rot (T). Busque una expresión aproximada para U rot (T) en los límites kt h 2 /2I (bajas temperaturas) y kt h 2 /2I (altas temperaturas). 4.3 Problema El hamiltoniano de un electrón en un campo magnético B = Bẑ es H = µ B σ B = µ B Bσ z donde µ B representa el magnetón de Bohr y σ es el operador de espín cuyos componentes son las matrices de Pauli σ x, σ y y σ z. 1. Calcule la matriz densidad ρ = e βh /Tr ( e βh) en la representación en la que σ z es diagonal. 2. Calcule la matriz densidad en la representación en la que σ x es diagonal. 3. Evalúe el valor medio σ z. 4.4 Problema En el caso de un gas ideal en equilibrio térmico, el número de ocupación medio del estado de partícula individual con momento p y energía ε p es 1 n p FD = z 1 e βεp + 1 1 n p BE = z 1 e βεp 1 para fermiones para bosones. Estas expresiones se obtienen porque los valores posibles del número de ocupación son n p = 0, 1 para los fermiones n p = 0, 1, 2,... para los bosones. Admitamos ahora la existencia de un hipotético tipo de partículas tal que el número de ocupación del estado p-ésimo puede tomar los valores n p = 0, 1, 2,...,M 21

donde M es un número entero finito. Compruebe que para estas partículas el número de ocupación medio del nivel p-ésimo sería n p = 1 z 1 e βεp 1 M + 1 (z 1 e βεp ) M+1 1. Verifique que por M = 1 este resultado se reduce a n p FD y que por M se obtiene n p BE. 4.5 Problema Determine la compresibilidad isotérmica κ T (0) = 1 V ( ) V P N,T=0 de un gas ideal de fermiones de espín s a la temperatura del cero absoluto. Exprese κ T en función de la energía de Fermi ε F y del número medio de fermiones por unidad de volumen n = N/V. 4.6 Problema Determine la energía de Fermi para un gas ideal bidimensional de fermiones de espín 1/2. Indique con A el área de la región donde queda confinado el gas y con N el número total de fermiones. 4.7 Problema Demuestre el teorema de Van Leeuwen, esto es, que el fenómeno del diamagnetismo no puede existir en física clásica. Sugerencias: 1. si H(p 1,...,p N ;q 1,...,q N ) es la hamiltoniana de un sistema de partículas en ausencia de un campo magnético externo, entonces H(p 1 (e/c)a 1,...,p N (e/c)a N ;q 1,...,q N ) es la hamiltoniana del mismo sistema en presencia de un campo magnético externo B = A (se indica con A i el valor de A en el punto q i ). 22