TEMA I: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

TEMA I: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Introducción En el dearrollo del tema eguiremo la iguiente etrategia: en primer lugar definiremo la Tranformada de Laplace y trabajaremo con ella como una herramienta para reolver cierto problema, in preocuparno en exceo del rigor matemático de la demotracione que e preentan, donde de hecho e trabajará a nivel formal, uponiendo iempre que e etá en la condicone ideale para efectuar la manipulacione matemática preentada. A continuación e ejercitará el uo de la propiedade introducida, en la reolución de problema: cálculo de integrale, ecuacione diferenciale y itema de ecuacione diferenciale. Como parte final del tema e preentará, como apéndice del mimo, un etudio riguroo de la tranformada de Laplace, comenzando por la convergencia (abcia y emiplano de convergencia) y paando por la demotracione riguroa de la propiedade etudiada en la eccione anteriore. En eta ección e incluirán una erie de problema emiteórico que enriquecerán lo concepto aprendido. Por último y debido a que la aignatura e encuadra, dentro del Plan de Etudio, en el primer cuatrimetre del tercer año y que por tanto lo alumno no han etudiado aún variable compleja; en la primera parte del tema trabajaremo obre valore reale del párametro, introduciendo en el apéndice u variación en lo complejo. 2. Definición y reultado báico Definición: Sea F (t) una función definida para t >. La tranformada de Laplace de F (t), denotada por L{F (t)}(), e define como L{F (t)}() = f() = e t F (t)dt cuando la integral converge para algún valor de. también puede coniderare complejo. Por ahora upondremo que e real, aunque

Ejemplo: L{}() = Luego e t dt = L{t}() e t t dt = 2 e b + 2 } Luego L{e at }() = Luego b lim e t dt = lim { b + b + e b + } L{}() = b lim e t t dt = b + e t e at dt = ( > ) u = t du = dt dv = e t dt v = e t L{t}() = 2 ( > ) b lim e ( a)t dt = lim { b + b + a e ( a)b + a } L{e at }() = a ( > a) Definición: Si exiten contante reale M > y γ tale que t > N e γt F (t) < M o F (t) < Me γt = lim b + { b e b e dice que F (t) e una función de orden exponencial γ cuando t, o implemente que e de orden exponencial. Teorema 2.: Si F (t) e continua a trozo en cada intervalo finito t N y de orden exponencial γ para t > N, entonce exite la tranformada de Laplace f() para todo > γ. Demotración Partiendo del hecho de que F (t) < Me γt para todo t > N hemo de comprobar que la integral N e t F (t)dt e convergente. Etá claro que e t F (t)dt exite, por lo que batará con demotrar que la integral e t F (t)dt converge. N b e t b b F (t)dt N e t F (t) dt M e ( γ)t dt = M [e ] ( γ)b e ( γ)n N N γ Por último, e encillo ver que M [e ] ( γ)b e ( γ)n tiende a M γ γ e ( γ)n cuando b +, iempre que > γ. Propiedade y regla operacionale 2

. Linealidad L{c F (t) + c 2 F 2 (t)}() = c L{F (t)}() + c 2 L{F 2 (t)}() Se deduce fácilmente del hecho de que la integral e un operador lineal. Ejemplo: L{coh(at)}() = L{ eat + e at }() = [ 2 2 a + ] = + a L{enh(at)}() = L{ eat e at }() = [ 2 2 a ] = + a 2 a 2 a 2 a 2 ( > a ) ( > a ) 2. Primera propiedad de tralación Demotración L{e at F (t)}() = Ejemplo: 3. Segunda propiedad de tralación Si L{F (t)}() = f(), entonce L{e at F (t)}() = f( a) Si L{F (t)}() = f() y G(t) = Demotración e a L{F (t)}() e t e at F (t) dt = L{te at }() = L{t}( a) = e ( a)t F (t) dt = L{F (t)}( a) ( a) 2 L{e bt coh(at)}() = L{coh(at)}( b) = e t G(t) dt = b ( b) 2 a 2 { F (t a) t a t < a, entonce L{G(t)}() = e a f() a e t F (t a) dt = {x = t a} = e (x+a) F (x) dx = Ejemplo: t < 2 G(t) = enh[a(t 2)] t 2 L{G(t)}() = e 2 a 2 a 2 4. Propiedad de cambio de ecala Demotración Ejemplo: Si L{F (t)}() = f(), entonce L{F (at)}() = a f( ) (a > ) a e t F (at) dt = {x = at} = L{πt e πt }() = π L{tet }( π ) = π e a x F (x) dx a = a L{F (t)}( a ) ( π )2 = π ( π) 2 3

5. Tranformada de Laplace de la derivada Si L{F (t)}() = f(), entonce L{F (t)}() = f() F () eta fórmula puede er generalizada a la derivada de orden n L{F (n) (t)}() = n f() n F () n 2 F ()... F (n 2) () F (n ) () Demotración Trabajaremo formalmente (ya lo demotraremo riguroamente en el apendice del tema). Hemo de uponer que exite F (t) y que e tranformable Laplace. Entonce b e t F (t) dt = b e t F (t) dt = lim e t F (t) dt b + u = e t du = e t [ dv = F (t)dt v = F (t) = F (t)e t] b b + L{F (t)}() = = F (b)e b F () + L{F (t)}() e t F (t) dt = Eta última cantidad tiende a L{F (t)}() F (), cuando b + bajo cierta condicione. A partir de aquí podemo demotrar la fórmula generalizada uando el método de inducción matemática. Ejemplo: L{[coh(at)] }() = L{coh(at)} coh() = 2 a 2 = 6. Tranformada de Laplace de la integral Si L{F (t)}() = f(), entonce L{ F (u) du}() = f() Demotración Nuevamente trabajaremo formalmente. Sea G(t) = a2 2 = L{a enh(at)}() a2 F (u) du, entonce G (t) = F (t) y por tanto L{G (t)}() = L{F (t)}(), pero por otro lado abemo que L{G (t)}() = L{G(t)}() G(). Teniendo en cuenta que G() = y depejando e obtiene el reultado deeado. Ejemplo: L{ coh(au) du}() = L{coh(at)}() = 2 a 2 = 2 a 2 = L{enh(at) }() a 4

7. Multiplicación por t n Si L{F (t)}() = f(), entonce L{t n F (t)}() = ( ) n dn d n f() = ( )n f (n) () Demotración Operando de manera formal, derivaremo bajo el igno de la integral aplicando la regla de Leibnitz f () = d d e t F (t) dt = e t ( t)f (t) dt = L{tF (t)}() Ejemplo: ( ) L{t e at }() = [L{e at }()] = = a ( a) 2 8. Diviión por t F (t) iempre que exita lim. t t Demotración f() = f(u) du = Si L{F (t)}() = f(), entonce L{ F (t) }() = f(u) du t e t F (t) dt, integrando a ambo lado entre e obtenemo e ut F (t) dt du = ( ) e ut t F (t) du F (t) dt = e dt t Ejemplo: L{ en t }() = t u 2 + du = π 2 arctg 9. Si L{F (t)}() = f(), entonce: lim f() = Una demotración poco riguroa puede obtenere intercambiando el límite y la integral. Ejemplo:. Teorema del valor inicial iempre que exitan ambo límite ( ) π lim + 2 arctg = lim F (t) = lim f() t Demotración Supongamo que F (t) e tranformable, entonce L{F (t)}() = f() F () y como debe er lim L{F (t)}() =, el teorema queda demotrado. 5

Ejemplo: ( ) π lim + 2 arctg en t = = lim t t Una generalización: Si F (t) G(t) para t, entonce f() g() para.. Teorema del valor final iempre que exitan ambo límite lim F (t) = lim f() t Demotración Supongamo nuevamente que F (t) e tranformable, entonce L{F (t)}() = e t F (t) dt = f() F () trabajando obre el lado izquierdo de la igualdad b lim e t F (t) dt = F (t) dt = lim F (t) dt = lim [F (b) F ()] b b i lo hacemo ahora obre el lado derecho lim lo que finaliza la demotración. [f() F ()] = lim [F (t) F ()] t Ejemplo: ( ) π lim 2 arctg en t = = lim t + t Una generalización: Si F (t) G(t) para t, entonce f() g() para. 2. La convolución: Si L{F (t)}() = f() y L{G(t)}() = g(), entonce la operación (F G)(t) = convolución. Demotración L{ F (u)g(t u)du}() = f().g() F (u)g(t u)du e denomina producto de convolución o implemente L{ F (u)g(t u)du}() = e t ( ) ( F (u) e t G(t u)dt u ) F (u)g(t u)du dt = du = (Ç) i en la integral de dentro efectuamo el cambio t u = z obtenemo ( ) ( ) (Ç) = F (u) e (z+u) G(z)dz du = e u F (u) e z G(z)dz du = f().g() 6

Nota: E muy fácil comprobar que el producto de convolución e conmutativo. Ejemplo: Para calcular la iguiente integral u n (t u) m du, aplicaremo la tranformada de Laplace. En primer lugar téngae en cuenta que L{t k }() = k!, Aplicando ahora la tranformada de Laplace a la integral k+ obtenemo L{ u n (t u) m du}() = L{t n }().L{t m }() = y e fácil comprobar que Luego n!m! n+m+2 = n!m! + n + )!.(m (m + n + )! n+m+2 n!m! (m + n + )! tm+n+ e la función cuya tranformada e la obtenida. u n (t u) m du = n!m! (m + n + )! tm+n+ Se invita al lector a obtener el reultado de la integral por otra vía. 3. Aplicacione Evaluación de integrale Ejemplo: Si L{F (t)}() = f(), entonce e t en t dt = π t 4 lo que implica que y por último ya que: Por lo tanto f() = π 2 π 4 = π 4. e t F (t)dt = f(). Tomando límite cuando F (t) dt = f() L{en t}() = 2 +, L{ en t }() = t u 2 + du = π 2 arctg t en t L{e }() = π arctg ( + ) = f(). t 2 Por otro lado también podríamo haber obtenido el valor de la integral a partir del hecho de que por lo que L{ en t }() = t t en t e dt = π arctg = f(), t 2 t en t e dt = f() = π t 2 arctg = π 4 7

t 3 e t en t dt = dado que: L{en t}() = 2 +, lo que no lleva a luego Entonce, f() =. L{t 3 en t}() = ( ) 3 d3 d 3 2 + = 24 (2 ) ( + 2 ) 4, L{e t t 3 en t}() = 24 ( + )[( + )2 ] ( + ( + ) 2 ) 4 = f(). Al igual que en el ejemplo anterior, podríamo heberno quedado en y haber calculado f(). Reolución de ecuacione diferenciale L{t 3 en t}() = ( ) 3 d3 d 3 2 + = 24 (2 ) ( + 2 ) 4 = f() Mediante la utilización de la tranformada de Laplace podemo reolver ecuacione diferenciale lineale de coeficiente contante, tranformándola en ecuacione algebraica. Ejemplo: y (t) y(t) = e t Reolver el iguiente problema de valore iniciale y() = y () = y () = Supongamo que la función incognita y(t) e tranformable Laplace y denotemo por Y () a u tranformada. Entonce, aplicando la tranformada de Laplace a la ecuación diferencial, y teniendo en cuenta la condicione iniciale, éta e tranforma en: con lo que una vez depejada Y () obtenemo Y () = 3 Y () Y () = ( )( 3 ) = ( ) 2 ( 2 + + ) = A + B ( ) 2 + C + D 2 + + de donde obtenemo lo iguiente valore A = 3 ; B = C = D =. Por lo tanto 3 Y () = 3 + 3 ( ) 2 + + 3 2 + + 8

analicemo a continuación cada uno de lo umando. 3 3 et. Dado que 3 ( ) 2 = d d [ 3 e la tranformada de la función ], el egundo umando e la tranformada de la ( ) función 3 t et. Por último, el tercer umando requiere de una pequeña manipulación para que e vea claramente de qué función proviene. + 3 2 + + = + 3 ( + 2 )2 + 3 4 = + 2 + 3 ( + 2 )2 + [ 3 4 ]2 3 ( + 2 )2 + [ 3 4 ]2 2 e fácil comprobar que eta expreión e la de la tranformada de la función 3 e t 3 2 co[ 2 t] + 2 3 3 e t 3 2 en[ t]. Ya para finalizar y teniendo en cuenta la linealidad de la Tranformada de 2 Laplace, podemo aegurar que la olución del problema original e la función y(t) = 3 et + 3 t et + 3 e t 3 2 co[ 2 t] + 3 3 e t 3 2 en[ 2 t] y (t) + 9y(t) = 8t Reolver el iguiente problema de valore en la frontera y() =, y( π 2 ) = Procedemo de forma análoga al ejemplo anterior L{y(t)}() = Y (). Tranformando la ecuación depejando Y () 2 Y () y () + 9Y () = 8 2 Y () = 8 + y () 2 2 ( 2 + 9) = A + B 2 + C + D 2 + 9 reolviendo obtenemo A = C = ; B = 2; D = y () 2, con lo que Y () = 2 2 + y () 2 2 + 9 de lo que e deduce que la olución original erá y(t) = 2t + y () 2 3 en(3t) por último aplicando la condición de que y( π ) = llegamo a que 2 y(t) = 2t + π en(3t) También podremo reolver cierta ecuacione diferenciale lineale con coeficiente variable. 9

y + ty y = Ejemplo: y() =, y () = En ete cao debemo tener en cuenta que i L{y(t)}() = Y (), entonce L{ty (t)}() = d d L{y (t)}() = d d {Y () y()} = d d {Y ()} = Y () Y () por lo que tranformando la ecuación obtenemo 2 Y () Y () Y () Y () = y tra la correpondiente operacione no queda la ecuación diferencial lineal de primer orden Y () ( 2 )Y = cuya olución viene dada por la expreión Y () = e ( 2 ) d e ( 2 ) d d = 2 luego la olución bucada erá y(t) = t Reolución de itema ecuacione diferenciale De forma análoga al cao de la ecuacione diferenciale lineale, podemo aplicar la tranformada de Laplace en la reolución de cierto itema de ecuacione diferenciale Ejemplo: y + 2z = t Reolver el iguinete itema de ecuacuione diferenciale y z = e t y() = 3, y () = 2, z() = Si denotamo L{y(t)}() = Y () y L{z(t)}() = Z(), el itema e tranforma en Y () 3 + 2[Z() ] = 2 Y () + 2Z() = 2 + 3 2 Y () 3 + 2 Z() = + utilizando el método de Cramer e decir 2 Y () Z() = + + 3 2 Y () = 65 + 2 4 + 3 + 3 2 + + 3 (2 2 + )( + ) ; Z() = 22 + 2 + ( + )(2 2 + ) decomponiendo en fraccione imple Y () = A + B 2 + C 3 + D + + E + F 2 2 +

obteniéndoe A = C =, B =, D = 2 3, E = 8 3 por otro lado i y F = 8 3, de lo que e deduce que y(t) = + t2 2 + 2 3 e t + 4 3 [co( t 2 ) 2 en( t 2 )] Z() = A + B + + C + D 2 2 + e llega A =, B = 3, C = 4 3 y D = 4 3. Por lo que z(t) = 3 e t 2 3 [co( t ) 2 en( t )] 2 2 3y + 3z = te t 3co t Idem con ty z = en t y() =, y () = 2, z() = 4, z () = aplicando la tranformada de Laplace al itema obtenemo 3 2 Y () 3 + 6 + 3 2 Z() 2 = ( + ) 2 3 2 + d d [2 Y () + 2] Z() + 4 = 2 + 3 2 Y () + 3 2 Z() = ( + ) 2 3 2 + + 5 6, e decir 2Y () 2 Y () Z() = 2 + 3 Depejando Z() en la primera ecuación Z() = y llevando ete reultado a la egunda reolviendo la ecuación diferencial 3 2 ( + ) 2 ( 2 + ) + Y () + 5 2 2 Y () + 3 Y () = 2 2 3 3 ( + ) 2 + 2 3 Y () = + 3 3 ( + ) + 2 2 de lo que e deduce, depué de la correpondiente decompoición en fraccione imple, que y(t) = 2 3 + 5 3 t + 6 t2 3 e t Llevando ahora el valor de Y () a la exprión que no daba Z() tenemo que no conduce a Z() = 3 2 ( + ) 2 ( 2 + ) + 3 3 3 2 + 3 3 3 + z(t) = 8 3 + 6 t2 + 3 e t + 3 te t + co t

4. Problema. Calcular. (a)l { e 5 ( 2) 4 } (b)l { 6 4 2 4+2 } (c)l { 4+2 2 +8+6 } (d)l { 3 ( 2 +) } (e)l { 52 5 (+)( 2) 3 } (f)l { 2 +2+3 ( 2 +2+2)( 2 +2+5) } 2. Reolver la iguiente ecuacione diferenciale. y + y = t; y() =, y () = 2. y 3y + 2y = 4e 2t ; y() = 3, y () = 5. y + 2y + 5y = e t en t; y() =, y () =. y 3y + 3y y = t 2 e t ; y() =, y () =, y () = 2 y + 9y = co 2t; y() =, y( π 2 ) =. ty + ( 2t)y 2y = y() =, y () = 2. y + y = en t; y() =, y () =. y 4y + 5y = 25t 2 ; y() =, y () =. y 4y + 3y = F (t) y() =, y () =. 2

3. Reolver lo iguiente itema de ecuacione diferenciale x + y + 3x = 5e t y 4x + 3y = 5en 2t x = 2x 3y y = y 2x y z 2y + 2z = en t y + 2z + y = 4. Calcular el valor de la iguiente integrale: (a) (b) (c) te 2t co tdt. x 4 e x dx. e t e 3t dt. t 5. Si F (t) = L {f()}, demotrar que (a) L {f ()} = tf (t) F (t). (b) L {f ()} = t 2 F (t) + 2tF (t). (c) L { 2 f ()} = t 2 F (t) + 4tF (t) + 2F (t). 6. Reolver la ecuación integral 7. Reolver la ecuación integro-diferencial x() = 8, y() = 3 x() = 35, x () = 48, y() = 27, y () = 55 y() =, y () =, z() = x(t) = 7 3 en( 3t) + 4 co 2(t u)x(u)du y (u)y(t u)du = 24t 3, y() =. 8. La función H(t) = { t < t >, e denomina función alto de Heaviide. Se pide (a) Calcular la tranformada de Laplace de H(t t ), t >. (b) Calcular la tranformada de Laplace de H(t t )F (t), t >, iendo f() la tranformada de F (t). 3

(c) Exprear la función G(t) = { F (t) t < t t > t en término de F (t) y H(t). 9. Calcular la tranformada de Laplace de la función F (t) = t a, a >. 4

APÉNDICE 5. introducción En ete apartado comenzaremo etudiando el comportamiento de la exponencial compleja dependiente de un parámetro, cuando dicho parámetro tiende a. Para ello recordemo la iguiente cuetione: z = x + iy C, Re(z) = x R ; Im(z) = y R. e x+iy = e x e iy = e x [co y + i en y]. para todo α R e tiene que e iα =. e x+iy = e x. z w = z w ; z, w C Paemo ahora a etudiar el comportamiento de e b para C y b + e b = e [Re()+iIm()]b = e Re()b e iim()b El factor e Re()b e una exponencial real y e verifica que lim b + e Re()b = + Re() < Re() = Re() > Por otro lado el factor e iim()b repreenta para todo b un número complejo de módulo, por lo que cuando b va aumentando no iremo moviendo iempre obre la circunferencia unidad. alcazaremo límite alguno pero abemo que no aldremo de ea curva. Con lo vito hata ahora, podemo afirmar que lim b + e b convergerá a cero cuando Re() > y eta convergencia e producirá iguiendo un movimiento obre una epiral, la cual e recorrerá en entido contrario, e decir hacia el infinito complejo, cuando Re() <. Por último, cuando Re() = el límite no exitirá. No 5

compleja. Introducimo ahora el concepto de función derivable y función Holomorfa o analítica en variable Definición: Dada una función de variable compleja f(z), diremo que e derivable en un punto z de u dominio i exite el límite iguiente Ejemplo: f f(z + z) f(z ) (z ) = lim z z f(z) = z 2 ; f (z + z) 2 z 2 (z) = lim z z = lim (2z + z) = 2z. z f(z) = z 2 ; f (z) = z + z 2 z 2 lim z z = zz + z z + z z + z z zz z (z + z)(z + z) zz = lim = z z [ = lim z + z z z z + z por lo que i z = e claro que f () =. Sin embargo, i z podemo comprobar la no derivabilidad de f, dado que el límite del cociente z no exite: z z z z = x : z = z =, z z = i y : z =. ], Definición: Una función de variable compleja f(z) e dice Holomorfa o analítica en un punto z de u dominio, i exite un número r > tal que f(z) e derivable en todo lo punto del dico D(z ; r). 6. El emiplano de convergencia En eta ección demotraremo que cuando una función F (t) poee tranformada de Laplace f() con C, éta tiene entido en un emiplano derecho. Teorema 6. Si la integral de Laplace de un función converge abolutamente en un punto, entonce converge abolutamente en Re() Re( ). 6

Demotración Uaremo el criterio de convergencia de Cauchy, e decir b2 g(t) dt < ɛ > b > : ( b 2 > b > b) g(t) dt < ɛ b Sea C y Re() Re( ): b2 b2 e t F (t) dt = e ( )t e t F (t) dt = b b b2 b e Re( )t e t F (t) dt b2 b e t F (t) dt Pero por hipótei abemo que un b > tal que para todo b 2 > b > b e verifica que demotración. Teorema 6.2 Si la integral f() = acotada en el emiplano derecho Re() Re( ). Demotración Sea : Re() Re( ) Teorema 6.3 f() = e t F (t)dt e t F (t) dt converge, con lo que para todo ɛ > exite b2 e t F (t)dt converge abolutamente en e Re( )t F (t) dt = b e t F (t) dt = e t F (t) dt < ɛ, lo que concluye nuetra e t F (t) dt C C, entonce f() etá e Re()t F (t) dt El dominio donde la integral de Laplace de un función e abolutamente convergente e en un emiplano derecho abierto (Re() > α) o bien un emiplano derecho cerrado (Re() α), donde α puede tomar lo valore ±. Demotración Etudiaremo lo tre cao poible. La integral e abolutamente convergente para todo C. En ete cao la convergencia e verifica para Re() > = α. 2. La integral no converge en ningún C, entonce podemo ecribir que e da la convergencia para Re() > + = α. 3. La integral converge abolutamente en uno valore y diverge abolutamente en otro. Denotaremo por K y K 2 a lo conjunto compueto por lo punto de convergencia y divergencia repectivamente. E claro que e verifican la iguiente cuetione: K K 2 = C, K K 2 = Ø y K Ø K 2. Ademá podemo afirmar que K y 2 K 2 e da 7

que Re( 2 ) < Re( ). En cao contrario, e decir, que exitieen K y 2 K 2 tale que Re( 2 ) Re( ), aplicando el teorma 6. concluiríamo que 2 K lo cual e aburdo. Por tanto, α R : K, 2 K 2 : Re( 2 ) < α < Re( ) (corte de Dedekin). De hecho α e el upremo del conjunto compueto por la parte reale de lo elemento de K 2 y el ínfimo del conjunto compueto por la parte reale de lo elemento de K. Se tiene entonce que el dominio de convergencia aboluta de la integral de Laplace e Re() > α ó Re() α. (a) : Re() > α la integral converge abolutamente: Re() > α K : α < Re( ) < Re() y aplicamo el teorema 6.. (b) : Re() < α la integral diverge abolutamente: Re() < α 2 K 2 : α > Re( 2 ) > Re() i convergiera abolutamente en Re() aplicaríamo el teorema 6. y concluiríamo la convergencia en 2 lo que contituiría un aburdo. (c) Para Re() = α puede ocurrir cualquiera de la do coa y habría que comprobarlo en cada cao. Ejemplo Etúdiee la integral de Laplace de la funcione F (t) = + t 2, F (t) =, F (t) = et2 y { t F (t) = t > Al número α e le denomina abcia de convergencia aboluta de la integral de Laplace y al emiplano Re() > α ó Re() α emiplano de convergencia aboluta. Teorema 6.4(Teorema fundamental) Si la integral de Laplace en el emiplano abierto Re() > Re( ). Ademá e tiene que donde G(t) = e y F (y) dy e t F (t) dt converge para =, entonce converge para todo e t F (t) dt = ( ) e ( )t G(t) dt, 8

Demotración Por definición de integral impropia tenemo, b e t F (t) dt = lim e t F (t) dt b calcularemo primero la integral propia para luego etudiar u límite b e t F (t) dt = b uando el método de integración por parte, donde e ( )t e t F (t) dt = ( ) u = e ( )t du = ( )e ( )t dt obetenemo dv = e t F (t) dt v = e y F (y) dy = G(t) b b ( ) = [e ( )t G(t)] b + ( ) e ( )t G(t) dt = e ( )b G(b) + ( ) e ( )t G(t) dt analicemo por eparado el límite de cada umando veamo que lim b e ( )b G(b) =, iempre que (Re() > Re( )). G(b) = b e y F (y) dy ; lim G(b) = b e y F (y) dy = f aquí f repreenta el valor de la integral de Laplace de F (t) en =. De lo anterior e deduce que G(t) e una función acotada en [, ), ya que: t > T, G(t) f < ɛ G(t) < f + ɛ, t > T t [, T ], G(t) e continua G(t) C, t [, T ] G(t) M Luego e ( )b G(b) Me (Re() Re( ))b (b ) (Re() > Re( )) lo que demuetra nuetro objetivo. Comprobemo ahora que b lim e ( )t G(t) dt = e ( )t G(t) dt b exite y e abolutamente convergente para Re() > Re( ). e ( )t G(t) dt M e [Re() Re( )]t dt = M Re() Re( ) 9

Por tanto, e t F (t) dt = ( ) e ( )t G(t) dt, donde la integral del egundo miembro convege abolutamente. Nota: a) En ete cao no podemo aegurar nada acerca de la convergencia en la línea Re() = Re( ). b) Obervando la demotración vemo que no e neceario que exita que la función G(t) = e y F (y) dy etuviee acotada. e t F (t) dt, bataría con Teorema 6.5 El dominio de convergencia imple (aboluta o condicional) de la integral de Laplace e el emiplano derecho Re() > β. donde β puede er ±, y ademá puede ocurrir cualquier coa repecto a la convergencia en lo punto de la línea Re() = β, e decir, puede converger en todo, alguno o ningún punto de éta. Demotración Análoga a la del teorema 6.3. Ejemplo: Etudiemo la tranformada de Laplace de la función F (t) = t a, (a > ) f() = e t t a dt = analicemo la do última integrale por eparado e t t a dt + e t t a dt e t t a dt e Re()t t a dt eta integral exite independientemente de para todo a ya que la función integrando e continua. Para < a < y dado que e Re()t t a lim t t a = podemo garantizar que el carácter de nuetra integral e el mimo que el de la iguiente t a dt = ( ) t a+ a + = a + por lo que tenemo aegurada la convergencia aboluta, y por tanto la convergencia, para todo iempre que a >. 2

teniendo en cuenta que e t t a dt e Re()t t a dt e Re()t t a lim t t 2 = para cualquier a iempre que Re() >, y dado que t 2 dt converge, podemo concluir que nuetra integral converge. En ete cao cabe preguntare qué ocurre con la integral obre la línea Re() =. = t a dt = ( ) t a+ a + < i a + pero en ete cao la integral entre y diverge, con lo que no llevaría la divergencia de la integral inicial. = iy, y, y R e iyt t a dt = co(yt)t a dt i en(yt)t a dt. Si < a <, aplicamo el ctiterio de Abel para integrale impropia: Sean f(x) y g(x) do funcione integrable en cualquier intervalo [a, t) [a, ) y ea g(x) una función monótona. Entonce, para que la integral a f(x)g(x)dx converja e uficiente que e cumpla cualquiera de lo do iguiente pare de condicione: (a) (b) a a f(x)dx converja y g(x) acotada en [a, ). f(x)dx eté acotada para todo t [a, ) y g(x) converja a cero cuando x. En nuetro cao g(t) = t a, que e monótona decreciente y verifica que lim g(t) =, y t f(t) = co(yt), para la que Luego integral. b ( ) co(ty)dt = en(yt) b y = en(yb) y en y y 2 y co(yt)t a dt e convergente. De forma análoga e demuetra para la otra 2. Si a : en(yt) = yt = nπ en(yt) t a dt = π y en(yt) t a dt + n= (n+)π y nπ y en(yt) t a dt 2

Veamo que la erie diverge, con lo que quedará demotrada la divergencia de la integral. (n+)π ( ) y en(yt) t a x = yt nπ π dt = = en(x + nπ) (x + nπ) a dx dx = y dt y a+ = nπ y = π ( )n en x(x + nπ) a dx ya+ π llamando a n = en x (x + nπ) a dx, comprobemo que la erie ( ) n a n no converge. n= π lim a n = lim en x (x + nπ) a dx n n π lim en x (nπ) a dx = n = lim n (nπ)a [ co x] π = lim n 2(nπ)a = Por lo tanto lim a n =, e decir lim n n ( )n a n no exite, lo que garantiza que la erie no converge. Reumiendo: L{t a }() converge en {Re() > } cuando a y converge en {Re() > } { = iy, y, y R} cuando < a <. Por último comentar que e fácil demotrar, uando propiedade de la función gamma de Euler, que L{t a Γ(a + ) }() = a+. 7. Propiedade de la tranformación de Laplace En realidad repetiremo propiedade ya etablecida, pero la enunciaremo con todo rigor incluyendo información obre el emiplano de convergencia en cada cao.. Linealidad: Si L{F (t)}() = f (), (Re() > β ) y L{F 2 (t)}() = f 2 (), (Re() > β 2 ), entonce L{c F (t) + c 2 F 2 (t)}() = c f () + c 2 f 2 (), (Re() > β = max{β, β 2 }) 2. Primera propiedad de tralación: Si L{F (t)}() = f(), (Re() > β), entonce L{e at F (t)}() = f( a), (Re() > Re(a) + β) 3. Segunda propiedad de tralación: Si L{F (t)}() = f(), (Re() > β) y G(t) = entonce L{G(t)}() = e a f(), (Re() > β) { F (t a) t a t < a, (a > ) 22

4. Propiedad de cambio de ecala: Si L{F (t)}() = f(), (Re() > β) entonce L{F (at)}() = a f( a ) (a > ), (Re() > βa) 8. La tranformación de Laplace como función analítica En eta ección e preenta un teorema que pone de manifieto que cuando una función e tranformable Laplace, u tranformada e una función analítica, e decir admite derivada de cualquier orden, lo que permite aplicar a éta toda la teoría de la funcione compleja. Teorema ademá: Si L{F (t)}() = f(), (Re() > β), entonce f() admite derivada de cualquier orden y f (n) () = ( ) n e t t n F (t) dt = ( ) n L{t n F (t)}(), (Re() > β) Demotración: En primer lugar, lo demotraremo para n =, para luego aplicar el método de inducción. Veamo entonce que Sea C : f () = e t tf (t) dt Re() > β. Por el teorema 6.4, abemo que f() = ( ) e ( )t G(t) dt; G(t) = e x F (x) dx donde e un número complejo tal que exite f( ). Ademá, teníamo que G(t) M, t > y que la nueva integral que define a f() e abolutamente convergente. Elegimo de la iguiente forma: como Re() > β, podemo encontrar un ɛ de forma que Re() β = 3ɛ y tomamo = β + ɛ Re() = 2ɛ. En cao de que β =, utituimo β por cualquier número real menor que Re(). Por la definición de derivada tenemo que f () = lim h f( + h) f() h i derivamo formalmente bajo el igno de la última integral que define a f() e obtiene Ψ() = e ( )t G(t) dt ( ) e ( )t tg(t) dt comprobemo ahora que f( + h) f() lim = Ψ() h h 23

Tomamo h < ɛ, lo cual e poible ya que trabajamo con h, y no aeguramo el que Re( + h) > β. = h = { ( + h ) Acotemo ahora D(h). D(h) D(h) = f( + h) f() h Ψ() = e (+h )t G(t) dt ( ) e ( )t G(t) dt + ( ) e ( )t [e ht ]G(t) dt + ( ) e ht e ( )t G(t) dt + teniendo en cuenta el dearrollo de la función exponencial podemo ecribir Por tanto, e ht h t e ht h ( + t h t 2 ( D(h) = M h + h t! + h t! e z = + h 2 t 2 2! + h 2 t 2 2! n= z n n! + h 3 t 3 3! + h 3 t 3 3! } e ( )t G(t) dt e ( )t tg(t) dt = e ( )t [ e ht h + e ht h ) + h te ɛt e 2ɛt M dt + te ɛt dt + M h donde C e una contante que depende ɛ. Luego, Podemo entonce ecribir f () = = lim D(h) = f () = Ψ() h + t]g(t) dt + t e ( )t G(t) dt = h te h t h te ɛt ) = h t 2 e h t h t 2 e ɛt h t 2 e ɛt e 2ɛt M dt = t 2 e ɛt dt = C h e ( )t G(t) dt ( ) e ( )t tg(t) dt = e ( )t G(t) dt + ( )e ( )t tg(t) dt 24

reolvamo la integral del egundo umando uando el método de integración por parte. nótee que tg(t) = Con eto u = tg(t) dv = ( )e ( )t v = e ( )t du = [G(t) + te t F (t)] dt d t dx [xg(x)] dx = [G(x) + xg (x)] dx y que G(x) = x e u F (u) du. ( )e ( )t tg(t) dt = [tg(t)e ] ( )t [e ( )t G(t) + te t F (t)] dt = = [e ( )t G(t) + te t F (t)] dt ya que lim tg(t)e ( )t =. Por tanto, t f () = e ( )t G(t) dt [e ( )t G(t) + e t tf (t)] dt = = e t tf (t) dt = L{ tf (t)}() Una vez etablecido el reultado para n =, procedemo por inducción aceptando que la derivada de orden n de f() exite y que vale f (n ) () = L{( ) n t n F (t)}(). Veamo el reultado para n f (n) () = [f (n ) ()] = [L{( ) n t n F (t)}()] = L{ t( ) n t n F (t)}() = ( ) n L{t n F (t)}() 9. Tranformada de Laplace de la integración y la derivada Teorema 9. y e tiene (Teorema de integración) Si L{F (t)}() = f() converge para algún = x > (x R), entonce { } L{H(t)}() = L F (u) du () converge para = x { L{H(t)}() = L } F (u) du () = ( ) Ademá, H(t) = o e x t cuando t, e decir, H(t) lim t e x = t y por tanto L{H(t)}() converge abolutamente para Re() > x. L{F (t)}(), = x y Re() > x Demotración: Veamo primero que L{H(t)}() converge para = x y que L{H(t)}() = f(x ). Para ello utilizaremo la regla de L Hopital: x 25

. Sean Φ, Ψ funcione diferenciable para x > A (para cierto A). 2. Supongamo ademá que Ψ e una función real tal que: lim Ψ(x) = + y x Ψ (x) Entonce, Si Φ (x) lim x Ψ (x) = a lim Φ(x) x Ψ(x) = a admitiéndoe incluo lo cao a = ± cuando Φ ea una función real. tomamo: Si queremo aplicar L Hopital y dado que Φ(x) = e x x G(x) y Ψ(x) = e x x x e xt H(t) dt = lim e xt H(t) dt = lim G(x), x x Φ y Ψ on diferenciable (para x > ): H(t) continua G(t) derivable. lim x Ψ(x) = + pue (x > ), Ψ (x) = x e x x (x ). Φ (x) lim x + Ψ (x) = lim x e xx G(x) + e xx e xx H(x) x + x e x = x x ) = lim (x e xt H(t) dt + e xx H(x) x + x y aplicando el método de integración por parte a la integral obtenemo Por la regla de L Hopital: Φ (x) lim x + Ψ (x) = lim x + x ( x ) e xt F (t) dt = f(x ) x Φ(x) lim x + Ψ(x) = f(x ), e decir, lim x G(x) = f(x ) x + x y entonce, L{H(t)}(x ) = e x t H(t) dt = f(x ) x cao, Tenemo entonce que L{H(t)}() converge para Re() > x (Teorema 6.4); veamo que en ee h() = L{H(t)}() = f() 26

. Si R y > x razonamo, para cada fijo, de igual manera; por tanto h(x) = L{H(t)}(x) = f(x) x, x > x f() 2. h() e analítica en Re() > x, e analítica en Re() > x y por otro lado h(x) = f(x) x, x R, x > x. Entonce, h() = f(), Re() > x. Nota: Hemo utilizado un reultado de variable compleja que no dice: Si una función φ analítica en un dominio D, e anula en una uceión de punto ditinto {z n } D, y tal que la uceión tiene límite z, entonce φ e anula en todo D. En nuetro cao φ(z) = h(z) f(z) z e cualquier uceión convergente extraida de la emirecta x > x. y la uceión Por tanto: { } L F (x) dx () = f(), = x y Re() > x Comprobemo ahora que H(t) = o(e x t ) cuando t. por otro lado de lo que e deduce que H(t) lim t e x = lim e xt H(t) = lim G (t) t t t Φ(t) lim G(t) = lim t t Ψ(t) = lim Φ (t) t Ψ (t) = lim [x G(t) + G (t)] t x lim G(t) = lim G(t) + lim G (t) t t x t lo que implica que lim G (t) =, ya que lim G(t) = h(x ) exite. t t Para finalizar comentar que lo anteriormente vito, demuetra que H(t) e de orden exponencial con lo que queda garantizada la convergencia aboluta de L{H(t)}() para Re() > x. Corolario Supongamo que L{F (t)}() converge en = C: Re( ), entonce L{H(t)}() converge y e igual a f() para Re() > Re( ). Demotración Sea C : Re() > Re( ). Sabemo que L{F (t)}() converge para = C : Re( ), entonce x > : Re( ) < x < Re() y L{F (t)}() converge en x > y aplicando el teorema anterior e obtiene el reultado bucado. 27

Teorema 9.2 (Teorema de derivación) Sea F (t) una función derivable para t > tal que L{F (t)}() converge para algún real x >. Entonce exite F ( + ) y L{F (t)}() converge para = x. Ademá e tiene la relación: L{F (t)}() = L{F (t)}() F ( + ), = x y Re() > x Má aun, F (t) = o(e x t ) cuando t y por tanto L{F (t)}() converge abolutamente para Re() > x. Demotración Si L{F (t)}() converge para x >, entonce por el teorema 9.: { } L F (x) dx () = L{F (t)}(), Re() > x y = x. ( ) F (x) dx = o e x t cuando t. F (x) dx converge abolutamente para Re() > x. Por tanto, ya que F (x) dx = F (t) F ( + ), tenemo: L{F (t) F ( + )}() = L{F (t)}() L{F (t)}() F (+ ) = L{F (t)}() L{F (t)}() = L{F (t)}() F ( + ), = x, Re() > x > F (t) F ( + ) = o(e x t ) (t ) lim [F (t) F ( + )]e xt = t lim F (t)e xt = lim F ( + )e xt = t t L{F (t)}() converge abolutamente para Re() > x (teorema 2.). Nota:. Si L{F (t)}() converge para x >, etamo aegurando entonce la exitencia de F ( + ), pue para que exita L{F (t)}() ha de exigire que F (t) ea abolutamente integrable en cada intervalo finito de la forma t T. Entonce: F (t) dt = A < F () lim ɛ + F (ɛ) = A F (+ ) = F () A < 28

2. Exigimo ólo que F ea derivable para t >. No importa qué ocurre con la derivada en t =. Aí trataremo con funcione como: t = F (t) = t > que no on derivable en t =. ; F (t) = 2 t, t El teorema 9.2 puede er generalizado de la iguiente manera: Teorema 9.3 Si F (t) e derivable n vece para t > y L{F (n) (t)}() converge para algún x > entonce, Exiten lo límite F ( + ), F ( + ),...,F (n ) ( + ). L{F (t)}() exite para = x. Se tiene la relación: L{F (n) (t)}() = n L{F (t)}() n F ( + ) n 2 F ( + ) F (n ) ( + ), = x y Re() > x F (t) = o(e x t ),, F (n ) (t) = o(e x t ) cunado t y por tanto L{F (t)}(),, L{F (n ) (t)}() Nota: convergen abolutamente para Re() > x.. Si F ( + ) = F (), F ( + ) = F (),...,F (n ) ( + ) = F (n ) (), entonce F, F,..., F (n ) on continua para t y obtendríamo: L{F (n) (t)}() = n L{F (t)}() n F () n 2 F () F (n ) () = = n L { = n f() F () { ( F (t) F () 2 F (n ) } () n = F () + F () t + + F (n ) ()! (n )! tn Nótee que entre paréntei aparecen lo n primero término del dearrollo de Taylor de F en t =. 2. La condicione para F del teorema 9.2 on, a la hora de la práctica, muy retrictiva. De hecho encontramo funcione que verifican el teorema y no verifican toda la condicione. )} 29

Teorema 9.4 Si tenemo a) F continua para t > y tal que F ( + ) exita. b) F e continua a trozo o cai continua a trozo. c) F de orden exponencial α. Entonce, L{F (t)}() exite y L{F (t)}() = f() F ( + ), Re() > α. También podemo encontrarno con funcione que no on continua en t > y preentan dicontinuidade de alto finito, e decir, funcione continua a trozo. En eto cao actuaremo como igue: ea F continua a trozo para t y ean T k, k =,, 2, 3, con T = lo punto de dicontinuidad. Si entendemo F como la función que no etá definida en lo punto T k y que en el reto e igual a la derivada de F, podemo definir la función F (t) como F (t) = F (x) dx Eta nueva función e continua en todo lo punto y la diferencia D k = F (t) F (t), T k < t < T k+ e contante y no mide lo alto de F en lo punto de dicontinuidad T k. Contruyamo entonce la función ecalonada e obtiene entonce Teorema 9.5 D(t) = F (t) F (t) = B k H(t T k ), B = D,, B k = D k D k, k k= Si F e una función continua a trozo, de tipo exponencial y tal que F (t) e también de tipo exponencial, y ea la función dicontinua: D(t) = F (t) F (x) dx = B k H(t T k ) de orden exponencial α, (e entiende F no definida en lo punto de dicontinuidad). Entonce, k= Demotración: L{F (t)}() = f() B k e T k, Re() > α k= { } { } L F (t) F (x) dx () = L B k H(t T k ) k= 3

luego f() L{F (t)}() = L{F (t)}() = f() k= B k e T k B k e T k k=. La convolución Definición Sean F y G do funcione definida para t. denotamo por F G, a la función dada por: Definimo la convolución de F y G, y la (F G)(t) = F (x)g(t x) dx i eta integral exite. Aí como el producto de erie de potencia convergente también e convergente, no ocurre lo mimo con la integral (F G)(t): ean la funcione F (t) = y G(t) =. E fácil comprobar t t que e trata de funcione integrable en cualquier intervalo [, t], in embargo no ocurre lo mimo con F G Definición (F G)() = x 2 ( ( x) ) 2 dx = x 2 x 2 dx = x dx = Eto no lleva a introducir una clae de funcione que aeguren la exitencia de F G. Definimo la clae L como aquel conjunto formado por funcione F verificando (a) Son abolutamente integrable en [, T ] para todo T >. (b) Son acotada en todo intervalo finito [T, T 2 ] que no incluya al cero. Propoición Si F y G pertenecen a L, entonce F G exite para todo t. Demotración: (F G)(t) = F (x)g(t x) dx = analicemo la do integrale por eparado 2 F (x)g(t x) dx + t 2 F (x)g(t x) dx 3

x t 2 t 2 t x t G(t x) M t 2 F (x)g(t x) dx M t 2 F (x) dx < En primer lugar hagamo el cambio de variable u = t x y tengamo en cuenta que u t 2 t 2 t u t F (t u) M t 2 F (x)g(t x) dx = 2 F (t u)g(u) du M t 2 t 2 2 G(u) du < Propiedade. F G = G F 2. F (λg + µh) = λ(f G) + µ(f H) 3. F (G H) = (F G) H Teorema Sean F, F 2 L. Si L{F } = f, L{F 2 } = f 2 convergen abolutamente para =, entonce L{F F 2 } converge abolutamente para = y ademá L{F F 2 }() = f () f 2 (), Re() Re( ). Demotración: Extenderemo lo valore de F i para t < de la iguiente manera: F i (t) =, i =, 2, t <. Veamo qué ocurre en =. f ( ) f 2 ( ) = dado que f 2 ( ) e una contante = e x F (x) dx e u F 2 (u) du = { } e x F (x) e u F 2 (u) du dx = efectuando el cambio de variable u = t x t = u + x en la integral interna = { } e x F (x) e (t x) F 2 (t x) dt dx = { } F (x) e t F 2 (t x) dt cambiando el orden de integración (ya que la integrale convergen abolutamente) = { e t } F (x)f 2 (t x) dx dt dx = 32

abemo que para x <, F (x) =, con lo que la integral interna puede ecribire con lo límite de integración entre y, e decir para x (, ). Por otro lado para t < y x (, ) ocurre que t x <, luego F 2 (t x) =. Por lo tanto f ( ) f 2 ( ) = pero como t x < para todo x > t, ocurre que con lo que obtenemo f ( ) f 2 ( ) = F (x)f 2 (t x) dx = { e t { } e t F (x)f 2 (t x) dx F (x)f 2 (t x) dx } F (x)f 2 (t x) dx dt dt = L{F F 2 }( ) Para lo tale que Re() Re( ), hay que tener en cuenta que, por el teorema 6., f () y f 2 () convergen abolutamente, y a partir de aquí actuar como en el cao anterior. Teorema Sean F, F 2 L. Entonce (F F 2 )(t) e continua para t >. Demotración: Sea t >, hemo de comprobar que denotemo lim (F F 2 )(t + h) = (F F 2 )(t) lim[(f F 2 )(t + h) (F F 2 )(t)] = h h D(t, h) = (F F 2 )(t + h) (F F 2 )(t) = +h F (x)f 2 (t + h x) dx F (x)f 2 (t x) dx Sean < h (podemo aumir que h >, en cao de que h <, la demotración e análoga) y < t t 2. D(t, h) = x t F (x)[f 2 (t + h x) F 2 (t x)] dx + F (x)[f 2 (t + h x) F 2 (t x)] dx+ t +h + F (x)f 2 (t + h x) dx = I + I 2 + I 3 t veamo que ocurre con I : etudiemo el rango de variación de la variable de la función F 2. t t t t x t 2 t t ; t + h t + t + h t t x + h t + h t 2 + h t t + h 33

Por tanto, la variable no ale del intervalo ( t 2, t + ), en el que podemo garantizar que F 2 (u) M t, ya que F 2 L. Entonce I F (x) F 2 (t + h x) F 2 (t x) dx F (x) [ F 2 (t + h x) + F 2 (t x) ] dx 2M t F (x) dx Veamo ahora I 2 : efectuemo el cambio de variable u = t x F (x)[f 2 (t + h x) F 2 (t x)] dx = F (t u)[f 2 (u + h) F 2 (u)] du t t t I 2 t F (t u) F 2 (u + h) F 2 (u) du analicemo el rango de la variable de F u t t t t u t F L F (t u) M t Etudiamo ahora I 3 : t I 2 M t F 2 (u + h) F 2 (u) du [t, t + h] [t, t + ] F L realicemo el cambio u = t + h x I 3 = +h t F (x) M 2 t, x [t, t + ] h F (x)f 2 (t + h x) dx = F (t + h u)f 2 (u) du = F (t + h u)f 2 (u) du h Por tanto, 2M t I 3 M 2 t h F 2 (u) du D(t, h) I + I 2 + I 3 t F (x) dx + M t F 2 (u + h) F 2 (u) du + Mt 2 h F 2 (u) du dado ɛ >, ecogemo t uficientemente pequeño para que 2M t F (x) dx < ɛ 3 34

Se abe que i una función f e abolutamente integrable en [, T ], entonce T lim h f(t + h) f(t) dt =. Por lo que en nuetro cao podemo garantizar que t lim F 2 (u + h) F 2 (u) du = h lo que no permite aegurar que h > : < h < h e verifica que Por otro lado h 2 > : < h < h 2, e tiene t M t F 2 (u + h) F 2 (u) du < ɛ 3 h M 2 t F 2 (u) du < ɛ 3 Entonce, tomando h = min{, h, h 2 } ocurre que para todo h (, h ) e cumple que D(t, h) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ Nota: (a) La convolución no tiene que er continua en t =. Tómee como ejemplo la funcione F (t) = F 2 (t) =. t (b) En cao de que F, F 2 L y una de la do funcione eté acotada en un entorno de cero, entonce F F 2 e continua para t.. Tranformada invera de Laplace El hecho de que la tranformada de Laplace de una cierta función F eté definida mediante una integral paramétrica, no hace penar que el proceo de inverión no diferencia a cierta clae de funcione. Por ejemplo: F (t) = { t = t > y G(t) =, t L{F (t)}() = L{G(t)}() = por lo que L { }(t) = F (t), G(t),... 35

Eto pone de manifieto que la tranfomada de Laplace no ditingue entre funcione que e diferencian en un número finito de punto. Pero eta concluión puede llevare má lejo Definición Diremo que una función n(t) e una función nula i e verifica que: n(u) du =, t Teorema Sean F, F 2 do funcione tale que f () = L{F (t)}() = L{F 2 (t)}() = f 2 (), Entonce exite una función nula n(t) tal que (Re() > α). F (t) = F 2 (t) + n(t), t Si la función nula e continua, entonce n(t), ya que i n(t) e continua algún t a meno que n(t). n(u) du para Por tanto, i L {f()}(t) = F (t) y F (t) e continua, entonce F (t) e la única invera continua de f(). Como concluión podemo aegurar que la invera de f() ólo e diferencian en punto de dicontinuidad. Para finalizar preentaremo un teorema donde e exprea la tranformada invera de Laplace mediante una integral en el campo complejo, aunque en la práctica e utilizan método como lo trabajado en clae para encontrar la invera. Teorema Supongamo que e at F (t) e abolutamente integrable localmente en [, ). ademá que F (t) e continua y que exiten la derivada laterale en cada t. Si f() = iendo c > α. e t F (t) dt, (Re() > α), entonce c+ir F (t) = lim e t f() d, (t > ) R 2πi c ir Supongamo El número real c e elige de forma que la línea vertical x = c quede dentro del emiplano de convergencia, pero alvo eta condición, c e arbitrario. 36

2. Problema. Haciendo uo de la propiedade para la tranformación de Laplace, calcular L{F } para la iguiente funcione: e t, < t < (a) F (t) = e e t, < t e en(bt), t < π/b (b) F (t) =, π/b t < (2π)/b en(bt), (2π)/b t < (3π)/b, (3π)/b t (c) F (t) = { t 2, t < 2 6, 2 t 2. Evaluar la iguiente tranformada de Laplace: (a) L{co 2 (bt)} (b) L{en(at)co(bt)} (c) L{t /2 co(at /2 )} 3. Se define la función error y la funciónn error complementario Demotrar que, para a >, e tiene que 4. Demotrar que: erf(x) = 2 x e t2 dt π erfc(x) = 2 e t2 dt π L{e at2 }() = π [ /(4a) ] 2 a e2 erf( 2 a ). (i) L{erfc(t)}() = L{erf(t)}(), Re >. (ii) L{e t2 /4 }() = πe 2 erfc(), Re >. (iii) L{e 4 b2 t 2 }() = πb e 2 /b 2 erfc(/b), b >. (iv) L{erf(t)}() = e2 /4 erfc(/2), Re >. (v) L{erf(bt)}() = e2 /(4b 2 ) ( erfc, 2b) b >. 37 x

{ ( t (vi) L erf )}() = ea2 2 erfc(a), a >. 2a { e a t π (vii) L }() ( /(4) = t ea2 erf( a ) 2 ) 5. La función de Beel J µ (t) de primera epecie y orden µ admite el dearrollo en erie J µ (t) = r= ( ) r (t/2) 2r+µ r!γ(µ + r + ). Etablecer que L{t µ J µ (t)}() = 2µ Γ(µ + /2) π ( + 2 ) µ /2, µ > /2 y Re >. Nota: Γ(2p)Γ(/2) = 2 2p Γ(p)Γ(p + /2); Γ(/2) = π. 6. Comprobar que L{en π { co t t}() = e 4 23/2 y hallar L }. t 7. Evaluar L{t 2 e at } uando la ecuación diferencial de tercer orden que atiface t 2 e at. 8. Calcular L{J (t)} haciendo uo de la ecuación diferencial que atiface la función de Beel J (t) (tj (t) + J (t) + tj (t) = ). 9. Sea F (t) una función periódica de periodo T >. Demotrar que entonce L{F (t)}() = T e t F (t)dt e T. Aplicar ete reultado a la función 4-periódica tal que, t < 2 f(t), 2 t < 4. Calcular L{F (t)} i F (t) = ent, 2kπ < t < (2k + )π, F (t) =, (2k + )π t (2k + 2)π, k =,, 2,.... Demotrar que L{F (t)} = + ( )e π 2, donde + F (t) = { cot, < t < π ent, t > π. 2. (a) Demotrar que L{en 5 t} = 2 ( 2 + )( 2 + 9)( 2 + 25). (b) Calcular también L{en 3 t} podría llegar a un reultado correpondiente para L{en 2n t}, iendo n =, 2,...? Jutificar. 38

3. (a) Hallar L{F ε (t)}, donde F ε (t) e la funciónn definida por (b) Demotrar que lim ε L{F ε (t)} =. F ε = { (c) E el reultado en (b) el mimo que L { /ε, t ε, t > ε lim F ε(t) ε 4. Si L{F (t)}() = f(), (Re() > β). Demotrar que {( (a) L t dt) d n } ( F (t) () = d ) n d f() {( ) d n } ( (b) L dt t F (t) () = d) d n f() {( (c) L e t d dt k =,,, n }? ) n F (t)} () = ( ) ( 2) ( n)f( n), iempre que F (k) () =, para 39