PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 3º ESO (Tercer Trimestre) (Para aumnos de 4º de ESO) NOMBRE: Para aprobar as matemáticas pendientes de cursos anteriores es obigatorio reaizar e pan de recuperación correspondiente teniendo en cuenta o siguiente: E pan de recuperación correspondiente a primer trimestre tendrá como feca ímite de entrega (no prorrogabe) e jueves 09 de Junio. Deberá estar trabajado de principio a fin. Deberá estar eco a ápiz. Deberá estar eco de forma cara, impia y egibe.
OBJETIVO 1 DETERMINAR LAS RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN TRIÁNGULOS NOMBRE: CURSO: ECHA: RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO A Las medianas de un triánguo son as rectas que unen cada uno de os vértices de triánguo con e punto medio de ado opuesto. G Las medianas se cortan en un punto que se ama baricentro. C M B A Las mediatrices de un triánguo son as rectas perpendicuares a os ados que pasan por su punto medio. O Las mediatrices se cortan en un punto que se ama circuncentro. C B Las aturas de un triánguo son as rectas perpendicuares a cada ado que pasan por e vértice opuesto. Las aturas se cortan en un punto que se ama ortocentro. A H C B A Las bisectrices de un triánguo son rectas que dividen cada ánguo en dos partes iguaes. Las bisectrices se cortan en un punto amado incentro. C I B 1 Dibuja as medianas y e baricentro de os siguientes triánguos. Dibuja as mediatrices y e circuncentro de os triánguos. 3 Dibuja as aturas y e ortocentro de os triánguos. 4 Dibuja as bisectrices y e incentro de os siguientes triánguos. 5 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 040-065.indd 5 7/05/10 16:7
OBJETIVO CONOCER Y APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS UNIDAD 8 NOMBRE: CURSO: ECHA: TEOREMA DE PITÁGORAS En un triánguo rectánguo, e ado de mayor ongitud, opuesto a ánguo recto, se ama ipotenusa, y os otros dos ados se denominan catetos. a Hipotenusa " a b Catetos --" b, c c E teorema de Pitágoras expresa que, en un triánguo rectánguo, e cuadrado de a ipotenusa es igua a a suma de os cuadrados de os catetos: a = b + c 1 Cacua e vaor de a ipotenusa de un triánguo rectánguo de catetos y 4 cm. b = 4 cm a a = b + c = + c = Haa a ongitud de a ipotenusa de un triánguo rectánguo, sabiendo que sus catetos se diferencian en cm y e menor mide 6 cm. Cateto a a = + ADAPTACIÓN CURRICULAR Cateto 3 Cacua e área de un triánguo equiátero de ado 6 cm. Para cacuar e área tenemos que conocer a base, que en este caso mide 6 cm, y a atura,, que aamos con e teorema de Pitágoras. 6 cm 6 cm 6 cm Estudiamos este triánguo, que es rectánguo: 6 cm Apicamos e teorema de Pitágoras y despejamos a atura, : 6 = 3 + " = base? atura Cacuamos e área apicando a fórmua genera: Área = = MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 53 0768 _ 040-065.indd 53 7/05/10 16:7
CONOCER Y APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS 4 En un triánguo isóscees, os ados iguaes miden y e otro ado mide 4 cm. Cacua su área. Tomamos e ado desigua como base, b = 4 cm, y cacuamos a atura,, utiizando e teorema de Pitágoras. base = 4 cm Considerando esta parte de triánguo, apicamos e teorema de Pitágoras y despejamos. cm 7 = + = Cacuamos e área apicando a fórmua genera: Área = Área = base? atura 5 La ipotenusa de un triánguo rectánguo mide 1 cm y uno de os catetos mide 7,5 cm. Cacua a ongitud de otro cateto. 6 E área de un triánguo rectánguo es 1 cm y uno de os catetos mide 6 cm. Haa a ongitud de a ipotenusa. 7 Una escaera de 5 metros de argo está apoyada en una pared, estando situada a base a 4 metros de a misma. A qué atura ega a escaera? x 5 m 4 m 54 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 040-065.indd 54 7/05/10 16:7
OBJETIVO 3 CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y IGURAS CIRCULARES UNIDAD 8 NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DE POLÍGONOS Área de triánguo Área de cuadrado Área de rectánguo a b b base? atura b? A = = A =? A = b? a Área de paraeogramo Área de trapecio Área de rombo b b B B b A = b? A = e + o? 1 Cacua e área de os siguientes poígonos. a) Trapecio de bases 1 cm y y atura 5 cm. b) Rombo de diagonaes 1 cm y 9 cm. c) Rombo de diagona mayor y ado 5 cm. d D D? d A = ADAPTACIÓN CURRICULAR ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR Un poígono es reguar cuando sus ados tienen a misma ongitud y sus ánguos son iguaes. E área de un poígono reguar es igua a a mitad de producto de perímetro por a apotema: P? a A = ÁREA DE UN POLÍGONO CUALQUIERA Si no conocemos una fórmua para cacuar e área de un poígono, su área se puede aar descomponiéndoo en triánguos o figuras de áreas conocidas, cacuando e área de cada una de esas figuras y sumando as áreas resutantes. MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 55 0768 _ 040-065.indd 55 7/05/10 16:7
CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y IGURAS CIRCULARES EJEMPLO Cacua e área de siguiente pentágono reguar. Lado: a Perímetro: P = + + + + = 5 Apotema: a base? atura? a Vemos que son cinco triánguos iguaes: Área = = A 1 A A 3 A 4 a A 5 Área de pentágono = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 Área de pentágono =? a? a? a? a? a 5? a P? a + + + + = = Cacua e área de as siguientes figuras. a) 5 cm b) cm G G G,5 cm 6 cm cm G G G 4,5 cm G 4,5 cm 5 cm G G 9 cm 14 cm G G G 1 cm Lo primero que tenemos que acer es dividir a superficie en poígonos de os que sepamos cacuar su área. a) A 1 A 3 A b) A A 1 A 4 Cacuamos e área tota: a) A 1 = b) A 1 = A = 4 " A = A = A 3 = 4 " A = A 4 = 56 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 040-065.indd 56 7/05/10 16:7
UNIDAD 8 ÁREA DE IGURAS CIRCULARES Área de círcuo Área de sector circuar r A = r? r a r r? r? a A = 360 Área de a corona circuar r R A = r? (R - r ) 3 Obtén e área de un círcuo cuyo diámetro mide igua que e perímetro de un cuadrado de ado. 4 Determina e área de un sector circuar de ampitud un ánguo recto y cuyo radio es 10 cm. ADAPTACIÓN CURRICULAR 5 Haa e área de una corona circuar imitada por dos circunferencias de radios cm y 1 cm. MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 57 0768 _ 040-065.indd 57 7/05/10 16:7
CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y IGURAS CIRCULARES 6 Cacua e área de as siguientes figuras circuares. a) C) 1 cm cm cm b) d) 5 cm 60 6 cm 7 Cacua e área de as siguientes figuras. a) 5 cm 1,5 cm 40 cm cm 8,5 cm b) 90 4 cm 1 cm 4 cm 58 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 040-065.indd 58 7/05/10 16:7
OBJETIVO 1 CLASIICAR POLIEDROS NOMBRE: CURSO: ECHA: POLIEDROS Un poiedro es un cuerpo geométrico que está imitado por cuatro o más poígonos. Arista Los poígonos que imitan a poiedro se aman caras. Cara Los ados de as caras se denominan aristas. Cara Los vértices de as caras se denominan vértices. Vértice Poiedro convexo: a proongarse sus caras Poiedro cóncavo: a proongarse sus caras, no cortan a poiedro. aguna de eas corta a poiedro. Poiedros reguares: todas as caras son poígonos reguares iguaes y en cada vértice se une e mismo número de caras. Soo existen cinco poiedros reguares: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro ÓRMULA DE EULER En todo poiedro convexo se cumpe siempre una reación, conocida con e nombre de fórmua de Euer, que reaciona e número de caras (C), e número de aristas (A) y e número de vértices (V ): C + V = A + N. o de caras N. o de vértices N. o de aristas EJEMPLO Comprueba que se cumpe a fórmua de Euer para e tetraedro. N. o de caras = 4 N. o de vértices = 4 N. o de aristas = 6 C + V = A + " 4 + 4 = 6 + " 8 = 8 1 Comprueba que e resto de poiedros reguares verifican a fórmua de Euer. POLIEDRO Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro CARAS VÉRTICES ARISTAS ÓRMULA DE EULER: C + V = A + 78 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 066-095.indd 78 7/05/10 16:30
OBJETIVO DIERENCIAR LOS ELEMENTOS Y TIPOS DE PRISMAS Y PIRÁMIDES UNIDAD 9 NOMBRE: CURSO: ECHA: PRISMAS Un prisma es un poiedro que tiene dos caras, que son poígonos iguaes y paraeos entre sí, amadas bases; sus otras caras ateraes son paraeogramos. La atura de un prisma es a distancia entre as bases. Prisma recto: as caras ateraes son todas rectánguos y, por tanto, perpendicuares a as bases. Prisma obicuo: as caras ateraes no son todas rectánguos. Según a forma de a base, os prismas se casifican Prisma recto en trianguares, cuadranguares, pentagonaes Prisma reguar: es un prisma recto cuyas bases son poígonos reguares. Base Atura Base Arista Cara atera Prisma obicuo Prisma pentagona reguar Paraeepípedos: son os prismas cuyas bases son paraeogramos. Ortoedro: es un paraeepípedo recto. PIRÁMIDES Una pirámide es un poiedro cuya base es un poígono y sus caras ateraes son triánguos que concurren en un vértice común, amado vértice de a pirámide. La atura de una pirámide es a distancia de su vértice a a base. Pirámide recta: as caras ateraes son todas triánguos isóscees. Atura Arista Pirámide obicua: as caras ateraes no son todas triánguos isóscees. Vértice Base ADAPTACIÓN CURRICULAR Según a forma de a base, as pirámides se casifican en trianguares, cuadranguares, pentagonaes... Pirámide reguar: es una pirámide cuya base es un poígono reguar. Apotema: es a atura de cuaquiera de as caras ateraes de una pirámide reguar. Apotema MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 79 0768 _ 066-095.indd 79 7/05/10 16:30
OBJETIVO 4 CALCULAR EL ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DE PRISMAS RECTOS Para aar e área de un prisma recto nos fijamos en su desarroo, e prisma recto está formado por un rectánguo (sus caras ateraes) y dos poígonos iguaes que son sus bases. B Perímetro de a base: P B Área atera: es e área de rectánguo, uno de cuyos ados coincide con e perímetro de a base y e otro con a atura de prisma. A L = perímetro de a base? atura = P B? Área tota: es a suma de área atera y e área de as bases. A T = área atera +? área de a base = P B? +? A B 1 Dado este prisma recto con base un triánguo rectánguo, aa e área tota. cm x cm 3,1 cm 3,1 cm cm x Para aar e vaor de x, que es uno de os catetos de triánguo rectánguo, apicamos e teorema de Pitágoras: (3,1) = x + x =... Para cacuar e área tota determinamos e área de cada una de as seis caras de prisma, y uego as sumamos para obtener e área tota: A 5 A 1 cm A A 3 3,1 cm A 1, A, A 3 son rectánguos. Su área es e producto de base por atura. A 4, A 5 son triánguos rectánguos. Su área es a base por a atura dividido entre, es decir, e producto de os catetos dividido entre. cm A 4 A 1 = A = A 3 = A 4 = A 5 = Área tota = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 = 8 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 066-095.indd 8 7/05/10 16:30
UNIDAD 9 Cacua e área de prisma obicuo de base cuadranguar de a figura. A 5 cm A 4 A A 1 A 3 A 6 cm Para aar e vaor de apicamos e teorema de Pitágoras: Para cacuar e área tota determinamos e área de cada una de as seis caras de prisma, y uego as sumamos: A 1 =? = A 4 =? = A =? = A 5 =? = A 3 =? = A 6 =? = Área tota = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 = ADAPTACIÓN CURRICULAR 3 Haa e área atera y e área tota de un ortoedro de 6,4 3 9,5 cm de base y 16,5 cm de atura. Área atera = perímetro de a base? atura = 16,5 cm Área tota = área atera +? área de a base = 6,4 cm 9,5 cm Base = rectánguo MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 83 0768 _ 066-095.indd 83 7/05/10 16:30
CALCULAR EL ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES ÁREA DE PIRÁMIDES RECTAS Para aar e área de una pirámide recta nos fijamos en su desarroo, está formada por a base y tantos triánguos como ados tiene a base. Área atera: es e área formada por a suma de as áreas de os triánguos. Área tota: es a suma de área atera y e área de a base: A T = A L + A B Si e poígono de a base es reguar, e cácuo es más sencio, ya que todas as caras ateraes son iguaes y basta con aar e área de un triánguo y mutipicar por e número de triánguos para obtener e área atera. 4 Cacua e área de a pirámide de base cuadrada de a figura. Ten en cuenta que a base es un poígono reguar. 5 cm 5 cm A 4 5 cm A 1 A 3 A A 5 Apicamos e teorema de Pitágoras para cacuar a ongitud de : 5 = + 5 cm 5 cm A 1 = base? atura = A = A 3 = A 4 = A 5 = Área tota = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 = 84 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 066-095.indd 84 7/05/10 16:30
OBJETIVO 5 CALCULAR EL ÁREA DE CUERPOS REDONDOS UNIDAD 9 NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DEL CILINDRO Para aar e área de ciindro nos fijamos en su desarroo, está formado por un rectánguo y dos círcuos. r rr Área atera: es un rectánguo, en e que uno de sus ados es igua a a ongitud de a circunferencia de a base (rr), y e otro es a atura (). A L = ongitud de a base? atura = rr? Área tota: se obtiene sumando e área atera y as áreas de as dos bases. A T = rr + rr = rr( + r) 1 Competa e ejercicio y aa e área tota de ciindro. 10 cm A 1 A 10 cm ADAPTACIÓN CURRICULAR A 3 r Área = rr = Es igua que a ongitud de A 1. Longitud = rr =? r? 3 =? 3,14? 3 A 1 = rr = A = rr? = A 3 = rr = Área tota = A 1 + A + A 3 = MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 85 0768 _ 066-095.indd 85 7/05/10 16:30
CALCULAR EL ÁREA DE CUERPOS REDONDOS ÁREA DEL CONO Para aar e área de un cono nos fijamos en su desarroo, está formado por un sector circuar y un círcuo, que es a base. r g r rr g r r Área atera: es un sector circuar de radio g cuyo arco mide. rg Área tota: A T = rrg + rr = rr (g + r) A L rr = rg? = rrg rg E área atera de cono de a figura es: a) g = 4 cm r = cm b) 5,1 cm c) 1,56 cm d) 34 cm 3 E área tota de cono anterior es: a) 0 cm b) 50,4 cm c) 36,55 cm d) 37,6 4 Haa e área tota de un cono con r = 5 cm y = 1 cm. ÁREA DE LA ESERA E área de una esfera de radio r es igua a cuatro veces e área de círcuo de mismo radio que a esfera: A = 4rr EJEMPLO Cacua e área de una esfera de radio 10 cm. A = 4rr = 4r? 10 = 1 56 cm 5 E área de una esfera de radio 15 cm es: a) 86 cm 3 b) 8,6 cm c) 86 cm d) 14,1 86 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0768 _ 066-095.indd 86 7/05/10 16:30