MÁUINAS SECUENCIALES 1. Máuinas secuenciales. Definición. 2. Máuina de Mealy. 3. Máuina de Mooe. 4. Repesentación de MS 1. Dos Tablas 2. Una sola tabla 3. Diagamas de tansición 5. Extensión a palabas. 6. MS Mooe euivalente a una MS Mealy. 7. Euivalencia de máuinas secuenciales. 8. Minimización de MS TALF. Tema 4 nº 1
1. MÁUINA SECUENCIAL. DEFINICIÓN. Se define mediante la uíntupla M = { E, S,, f, g} donde: E : alfabeto de entada. S : alfabeto de salida. : Conjunto finito no vacío de estados f : Función de tansición f : x E, f (,a) = g : Función de salida Es una máuina abstacta capaz de adopta distintos estados del conjunto. ecibi infomación del entono, palabas E actua sobe el entono, palabas S el tiempo está cuantificado, en un instante t : solo puede esta en un estado ecibi un estímulo, símbolo E genea una salida, símbolo S conocida la entada y el estado actual se puede pedeci la salida y el estado siguiente TALF. Tema 4 nº 2
1. MÁUINA SECUENCIAL. DEFINICIÓN. Cómo pocesa entadas una MS? La entada es un conjunto de símbolos tomados del alfabeto de entada E, no hay límite en tamaño de la cadena. Existe un punteo ue en cada momento apunta a una posición de la cadena de entada. El autómata está siempe en un estado de, inicialmente se encuenta en el estado 0. a a a b a b a c c... b 0 TALF. Tema 4 nº 3
1. MÁUINA SECUENCIAL. DEFINICIÓN. Cómo pocesa entadas una MS? En cada paso el autómata lee un símbolo de la entada y según el estado en el ue se encuente, cambia de estado (f); genea la salida coespondiente a ese instante y pasa a lee oto símbolo. a a a b a b a c c... b 03 2i 0 1 1 1 0 1 1 0 1... 1 Así sucesivamente hasta ue se teminen de lee todos los símbolos de la cadena de entada. En ese momento el autómata está en un estado i de, y ha geneado la cadena en la cinta de salida. TALF. Tema 4 nº 4
2. MÁUINA DE MEALY Se define po la uíntupla M = { E, S,, f, g} donde: E : alfabeto de entada. S : alfabeto de salida. : Conjunto finito no vacío de estados f : Función de tansición f : x E, f (,a) = / a E, g : Función de salida g : x E S, g (,a) = b / a E, b S TALF. Tema 4 nº 5
3. MÁUINA DE MOORE Se define po la uíntupla M = { E, S,, f, g} donde: E : alfabeto de entada. S : alfabeto de salida. : Conjunto finito no vacío de estados f : Función de tansición f : x E, f (,a) = / a E, g : Función de salida f : S, g () = b / b S TALF. Tema 4 nº 6
Compaación MS MS de Mealy MS de Mooe g : x E S g (, a) = b g : S g () = b Velocidad de tansmisión de la infomación dento de la MS Infinita, la salida solo depende de la entada. Finita, la salida depende solo del estado. MS de Mooe; caso paticula de MS de Mealy. TALF. Tema 4 nº 7
4. REPRESENTACIÓN DE LAS MS Las máuinas secuenciales pueden epesentase po: 1. Dos tablas: Tabla de tansiciones, tabla de f Tabla de doble entada Tabla de salidas, tabla de g MS de Mealy: Tabla de doble entada MS de Mooe: Tabla de simple entada 2. Una sola tabla de tansiciones y de salidas, tabla de f y g MS de Mealy: entada de la tabla f(,a)/s MS de Mooe: entada de la tabla f(,a) 3. Diagamas de Tansición TALF. Tema 4 nº 8
4.1. Dos tablas: TABLAS DE TRANSICIÓN Y DE SALIDA Las funciones de tansición (f) son las encagadas de diigi a la máuina secuencial de un estado a oto. La estuctua es la misma paa las máuinas de Mealy y Mooe: Filas: estados posibles de la máuina, i Columnas: símbolos del alfabeto de entada,a m E f E a 1. a m 1 i. n Tabla de Tansición f (, a) = TALF. Tema 4 nº 9
4.1. Dos tablas: TABLAS DE TRANSICIÓN Y DE SALIDA Las funciones de salida (g) se encagan de selecciona la salida coespondiente paa cada máuina secuencial: En función del estado actual y la entada ue se eciba, en el caso de la máuina de Mealy. Filas: estados posibles de la máuina, i Columnas: símbolos del alfabeto de entada,a m E En función del estado en ue se encuenten, en el caso de la máuina de Mooe. Filas: estados posibles de la máuina, i E a 1. a m S 1 b i 1 b i. n n Tabla de Salida g (, a) = b Máuina de Mealy Tabla de Salida g () = b Máuina de Mooe TALF. Tema 4 nº 10
4.1. TABLAS DE TRANSICIÓN Y DE SALIDA. Ejemplo. Ejemplo: Obtene la tabla de tansición y de salida paa las funciones de tansición y de salida, espectivamente, de la siguiente máuina de Mealy: f(,a)= g(, a)=0 f(,b)= g(, b)=1 f(,a)= g(, a)=0 f(,b)= g(, b)=1 Ejemplo: Obtene la tabla de tansición y de salida paa las funciones de tansición y de salida, espectivamente, de la siguiente máuina de Mooe: f(,a)= g()=0 f(,b)= f(,a)= g()=1 f(,b)= f f E E a a b b g g E S a 0 0 0 1 b 1 1 TALF. Tema 4 nº 11
4.2. Una sola tabla: TRANSICIÓN Y DE SALIDA Filas: estados posibles de la máuina, i Columnas: símbolos del alfabeto de entada,a m E f,g f,g E a 1. a m E a 1. a m 1 k /b i 1 /b i i.. n n /b k MS de Mealy f (, a) = g (, a) = b MS de Mooe f (, a) = g () = b TALF. Tema 4 nº 12
4.3. DIAGRAMA DE TRANSICIÓN Una MS puede se epesentada a tavés de un gafo diigido. 1. Máuina secuencial de Mealy Las máuinas de Mealy tienen tantos estados como elementos tiene el conjunto y son etiuetados con el nombe de dicho elemento. Los cambios de estados se eflejan mediante una ama, de foma ue si f(,1)=, dibujaemos una ama desde hasta. Si además g(,1)=0, etiuetaemos dicha ama como 1/0. Ejemplo: Diseña el diagama de tansición asociado a la máuina de Mealy definida en el ejemplo del apatado anteio. 2. Máuina secuencial de Mooe Las máuinas de Mooe tienen tantos estados como elementos tiene el conjunto y son etiuetados con el nombe de dicho elemento. Los cambios de estados se eflejan mediante una ama, de foma ue si f(,1)=,dibujaemos una ama desde hasta etiuetada con 1. Si además g(,1)=0, etiuetaemos el estado como /0. Ejemplo: Diseña el diagama de tansición asociado a la máuina de Mooe definida en el ejemplo del apatado anteio. TALF. Tema 4 nº 13
4. Ejemplo. MÁUINA DE MEALY Dos Tablas: f E a b g E a b f(, a) = g(, a) = 0 f(, b) = g(, b) = 1 f(, a) = g(, a) = 0 f(, b) = g(, b) = 1 0 0 1 1 Una Tabla f y g: f, g E a /0 b /1 /0 /1 Diagamas de tansición. a/0 b/1 a/0 b/1 TALF. Tema 4 nº 14
4. Ejemplo. MÁUINA DE MOORE Dos Tablas: f(, a) = g() = 0 f(, b) = f(, a) = g() = 1 f(, b) = f E a b g S 0 1 Una Tabla f y g: f, g E /0 a b /1 Diagamas de tansición. a b /0 /1 b a TALF. Tema 4 nº 15
5. EXTENSIÓN A PALABRAS. MÁUINA DE MEALY Extensión a palabas: Ampliación de la definición de f y g paa ue en luga de aplicase sobe letas de los alfabetos E y S actúen sobe palabas de E y de S se define la función de tansición y la de salida asociada a palabas como las funciones: f: E* g: E* S * Paa tata palabas hay ue añadi: f(,λ)=, g(,λ)=λ, f(,a)=f(f(,a),) g(,a)= g(,a)g(f(,a),) E * a E y TALF. Tema 4 nº 16
5. EXTENSIÓN A PALABRAS. MÁUINA DE MOORE Extensión a palabas: Ampliación de la definición de f y g paa ue en luga de aplicase sobe letas de los alfabetos E y S actúen sobe palabas de E y de S se define la función de tansición y la de salida asociada a palabas como las funciones: f: E* g : E* S * con g: S Paa tata palabas hay ue añadi: f(,λ)=, g (,λ)=λ, f(,a)=f(f(,a),) g(,a)= g(,a)g (f(,a),) E * a E y TALF. Tema 4 nº 17
5. EXTENSIÓN A PALABRAS. FUNCIÓN RESPUESTA. Con El objetivo de unifica los dos tipos de MS se define la función espuesta a pati de las funciones de salida: h(,x),, x E * MS de Mealy: g (,x) MS de Mooe: g (,x) Teoemas h(,x) = x, x * E f (, xy) = f (f (, x), y), x,y * E h(,xy)=h(,x) h(f (, x),y), x,y * E TALF. Tema 4 nº 18
5. Máuinas Secuenciales. Definición. Máuina Secuencial; Dispositivo de contol Con acceso a una cinta de entada. Con acceso a una cinta de salida En cada unidad de tiempo puede ealiza una opeación de entada y una de salida sobe un símbolo del alfabeto de entada y de salida El dispositivo puede toma una seie de estados La palaba x E * está en la cinta de entada con la cabeza de lectua sobe el pime símbolo La cinta de salida está vacía con la cabeza de escitua dispuesta a escibi el pime símbolo Sea el estado inicial del dispositivo de contol Al lee la cinta de entada, el dispositivo se paa El estado final seá f (,x) En la cinta de salida estaá gabada la palaba h(,x) TALF. Tema 4 nº 19
5. Simulación algoítmica de una MS Entada: cadena de entada x ue temina con un caácte fin de cadena o fin de achivo (FDC). Salida: cadena de salida y Método: aplica f al estado al cual hay una tansición desde el estado con un caácte de entada c y genea h(,x) Función taduci() = 0 c= lee_caácte() Mientas c!= FDC =f(,c) s=h(,c) // escibi esultados(s,.) c= lee_caácte() fmientas ffunción TALF. Tema 4 nº 20
6. MS Mooe euivalente a una MS Mealy Dada M = { E, S,, f, g} siempe se puede defini M MO = { E, S, MO, f MO, g MO } como: MO : dividi cada en tantos s como salidas puedan asociase a MO ={ s /, e E } f(,e)=, g(,e)=s f MO : f MO ( s,e)= [f MO ( s,e)] g(,e) g MO : g MO ( s,e)= g(,e) A cada se le asocia una sola salida, s con la función de salida: u MO : MO S / g MO ( s,e)= u MO (f MO ( s,e)) TALF. Tema 4 nº 21
6. MS Mooe euivalente a una MS Mealy. Ejemplo1. Ejemplo1: detecto de paidad Mealy f, g E 0 1 0/0 1/1 /0 /1 0/1 /1 /0 1/0 Mooe f, g E 0 1 0 1 /0 /0 /1 /1 1 0 TALF. Tema 4 nº 22
6. MS Mooe euivalente a una MS Mealy. Ejemplo2. Ejemplo2: Sumado seie Mealy 00 01 10 11 /0 /1 /1 /0 /1 /0 /0 /1 00/0 01/1 10/1 11/0 00/1 01/0 10/0 11/1 Mooe 00 0 /0 01 10 01 1 /1 10 00 01 10 11 0 /0 0 1 1 0 11 11 00 00 1 /1 0 1 1 0 01 10 0 /0 01, 10 11 1 /1 11 0 /0 1 0 0 1 1 /1 1 0 0 1 TALF. Tema 4 nº 23
7. Euivalencias de máuinas secuenciales. Dadas las mismas palabas de entada genean la misma salida Relaciones de Euivalencia: Euivalencia ente estados Veifica si dos estados de la misma MS son euivalentes: paa todas las entadas, en los estados, estos ealizan lasmismas salidas Definición p, son euivalentes pe si cumplen: h(p,x) = h(,x) x E Lemas 1. Si p,, x E, pe f(p,x)ef(,x) 2. E Euivalencia ente estados de longitud n: pe n Veifica si dos estados de la misma MS son euivalentes en longitud n: paa todas las entadas de longitud n, en los estados, estos ealizan las mismas salidas. Definición p, son euivalentes de longitud n pe n si cumplen: h(p,x) = h(,x) con x =n, x * n TALF. Tema 4 nº 24
7. Euivalencias de máuinas secuenciales. Euivalencia ente Máuinas Secuenciales (M 1 EM 2 ) Veifica si dos Máuinas Secuenciales son euivalentes: paa todas las entadas posibles ealizan las mismas salidas Sean: M 1 =( E, S, 1, f 1, g 1 ), M 2 =( E, S, 2, f 2, g 2 ) h 1, h 2, p 1 y 2 p y son euivalentes, pe si h 1 (p,x)= h 2 (,x) x E * Definición: M 1 EM 2 p 1 M 1 2 M 2 / pe 2 M 2 p 1 M 1 / Ep TALF. Tema 4 nº 25
7. Euivalencias de máuinas secuenciales. Euivalencia de Máuinas Secuenciales Se cumple: pep eflexiva pe Ep simética pe & E pe tansitiva Es una elación de euivalencia se define el conjunto sobe, conjunto cociente /E n La euivalencia ente estados es una elación de euivalencia, luego existe un conjunto, conjunto cociente, /E, de clases de euivalencia, subconjuntos de estados ue paticiona al conjunto de estados en los estados petenecientes a una misma clase. TALF. Tema 4 nº 26
7. Euivalencias de máuinas secuenciales. Algoitmo paa constui el conjunto cociente /E n 1. /E 1 se constuye aplicando la egla: p y están en la misma clase si y solo si h(p,a)=h(,a) a E 2. Sea /E i ={c 1, c 2,..., c j }. /E i+1 se constuye: p y están en la misma clase si y solo si p,c k y a E se veifica ue f (p,a) y f (,a) están en la misma clase c m de /E i+1 3. Si /E i =/E i+1 entonces /E i =/E, en caso contaio aplica el paso 2. patiendo de /E i+1 TALF. Tema 4 nº 27
8. Minimización de Máuinas Secuenciales Dada la MS M=( E, S,, f, g) existe una única MS euivalente mínima (Máuina del conjunto cociente) M m =( E, S, m, f m, g m ) Donde m =/E f m (c,a)=c m si c, f (,a) c m donde c y c m /E h m (c,a)=h (,a) c donde c /E Teoema Ente todas las máuinas euivalentes a una dada existe una única (salvo isomofismos) con el númeo mínimo de estados. Esta máuina no contiene dos estados euivalentes Esta máuina mínima es la del conjunto cociente de la máuina dada TALF. Tema 4 nº 28
8. Minimización de Máuinas Secuenciales. Ejemplo. Ejemplo: M=({0,1},{a,b},{ 0, 1, 2, 3 }, f, g) f 0 1 0 3 2 1 3 1 2 0 1 3 0 2 g 0 1 0 a b 1 a b 2 b a 3 a b 0 0/a 0/a 3 1/b 0/b 1/b 0/a 2 1/a 1/b 1 TALF. Tema 4 nº 29
8. Minimización de Máuinas Secuenciales. Ejemplo. Máuina del conjunto cociente 1. Conjunto inicial /E 1 =({ 0, 1, 3 },{ 2 }) 2. /E i 2.1. /E 2 =({ 0, 3 },{ 1 }, { 2 }) 3. /E 2 /E 1 paso 2 2.2. /E 3 =({ 0, 3 },{ 1 }, { 2 }) 3. /E 3 = /E 2 = /E g 0 1 0 a b 1 a b 2 b a 3 a b f 0 1 0 3 2 1 3 1 2 0 1 3 0 2 TALF. Tema 4 nº 30
8. Minimización de Máuinas Secuenciales. Ejemplo. Máina mínima euivalente: M m =({0,1},{a,b},{c 0,c 1,c 2 },f m,g m ) m =(c 0 ={ 0, 3 }, c 1 ={ 1 }, c 2 ={ 2 }) g 0 1 0 a b 1 a b 2 b a 3 a b f 0 1 f m 0 1 c 0 c 0 c 2 c 1 c 0 c 1 c 2 c 0 c 1 g m 0 1 c 0 c 0 a b c 1 a b c 2 b a 0/a 0 3 2 1 3 1 0/b 1/b 0/a 2 0 1 3 0 2 c 2 c 1 1/a 1/b TALF. Tema 4 nº 31