UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA UNIDAD III. HIDROCINEMÁTICA Introducción. La hidrocinemática o cinemática de los líquidos se ocupa del estudio de las partículas que integran el campo de flujo de un fluido, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan sobre el fluido. Para el estudio del movimiento de las partículas se requiere del conocimiento de algunas magnitudes cinemáticas de las mismas como la velocidad aceleración. En este curso nos ocuparemos del estudio de la velocidad aceleración únicamente, para ello es necesario definir algunos conceptos como: campo o región de flujo, traectoria, línea de corriente, superficie de flujo vena fluida. Campo o región de flujo: es cualquier región en el espacio donde ha un fluido en movimiento, con la única condición de que la región o subregión de flujo debe quedar íntegramente ocupada por el fluido. En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, a sea escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes, o dependientes dentro del flujo. Como ejemplo de campos escalares se puede mencionar la presión, densidad temperatura; como campos vectoriales se clasifican la velocidad, la aceleración la rotación; mientras que como campos tensoriales podemos mencionar el esfuerzo, deformación unitaria momento de inercia. Las magnitudes físicas de los campos escalares vectoriales de un campo de flujo son funciones de punto de tiempo, a que su magnitud puede variar no sólo de un punto a otro, sino también (en un punto fijo) de un instante a otro. 3.1. Velocidad aceleración Campo de velocidades El análisis del movimiento de una partícula de fluido que recorre una curva se puede hacer de dos maneras diferentes; a) por el conocimiento del vector posición r, de la partícula, como una función vectorial del tiempo t.
b) por el conocimiento de la curva que recorre la partícula la función caminorecorrido. En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto origen), como una función escalar del tiempo. El vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez temporal del cambio en su posición. Si se considera el seguimiento del vector de posición sobre una curva determinada, entonces la velocidad queda definida por: dr v = (3.1) donde dr representa el vector diferencial de arco sobre la curva, que recorre la partícula en el tiempo. La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un campo de flujo, al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto de la misma que, en general, depende de la posición de la partícula del tiempo: v = v( r, t) La velocidad, en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados elegidos, se puede escribir; v = v i + v j v k (3.2) x + z Entonces dichas componentes de la velocidad son también funciones de la posición de la partícula del tiempo: v v v dx = vx ( x, t) (3.3) x = d = v (, t) (3.4) = dz = vz ( z, t) (3.5) z = Puesto que la magnitud del vector dr es dr dr = = ds
dr dr = = ds donde ds es el elementos diferencial de arco sobre la traectoria, resulta que la magnitud de la velocidad es 2 2 2 ds dx d dz v = = + + (3.6) Campo de aceleraciones El campo vectorial de aceleraciones es derivado del de velocidades, a que el vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto, esto es; dv a = (3.7) de acuerdo con las derivadas parciales considerando cada una de las componentes del vector velocidad, tenemos; dvx x x x x ax = = vx + v + vz + (3.8) x z dv a = = + + + vx v vz (3.9) x z dvz z z z z az = = vx + v + vz + (3.10) x z como puede observar son función de punto tiempo. La aceleración de las partículas de fluido pueden considerarse como la superposición de dos efectos: a) En el instante t, se supone que el campo es independiente del tiempo; en estas circunstancias la partícula cambiará de posición en ese campo su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleración debida a cambio de posición, se llama convectiva, está dada por las expresiones contenidas en los primeros paréntesis de las ecuaciones anteriores.
b) b) En el término del segundo paréntesis de las ecuaciones anteriores, la aceleración no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la variación de la velocidad en la posición ocupada por la partícula al transcurrir el tiempo. A esta aceleración se le llama aceleración local. 3.2. Clasificación de los flujos Existen diferentes criterios para clasificar los flujos: Los flujos pueden ser permanentes o no permanentes; uniformes o no uniformes, tridimensional, bidimensional o unidimensional; laminar o turbulento; incomprensible o compresible; rotacional o irrotacional; etc. a) Si existen variaciones en el tiempo Flujo permanente: en este tipo de flujo las propiedades físicas de un fluido como la densidad la viscosidad, las características del movimiento como presión, velocidad esfuerzo tangencial, permanecen constantes en el transcurso del tiempo o bien si las variaciones son mu pequeñas con respecto a sus valores medios éstos no varían con el tiempo. τ μ etc Flujo no permanente: es todo lo contrario al flujo permanente. b) Si existen variaciones en el espacio Flujo uniforme: Si en un instante particular el vector velocidad es idéntico en cualquier punto del flujo, se dice que el flujo es uniforme. En general, puede expresarse como que las propiedades físicas del fluido las características de movimiento del mismo, permanecen constantes a lo largo de la traectoria de movimiento de una partícula de fluido. x x τ x μ x etc Flujo no uniforme: si las características del movimiento de las partículas del fluido las propiedades físicas del mismo varían de una posición a otra. c) De acuerdo con las componentes del vector velocidad Flujo tridimensional: es aquel que varía en el espacio, o sea que los gradientes de flujo existen en las tres direcciones de un plano cartesiano.
dv = + + ds x z coordenados. si ds representa el cambio en el espacio en sus tres ejes Flujo bidimensional: en este las componentes del vector velocidad se presentan en dos ejes en una familia de planos, no habiendo componente en la dirección perpendicular a dicho plano. dv ds = + x z = 0 Flujo unidimensional: es el flujo que se presenta en una sola dirección, siendo las traectorias de las partículas paralelas entre sí, por lo que, el vector velocidad se puede representar con una sola componente, siendo esta el mismo vector velocidad. r v = v d) De acuerdo a la existencia de variación en la densidad del fluido. Flujo incompresible: En este tipo de flujo la densidad de las partículas que constituen el fluido mantienen constante su densidad a través del tiempo el espacio. Esto es: = 0 ; = 0 s ; s es la variación en el espacio. Flujo compresible: es el flujo con características contrarias a las del flujo incompresible. 0 ; 0 s e) Considerando la viscosidad del fluido Flujo real: en este caso, se considera que la viscosidad del fluido en movimiento es maor que cero, generando esfuerzos cortantes entres sus partículas respecto a las fronteras del mismo. μ > 0 ; τ > 0 ; Flujo ideal: para que un flujo sea ideal se debe considerar que la viscosidad del fluido en movimiento es igual a cero o prácticamente despreciable. En el caso de un fluido teórico se considera que la viscosidad es nula μ = 0 τ = 0 ; del mismo
modo se puede presentar el caso de un fluido real pero fuera del alcance del efecto friccionante provocado por el contacto entre el fluido las fronteras que limitan el campo de flujo. se generan vórtices por las irregularidades de la pared zonas sin fricción zonas de fricción (velocidad variable) Figura 3.1.- Efecto de la viscosidad del fluido sobre un líquido. f) Considerando la turbulencia del flujo La turbulencia de un flujo se define como el estado de agitación de las partículas del fluido en movimiento. La turbulencia es un resultado propiamente de la viscosidad del fluido se mide de acuerdo con una clasificación establecida por Renolds (conocida como número de Renold). De acuerdo con el número de Renolds los flujos se clasifican en: Flujo laminar: este flujo se caracteriza porque el movimiento de las partículas se produce siguiendo traectorias separadas perfectamente definidas, no necesariamente paralelas, sin existir mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. En tuberías trabajando completamente llenas 0 < Re < 2320. Figura 3.2.- Esquema de flujo laminar Flujo transitorio: en este tipo de flujo la traectoria de las partículas se ondulan, sin llegar a presentarse el efecto de mezclado total. En este caso 2320 < Re < 3000. Flujo turbulento: En este flujo, las partículas se mueven sobre traectorias completamente erráticas, sin seguir un orden establecido; se presenta en flujos con grandes velocidades se puede reconocer fácilmente por la gran irregularidad del movimiento. De acuerdo con el número de Renolds Re>3000.
Figura 3.3.- Esquema de flujo turbulento Métodos para describir un flujo Con el fin de obtener la representación completa de un flujo, es necesario determinar la posición de cada partícula en cada instante después encontrar la velocidad en cada posición, a medida que el tiempo transcurre. Para estudiar el movimiento de las partículas se utilizan dos métodos: el método euleriano o local el método lagrangiano o molecular. Método euleriano: consiste en determinar las características cinemáticas en cada punto de un flujo en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada partícula individual. Una vez elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber: v=v(r,t) Método lagrangiano: Consiste en determinar las características cinemáticas del movimiento de cada partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Una vez identificada una partícula por su posición inicial r 0 (x 0, 0,z 0 ), en el instante t = t 0, en otro instante cualquiera t, la misma partícula se encuentra en la posición r (x,,z). Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición r se determina como función del tiempo t la posición inicial r 0 ; o sea: r=r(r 0,t) 3.3. Líneas de corriente Traectoria: es la línea definida por las posiciones sucesivas de una partícula en el seno de un fluido en movimiento a través del espacio el tiempo.
z t 1 = t 0 + Δt t 0 Traectoria de una partícula x Figura 3.4.- Traectoria de una partícula. Línea de corriente: es toda línea trazada en el interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus puntos, proporciona la dirección del vector velocidad correspondiente al mismo punto. En un flujo permanente, las líneas de corriente coinciden con la traectoria de una partícula. Línea de corriente Figura 3.5.- Representación gráfica de una línea de corriente Estas condiciones corresponden a un flujo no permanente en un instante particular; al cambiar de un tiempo a otro, la configuración de las líneas de corriente será distinta. Desde el punto de vista euleriano se obtiene una serie de líneas de corriente dentro de un flujo para diferentes instantes. De la definición de línea de corriente, el vector diferencial de arco (ds) el vector velocidad son paralelos, de manera que de la ecuación (3.6), puede escribirse: ds = v (3.11) esta ecuación representa la ecuación de la línea de corriente. En términos de sus componentes es: dx = v d = v dz = v x z o bien para el instante t 0 considerado, se pueden escribir de la manera siguiente:
dx d dz = = (3.12) vx ( x,, z, t0 ) v ( x,, z, t0 ) vz ( x,, z, t0 ) que forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Superficie de flujo: es el espacio geométrico definido por las fronteras de un escurrimiento, satisface la condición de que ninguna partícula pueda pasar a través de ella. El vector velocidad de las partículas que integran esta superficie, forman una tangente con dicha superficie. Si la superficie de flujo es cerrada adquiere el nombre de tubo de flujo. Superficie de flujo o corriente Figura 3.6.- Representación gráfica de una superficie de flujo o corriente. Vena fluida: es el volumen encerrado por una superficie de corriente o flujo. 3.4. Concepto de gasto o caudal En un intervalo, el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie da queda determinado por el producto escalar de los vectores: el diferencial de arco ds sobre la línea de corriente que pasa por un punto determinado, el vector diferencial de superficie da. Considerando entonces que ds = v, el volumen de fluido que pasa a través del elemento da vale: dv = ds. da = v. da El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la ecuación: dv Q = = v. da (3.13) A cuas dimensiones son [L 3 T -1 ]. Este flujo de volumen se conoce como gasto o caudal. Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente sean normales a ella en cada punto, de la ecuación (3.11) el gasto se puede calcular de la siguiente manera:
Q = v. da (3.14) A Al promedio de la velocidad que pasa a través de la superficie S de área A, se conoce como velocidad media, se calcula de la siguiente manera: V A =. v da = A Q A (3.15) equivale a suponer que la velocidad se distribue uniformemente sobre toda la superficie, con un valor constante V en dirección perpendicular a la misma. da ds v Figura 3.6.- Deducción del gasto o caudal