PROGRAMACIÓN NO LINEAL Conceptos generales INTRODUCCIÓN Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones Función objetivo y funciones de restricción son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal de una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar x = ( x 1,x 2,...x n ) para maximizar f(x), sujeta a: g(x) b i, para i= 1, 2,3...m y x 0 en donde f(x) y las g(x) son funciones dadas de n variables de decisión. No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa. En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma: Optimizar z = f(x) Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-, ). Si la búsqueda se circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimización no lineal restringida y se transforma a optimizar z = f(x) con la condición a x b. Optimización no lineal multivariable Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir: Optimizar z = f(x) donde X = [x1, x2,..., xn]t Si existen las restricciones Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable restringido. Ejemplo Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 km. al Este,400 Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al norte) respecto de A. La posición de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima. sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A. Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias
No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal in restricciones. Veamos ahora algunos casos de programación no lineal comunes de encontrar: PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa Matemático en el cual cada restricción g i es lineal pero el objetivo es cuadrático se Conoce como programa cuadrático, es decir f(x 1,x 2,..,x n ) = S i=1,ns j=1,n cijxixj + S i=1,nd i x i Ejemplo Minimizar z = x 1 2 +X 22 Con las condiciones x 1 - x 2 = 3 X 2 3 Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c 11 = 1; c 12 = c 21 = 0; c 22 = 1 y d 1 = d 2 = 0. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE -CONDICIONES KUNH TUCKER MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente: max(o min) z= f(x 1,x 2,...x n..) s.a g 1 ( x 1,x 2,...x n..)= b 1 g 2 ( x 1,x 2,...x n..)= b 2 g m ( x 1,x 2,...x n..)= b m para resolverlo, asociamos un multiplicadorl 1 con la i-esima restricción y fórmamos el lagrangiano.
TÉCNICA DEL GRADIENTE UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD TÉCNICAS DE GRADIENTE. En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial dado, en la dirección del aumento más rápido maximización) de la función. Está técnica se conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto es lo que indica la tasa más rápida de aumento. MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. Una desventaja de utilizar la condición necesaria f(x)= 0 para determinar puntos estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se presenta en este contexto, realmente es parte de los métodos conocidos como métodos de gradiente para optimizar numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas. f i (X) =0, i=1, 2,..., m sex k un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor f i (X)= f i (X k ) + f i (X k ) (X-X k ), i= 1, 2,..., m Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por f i (X k ) + f i (X k ) (X-X k ) = 0, i= 1, 2,..., m Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como A k + B k (X - X k ) = 0 Bajo la hipótesis de que todas las f i (X) son independientes B k necesariamente es no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = X k -B k-1 Ak La idea del método es comenzar desde un punto inicial X 0. Utilizando la ecuación anterior, siempre puede determinarse un nuevo punto X k+1 a partir de X k. El procedimiento finaliza con X m como la solución cuando X m = X m-1.
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN TALLER En los siguientes ejercicios identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores b. La población de clientes y su tamaño c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas d. El proceso y la disciplina de colas e. Proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo - servicio 1. La división de mantenimiento de las Empresas Públicas de Neiva está tratando de decidir cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicios de acuerdo con una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos. 2. El gerente del Supermercado La Sexta desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución exponencial. 3. El portaaviones de Aires tiene un complemento de 80 aviones. Después de operaciones de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, dos a la vez. El recorrido en elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos y se necesitan diez segundos para cargar y descargar una aeronave del elevador. Los elevadores llegan al elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos.
FUENTES DOCUMENTALES UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD BIBLIOGRAFÍA Álvarez A. Jorge Investigación de Operaciones. Programación Lineal. Editorial. U.N.I.Lima 1995. Prawda W. Juan Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Tomo I: Modelos Deterministicos. Editorial Limusa. Quinta Edición. México 2001. TahaHamdy A. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Editorial Prentice Hall. Séptima Edición. México 2000. Instituto Tecnológico de Introducción a la Investigación de Operaciones. Sonora, México. Abril 2007 Programa Nacional de TIC, Capítulo 8: Programación Lineal. Ministerio de Educación y Ciencia, España. Set. 2007 Dr. Ing. Franco Bellini M, Curso de Investigación de Operaciones. Universidad Santa Maria. Caracas Venezuela. Ago.2005