2. Los números naturales, enteros y racionales 1

- Fernando Sánchez - - Cálculo I 2Los números naturales, enteros y racionales Números naturales 24 09 2015 Se llaman números naturales a los elementos del conjunto N = {1, 2, 3,...}. En este conjunto hay dos operaciones entre sus elementos, hay una relación de orden y también propiedades que relacionan esas operaciones entre sí. Formalmente, la suma se define como una aplicación s : (a, b) N N a + b N y el producto es - Fernando Sánchez - - p : (a, b) N N a b N. Además, los números naturales están ordenados: a < b significa a es menor que b y a b significa a es menor o igual que b. La suma es conmutativa y asociativa: a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c. El producto es conmutativo, asociativo y tiene elemento unidad: a b = b a a (b c) = (a b) c 1 a = a. Además se tiene la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: La relación de orden es transitiva a (b + c) = a b + a c. a < b, b < c a < c antisimétrica a < b b a 2. Los números naturales, enteros y racionales 1

- Fernando Sánchez - - y es total: si a, b N y a b entonces se cumple a < b o b < a. Por último, la suma y el producto son compatibles con el orden: a < b a + c < b + c a < b a c < b c. De estas propiedades básicas de (N, +,, <) se pueden obtener otras, como la ley de simplificación: a + c = b + c a = b a c = b c a = b. Números enteros En el conjunto N N se define una relación: se dice que (a, b) está relacionado con (c, d), y se escribe (a, b) (c, d), si a + d = b + c. Por ejemplo, (7, 3) (9, 5) (12, 8). Proposición. La relación anterior es de equivalencia, es decir: 1) es reflexiva: (a, b) (a, b) 2) es simétrica: (a, b) (c, d) (c, d) (a, b) 3) es transitiva: (a, b) (c, d), (c, d) (e, f) (a, b) (e, f) La demostración, que se hace utilizando las propiedades de N, es muy simple. Por ejemplo, para probar la propiedad transitiva, si (a, b) (c, d) y (c, d) (e, f) entonces a + d = b + c y c + f = d + e, de donde se sigue que a + d + c + f = b + c + d + e. Simplificando se sigue que a + f = b + e y así (a, b) (e, f). - Fernando Sánchez - - Esta relación de equivalencia genera una clasificación en clases del conjunto N N (una clasificación es dar una colección de subconjuntos disjuntos que rellenan todo el conjunto inicial). El conjunto cociente, formado por esas clases, se denota N N/. El conjunto Z de los números enteros es este conjunto cociente Z = N N/. Cada número entero es una clase de pares de números naturales. Representación de los números enteros 2 y 3 Cada número natural n se identifica con la clase {(n + 1, 1), (n + 2, 2),...} = [(n + 1, 1)] y así se entiende que N es una parte de Z. Se define la aplicación f : n N [(n + 1, 1)] Z 2. Los números naturales, enteros y racionales 2

que verifica: - Fernando Sánchez - - Es una aplicación: a cada n N le corresponde una imagen y esa imagen es única Es inyectiva: cada elemento de Z es la imagen de un elemento a lo sumo (las imágenes no pueden repetirse) Esta aplicación no es sobreyectiva: hay elementos de Z que no son imagen de ningún elemento de N. Al ser una aplicación inyectiva, cada elemento de N se identifica con su imagen. Suele escribirse N Z. Operaciones con números enteros. Si [(a, b)] y [(c, d)] son clases de Z, se define la suma como [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]. Por ejemplo, [(1, 3)] + [(7, 4)] = [(8, 7)]. La definición es correcta, ya que no depende de los representantes elegidos: si (a, b) (a, b ) y (c, d) (c, d ) entonces a + b = a + b y c + d = d + c y se tiene [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] = [(a + c, b + d )] = [(a, b)] + [(c, d)] ya que a + c + b + d = b + d + a + c. Además esta definición de suma en Z extiende a la suma ya definida en N. Si a, b N entonces al identificar a, b con f(a) = [(a + 1, 1)], f(b) = [(b + 1, 1)] se tiene - Fernando Sánchez - - f(a) + f(b) = [(a + b + 2, 2)] = [(a + b + 1, 1)] = f(a + b). Estas igualdades dicen que a, b se pueden sumar en primer lugar e identificarlos como elementos de Z o bien hacer el proceso en orden inverso. Todas las propiedades de la suma en N se siguen cumpliendo: es conmutativa: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] = [(c + a, d + b)] = [(c, d)] + [(a, b)] es asociativa: [(a, b)] + ( ) [(c, d)] + [(e, f)] = [(a, b)] + [(c + e, d + f)] = [(a + (c + e), b + (d + f))] = [((a + c) + e, (b + d) + f)] ( ) = [(a, b)] + [(c, d)] + [(e, f)] tiene elemento neutro: [(1, 1)] Z es un elemento que sumado con cualquier otro da ese otro número, [(a, b)] + [(1, 1)] = [(a, b)] todo elemento tiene opuesto: [(a, b)] + [(b, a)] = [(1, 1)] 2. Los números naturales, enteros y racionales 3

- Fernando Sánchez - - Estas propiedades se suelen resumir diciendo que (Z, +) es un grupo conmutativo o abeliano (Un conjunto que tiene definida una operación asociativa, con elemento neutro y elemento opuesto se llama grupo. Si además la operación es conmutativa se dice que el grupo es conmutativo o abeliano.) La multiplicación en Z se define así: [(a, b)] [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)]. Esta definición es correcta (no depende de los representantes elegidos). Para probarlo se puede hacer en dos pasos: si (a, b) (a, b ) y (c, d) (c, d ) entonces (cada una de las igualdades es un ejercicio sencillo) [(a, b)] [(c, d)] = [(a, b )] [(c, d)] = [(a, b )] [(c, d )]. La multiplicación de números enteros extiende a la multiplicación de N, es asociativa, conmutativa y tiene elemento unidad. Además es distributiva con respecto a la suma. Se dice que (Z, +, ) es un anillo conmutativo. Se puede definir un orden en Z mediante [(a, b)] < [(c, d)] a + d < b + c. De nuevo se trata de una definición que no depende del representante elegido y que extiende al orden de N. Se trata de una relación transitiva, antisimétrica y total (es un orden total que extiende al existente en N.) Además es compatible con la suma y con la multiplicación - Fernando Sánchez - - [(a, b)] < [(c, d)] [(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] [(a, b)] < [(c, d)], [(e, f)] > 0 [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]. Se tiene entonces que (Z, +, ) es un anillo conmutativo ordenado que hereda las propiedades de los números naturales. Los números enteros positivos se representan como los naturales de los que son la imagen: {1, 2, 3,...}. El neutro se representa como 0. Los demás son los opuestos de todos estos y se representan como { 1, 2, 3,...}. Por ejemplo, [(9, 6)] se representa como 3 y [(2, 8)] se representa como 6. Con esta notación En este conjunto se puede definir la resta Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. [(a, b)] [(c, d)] = [(a, b)] + ( [(c, d)]) = [(a, b)] + [(d, c)], ya que todo elemento tiene opuesto. Se suele escribir N Z para indicar la existencia de esta aplicación inyectiva (N, +,, <) (Z, +,, <) 2. Los números naturales, enteros y racionales 4

- Fernando Sánchez - - que extiende la estructura de N a Z. Estos números enteros permiten operaciones del tipo 5 14 que no podían hacerse en N. Sin embargo, cómo dividir una cantidad en partes iguales representa un valor generalmente no entero. Números racionales En el conjunto Z (Z \ {0})) se define la relación: (a, b) (c, d) si ad = bc. Esta relación es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) y genera una clasificación en dicho conjunto. Al conjunto cociente ( ) Q = Z Z \ {0} / se le llama conjunto de números racionales, y se representa por Q. Se puede considerar Z como una parte de Q mediante la aplicación f : a Z [(a, 1)] Q que es inyectiva pero no sobreyectiva, f(z) Q. Se suele escribir Z Q. Operaciones con números racionales. Se define la suma en Q mediante [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] que no depende de los representantes elegidos. Además extiende a la suma en Z, es decir, si a, b Z entonces f(a + b) = f(a) + f(b). - Fernando Sánchez - - Es fácil comprobar que la suma en Q es asociativa, conmutativa, tiene a [(0, 1)] como elemento neutro y cada elemento [(a, b)] tiene su opuesto [(a, b)] = [( a, b)] = [(a, b)]. En resumen, (Q, +) es un grupo abeliano. Se define el producto en Q mediante [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] que de nuevo no depende de los representantes elegidos y extiende a la multiplicación de Z. Es sencillo probar que el producto en Q es asociativo, conmutativo, tiene a [(1, 1)] como elemento unidad y cada elemento no nulo [(a, b)] tiene su inverso [(a, b)] 1 = [(b, a)]. Además se tiene la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. Así, (Q, +, ) es un cuerpo conmutativo que hereda las operaciones de N y Z y añade una nueva, la división: [(a, b)] : [(c, d)] = [(a, b)] [(c, d)] 1. Orden en los números racionales. Cada elemento de [(a, b)] Q puede considerarse con b > 0 (con denominador positivo). Con esta suposición de denominadores positivos (b, d > 0), se define [(a, b)] < [(c, d)] si ad < bc. Se comprueba con facilidad que no depende de los representantes elegidos y es un orden que extiende al orden de Z. 2. Los números naturales, enteros y racionales 5

Además es compatible con las operaciones - Fernando Sánchez - - [(a, b)] < [(c, d)] [(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] [(a, b)] < [(c, d)], [(e, f)] > 0 [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]. Así (Q, +,, <) es un cuerpo ordenado: todo elemento no nulo tiene inverso. La cadena de inclusiones se suele escribir como N Z Q. (N, +,, <) (Z, +,, <) (Q, +,, <) Este cuerpo de los números racionales es arquimediano: dados [(a, b)], [(c, d)] Q con [(c, d)] > 0 existe n N que verifica [(a, b)] < n[(c, d)], donde n[(c, d)] significa la suma de n términos [(c, d)]+. n.. +[(c, d)]. Se puede escribir así: [(a, b)], [(c, d)] Q, [(c, d)] > 0 = n N : [(a, b)] < n[(c, d)]. Esta propiedad dice que cualquier número racional positivo sumado suficientes veces consigo mismo es mayor que cualquier otro número. También se cumple en N y en Z; en Q es una consecuencia de aquellas. Los números racionales se representan con fracciones [(a, b)] = a b y por tanto Por ejemplo, - Fernando Sánchez - - [(a, b)] = [(2a, 2b)] = [(3a, 3b)] =... = a b = 2a 2b = 3a 3b =... [(2, 3)] = [(4, 6)] = [(6, 9)] =... = 2 3 = 4 6 = 6 9 =... Entre cada dos números racionales p, q Q hay siempre otro número racional, por ejemplo, (p + q)/2. Eso hace que haya infinitos números racionales entre p y q. Esta propiedad dice que hay números racionales por todas partes lo que induce a pensar que son todos los números. Sin embargo ya hace tiempo que se conocen magnitudes (números) que no son racionales. El conjunto Q de números racionales es un espacio vectorial sobre Q y tiene dimensión 1. Una base por ejemplo es {1}, ya que cada elemento x Q puede escribirse como una combinación lineal x = x 1. Así, todos estos conjuntos N Z Q se representan en una recta. Una recta que aparentemente se rellena al ir colocando todos los números en ella. Los números racionales ocupan la totalidad de la recta? La respuesta, que se verá más abajo, es no. Hay huecos en esa recta: nuevos números que no son racionales. El tamaño del conjunto de los números racionales puede resultar algo engañoso. Por definición, se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que tiene. A finales del siglo XIX, el matemático G. Cantor amplió esta definición a conjuntos infinitos. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una aplicación biyectiva entre ellos. Se llama 2. Los números naturales, enteros y racionales 6

- Fernando Sánchez - - conjunto numerable a cualquier conjunto con el mismo cardinal que N, que se escribe card(n) = ℵ 0 (ℵ es la letra alef o aleph hebrea, http://es.wikipedia.org/wiki/alef). Un conjunto A es numerable si existe una aplicación biyectiva f : N A. Por ejemplo, el conjunto de números pares A = {2, 4, 6,...} = {2n : n N} es numerable, se escribe card(a) = ℵ 0, y una aplicación biyectiva es f : N A n 2n Un conjunto es numerable si sus elementos se pueden colocar en una fila infinita y numerada: hay elemento 1, elemento 2, elemento 3,... Los elementos de un conjunto numerable se pueden ir colocando de uno en uno dentro de las casillas del esquema siguiente: 1 2 3 4 5 Una construcción así se conoce como hotel de Hilbert, un hotel con infinitas habitaciones, la 1, la 2,... De forma sencilla se puede comprobar también que card(z) = ℵ 0. Sorprendentemente, también se tiene card(q) = card(z) = card(n) = ℵ 0. Para probarlo es suficiente saber colocar los elementos (de momento sólo se tratan los positivos) de Q en una fila numerada 1, 2, 3,... así: - Fernando Sánchez - - Según indica el dibujo, se van eligiendo los números de las diagonales A, B, C, D,... de forma ordenada 1 1, 2 1, 1 2, 3 1, 2 2, 1 3, 4 1,... Los elementos de la diagonal A son las fracciones p/q con p, q > 0 y p + q = 2; los de la diagonal B son las fracciones p/q con p, q > 0 y p + q = 3, etcétera. Este argumento de diagonalización permite numerar conjuntos como Q, aunque hay otras formas de poder numerarlos. Por último, para los números racionales negativos se puede razonar de la misma forma. Además, es fácil argumentar qué se hace con los números racionales, tanto los positivos como negativos. Sin embargo, a pesar que Q es infinito y que sus elementos están por todas partes al representarlos en la recta, su tamaño no es lo suficientemente grande como para rellenar esa recta completamente. 2. Los números naturales, enteros y racionales 7

La diagonal de un cuadrado de lado 1 es un número que no puede escribirse como una fracción. Según el teorema de Pitágoras, d 2 = 1 2 +1 2 = 2, y esto permite demostrar que d no es racional. Por reducción al absurdo, se supone que d es racional, es decir, existen p, q enteros positivos tales que d = p/q. Se puede suponer que la fracción p/q es irreducible, es decir, p y q primos entre sí o también mcd(p, q) = 1. - Fernando Sánchez - - Como d = p/q entonces 2 = d 2 = p 2 /q 2 y así p 2 = 2q 2 es un número par. Entonces p es par y p 2 es múltiplo de 4. Luego 2q 2 es múltiplo de 4 y por tanto q 2 debe ser par, lo que obliga a que q sea par. Se llega a una contradicción: p y q son pares. Este número d no es racional. Es otro tipo de número. De él se conoce que verifica d 2 = 2, que suele escribirse como d = 2, y que no es una fracción. Se puede ir aproximando qué número debe ser sabiendo que su cuadrado es 2. Este proceso no es difícil. Se trata de ir comprobando qué cifras se pueden ir añadiendo para que al elevar al cuadrado salgan cantidades menores que 2 y cada vez más cercanas a 2. Se obtienen números 1 1 4 1 41 1 414 1 4142... cuyos cuadrados son menores que 2 aunque cada vez se aproximan más a 2. Este proceso se puede hacer más rápido con el algoritmo de la raíz cuadrada. En el caso del cálculo de 2 es así: - Fernando Sánchez - - y se van obteniendo los términos de la sucesión (1, 1 4, 1 41, 1 414, 1 4142,...) que representa (este término habrá que precisarlo más) a 2. Esta cantidad 2 representa un agujero en el sistema de números racionales. Se habla de cantidades inconmensurables, como la diagonal del cuadrado y su lado. Los números reales R se construirán a partir de los racionales como números que pueden ser aproximados en un sentido que se explicará más adelante. Esta idea de números que se consiguen mediante aproximación es el motivo por el que aparecen sucesiones de números racionales. Otros números no racionales conocidos (y algunos no tan conocidos) son π, la constante descubierta por Euclides que indica la proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Su valor es π = 3 141593... y se conocen miles de millones de cifras decimales. Es un número trascendente, es decir, no es raíz de 2. Los números naturales, enteros y racionales 8

- Fernando Sánchez - - ningún polinomio con coeficientes enteros. Hay muchas expresiones cuyo resultado está relacionado con él, como por ejemplo - Fernando Sánchez - - π 2 6 = 1 n 2 e, la base de los logaritmos neperianos, cuyo valor es e = 2 71828182... y que verifica e = n=0 n=1 ( 1 n! = lím 1 + 1 n = 2, 718281828459045... n n) a = 0 10100100010000..., un número cuya expresión decimal ni es finita ni es periódica. u = 0 123456789101112..., un número que contiene en su expresión decimal cualquier número natural. Por ejemplo, es este número aparecen todos los números de teléfono de todos los alumnos de esta universidad. Si se codifican las letras del alfabeto mediante números, por ejemplo, a = 23, b = 24,..., A = 70, B = 71,..., espacio = 99,..., en la expresión de u aparece la palabra Baba (el apellido sin tilde del famoso personaje del cuento de los ladrones), y aparece infinitas veces. Esta palabra es, después de la codificación, 71232423. De la misma forma, cualquier texto conocido, como El Quijote o La Iĺıada y la Odisea aparecen en la expresión decimal de u. Y también cualquier variación suya, como por ejemplo alguna versión que tenga algunos errores de escritura, o la versión escrita al revés, las letras en orden inverso. También está cualquier periódico de mañana, los mensajes que se vayan a escribir en el móvil dentro de dos días,... Incluso se podría pensar en hallar todas estas cosas en alguna versión finita de u, ya que todos estos números de los que se ha hablado están acotados. El escritor Borges, en su relato La Biblioteca de Babel hace un juego similar sobre una biblioteca un tanto especial y los libros que puede contener. Aparecen nuevos problemas aparentemente simples como qué número es u + u?, entendiendo que 2u no es la respuesta esperada. 2. Los números naturales, enteros y racionales 9