Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Bases y Bases Canónicas Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Bases y Bases Canónicas Dimensión. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 2 / 47

Consideramos... Definición: Sea V un conjunto no vacío y sea K un cuerpo (los cuerpos que consideraremos en este curso serán el cuerpo de los números reales R o el cuerpo de los números complejos C o inclusive el cuerpo de los números racionales Q Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 3 / 47

Consideramos... Definición: Sea V un conjunto no vacío y sea K un cuerpo (los cuerpos que consideraremos en este curso serán el cuerpo de los números reales R o el cuerpo de los números complejos C o inclusive el cuerpo de los números racionales Q Obs: Supongamos que en V se han definido dos operaciones, que verifican: ADICIÓN + u, v V entonces w = u + v V PRODUCTO POR ESCALAR u V, α K entonces w = α v V Esto es, V es cerrado para la adición y producto por escalar. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 3 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) 1 u = u Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) 1 u = u Los elementos de V se llaman vectores. Los elementos de K se llaman escalares. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 4 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. (M n m (R), +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. (M n m (R), +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C([a, b]), +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. (M n m (R), +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C([a, b]), +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n ([a, b]), +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 5 / 47

Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 6 / 47

Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 / V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 6 / 47

Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 / V. además, 0 V no pertenece a V. (R, +, ) no es un espacio vectorial sobre C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 6 / 47

Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 / V. además, 0 V no pertenece a V. (R, +, ) no es un espacio vectorial sobre C. porque R debe ser cerrado para el producto por escalar. Sea λ = i, entonces λx = ix / R. (C, +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 6 / 47

Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 7 / 47

Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (α 2 x, α 2 y). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 7 / 47

Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (α 2 x, α 2 y). (N, +, ) no es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 7 / 47

Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (α 2 x, α 2 y). (N, +, ) no es un espacio vectorial sobre R. (N, +, ) no es un espacio vectorial sobre N. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 7 / 47

Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 8 / 47

Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 8 / 47

Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Es válida la ley de cancelación para la adición de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 8 / 47

Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Es válida la ley de cancelación para la adición de vectores. u V : 0 u = 0 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 8 / 47

Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Es válida la ley de cancelación para la adición de vectores. u V : 0 u = 0 V α K, u V : ( α)v = (αv). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 8 / 47

Sub Espacio Vectorial Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V, S. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ) es un espacio vectorial sobre K. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 9 / 47

Sub Espacio Vectorial Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V, S. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ) es un espacio vectorial sobre K. Si las operaciones + y están claramente definidas, entonces escribiremos V en lugar de (V, +, ) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 9 / 47

Sub Espacio Vectorial Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V, S. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ) es un espacio vectorial sobre K. Si las operaciones + y están claramente definidas, entonces escribiremos V en lugar de (V, +, ) Notación: S V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 9 / 47

Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 10 / 47

Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 10 / 47

Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: 1 u, v S entonces u + v S Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 10 / 47

Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: 1 u, v S entonces u + v S 2 u S, α K entonces α v S Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 10 / 47

Observación Todo espacio vectorial tiene en forma trivial dos sub espacios vectoriales: {0 V } y V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 11 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 12 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 W = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x n = 0}, W R n Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 12 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 W = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x n = 0}, W R n W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R}, W R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 12 / 47

Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 W = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x n = 0}, W R n W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R}, W R 2 W = {(x, y, z) R 3 : 2x + y = 1} no es un s.e.v. de R 3 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 12 / 47

Ejercicios Propuestos: Verificar que: a) S {[ M 2 2 ] (R) para: } a b S = M c d 2 2 (R) : a = b, c = d {[ ] } a b b)t M 2 2 (R) donde: T = M c d 2 2 (R) : a = 1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 13 / 47

Ejercicios Propuestos: Verificar que: a) S {[ M 2 2 ] (R) para: } a b S = M c d 2 2 (R) : a = b, c = d {[ ] } a b b)t M 2 2 (R) donde: T = M c d 2 2 (R) : a = 1 Sea el subespacio vectorial T = {(x + y + 2z, 3x + y, 2x + y + z) : x, y, z R, T S? Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 13 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W 1 = {f F : f (3) = 0} W 2 = {f F : f ( x) = f (x)} W 3 = {f F : f (2) = 1 + f ( 2)} son sub espacio vectorial de F. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 14 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W 1 = {f F : f (3) = 0} W 2 = {f F : f ( x) = f (x)} W 3 = {f F : f (2) = 1 + f ( 2)} son sub espacio vectorial de F. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden n es un s.e.v. de las matrices de orden n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 14 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W 1 = {f F : f (3) = 0} W 2 = {f F : f ( x) = f (x)} W 3 = {f F : f (2) = 1 + f ( 2)} son sub espacio vectorial de F. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden n es un s.e.v. de las matrices de orden n. n m = C n [a, b] C m [a, b] Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 14 / 47

Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 15 / 47

Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 15 / 47

Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V donde: W 1 + W 2 = {u + v : u W 1, v W 2 } Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 15 / 47

Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V donde: W 1 + W 2 = {u + v : u W 1, v W 2 } Obs: Si además, W 1 W 2 = {0 V } entonces este conjunto se llama suma directa y se denota: W 1 W 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 15 / 47

Ejercicios Propuestos En R 2, sea: W 1 = {(x, y) R 2 : x + y = 0} W 2 = {(x, y) R 2 : x y = 0} Mostrar que W 1 W 2 no es un s.e.v. en R 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 16 / 47

Ejercicios Propuestos En R 2, sea: W 1 = {(x, y) R 2 : x + y = 0} W 2 = {(x, y) R 2 : x y = 0} Mostrar que W 1 W 2 no es un s.e.v. en R 2. Demostrar que: W 1 W 2 V ssi W 1 W 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 16 / 47

Ejercicios Propuestos En R 2, sea: W 1 = {(x, y) R 2 : x + y = 0} W 2 = {(x, y) R 2 : x y = 0} Mostrar que W 1 W 2 no es un s.e.v. en R 2. Demostrar que: W 1 W 2 V ssi W 1 W 2 Sea S = {A M n m (R) : A = A t }; T = {A M n m (R) : A = A t } Probar que: a) S, T M n m (R) b) S T = M n m (R) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 16 / 47

Ejercicios Propuestos Considere los subespacios vectoriales de R 3 : E = {(x, y, 0) : x, y R} F = {(0, 0, z) : z R} G = {(0, y, z) : y, z R} Determine: E F, E G, G F, E + F, E + G, G + F. Haga una descripción geométrica y dibuje cada uno de estos subespacios. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 17 / 47

Combinación Lineal Definición: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 18 / 47

Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 18 / 47

Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Entonces, la expresión: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 18 / 47

Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Entonces, la expresión: n α i u i se llama Combinación Lineal de los vectores u 1, u 2,..., u n. i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 18 / 47

Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Entonces, la expresión: n α i u i se llama Combinación Lineal de los vectores u 1, u 2,..., u n. Observación: 0 V es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 18 / 47

Ejemplos: El vector (1, 2, 3) R 3, es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) α = 1, β = 2, γ = 3. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 19 / 47

Ejemplos: El vector (1, 2, 3) R 3, es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) α = 1, β = 2, γ = 3. El vector (1, 2, 3) R 3, es combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) Debemos encontrar α, β, γ R tal que: 1 = α + β + γ 2 = β + γ 3 = γ Por tanto, γ = 3, β = 1 y α = 1. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 19 / 47

Observación Notar que... No todos los vectores son combinación lineal. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 20 / 47

Observación Notar que... No todos los vectores son combinación lineal. Ejemplo: (1, 2, 3) no es combinación lineal de (1, 1, 0) y (1, 1, 1). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 20 / 47

Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 21 / 47

Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Escribir el polinomio 1 2x + 3x 2, como combinación lineal de 1, 1 + x y 1 + x + x 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 21 / 47

Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Escribir el polinomio 1 2x + 3x 2, como combinación lineal de 1, 1 + x y 1 + x + x 2. Considere los vectores u = (2, 1, 2), v = (1, 1, 1) R 3. Escriba, si es posible, los vectores a = ( 4, 5, 8) y b = (4, 1, 5) como combinación lineal de u y v. Determine los valores de x para los cuales el vector (x, 4, 7) es una combinación lineal de u y v. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 21 / 47

Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Escribir el polinomio 1 2x + 3x 2, como combinación lineal de 1, 1 + x y 1 + x + x 2. Considere los vectores u = (2, 1, 2), v = (1, 1, 1) R 3. Escriba, si es posible, los vectores a = ( 4, 5, 8) y b = (4, 1, 5) como combinación lineal de u y v. Determine los valores de x para los cuales el vector (x, 4, 7) es una combinación lineal de u y v. Dados u 1 = (1, 2, α, 1), u 2 = (α, 1, 2, 3), u 3 = (0, 1, β, 0) R 4, determine los valores de α y β para que uno de los vectores sea combinación lineal de los otros dos. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 21 / 47

Ejercicios Propuestos: Decidir si p(t) = t 2 t + 1 es combinación lineal de p 1 (t) = (t 1) 2 y p 2 (t) = t Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 22 / 47

Ejercicios Propuestos: Decidir si p(t) = t 2 t + 1 es combinación lineal de p 1 (t) = (t 1) 2 y p 2 (t) = t [ ] [ ] [ ] 1 2 1 1 1 1 Decidir si es combinación lineal de y 1 0 0 1 1 0 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 22 / 47

Dependencia e Independencia Lineal Definición Sea u 1, u 2,...u n V. Se dice que: {u 1, u 2,...u n } es un conjunto: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 23 / 47

Dependencia e Independencia Lineal Definición Sea u 1, u 2,...u n V. Se dice que: {u 1, u 2,...u n } es un conjunto: linealmente independiente (l.i.) ssi n α i u i = 0 V α i = 0, i = 1,..., n i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 23 / 47

Dependencia e Independencia Lineal Definición Sea u 1, u 2,...u n V. Se dice que: {u 1, u 2,...u n } es un conjunto: linealmente independiente (l.i.) ssi n α i u i = 0 V α i = 0, i = 1,..., n i=1 linealmente dependiente (l.d.) ssi α 1, α 2,..., α n K no todos nulos, tal que: n i=1 α iu i = 0 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 23 / 47

Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 24 / 47

Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 24 / 47

Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 24 / 47

Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. {e αx, e βx } es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 24 / 47

Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. {e αx, e βx } es l.i. Determine el valor de t R de manera que el conjunto B = {(1, 1, 2), (3, 1, 0), ( t 2, 0, 2)} sea un conjunto l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 24 / 47

Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 25 / 47

Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0 V } es l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 25 / 47

Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0 V } es l.d. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 25 / 47

Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0 V } es l.d. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i. Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contenga a N será l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 25 / 47

Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 26 / 47

Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 26 / 47

Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 26 / 47

Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. 4 Un conjunto l.i. de R n contiene a lo sumo n vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 26 / 47

Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. 4 Un conjunto l.i. de R n contiene a lo sumo n vectores. NOTA: Si se tienen n vectores l.i. no es posible agregar mas vectores sin hacer que el conjunto obtenido sea l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 26 / 47

Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 27 / 47

Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} {(1, 3, 7), (2, 0, 6), (3, 1, 1), (2, 4, 5)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 27 / 47

Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} {(1, 3, 7), (2, 0, 6), (3, 1, 1), (2, 4, 5)} {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, 1, 1)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 27 / 47

Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} {(1, 3, 7), (2, 0, 6), (3, 1, 1), (2, 4, 5)} {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, 1, 1)} {e t ; cosh(t); sinh(t)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 27 / 47

Espacio Generado Definición Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 28 / 47

Espacio Generado Definición Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. El espacio generado por X, denotado < X > o G(X) corresponde a la intersección de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 28 / 47

Espacio Generado Definición Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. El espacio generado por X, denotado < X > o G(X) corresponde a la intersección de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X. Observación: G(X) V. Demostrar!!! Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 28 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 29 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 29 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X. Como X es finito, podemos asumir X = {x 1, x 2,...x k } entonces { k } G(X) = α i x i : α i K i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 29 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X. Como X es finito, podemos asumir X = {x 1, x 2,...x k } entonces Demostración: En la pizarra... { k } G(X) = α i x i : α i K i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 29 / 47

Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 30 / 47

Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) OBSERVACIÓN Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, salvo el que contiene sólo a 0 V, tiene un subconjunto l.i. de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 30 / 47

Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) OBSERVACIÓN Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, salvo el que contiene sólo a 0 V, tiene un subconjunto l.i. de vectores. OBSERVACIÓN Si X no es finito también es aplicable el teorema. En todo caso, en este curso en general trabajaremos con conjuntos finitos X de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 30 / 47

Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 31 / 47

Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} W = {v V : v = αu 0, α R} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 31 / 47

Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} W = {v V : v = αu 0, α R} G((1, 0), (0, 1)) = G((1, 0), ( 1, 2), (5, 3)) = R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 31 / 47

Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} W = {v V : v = αu 0, α R} G((1, 0), (0, 1)) = G((1, 0), ( 1, 2), (5, 3)) = R 2 G( 1, 2) R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 31 / 47

Ejercicios Propuestos: Para qué valor de α el vector w = (2, α, 2) pertenece al s.e.v. de R 3 generado por: v 1 = (1, 2, 1) y v 2 = (0, 1, 2). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 32 / 47

Bases Definición Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 33 / 47

Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 33 / 47

Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 33 / 47

Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V B es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 33 / 47

Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V B es l.i. Teorema: Todo espacio vectorial tiene una base. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 33 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] B = {3, x 1, x 2 + x} es una base de R 2 [x] Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] B = {3, x 1, x 2 + x} es una base de R 2 [x] {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 0 1 0 0 0 0 B =,,, es una base 0 0 0 0 1 0 0 1 de M 2 2 (R) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] B = {3, x 1, x 2 + x} es una base de R 2 [x] {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 0 1 0 0 0 0 B =,,, es una base 0 0 0 0 1 0 0 1 de M 2 2 (R) {e αx, e βx } no es una base del espacio vectorial de todas las funciones continuas. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 34 / 47

Definiciones Base Canónica Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 35 / 47

Definiciones Base Canónica Una base canónica es la base mas sencilla posible, no hay definición general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan e i. Dimensión Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 35 / 47

Definiciones Base Canónica Una base canónica es la base mas sencilla posible, no hay definición general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan e i. Dimensión Sea V un espacio vectorial sobre K, B = {u 1, u 2,..., u n }, una base de V. Se dice que n es la dimensión de V sobre el cuerpo K. Se escribe: dim K V = n, o simplemente dimv = n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 35 / 47

Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 36 / 47

Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 36 / 47

Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 36 / 47

Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base canónica de R n [x], entonces dim(r n [x]) = n + 1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 36 / 47

Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base canónica de R n [x], entonces dim(r n [x]) = n + 1 {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 0 1 0 0 0 0 B =,,, 0 0 0 0 1 0 0 1 es una base canónica de M 2 2 (R), entonces dim(m 2 2 (R)) = 4. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 36 / 47

Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base canónica de R n [x], entonces dim(r n [x]) = n + 1 {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 0 1 0 0 0 0 B =,,, 0 0 0 0 1 0 0 1 es una base canónica de M 2 2 (R), entonces dim(m 2 2 (R)) = 4. En general, dim(m n m (R)) = n m. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 36 / 47

Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 37 / 47

Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 37 / 47

Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 37 / 47

Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. B = {(1, 0), (0, 1)} forma una base de C 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 37 / 47

Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. B = {(1, 0), (0, 1)} forma una base de C 2. En general, C n espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C n ) = 2n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 37 / 47

Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 38 / 47

Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. 2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 38 / 47

Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. 2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n. 3 W V dimw dimv Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 38 / 47

Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. 2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n. 3 W V dimw dimv 4 Completación de una base. Consideramos V un espacio vectorial sobre K, con dim K V = n, y W V, con dim K W = m. Sea B = {u 1, u 2,..., u m } una base del subespacio W. Entonces, existen vectores u m+1, u m+2,..., u n V, de modo que B {u m+1, u m+2,..., u n } es una base de V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 38 / 47

Ejercicios Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 39 / 47

Ejercicios Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3. Sea A = {1, 1 + x, x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3 [x]. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 39 / 47

Ejercicios Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3. Sea A = {1, 1 + x, x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3 [x]. {( ) ( ) ( )} 1 1 0 1 1 0 Sea A =,, 2 0 3 4 1 1 Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de M(2 2, R). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 39 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 40 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 40 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. 2 Para que valores de a el vector (1, a, 2) S? Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 40 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. 2 Para que valores de a el vector (1, a, 2) S? 3 Calcular una base y la dimensión de S. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 40 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. 2 Para que valores de a el vector (1, a, 2) S? 3 Calcular una base y la dimensión de S. Indicar (justificadamente) si los siguientes sistemas de vectores son o no una base de S. Es una base ortonormal de S? {(1, 1, 2)} ; {(0, 2, 1), (1, 1, 2)} ; {( 1, 1, 0), (1, 1, 1)} ; {( 1 1 3, 3 1, 3 2 ), 0, 5 1, 5 )} ; {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 40 / 47

Ejercicios Propuestos: Sea S = {(x, y, x, u) R 4 : x = u, y u = z} Se pide: a) Demostrar que S R 4 b) Obtener dos bases distintas B 1 y B 2 de S y hallar la dimensión de S. c) Hallar un conjunto generador G de S que no sea base de S. d) Hallar un conjunto generador G de S que no sea linealmente independiente. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 41 / 47

Importante Corolario Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 42 / 47

Importante Corolario Sea V un espacio vectorial, dim K V = n. Si B V y B = {u 1,..., u n } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 42 / 47

Importante Corolario Sea V un espacio vectorial, dim K V = n. Si B V y B = {u 1,..., u n } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V. Observación: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 42 / 47

Importante Corolario Sea V un espacio vectorial, dim K V = n. Si B V y B = {u 1,..., u n } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V. Observación: El resultado anterior es muy importante, porque si se conocemos la dimensión de un espacio vectorial V, y queremos probar que un conjunto es base de V, basta probar que el conjunto es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 42 / 47

Coordenadas de v Teorema Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 43 / 47

Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 43 / 47

Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 43 / 47

Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 43 / 47

Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si: v V,!α i, i = 1,..., n : v = α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α n u n Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 43 / 47

Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si: v V,!α i, i = 1,..., n : v = α 1 u 1 + α 2 u 2 +... + α n u n Esto permite definir las coordenadas de v con respecto a la base ordenada B, usando los coeficientes α i que acompañan a los vectores u i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 43 / 47

Coordenadas de v La matriz columna: α 1 α 2... α n Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 44 / 47

Coordenadas de v La matriz columna: α 1 α 2... α n se llama matriz de coordenadas de v con respecto a la base B. Usaremos la notación [v] B. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 44 / 47

Ejemplos: En R 3, considere la base B = {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} y la base canónica de R 3, es decir, C = {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)}. Determine la matriz de coordenadas del vector (2, 8, 6) con respecto a ambas bases, es decir, encuentre [(2, 8, 6)] B y [(2, 8, 6)] C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 45 / 47