Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 1 2. Fuerzas fundamentales y aparentes Los movimientos de la atmósfera están governados por las leyes físicas fundamentales de conservación de masa, momento y energía. Para derivar esas ecuaciones es necesario aplicar esos principios a un elemento de volumen de la atmósfera. No obstante, en este capiítulo primero discutiremos la naturaleza de las fuerzas que influyen los movimientos. Las fuerzas pueden ser clasificadas como fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. Las fuerzas de volumen actúan en el centro de masa de una parcela de fluído y tienen magnitudes proporcionales a la masa de la parcela (por ej. la gravedad). Las fuerzas de superficie actúan sobre la frontera que separa el elemento de volumen de su entorno (por ej. la fuerza de presión) y su magnitud es independiente de la masa de la parcela. Para movimientos atmosféricos de interés meteorológico las fuerzas mas importantes son la fuerza de presión, la fuerza gravitacional y la fricción. Estas son las fuerzas fundamentales. Si, como es usual, el movimiento es referido a un sistema de coordenadas rotando con la Tierra, la segunda ley de Newton se aplica incluyendo dos fuerzas aparentes: la centrífuga y la de Coriolis. 2.1 Fuerza gradiente de presión Consideremos las fuerzas actuando sobre un elemento de volumen como muestra la figura 2.1 Figura 2.1 Fuerza de presión actuando sobre un elemento de volumen.
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 2 La fuerza neta en la direccion x es: δf x = p δyδz - (p + δp) δyδz δf x = -δp δy δz Pero y por lo tanto Para hallar la aceleración dividimos entre la densidad Análogamente en las otras direcciones. Por lo tanto la fuerza gradiente de presión total actuando sobre la parcela puede ser expresada como 2.2 Aceleración gravitatoria F M = 1 p La aceleración gravitatoria por unidad de masa es F g M =g = G M E f r r 3 donde G=6.66x10 11 m 2 /kg 2 es la constante gravitatoria y M E =5.988x10 24 kg es la masa de la Tierra. El vector r está determinado por el centro de la Tierra y la parcela en la atmósfera. En ausencia de rotación las fuerzas gravitacionales mantienen la materia unida formando un cuerpo esférico con el material más denso en el centro. Debido a la
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 3 rotacion, cada parcela de aire está sujeta a una fuerza centrípeta con sentido hacia el eje de rotación. Para aplicar la segunda ley de Newton en un sistema de coordenadas que se mueva con la Tierra es necesario incluir una fuerza aparente: la fuerza centrífuga. La fuerza centrífuga causa una fuerza hacia afuera del eje de rotación distorsionando el equilibrio esférico de forma que el planeta asume una forma achatada en los polos. La fuerza resultante de las fuerzas de gravedad y centrífuga tiene una dirección que apunta a la vertical local (ver figura 2.2), y no hacia el centro de la Tierra. Por simplicidad llamaremos fuerza gravitacional a la resultante de la fuerza gravitatoria y centrífuga g = g f - Ω x (Ω x r) (Notemos que debido a inhomogeneidades en la distribución de rocas y magma la verdadera fuerza gravitacional no está dirigida hacia el centro de la Tierra.) La superficie que se obtiene se llama un geoide y puede ser interpretado como la superficie de un océano en reposo. Esta superficie virtual es perpendicular en todo punto a la direccion de la gravedad (neta) y forma una superficie equipotencial, o sea que una parcela moviéndose en esa superficie no sufre cambios en la energía potencial. El valor de la energía potencial por unidad de masa se llama geopotencial y el geoide es por lo tanto una superficie de geopotencial constante. Figura 2.3 Fuerza gravitatoria neta resultante de la fuerza gravitatoria y la centrífuga.
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 4 La distorsión causada por la fuerza centrífuga es muy pequeña: el radio terrestre es de 6378 km en el ecuador y 6351 km en los polos. Por lo tanto la Tierra puede considerarse como una esfera en la mayoria de los problemas meteorológicos. 2.3 Fuerza de Fricción Todo fluído real está sujeto a una fricción interna entre las partículas que lo forman (viscocidad molecular) que causa una resistencia a fluir. La derivación del termino de fricción es análogo al de la fuerza de presión. Consideremos la figura 2.4 donde consideramos un elemento diferencial de volumen de lados dxdy. τ yy (x,y) τ xy (x,y) τ yx (x,y) dy τ xx (x-dx,y) τ xx (x,y) τ yx (x-dx,y) τ xy (x,y-dy) τ yy (x,y-dy) Figura 2.4 Esfuerzos sobre un elemento de volumen bidimensional. Por ejemplo, xy indica el esfuerzo realizado en la dirección x por un cortante de la velocidad según x en la dirección y. El esfuerzo neto aplicado al elemento de volumen en la direccion x es xy x, y dx xy x, y dy dx xx x, y dy xx x dx, y dy dx
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 5 donde el esfuerzo τ depende de la naturaleza del fluido. Notar que τ xy (x,y) y τ yx (x,y) tienen direcciones diferentes pero la misma amplitud: si estos esfuerzos no tuvieran la misma magnitud el elemento de volumen infinitesimal estaría sujeto a un torque que no podría ser balanceado por un torque interno. Entonces, dividiendo entre dxdy el esfuerzo neto en la direccion x se puede escribir como x y y x x x. Para un fluido newtoniano los esfuerzos viscosos son proporcionales a los gradientes de velocidad (figura 2.5). Si el fluído es incompresible podemos escribir donde μ es el coeficiente de viscocidad dinamica. Notar que los esfuerzos xy, xz, yz son términos de deformación por esfuerzo de corte vistos en la sección 1.2.2. Figura 2.5 Relación entre esfuerzo y gradiente de velocidades para un fluido newtoniano Para la atmósfera μ se puede considerar constante y podemos simplificar las
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 6 expresiones anteriores. Se define el coeficiente de viscocidad cinemática = que tiene un valor empírico de 1.46 x 10-5 m 2 /s en la atmósfera, y obtenemos las siguientes expresiones para las componentes de fricción por unidad de masa en las tres coordenadas F rx = 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 F ry = 2 v x 2 2 v y 2 2 v z 2 F rx = 2 w x 2 2 w y 2 2 w z 2 En la tropósfera es tan pequeña que la viscosidad molecular es despreciable excepto en una capa de unos milímetros justo arriba de la superficie de la Tierra donde el cortante vertical es muy grande. En las cercanías de la superficie las moléculas chocan contra ella y le transfieren momento. Moléculas mas alejadas colisionan con las moléculas que chocaron con la superficie transfiriendo el cambio de momento al interior del fluído. Esta trasnferencia de momento por viscosidad molecular es muy ineficiente ya que las moléculas viajan micrómetros entre colisiones (figura 2.6) Figura 2.6 - Moléculas colisionan con la superficie y entre ellas transfiriendo el momento del fluído a la superficie, disminuyendo la velocidad el flujo. Por encima de esta capa cercana a la superficie el momento es transferido fundamentalmente por los movimientos turbulentos. El efecto de los movimientos turbulentos puede visualizarse considerando al fluído como compuesto de torbellinos que se mueven y transfieren momento hacia o desde la superficie en forma análoga a las moléculas en la viscocidad molecular. Es posible definir una longitud de mezcla que es el camino promedio que recorre un torbellino antes de mezclarse con el entorno y
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 7 transferir momento. Con este ajuste los efectos dispativos de la turbulencia de pequeña escala puede ser representado definiendo una viscocidad turbulenta K. 2.4 Fuerza de Coriolis Supongamos que se le da un impulso hacia el este a una parcela de aire y que la fricción es despreciable. En esas circunstancias la parcela se mueve más rápido que la Tierra por lo que la fuerza centrífuga actuando sobre la parcela es Fcen= u R 2 R= 2 R 2 u R R u2 R R 2 donde u/r es el cambio incremental en la velocidad angular debido al impulso inicial. El primer término es la fuerza centrífuga, incluída en la gravedad efectiva. Los otros términos son fuerzas que van en la dirección de R (perpendicular al eje de rotación). Para escalas sinópticas u << ΩR por lo que el tercer término es despreciable comparado con el segundo. El segundo término representa la fuerza de Coriolis por unidad de masa que resulta de un movimiento a lo largo de un círculo de latitud y tiene dos componentes, una vertical y otra horizontal (figura 2.7) que se pueden escribir como dw =2 u cos dt dv = 2 u sin dt donde es la latitud. Definiendo f =2 sin como el parámetro de Coriolis es dv posible reescribir las fuerzas horizontales resultantes como dt = f u lo cual muestra que dado un impulso inicial hacia el este la fuerza de Coriolis tenderá a desviar la parcela hacia el norte (H.S., recordemos que f<0 en el H.S.).
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 8 Figura 2.7 - Para movimientos este-oeste relativos a la Tierra la fuerza de Coriolis aparece como un exceso de fuerza centrífuga. Consideremos ahora que el movimiento inicial de la parcela es hacia el ecuador. En la ausencia de torques en la dirección este-oeste la parcela debe conservar su momento angular. Puesto que la distancia R al eje de rotación cambia en el desplazamiento, la velocidad angular absoluta u R debe cambiar para que la parcela conserve su momento angular. Como Ω es constante, debe aparecer una velocidad relativa u y la parcela se moverá como si existiera una fuerza actuando en la dirección zonal. Si δu es la velocidad hacia el este en el nuevo radio de rotación R + δr obtenemos R 2 = u R R R R 2 R 2 = u R R R 2 2 R R R 2 Como δr y δu son pequeños se desprecia el producto de esos términos y se obtiene
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 9 R 2 = u R R R 2 2 R R R 2 = R 2 2 R R R 2 u R R 2 R R= R 2 u R R O sea que u= 2 R. El aumento de velocidad δu puede ser inducido por movimientos meridionales o verticales pues el aumento en el radio de rotación tiene componentes en esas direcciones. Para movimientos meridionales sin = R y (figura 2.8) y u=2 sin y. De la figura 2.8 puede verse que y=a y Por lo tanto u=2 sin a du d =2 sin a dt dt Como v=a d du podemos escribir dt dt =f v, y una parcela moviéndose hacia el ecuador en el H.S. tenderá a torcerse hacia el oeste. Para movimiendos verticales vale cos = R z. y u= 2 cos z. Dividiendo entre δt y tomando el límite se obtiene du dz = 2 cos = 2 cos w dt dt
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011 10 Figura 2.8 Efecto de movimientos meridionales en el radio de rotación R. Movimientos de ascenso o hacia el ecuador producen un aumento de R. Entonces la expresión completa para la fuerza de Coriolis está dada por du =f v 2 w cos dt dv dt = fu dw =2 u cos dt Como punto final es bueno remarcar que la fuerza de Coriolis siempre actúa en forma perpendicular a la dirección del movimiento y por lo tanto no realiza trabajo. Referencias An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004. Mid-Latitude Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.