Funciones: Aspectos básicos Nombre: Curso:.. Producto cartesiano En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es: A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)} B x A = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} Se puede distinguir que el producto cartesiano A x B no es lo mismo que B x A Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano Al tener por ejemplo los conjuntos A={,3, 4, 5} y B={1, 2, 3, 4} podemos definir una relación binaria en A x B, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar: R= { (a,b) e A x B / a > b } Al escribirla por extensión resulta R={ (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)} Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos. Se puede advertir que no todos los pares ordenados de A x B están en esta relación, eso depende si cumplen la condición o no la cumplen. Por ejemplo, (3,4) no se encuentra en la relación, pues 3 no es mayor que 4. Con estos antecedentes básicos, podemos adentrarnos un poco más en la idea de función, la cual podemos apreciar en distintos formas de representación, ya sea: por diagramas sagitales, tablas, gráficas o representaciones algebraicas. Diagramas sagitales. Son una representación de relaciones matemáticas a través de diagramas de Ven. Estas relaciones en algunos casos pueden o no, ser funciones. Nota: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. En el siguiente diagrama, tenemos una relación entre pinceles y caritas pintadas
En qué fijarnos para saber si es una función? 1) En la orientación de la flecha. Esto nos indicará el sentido que tiene la relación (salida, llegada). 2) Existencia de imagen. Debemos fijarnos en que ningún elemento del conjunto de salida este libre, de lo contrario, inmediatamente podemos decir que dicha relación NO ES FUNCIÓN. 3) Imagen única. Una vez que corroboremos que cumple la condición anterior, debemos fijarnos que la imagen sea única. En este caso, desde un pincel, se puede llegar sólo a una carita. Ejemplos: 1) Nos fijamos la orientación de la flecha 2) en el conjunto de salida quedan elementos libres? NO Pasamos al paso 3 3) la imagen es única? En este caso el pincel azul, tiene dos imágenes. LA RELACIÓN NO ES FUNCIÓN 1) Nos fijamos en la flecha 2) en el conjunto de salida quedan elementos libres? SI LA RELACIÓN NO ES FUNCIÓN (no es necesario pasar al paso 3) 1) Nos fijamos en la flecha 2) en el conjunto de salida quedan elementos libres? NO Pasamos al paso 3 3) la imagen es única? SI LA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN Los elementos del conjunto de llegada pueden quedar libres. También desde distintos elementos de salida, coincidir con el de llegada (como en el último ejemplo).
Representaciones gráficas de funciones Para analizar si una gráfica es una función o no, es tan fácil como realizar líneas verticales y verificar si estas tocan a la gráfica en más de un punto. En caso de tocar en más de un punto, de inmediato sabemos que dicha gráfica no es una función. Esta gráfica NO ES UNA FUNCIÓN, pues hay lugares donde al trazar una línea vertical, esta línea toca a la gráfica en más de un punto. Esta gráfica SI ES UNA FUNCIÓN, pues al trazar una línea vertical, siempre esa línea toca a la gráfica solamente en un punto. Evaluación de funciones Consiste simplemente en reemplazar, de acuerdo a lo que la función nos indica. Por ejemplo para la función f(x) = 3x +5 Si deseamos calcular f(2), debemos reemplazar x=2 en la función, es decir, f(2) = 3(2) + 5= 6 + 5 = 11 entonces podemos decir que f(2) = 11 2 corresponde a la pre-imagen y 11 a la imagen Si deseamos calcular f(a+1) debemos reemplazar x= a+1 en la función, es decir f(a+1) = 3(a+1) +5 = (3a + 3) + 5 = 3a + 8, entonces f(a+1) = 3a + 8
Dominio y Codominio y Recorrido Conceptos relacionados a funciones son su dominio, codominio y recorrido. Se utilizan estos tres conceptos principalmente en ejercicios de diagramas sagitales, puesto que cuando se trata de ejercicios algebraicos, lo más común es trabajar con dominio y recorrido. Dominio de la función Dom f= {a, b, c, d} Codominio de la función Cod f= {1, 2, 3, 4} Recorrido de la función Rec f= { 1, 2, 3} (elementos del conjunto de salida) (elementos del conjunto de llegada) (elementos que ocupamos del conjunto de llegada) A continuación se muestran tanto los dominios como los recorridos de distintos tipos de funciones. Función Constante Dom f = IR Rec f = { 2 } Para las funciones constantes, el dominio siempre será IR y su recorrido corresponderá al valor constante que la función posea.
Función Afín / Lineal La diferencia entre una y otra es que las funciones lineales pasan por el origen del sistema cartesiano, vale decir, el punto (0, 0). Función lineal f(x) = 3x Función afín f(x) = x +2 Para ambas funciones SIEMPRE tanto el dominio como el recorrido de ellas será IR. (no hay que hacer mayor cálculo) Función Valor Absoluto La función valor absoluto, se escribe f(x) = x y representa en palabras sencillas, la distancia de los números al cero. Para efectos de dominio, generalmente será IR (A menos que dentro del valor absoluto se encuentre otra función, como podría ser una fracción dentro del valor absoluto) Si tenemos f(x) = x, su recorrido será 0, + Si tenemos f(x) = x + 2, su recorrido será 2, + El número solito nos indica el valor del recorrido. Función Parte Entera Esta función asigna el valor entero menor a los valores ingresados a la función (en caso de ser decimal). Cuando el número es entero, el resultado es el mismo número. f(x)= [x] f(x)= [2,5] = 2 f(x)= [1,99999] = 1 f(x)= [3,00001]= 3 f(x) = [5] = 5 f(x)= [ - 2, 3] = - 3 El domino de esta función es generalmente IR El recorrido de esta función es generalmente Z Generalmente, pues se está considerando la función f(x)= [ x ] Podrían incluirse otras funciones dentro de esta, situación que haría cambiar tanto dominio como recorrido.
Función por tramos Esta función se encuentra definida en forma diferente, dependiendo de los valores del dominio de la función. En este caso, la función está definida de la siguiente forma: 1 < 2 = 1 2 < 2 6 2 Al realizar la gráfica, esta queda aproximadamente Para calcular el dominio debemos fijarnos en los valores para los cuales está definida la función. En este caso < 2, 2 < 2 2 que al juntarlos y unirlos, obtenemos IR Para el recorrido, lo más sencillo es mirar la gráfica y ver los valores que toma el eje y.