Bloque A SEPTIEMBRE 008.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máimo de 7 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo Cuánto es el coste de la solución óptima?.- Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las de la noche viene dado por la función: S (t) = 660 3t + 7t t 3 donde t indica las horas transcurridas desde las en punto de la mañana. a) A qué hora tiene máima y mínima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las de la noche? Qué porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas de máima y mínima audiencia? b) Dibuja la gráfica de la función S (t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las de la noche. 3.- En una encuesta se pregunta a 0000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo semanal de refrescos, encontrándose una media muestral de 5 refrescos. Se supone una desviación típica de la población de σ = refrescos. a) Halla el intervalo de confianza para el consumo medio semanal de refrescos en toda la población de estudiantes de Bachillerato, con un nivel de confianza del 80 %. b) Si aceptamos un error máimo de ± 0,5 refrescos para la estimación de la media poblacional con un nivel de confianza del 80 %, a cuántas personas es necesario entrevistar? 4.- En una reunión hay 7 personas de las que 4 son médicos y 3 abogados. Si elegimos dos personas de la reunión al azar, cuál es la probabilidad de que uno sea médico y otro abogado? Bloque B.- Sea la matriz A = 5 4. 4 4 a) Prueba que A A + I = 0 donde I es la matriz identidad y 0 es una matriz con todos sus elementos iguales a 0. b) Calcula A 3..- Dada la función f () = se pide: a) Representa la función f (). b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f () en el punto =. c) Halla el área limitada por la recta y = 4 + 4 y la parte positiva de los ejes de coordenadas. Dpto. Matemáticas / 0 IES Ramón Olleros
3.- En cierta población, un 0 % de los trabajadores trabaja en la agricultura, un 5 % en la industria y el resto en el sector servicios. Un 63 % de los que trabajan en la agricultura son mayores de 45 años, siendo el porcentaje de mayores de 45 años del 38 % y el 44 % en los otros sectores respectivamente. a) Seleccionado un trabajador al azar, qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años? b) Si sabemos que un trabajador en mayor de 45 años, qué probabilidad hay de que proceda de la agricultura? 4.- El 0 % de las personas tiene miedo a las arañas, el 30 % a las ratas y el 8 % a las dos, cuál es la probabilidad de que una persona no tenga miedo a ninguna de las dos? Dpto. Matemáticas / 0 IES Ramón Olleros
Bloque A SOLUCIONES.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máimo de 7 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo Cuánto es el coste de la solución óptima? Se trata de un problema de programación lineal. Sean e y, respectivamente, el número de camiones de agua potable y de medicinas que la ONG envía en el convoy. A partir de los datos del problema podemos plantear las siguientes restricciones: + y 7 y La función que nos da los costes viene dada por F (, y) = 9000 + 6000y. Representemos la región factible: Los vértices de esta región son: A = (, 5) B = (, 6) C = (8, 9) Veamos en cual de ellos se presenta el coste mínimo: F (, 5) = 9000 + 6000 5 = 98000 F (, 6) = 9000 + 6000 6 = 44000 F (8, 9) = 9000 8 + 6000 9 = 6000 Por tanto, el coste mínimo se presenta cuando se flotan camiones para agua potable y 6 camiones para medicinas. Dicho coste mínimo es de 44000..- Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las de la noche viene dado por la función: S (t) = 660 3t + 7t t 3 donde t indica las horas transcurridas desde las en punto de la mañana. a) A qué hora tiene máima y mínima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las de la noche? Qué porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas de máima y mínima audiencia? b) Dibuja la gráfica de la función S (t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las de la noche. Dpto. Matemáticas 3 / 0 IES Ramón Olleros
a) Para calcular los máimos y mínimos de audiencia, debemos estudiar la derivada de S (t): S (t) = 660 3t + 7t t 3 S (t) = 3 + 54t 3t Los etremos relativos de la función se alcanzan en los puntos singulares de la misma, que son las soluciones de la ecuación S (t) = 0: S (t) = 0 3 + 54t 3t = 0 t = 7 y t = Veamos qué tipo de etremo se presenta en esos puntos. Para ello estudiemos el signo de S (t) en ellos: S (t) = 54 6t S (7) = > 0 y S () = < 0 Por tanto, en t = 7, es decir, a las siete de la tarde la audiencia es mínima y en t =, es decir, a las de la noche la audiencia es máima. El porcentaje de ciudadanos que ven la cadena de TV a esas horas de máima y mínima audiencia es: S (7) = 660 3 7 + 7 7 7 3 = 660 67 + 33 343 = 3 % S () = 660 3 + 7 3 = 660 54 + 367 33 = 55 % Nota: Obsérvese que las audiencias al principio (6 de la tarde) y al final ( de la noche) no son ni máimas ni mínimas: S (6) = 660 3 6 + 7 6 6 3 = 660 380 + 97 6 = 3 % S () = 660 3 + 7 3 = 660 77 + 3888 78 = 48 % b) Para dibujar la gráfica de S (t), observemos que como para t = 7, S (t) tiene un mínimo, a su izquierda será decreciente y a su derecha creciente. De igual modo, al haber un máimo en t =, a la izquierda del mismo S (t) será creciente y a su derecha decreciente. Con esto, tenemos que la gráfica de la función S (t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las de la noche es: 3.- En una encuesta se pregunta a 0000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo semanal de refrescos, encontrándose una media muestral de 5 refrescos. Se supone una desviación típica de la población de σ = refrescos. a) Halla el intervalo de confianza para el consumo medio semanal de refrescos en toda la población de estudiantes de Bachillerato, con un nivel de confianza del 80 %. b) Si aceptamos un error máimo de ± 0,5 refrescos para la estimación de la media poblacional con un nivel de confianza del 80 %, a cuántas personas es necesario entrevistar? Dpto. Matemáticas 4 / 0 IES Ramón Olleros
σ σ a) El intervalo de confianza pedido será de la forma zα/, + zα/, en el que = 5, n n n = 0000, σ =, y para una confianza del 80 % le corresponde un z α / =,8. Así pues: σ I = zα/, + zα/ n σ n = (5,8 0000, 5 +,8 ) = (3,7; 6,3) 0000 σ b) El error admitido, E, viene dado por E = z α/, siendo σ la desviación típica poblacional, n n el tamaño muestral y z α/ el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza α. En nuestro caso, para una confianza del 80 %, z α/ =,8. Como además tenemos que σ = y el error E ha de ser menor que ± 0,5, se tendrá:,8 n < 0,5 n > 0,4 n > 04,8576 Por tanto, el tamaño muestral debe ser n 05 estudiantes. 4.- En una reunión hay 7 personas de las que 4 son médicos y 3 abogados. Si elegimos dos personas de la reunión al azar, cuál es la probabilidad de que uno sea médico y otro abogado? Este problema se puede resolver utilizando el siguiente diagrama de árbol, donde por M representamos la elección de un médico y por A la elección de un abogado: 4/7 3/7 M A 3/6 3/6 4/6 /6 M A M A Entonces, se tiene que: 4 3 3 4 4 4 P ( médico y abogado) = P (M A) + P (A M) = + = + = = = 0,574 7 6 7 6 4 4 4 7 Otra forma de hacer este problema sería utilizando la combinatoria. Las distintas maneras de elegir de entre las 7 personas un grupo de vienen dadas por las combinaciones simples de 7 en grupos de, C 7, ya que el orden en que elijamos a las personas no importa y además estas no se pueden repetir. Esto es: 7 7! 7! C 7 = = = =! (7 )!! 5! Dpto. Matemáticas 5 / 0 IES Ramón Olleros
Por otra parte, el número de grupos de dos personas en las uno sea médico y otro abogado, viene dado por: C 4 C = 4 3 = 3 ya que el número de formas de elegir un médico entre 4 viene dado por C, y el número de formas de elegir un abogado entre 3 viene dado por C 3 P ( médico y abogado) =. Así, la probabilidad pedida es: C C 4 C7 3 = = 0,574 4 Dpto. Matemáticas 6 / 0 IES Ramón Olleros
Bloque B.- Sea la matriz A = 5 4. 4 4 a) Prueba que A A + I = 0 donde I es la matriz identidad y 0 es una matriz con todos sus elementos iguales a 0. b) Calcula A 3. a) A = 5 4 5 4 = 9 8 4 4 3 4 4 4 4 8 8 3 A = 0 8 4 4 8 8 A A + I = 9 8 4 4 3 0 8 4 4 + 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 8 8 3 8 8 0 0 0 0 0 b) A 3 = A A = 9 8 4 4 3 8 8 3 5 4 4 4 = 3 6 6 5 3 5.- Dada la función f () = se pide: a) Representa la función f (). b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f () en el punto =. c) Halla el área limitada por la recta y = 4 + 4 y la parte positiva de los ejes de coordenadas. a) Para representar la función f () =, estudiemos sus características. En primer lugar tenemos que Dom f () = {0}. Veamos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para ello estudiemos f (): f () = f () es negativa siempre f () es decreciente en todo su dominio Además, de su derivada primera se deduce fácilmente que f () no presenta ni máimos ni mínimos relativos, pues la ecuación f () = 0 no tiene soluciones. Por otra parte, se comprueba fácilmente que las asíntotas de la función son las rectas = 0 e y = 0, pues: Dpto. Matemáticas 7 / 0 IES Ramón Olleros
= + = y Lim = + Lim 0 0 Lim 0 Con los datos anteriores se puede ya dibujar la gráfica de f () (en rojo): b) La ecuación de la recta tangente a la curva f () en el punto = viene dada por: y f = f Como: f = / = y f = = 4 (/ ) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f () en = es: y = 4 y = 4 + 4 (en azul en la gráfica anterior) c) El área que nos piden está rayada en azul en la gráfica anterior. Los puntos de corte de la recta y = 4 + 4 (tangente a la gráfica de f () = en el punto = ) con la parte positiva de los ejes de coordenadas son: Eje OY ( = 0): y = 0 + 4 y = 4 Eje OX (y = 0): 0 = 4 + 4 = Entonces, el área pedida viene dada por: Área = ( 4 + 4) d = 0 + 4 0 = ( + 4) (0 + 0) = u Nota: Dicho área también se puede calcular de una manera más sencilla observando que la figura rayada es un triángulo rectángulo de base y altura 4. Base Altura 4 Área = = = u Dpto. Matemáticas 8 / 0 IES Ramón Olleros
3.- En cierta población, un 0 % de los trabajadores trabaja en la agricultura, un 5 % en la industria y el resto en el sector servicios. Un 63 % de los que trabajan en la agricultura son mayores de 45 años, siendo el porcentaje de mayores de 45 años del 38 % y el 44 % en los otros sectores respectivamente. a) Seleccionado un trabajador al azar, qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años? b) Si sabemos que un trabajador en mayor de 45 años, qué probabilidad hay de que proceda de la agricultura? a) Consideremos los siguientes sucesos: A = Trabajador dedicado a la agricultura I = Trabajador dedicado a la industria S = Trabajador dedicado al sector servicios > 45 = Ser mayor de 45 años 45 = Tener 45 o menos años Para resolver el problema podemos confeccionar el siguiente diagrama de árbol: Con esto: 0,0 0,55 0,5 A I S 0,63 0,37 0,38 0,6 0,44 0,56 > 45 45 > 45 45 > 45 45 P ( 45) = P (A) P ( 45 / A) + P (I) P ( 45 / I) + P (S) P ( 45 / S) = = 0,0 0,37 + 0,5 0,6 + 0,55 0,56 = 0,537 b) P (A / > 45) = PA ( > 45) PA ( ) P( > 45/ A) 0,0 0,63 0,6 = = = 0, 7 P( > 45) P( 45) 0, 463 0, 463 4.- El 0 % de las personas tiene miedo a las arañas, el 30 % a las ratas y el 8 % a las dos, cuál es la probabilidad de que una persona no tenga miedo a ninguna de las dos? Consideremos los siguientes sucesos: MA = Tener miedo a las arañas MR = Tener miedo a las ratas Según los datos del problema sabemos que: P (MA) = 0, P (MR) = 0,3 P (MA MR) = 0,08 Dpto. Matemáticas 9 / 0 IES Ramón Olleros
Lo que nos piden es la probabilidad de que una persona no tenga miedo a ninguna de las dos, es decir, P ( MA MR ). Procedamos a su cálculo, haciendo uso de las leyes de De Morgan: P ( MA MR ) = P ( MA MR) = P (MA MR) = [P (MA) + P (MR) P (MA MR)] = = [0, + 0,3 0,08] = 0,3 = 0,68 Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de diagramas de Venn. Si suponemos una población de 00 personas, el número de ellas que tienen miedo a las arañas y a las ratas a la vez es 8. Por tanto el número de personas que sólo tienen miedo a las arañas es 0 8 =. De igual modo, el número de ellas que sólo tienen miedo a las ratas es 30 8 =. Por tanto, el número total de personas que tienen miedo a las arañas, a las ratas o a las dos es: + 8 + = 3 Por tanto, el número de personas que no tienen miedo a ninguna es: 00 3 = 68 Es decir, el 68 % no tiene miedo a nada. Entonces, la probabilidad de que una persona no tenga miedo a ninguna de las dos es 0,68. Dpto. Matemáticas 0 / 0 IES Ramón Olleros